Phân tích phi tuyến khung thép phẳng bằng phương pháp khớp dẻo sử dụng hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỚP DẺO SỬ DỤNG
HÀM DẠNG CHUYỂN VỊ XẤP XỈ ĐA THỨC BẬC 5
S

K

C

0

0

3

9

5

9

MÃ SỐ: T2015 – 19TĐ

S KC 0 0 4 7 6 3

Tp. Hồ Chí Minh, 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỚP DẺO SỬ DỤNG
HÀM DẠNG CHUYỂN VỊ XẤP XỈ ĐA THỨC BẬC 5
Mã số: T2015 – 19TĐ

Chủ nhiệm đề tài:
ThS. Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm
Thành viên đề tài:
ThS. Đặng Xuân Lam

TP. HCM, 10/2015


IV.2. Ví dụ 2 – Dầm hai đầu ngàm chịu tải tập trung..................................36

MỤC LỤC

IV.3. Ví dụ 3 – Khung 2 tầng 1 nhịp với các dạng liên kết chân cột...........37

DANH MỤC HÌNH VẼ ....................................................................................3

IV.4. Ví dụ 4 – Khung 2 tầng 1 nhịp Balling...............................................40

DANH MỤC BẢNG BIỂU ...............................................................................4

IV.5. Ví dụ 5 – Khung 4 tầng 2 nhịp Kukreti và Zhou ................................42

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ......................................4

IV.6. Ví dụ 6 – Khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali ..........................................43

CHƯƠNG I. MỞ ĐẦU ......................................................................................10

IV.7. Ví dụ 7 – Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp.................................................44

I.1. Tổng quan ..............................................................................................10

CHƯƠNG V. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...................................................47

I.2. Tình hình nghiên cứu.............................................................................11

V.1. Kết luận ................................................................................................47

I.3. Tính cấp thiết của đề tài.........................................................................14

V.2. Kiến nghị ..............................................................................................47

I.4. Mục tiêu của đề tài.................................................................................14

TÀI LIỆU THAM KHẢO ..............................................................................49

I.5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .........................................................15
I.6. Cách tiếp cận – Phương pháp nghiên cứu .............................................15
I.7. Nội dung nghiên cứu .............................................................................15
CHƯƠNG II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.................................................................16
II.1. Giả thiết ................................................................................................16
II.2. Các hàm ổn định khi xấp xỉ chuyển vị bằng đa thức bậc 5..................17
II.2.1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị và hàm ổn định .................17
II.2.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5 .18
II.3. Quan hệ nội lực và góc xoay hai đầu phần tử ......................................21
II.4. Thành lập ma trận độ cứng phần tử dầm-cột.......................................22
II.5. Phi tuyến vật liệu..................................................................................25
II.5.1 Sự chảy dẻo do tác động của ứng suất dư...................................25
II.5.2 Sự chảy dẻo do ảnh hưởng của nội lực .......................................25
CHƯƠNG III. CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH............................................28
III.1. Thuật toán chiều dài cung kết hợp với chuyển vị dư nhỏ nhất ...........28
III.2. Lưu đồ thuật toán ................................................................................30
III.3. Chương trình phân tích .......................................................................31
CHƯƠNG IV. VÍ DỤ MINH HỌA ..................................................................34
IV.1. Ví dụ 1 – Cột phi đàn hồi hai đầu khớp chịu tải tập trung .................34
1

2

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình IV-16. Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp ..................................................................45

Hình II-1. Phần tử dầm-cột điển hình .......................................................................17

Hình IV-17. Chuyển vị đỉnh bên phải khung Vogel 6 tầng 2 nhịp ...........................46

Hình II-2. So sánh các hàm ổn định..........................................................................20
Hình II-3. Lực và chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột.............................................23

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Hình II-4. Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Orbison .............................26

Bảng 1. Lời giải giải tích của hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm ổn định s1 , s 2 .......18

Hình II-5. Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Liew và cộng sự................26

Bảng 2. Lời giải của hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm ổn định s1 , s 2 đề xuất.........20

