Thế vị lớp đơn và bài toán neumann đối với hàm điều hòa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG VĂN LUẬN

THẾ VỊ LỚP ĐƠN
VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI
HÀM ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Góc khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Mặt Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4

Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 23

2 Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa

28

2.1

Thế vị lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52

1


Mở đầu
Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệt
là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace là
cần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trong
những phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệm

của phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ bản. Cấu trúc luận
văn gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bầy một số khái niệm và
các tính chất bao gồm: định nghĩa về góc khối; định nghĩa về mặt Lyapunov và
các tính chất của mặt Lyapunov cùng với các đánh giá có liên quan; định nghĩa
về phương trình tích phân Fredholm loại II, các định lý Fredholm và cuối cùng
là trình bày về các bài toán Neumann trong và ngoài, tính duy nhất nghiệm của
bài toán đó.
Chương 2: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann cho hàm điều hòa. Nội
dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann cho
hàm điều hòa, gồm 3 bước: Đầu tiên ta đưa ra khái niệm thế vị lớp đơn và tính
chất của nó. Bước thứ 2 ta chuyển bài toán Neumann của phương trình Laplace
về phương trình tích phân Fredholm loại II. Bước thứ 3 ta đi khảo sát sự tồn tại
nghiệm của bài toán đó.
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[1],[2], [3].
Hà Nội, tháng 4 năm 2015.
Học viên
Hoàng Văn Luận
2


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Hà
Tiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của
mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận

giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia
giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy
dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Góc khối

Cho S là mặt trơn, nói chung là không kín, định hướng, xét một phía xác định
−
của S và vectơ pháp tuyến →
n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến
dương.
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm bất kỳ
−→
−
π
Q ∈ S thì →
r = P Q hợp với −
n→
Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là:

−
cos(→
r ,−
n→
Q) ≥ 0

(1.1)

−→
Từ P, xét tất cả các bán kính vectơ P Q, Q ∈ S . Các bán kính vectơ đó lấp
đầy khối nón, đỉnh là P và các đường sinh của mặt bên tựa trên biên của mặt S.
Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu σ1 . Mặt cầu ấy cắt khối nón trên theo
mảnh cầu σ1 , có diện tích là |σ1 |. Khi đó phần không gian chiếm bởi khối nón nói
trên được gọi là góc khối mà từ P nhìn mặt S. Diện tích |σ1 | được gọi là số đo
của góc khối, và được kí hiệu là
ωP (S) = |σ1 |

(1.2)

Chú ý 1.1. Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R : R và cắt khối nón theo mảnh
σR có diện tích |σR | thì do tính đồng dạng của σR và σ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 |
Do đó ta có thể viết:

ωP (S) =
4

|σR |
R2

(1.3)


−→
→
−
→
−
Nếu pháp tuyến dương −
n→
hợp
với
bán
kính
vectơ
r
một
góc
tù
cos(
r,
nQ ) ≤ 0
Q
thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và
ωP (S) = −

|σR |
R2

(1.4)

−→
−
Giả sử S là mặt trơn từng mảnh và trên mỗi mảnh đại lượng cos(→
r, nQ ) đổi
−→
−
dấu, khi đó ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ S sao cho cos(→
r, n ) không đổi dấu.
j

Q

Khi đó ta đặt

ωP (S) ≡

ωP (Sj )

(1.5)

j

Định lí 1.1 (Định lý 5.3.1, [1]). Giả sử P ∈
/ S . Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt
S có giá trị bằng
∂ 1
ωP (S) = −
( )dSQ
∂nQ r

S

trong đó r=PQ là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, −
n→
Q là pháp tuyến dương tại
Q ∈ S , ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng −
n→
Q.

−→
−
Chứng minh. Ta chỉ xét trường hợp mặt S mà cos(→
r, nQ ) không đổi dấu,trong
−→
−
trường hợp ngược lại, ta chia S thành các mảnh nhỏ Sj sao cho cos(→
r , nQ ) không
−→
đổi dấu. Khi đó P Q chỉ cắt S tại Q duy nhất.
−→
−
Giả sử cos(→
r ,n ) ≥ 0
Q

Xét mặt cầu R tâm P với bán kính R đủ nhỏ sao cho σR không cắt S. Xét
miền D giới hạn bởi mặt S, mặt σR và phần không gian nằm giữa S và σR . Kí
hiệu là S0
Ta chú ý rằng hàm 1r là hàm điều hòa trong D ∪ S ∪ σR ∪ S0 do đó theo tính
chất của hàm điều hòa ta có:

S∪σR ∪S0

∂ 1
( )dSQ = 0
∂νQ r

trong đó −
ν→
Q là pháp tuyến trong đối với miền D tại điểm Q.
5

(1.6)


→
−
Trên mặt nón S0 thì véctơ −
ν→
Q thẳng góc với r nên ta có
−
−
− cos(→
r ,→
ν)
∂ 1
( )=
=0
∂ν r
r2

(1.7)

Trên mặt S, ta có

−
−
→
ν→
Q = −nQ
nên

∂ 1
( )dSQ = −
∂νQ r

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

S

(1.8)

S

Trên σR ta có:

σR

∂ 1
( )dSQ =
∂νQ r

σR

∂ 1
1
( )dSQ = − 2
∂nQ r
R

dSQ =

−|σR |
.
R2

(1.9)

σR

Từ công thức (1.6), (1.7), (1.8) và (1.9) ta có

∂ 1
( )dSQ + ωP (S) = 0
∂nQ r
S

hay

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

ωP (S) = −

(1.10)

S

−→
−
Nếu cos(→
r, nQ ) ≤ 0 thì trên mặt S ta có:
−
−
→
ν→
Q = nQ
và

∂ 1
( )dSQ =
∂νQ r
S

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

S

Từ đẳng thức

ωP (S) =
6

−|σR |
R2

(1.11)


suy ra

−|σR |
∂ 1
( )dSQ = − 2 = ωP (S)
∂nQ r
R

∂ 1
( )dSQ =
∂νQ r

−
S

(1.12)

S

Vậy ta vẫn có (1.10).

