Bản sao của bản sao của 01 MOT SO BDT CO BAN

Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng
Một số các bất đẳng thức cơ bản cần ghi nhớ:

( ∀a, b ∈ R )
ab , ( a ≥ 0, b ≥ 0 )

1) a 2 + b 2 ≥ 2ab

2) a + b + c ≥ 3 3 abc

3) a + b ≥ 2

4) a 3 + b3 + c3 ≥ 3abc

1 1
4
+ ≥
x, y > 0
x y x+ y
1
4
7)
≥
( x, y > 0)
xy ( x + y ) 2
9) a 3 + b3 ≥ a 2b + ab 2 (a, b ≥ 0

8) 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2

a b
11) a, b > 0, + ≥ 2
b a

a 3 + b3 + c3
12) abc ≤
3

a 3 + b3  a + b 
≥

2
 2 
a2 + b2
15) ab ≤
( ∀a, b ∈ R )
2

 a+b+c
14) abc ≤ 

3



 a+b
17) ab ≤ 

 ( ∀a, b ∈ R )
 2 
1
11 1
≤  +  , ( x, y > 0 )
19)
x+ y 4 x y 

18) 3(ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c )

5)

6)

10) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

3

13)

16)

2

ab + bc + ac ≤ a + b + c
2

a
b
c

3
+
+
≥ , (a, b, c > 0)
b+c c+a a+b 2
1
1
2
22)
+
≥
, ( ∀a, b ≥ 1)
1 + a 1 + b 1 + ab

a 2 b 2 c 2 (a + b + c)2
24)
+ + ≥
x
y z
x+ y+z

( x + y )3
23) x + y ≥
, ( x, y ≥ 0 )
4

25)

3

20)

21) 1 + x + 1 + y ≥ 1 + 1 + x + y , ( x, y ≥ 0)
3

1 1 1
9
+ + ≥
, ( x, y , z > 0 )
x y z x+ y+ z

3

a
(a1 + a2 + ....an ) 2
a1 a2
+ + ...... + n ≥
x1 x2
xn a1 x1 + a2 x2 + .. + an xn

Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng

a b
+ ≥2
b a

Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3 , với mọi a, b.
Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca với mọi a, b, c.
Bài 4: [ĐVH]. Chứng minh rằng

b
a
+
≥ a + b , với mọi a, b > 0
a
b

Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh rằng ( a 2 − b 2 ) ≥ ( a − b ) , với mọi a, b > 0
2

4

Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng a 5 + b5 ≥ a 3b 2 + a 2b 3 , với mọi a, b ≥ 0.
Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh rằng
Bài 8: [ĐVH]. Chứng minh rằng

1
1
2
+
≥
, ( ∀a, b ≥ 1) .
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

( a + c )( b + d ) ≥

ab + cd , ( ∀a, b, c, d ≥ 0 )

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

( a + c) + (b + d )

a2 + b2 + c 2 + d 2 ≥

Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng
Bài 10: [ĐVH]. Chứng minh rằng

Facebook: LyHung95
2

2

, ∀a, b, c, d ∈ R

a3
b3
c3
a+b+c
+
+
≥
2
2
2
2

2
2
a + ab + b b + bc + c c + ca + a
3

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z )

Bài 11: [ĐVH]. Chứng minh rằng

Hướng dẫn:
x + xy + y =
2

2

( x + y)

2

− xy ≥

( x + y)

2

( x + y)
−

2

=

4

3
( x + y ) , tương tự ta được đpcm
2

Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c > 0.
Chứng minh rằng

b+c

a + 3 4 ( b3 + c3 )

+

c+a

b + 3 4 ( c3 + a3 )

+

a+b

c + 3 4 ( a 3 + b3 )

≤2

Hướng dẫn:

b + c = ( b + c ) − 3bc ( b + c ) ≥ ( b + c )
3

3

3

3

(b + c)
−3
4

2

(b + c)

(b + c)
=
4

3


→ 4 ( b3 + c 3 ) ≥ ( b + c )

3

a4
b4

c4
a+b+c
Bài 13: [ĐVH]. Chứng minh rằng 3 3 + 3 3 + 3
≥
3
a +b b +c c +a
2

Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!