LT HÌNH học 10 CHƯƠNG III tọa độ PHẲNG

HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Đường thẳng y = ax + b:
Đồ thò hàm số y = ax + b là một đường thẳng gọi là đường thẳng y = ax + b.
2. Hệ số góc của đường thẳng:
y



d

O

x

 Tang của góc  tạo bởi đường thẳng d với
trục Ox được gọi là hệ số góc của đường
thẳng d.
k = tan
 Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a.

3. Đường tròn:
 Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách đều điểm O một
khoảng bằng R. Đường tròn tâm O, bán kính R thường được kí hiệu C(O; R).
C(O; R) = {M  OM = R}

 Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng
tiếp xúc với đường tròn tại một điểm.
 Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với
bán kính tại tiếp điểm.
 Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (O;
R) khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến  bằng
bán kính R.

Tiếp điểm

M
R

Tiếp tuyến của đường tròn

O

4. Quan hệ giữa hai vectơ:
 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.




 u cùng phương v k  R\{0} : u =k v .
 

 u  v  u .v = 0.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường
 
thẳng  nếu u  0 và giá của u song song hoặc trùng
với .
Nhận xét:
 Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường
thẳng  thì ku (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương
của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ
phương.
 Một đường thẳng hoàn toàn được xác đònh nếu
biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường
thẳng đó.

y
Vectơ chỉ phương của đường thẳng

u
v

x

O

2. Phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đònh nghóa:

Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận vectơ u  (u1; u2 )
x  x  u t

0
1
làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: 
, trong đó tR là tham số.
 y  y 0  u2 t

b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:


Nếu đường thẳng  có vectơ chỉ phương u  (u1; u2 ) với u1 ≠ 0 thì  có hệ số góc k  u2 .
u1

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của
đường thẳng  nếu n  0 và n vuông góc với
vectơ chỉ phương của  .
Nhận xét:
 Nếu n là một vectơ pháp tuyến của
đường thẳng  thì k n k  0  cũng là một vectơ
pháp tuyến của . Do đó một đường thẳng có vô

số vectơ pháp tuyến.
 Một đường thẳng hoàn toàn được xác
đònh nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến
của nó.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

y
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

u
n

O

x

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Đònh nghóa:
Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận n  a; b 
làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a(x - x0) + b(y - y0) = 0 hay ax + by
+ c = 0 với c = ax0 + by0.
Nhận xét: Nếu đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 thì  có
một vectơ pháp tuyến là n = (a; b) và có một vectơ chỉ phương là u = (-b; a).

b) Các trường hợp đặc biệt:
Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1)
c
b

 Nếu a = 0 thì (1) trở thành bx + c = 0 hay y   . Khi đó
đường thẳng  vuông góc với trục Oy tại điểm (0;

c

b

y
-

).

c
b

x
O

c
a

 Nếu b = 0 thì (1) trở thành ax + c = 0 hay x =  .

y

Khi đó đường thẳng  vuông góc với trục Ox tại điểm
c
a

(  ;0 ).

-

O

 Nếu c = 0 thì (1) trở thành ac + by = 0.
Khi đó đường thẳng  đi qua gốc tọa độ O.

c

x

a

y

x

O

 Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa (1) về dạng x  y  1
c
a

a0

c
b

y

b0

-

với a0   , b0   . Đây là phương trình đường thẳng theo
đoạn chắn của  .
Đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0; O) và
N(0; b0).

O

c
b

-

c
a

x

5. Vò trí tương đối của hai đường thẳng:
Xét hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát lần lượt là:
a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0

Tọa độ giao điểm của 1 và  2 là nghiệm của hệ phương trình:
a1 x  b1 y  c1  0

a2 x  b2 y  c2  0

(I)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (I) có một nghiệm (x0; y0)  cắt  2 tại điểm M 0 x0 ; y0  .
b) Hệ (I) có vô số nghiệm  1 trùng  2 .
c) Hệ (I) vô nghiệm  1 song song  2 .
6. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng 1: a1x+b1y+c1 = 0,
2: a2x+b2y+c2=0.
Góc giữa hai đường thẳng 1, 2 được kí hiệu là (1, 2).
Đặt  = (1, 2), khi đó ta có: cos 

a1a2  b1b2
a12  b12 a22  b22

n1





1

.

n2

2

* Chú ý:
 
 1  2  n1  n2  a1a2 + b1b2 = 0.
 Nếu 1 và 2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì 1  2
 k1.k2 = -1.
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = 0 và điểm
M0(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0, ), được tính
bởi công thức:
d M 0 ,   

ax 0  by 0  c
a2  b2

.