1.2

Mặt Lyapunov

Dưới đây là định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều.
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định
→
−
−
2) Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và →
n , n là hai vectơ pháp
→
−
−
tuyến tương ứng tại Q và Q’, ϕ là góc hợp bởi 2 vectơ pháp tuyến đó (ϕ = (→
n , n )),
r là khoảng cách giữa hai điểm Q,Q’

r = QQ
Khi đó tồn tại 2 hằng số dương A và α sao cho:

ϕ ≤ Arα .

(1.13)

Nhận xét 1.1. Nếu mặt S có phương trình

z = f (x, y)
trong đó f (x, y) là hàm có đạo hàm cấp hai liên tục thì S là mặt Lyapunov.
Do đó mặt cong có độ cong liên tục là mặt Lyapunov. Hơn nữa định nghĩa và
các định lý trong phần này cũng đúng trong không gian n chiều tổng quát.

7


Định lí 1.2 (Định lý 5.4.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín. Khi ấy tồn tại
một hằng số dương d > 0 sao cho nếu lấy một điểm Q bất kỳ trên S làm tâm bán
−
kính d thì mọi đường thẳng song song với pháp tuyến →
n tại Q cắt mặt S phía
trong hình cầu không quá một điểm.
Mặt cầu với tâm tại điểm Q ∈ S nói trên được gọi là mặt cầu Lyapunov, kí
hiệu (Q).
Chứng minh. Chọn d đủ nhỏ sao cho:

Adα ≤ 1

(1.14)

Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, tồn tại hình cầu bán kính d
→
− −
n0

tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) sao cho có một tia đi qua Q0 ; n0 //→
của S cắt S (Q0 ) tại 2 điểm là Q và Q’. Giả sử các pháp tuyến của mặt S là các
→
−
pháp tuyến trong, gọi Q là điểm của mặt S tại đó n0 hướng ra phía ngoài, còn Q’
→
−
là điểm tại đó n0 hướng vào phía trong của S. Xét mặt phẳng tiếp xúc tại Q với
−
−
S. Khi đó, →
n và →
n0 nằm về 2 phía của mặt phẳng tiếp xúc do đó:

→
−
π
−
−
−
(→
n,→
n0 ) = (→
n , n0 ) > > 1
2
Điều này không thể sảy ra vì theo (1.13) và (1.14) ta phải có:

−
−
(→

n,→
n0 ) ≤ Arα ≤ Adα ≤ 1
→
−
Trường hợp n0 tiếp xúc với s (Q0 ) cũng không thể xảy ra vì khi đó
→
−
π
−
−
−
(→
n,→
n0 ) = ( →
n , n0 ) = > 1
2
Vậy định lý được chứng minh.
1.2.2 Một vài đánh giá

8


Giả sử Q0 là một điểm cố định bất kỳ nằm trong mặt S và S (Q0 ) là một phần
mặt nằm trong mặt cầu Lyapunov tâm Q0 . Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với
−
gốc là Q0 , trục Q0 ζ trùng với pháp tuyến →
n0 tại Q0 còn 2 trục Q0 ξ và Q0 η nằm
trong mặt phẳng tiếp xúc với S tại Q0 . Theo Định lý 1.1 thì phần mặt S (Q0 ) có
thể biểu diễn trong hệ tọa độ Q0 ξηζ bởi phương trình

ζ = f (ξ, η)

(1.15)

−
Gọi Q(ζ, ξ, η) là điểm chạy trên mặt S (Q0 ) ; →
n là pháp tuyến tại Q và r =
−
Q0 Q. Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của →
n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và
−
−
cos(→
r ,→
n ) theo r khi Q chạy trên mặt S (Q0 )
→
−
−
a) Đại lượng cos(→
n, ζ )
Đặt:

→
−
−
−
−
ϕ = (→
n , ζ ) = (→
n,→

n0 ).

(1.16)

Ta có:

cos ϕ = 1 −

ϕ2 ϕ4
+
− ... =
2!
4!

(−1)n
n=0

ϕ2n
(2n)!

(1.17)

là chuỗi đan dấu có các số hạng đơn điệu giảm, nên nếu trong chuỗi ta chỉ giữ
một số hữu hạn các hạng thức, thì phần dư sẽ có dấu của hạng thức đầu tiên của
phần dư đó.
Từ đó
ϕ2
cos ϕ ≥ 1 −
2
Theo công thức (1.13) ta có:

1
cos ϕ ≥ 1 − A2 r2α .
2
Mặt khác do (1.14) nên trong các mặt cầu Lyapunov đã chọn:
9

(1.18)


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thừa Hợp (2005), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] A V Bitsdze (1994), Partial differential equations, World Scientific,
Singapore-New Jersey-London-Hong Kong.

52