Hình II-6. Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Balling ..............................27
Hình III-1. Lưu đồ thuật toán của chương trình........................................................30
Hình IV-1. Cột thép phi đàn hồi hai đầu khớp chịu lực tập trung ............................34
Hình IV-2. Đường cường độ cột hai đầu khớp .........................................................35
Hình IV-3. Dầm hai đầu ngàm chịu tải tập trung......................................................36
Hình IV-4. Chuyển vị tại điểm đặt lực của dầm hai đầu ngàm.................................37

Bảng 3. Định dạng file input.txt................................................................................31
Bảng 4. Hệ số tải giới hạn (P/Py ) của cột hai đầu khớp ...........................................35
Bảng 5. So sánh kết quả hệ số tải giới hạn λu của dầm 2 đầu ngàm.........................36
Bảng 6. So sánh hệ số tải giới hạn λu của khung 2 tầng 1 nhịp Lui và Chen ...........38
Bảng 7. Hệ số tải giới hạn λu của khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali...........................44
Bảng 8. Đặc trưng hình học của khung Vogel 6 tầng 2 nhịp....................................45

Hình IV-5. Khung 2 tầng 1 nhịp Lui và Chen ..........................................................37
Hình IV-6. Đường tải trọng – chuyển vị (Đàn hồi – LK khớp)................................38
Hình IV-7. Đường tải trọng – chuyển vị (Phi đàn hồi – LK khớp) ..........................39

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
A

Diện tích mặt cắt ngang cấu kiện

b 1 , b2

Các hàm hiệu ứng cung

Hình IV-9. Đường tải trọng – chuyển vị (Phi đàn hồi – LK ngàm)..........................40

E

Mô-đun đàn hồi của vật liệu

Hình IV-10. Khung 2 tầng 1 nhịp Balling ................................................................40

Et

Mô-đun tiếp tuyến của vật liệu

e1 , e2

Hệ số chảy dẻo ở hai đầu phần tử

Hình IV-8. Đường tải trọng – chuyển vị (Đàn hồi – LK ngàm) ...............................39

Hình IV-11. Đường tải trọng – chuyển vị khung 2 tầng 1 nhịp Balling ...................41

F, P

Lực dọc trục phần tử

Hình IV-12. Khung 4 tầng 2 nhịp Kukreti và Zhou.................................................42

I

Mô-men quán tính của tiết diện

Hình IV-13. Đường hệ số tải trọng – chuyển vị khung 4 tầng 2 nhịp .....................42

L

Chiều dài của phần tử

Hình IV-14. Khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali ............................................................43

M1 , M2

Mô-men uốn ở hai đầu phần tử

My

Mô-men chảy dẻo của phần tử

Py

Lực dọc chảy dẻo của phần tử

Hình IV-15. Đường hệ số tải trọng – chuyển vị khung 4 tầng 1 nhịp .....................44

3

4


s1 , s2

Các hàm ổn định của phần tử dầm-cột đàn hồi

s’1, s’2

Đạo hàm các hàm ổn định của phần tử dầm-cột đàn hồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

Chuyển vị theo phương ngang của hai đầu phần tử

u 2 , u5

Chuyển vị theo phương đứng của hai đầu phần tử

u 3 , u6

Chuyển vị theo xoay của hai đầu phần tử

Z

Mô-men quán tính dẻo của tiết diện

α

Thông số dẻo

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

KHOA XD & CHƯD

s’ip (i = 1~3) Đạo hàm các hàm ổn định của phần tử dầm-cột phi đàn hồi
u 1 , u4

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

sip (i = 1~3) Các hàm ổn định của phần tử dầm-cột phi đàn hồi

Tp. HCM, ngày 24 tháng 10 năm 2015

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Phân tích phi tuyến khung thép phẳng bằng phương pháp khớp
dẻo sử dụng hàm dạng chuyền vị xấp xỉ đa thức bậc 5

δ

Chuyển vị dọc trục phần tử

- Mã số: T2015 – 19TĐ

∆

Chuyển vị ngang tại đỉnh, chuyển vị đứng của hệ kết cấu

- Chủ nhiệm: Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm

∆(x)