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng

 Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng  ta cần
xác định một điểm M0 ( x0 ; y0 )   và một VTCP u  (u1; u2 ) của .
 x  x  tu

0
1;
PTTS của : 
y

y

tu

0
2

PTCT của :

x  x0
u1



y  y0
u2

(u1  0, u2  0).

 Để lập phương trình tổng qt của đường thẳng  ta cần xác định một điểm
M0 ( x0 ; y0 )   và một VTPT n  (a; b) của .

PTTQ của : a( x  x0 )  b( y  y0 )  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

 Một số bài toán thường gặp:
+  đi qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) (với x A  xB , y A  yB ):
PT của :

x  xA

xB  x A



y  yA

yB  y A
x y
  1.
a b
y  y0  k ( x  x 0 )

+  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): PT của :

+  đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: PT của :
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát
của một đường thẳng.

 Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như
sau:

Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d   (I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M sao cho I là trung điểm của MM.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM. Khi đó:

M đối xứng của M qua d   MM   ud (sử dụng toạ độ)
 I  d

 Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường
thẳng , ta có thể thực hiện như sau:
– Nếu d // :
+ Lấy A  d. Xác định A đối xứng với A qua .
+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.
– Nếu d   = I:
+ Lấy A  d (A  I). Xác định A đối xứng với A qua .
+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và I.
 Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, , ta
có thể thực hiện như sau:
– Lấy A  d. Xác định A đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.
VẤN ĐỀ 2: Các bài toán dựng tam giác
Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một

tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó.
Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác.
Sau đây là một số dạng:
Dạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường
cao BB, CC.
Cách dựng: – Xác định B = BC  BB, C = BC  CC.
– Dựng AB qua B và vuông góc với CC.
– Dựng AC qua C và vuông góc với BB.
– Xác định A = AB  AC.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường
cao BB, CC.
Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC.
– Dựng AC qua A và vuông góc với BB.
– Xác định B = AB  BB, C = AC  CC.
Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường
trung tuyến BM, CN.
Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM  CN.
– Xác định A đối xứng với A qua G (suy ra BA//CN, CA// BM).
– Dựng dB qua A và song song với CN.
– Dựng dC qua A và song song với BM.
– Xác định B = BM  dB, C = CN  dC.

Dạng 4: Dựng tam giác ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và
trung điểm M của cạnh BC.
Cách dựng: – Xác định A = AB  AC.
– Dựng d1 qua M và song song với AB.
– Dựng d2 qua M và song song với AC.
– Xác định trung điểm I của AC: I = AC  d1.
– Xác định trung điểm J của AB: J = AB  d2.
– Xác định B, C sao cho JB  AJ , IC  AI .
Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho MB   MC .
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 .
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
a1x  b1y  c1  0

a2 x  b2 y  c2  0

(1)

 1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm



 1 // 2

 hệ (1) vô nghiệm



 hệ (1) có vô số nghiệm



 1  2

a1



a1



a1



a2
a2
a2

b1

(nếu a2 , b2 , c2  0 )

b2
b1



b1



b2
b2

c1

c2
c1

c2

(nếu a2 , b2 , c2  0 )
(nếu a2 , b2 , c2  0 )

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:
– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M0 ,  ) 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ax0  by0  c
a2  b2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN )  .
– M, N nằm cùng phía đối với   (ax M  byM  c)(axN  byN  c)  0 .
– M, N nằm khác phía đối với   (ax M  byM  c)(axN  byN  c)  0 .
3. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a1 x  b1y  c1
a12  b12



a2 x  b2 y  c2
a22  b22

Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam
giác ABC ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1:
– Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất
đường phân giác của góc trong tam giác).
Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E  BC) ta
có: DB  

AB

AB
.DC , EB 
.EC .
AC
AC

– Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Cách 2:
– Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 của các góc tạo bởi hai đường
thẳng AB, AC.
– Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2).
+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong.
+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài.
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 (có VTPT n1  (a1; b1 ) )
và 2: a2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ).
(n , n )
khi (n1 , n2 )  90 0
1
2
(1 , 2 )   0
0
180  (n1 , n2 ) khi (n1 , n2 )  90
n .n
a1b1  a2 b2
cos(1, 2 )  cos(n1, n2 )  1 2 
n1 . n2
a12  b12 . a22  b22

Chú ý: 00   1, 2   900 .

 1  2  a1a2  b1b2  0 .
 Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì:
+ 1 // 2  k1 = k2
+ 1  2  k1. k2 = –1.
 Cho ABC. Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng công thức:
cos A  cos  AB, AC  

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

AB. AC
AB . AC

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
y

Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là:
(x - a)2 + (y - b)2 = R2.

M(x; y)
R
b

* Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa
độ O và có bán kính R là: x2 + y2 = R2.

I(a; b)

x

O

a

2. Nhận xét:
Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ
khi a2 + b2 - c > 0. Khi đó (C) có bán kình là R = a 2  b 2  c .
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
M

Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.
Tiếp tuyến  tại điểm M(x0; y0) nằm trên đường tròn
(C) có phương trình:
(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

M0

I

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

 Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng:

( x  a)2  (y  b)2  R2

thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.
 Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng:
x 2  y2  2ax  2by  c  0
thì – Biến đổi đưa về dạng ( x  a)2  (y  b)2  R2
hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2  b2  c .
Chú ý: Phương trình x 2  y2  2ax  2by  c  0 là phương trình đường tròn nếu thoả
mãn điều kiện:
a2  b 2  c  0 .
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán
kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là: ( x  a)2  (y  b)2  R2
Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A.
– Bán kính R = IA.
Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng .
– Bán kính R = d ( I ,  ) .
Dạng 3: (C) có đường kính AB.
– Tâm I là trung điểm của AB.

– Bán kính R =

AB
.
2

Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Tâm I của (C) thoả mãn: I  d

d (I , )  IA

.

– Bán kính R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với .
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2.
d ( I ,  )  d ( I ,  )

(1)

1

2
– Tâm I của (C) thoả mãn: 
d
(
I
,

)

IA
(2)

1
– Bán kính R = IA.
Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2
hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2.

– Nếu 1 // 2, ta tính R =

1
d (1 , 2 ) ,
2

và (2) được thay thế bới IA = R.

Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d.

– Tâm I của (C) thoả mãn: d (I , 1 )  d (I , 2 ) .
I  d

– Bán kính R = d (I , 1 ) .
Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam
giác).
Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x 2  y2  2ax  2by  c  0 (*).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).
Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: IA  IB .
 IA  IC

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

– Bán kính R = IA = IB = IC.
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.
– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam
giác
– Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên.
– Bán kính R = d ( I , AB ) .

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
1. Tập hợp các tâm đường tròn
Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực hiện như sau:
a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I.
b) Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I  x  f (m) .

 y  g(m)

c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0.
d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y.
e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x;y)=0 cùng với phần giới hạn ở d).
2. Tập hợp điểm là đường tròn
Thực hiện tương tự như trên.

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)
Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax  By  C  0 và đường tròn (C):
x 2  y2  2ax  2by  c  0 , ta có thể thực hiện như sau:.

 Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C).
– Tính khoảng cách từ I đến d.
+ d (I , d )  R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+ d (I , d )  R  d tiếp xúc với (C).
+ d (I , d )  R  d và (C) không có điểm chung.

 Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
 Ax  By  C  0
 2
2
 x  y  2ax  2by  c  0

(*)

+ Hệ (*) có 2 nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+ Hệ (*) có 1 nghiệm  d tiếp xúc với (C).
+ Hệ (*) vô nghiệm  d và (C) không có điểm chung.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2)
Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1): x 2  y2  2a1x  2b1y  c1  0 , (C2):
x 2  y2  2a2 x  2b2 y  c2  0 . ta có thể thực hiện như sau:

 Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2.
+
 (C1) cắt (C2) tại 2 điểm.
R1  R2  I1I 2  R1  R2
I1I 2  R1  R2
+
 (C1) tiếp xúc ngoài với (C2).
I1I 2  R1  R2
+
 (C1) tiếp xúc trong với (C2).
I1I 2  R1  R2
+
 (C1) và (C2) ở ngoài nhau.
I1I 2  R1  R2
+
 (C1) và (C2) ở trong nhau.

 Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương
trình:
 x 2  y 2  2a x  2b y  c  0
1
1
1
 2
2
x

y

2
a
x

2
b
y

c

2
2
2 0

(*)

+ Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) tại 2 điểm.
+ Hệ (*) có một nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2).

+ Hệ (*) vô nghiệm
 (C1) và (C2) không có điểm chung.
VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến của đường tròn (C)
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .
 tiếp xúc với (C)  d (I , )  R

 Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M0 ( x0 ; y0 )  (C).
–  đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT IM0 .
 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước.
– Viết phương trình của  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t).
– Dựa vào điều kiện: d (I , )  R , ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của .
 Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A( x A ; y A ) ở ngoài đường tròn (C).
– Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số).
– Dựa vào điều kiện: d (I , )  R , ta tìm được các tham số. Từ đó suy ra phương trình
của .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

§3. PHƯƠNG TRÌNH ELIP
1. Đònh nghóa đường elip:
 Cho hai điểm cố đònh F1 , F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1 F2 . Elip là tập
hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: F1M  F2 M  2a.
 Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2  2c gọi là tiêu cự của

elip.
2. Phương trình chính tắc của elip:
Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Chọn hệ
trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0). Khi đó
phương trình chính tắc của elip (E) có dạng:
x2 y2

1
a2 b2

2

2

c
=
a

A1

với b = a - c

M(x; y)

A2

O

F1

2

F2

x

B1

3. Hình dạng của elip:
 (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối
xứng là gốc O.
 (E) cắt trục Ox tại hai điểm A1(-a;0), A2(a;0) và cắt
 (E) cắt trục Oy tại hai điểm B1(0;-b), B2(0;b).
 Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip.
 Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2
gọi là trục nhỏ của elip.
 Tỉ số

B2

b B2

A1
-a

F1(-c; 0)

A2
F2(c; 0) a

O

x

-b
B1

e được gọi là tâm sai của elip.

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip:
a) Từ hệ thức b 2  a 2  c 2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng
nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần
bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.
b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương
trình x 2  y 2  a 2 . Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường tòn ta
xét điểm M'(x'; y') sao cho

 x '  x
 y '  b y (với

a

0 < b < a) thì tập hợp

các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình

x ' 2 y' 2

1
a2 b2

y

M(x; y)
M'(x'; y')

O

H

x

là

một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip
(E).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0).
M  (E )  MF1  MF2  2a

(a > c)

F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự.
2. Phương trình chính tắc của elip
x2
a

2



y2
b

2

1

(a  b  0, b2  a2  c2 )

 Toạ độ các tiêu điểm: F1(c; 0), F2 (c; 0) .
 Với M(x; y)  (E), MF1, MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.
c
c
x , MF2  a  x
a
a

MF1  a 

3. Hình dạng của elip
 (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
 Toạ độ các đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b)
 Độ dài các trục:
trục lớn: A1 A2  2a ,
trục nhỏ: B1B2  2b
 Tâm sai của (E):

e

c
a

(0 < e < 1)

 Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x   a, y   b (ngoại tiếp elip).
4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
a
e

 Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x   0
 Với M  (E) ta có:

MF1

d ( M , 1 )



MF2

d ( M , 2 )

e

(e < 1)

VẤN ĐỀ 1: Xác định các yếu tố của (E)
Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc:

x2
a2



y2
b2

 1 . Xác

định a, b, c.

Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b.
– Tiêu cự 2c.
– Toạ độ các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) .
– Toạ độ các đỉnh A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) .
c
a

– Tâm sai e  .

a
e

– Phương trình các đường chuẩn x   0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc của (E)
Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E).
Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E):
c
+ Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0)
a
đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b)

+ b2  a2  c 2
+ Các

+ e

VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước
Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E):
MF1  a 

c
c
x , MF2  a  x
a
a

VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm
Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các
dạng:
Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a.
Dạng 2:

x2
a2



y2
b2

1

(a > b)  Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