Hàm chuyển vị của phần tử dầm-cột

- Cơ quan chủ trì: Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. HCM

∆λi, ∆λ(i)j Hệ số tải và hệ số điều chỉnh tải gia tăng
λC

Hệ số độ mảnh của cột

- Thời gian thực hiện: từ tháng 06 năm 2014 đến tháng 10 năm 2015
2. Mục tiêu:

λu

Hệ số tải giới hạn của hệ kết cấu

σy

Ứng suất chảy dẻo của vật liệu

với các khớp dẻo hiệu chỉnh ở hai đầu phần tử để phân tích ứng xử phi tuyến hình

θ1, θ2

Góc xoay ở hai đầu phần tử

học và phi tuyến vật liệu cho khung thép phẳng.

Phát triển phần tử dầm-cột sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 5 kết hợp

Phát triển một chương trình phân tích tin cậy và hiệu quả cho phân tích ứng xử

{P}, {∆P} Véc-tơ tải và véc-tơ tải gia tăng

phi tuyến của khung thép phẳng.

{u}, {∆u} Véc-tơ chuyển vị và véc-tơ chuyển vị gia tăng

3. Tính mới và sáng tạo:

{z}

Véc-tơ nội lực nút phần tử trong tọa độ địa phương

{Z}

Véc-tơ nội lực nút phần tử trong tọa độ tổng thể

[kG]

Ma trận độ cứng hình học của phần tử theo tọa độ địa phương

hai và sự chảy dẻo của kết cấu khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh. Hàm chuyển vị

[kθ]

Ma trận độ cứng hình học bậc cao của phần tử theo tọa độ địa phương

của cấu kiện dầm-cột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định xấp

Nghiên cứu này trình bày một phần tử dầm-cột có thể mô phỏng tác động bậc

[kT]

Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử theo tọa độ địa phương

xỉ bằng hàm đa thức bậc 5 thỏa các điều kiện tương thích và cân bằng tại hai đầu

[KT]

Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử theo tọa độ tổng thể

mút và ở chính giữa cấu kiện. Từ đó một ma trận độ cứng với các hàm ổn định có

[T]

Ma trận chuyển đổi của cấu kiện khung phẳng

xét đến hiệu ứng cung được thiết lập để giả lập chính xác tác động bậc hai.
Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần
của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo.

5

6

Một chương trình phân tích phi tuyến cho kết cấu khung thép phẳng được phát
triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa trên thuật toán giải phi tuyến theo
phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ nhất và kết
quả phân tích của nó được chứng minh là tin cậy qua các ví dụ số.

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
- Project title:
Nonlinear Analysis Of Planar Steel Frames

4. Kết quả nghiên cứu:
Để kiểm tra độ chính xác và hiệu quả tính toán của chương trình, kết quả phân
tích được so sánh với các kết quả có sẵn trong các tài liệu khác. Thông qua các ví
dụ số, chương trình đề xuất được chứng minh là một công cụ đáng tin cậy và hiệu
quả trong việc tiên đoán khả năng chịu lực của hệ kết cấu.

Using Fifth-Order Polynomial Displacement Function
- Code number: T2015 – 19TĐ
- Coordinator: Tinh-Nghiem Doan-Ngoc
- Implementing institution: HCMC University of Technology and Education
- Duration: from June 2014 to October 2015

5. Sản phẩm:
Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh,
Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường. Phân tích phi tuyến khung thép phẳng
dùng hàm chuyển vị đa thức bậc năm. Hội nghị Khoa học Công nghệ Trường Đại
học Bách khoa Tp.HCM lần thứ 14, 2015.
Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh,
Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường. Phân tích phi tuyến khung thép phẳng
dùng hàm chuyển vị đa thức bậc năm. Tạp chí Xây dựng, Số 10 (2015).
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:
Chương trình máy tính được phát triển có thể được ứng dụng để phân tích nâng
cao kết cấu phục vụ việc nghiên cứu, giảng dạy kết cấu thép nâng cao.
Đưa vào giảng dạy theo dạng chuyên đề tại trường ĐH. Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM.

2. Objective(s):
- Generate a formula of beam-column element using fifth-order polynomial
displacement function in combination with refined plastic hinges at two ends for
geometric and material non-linear analysis of planar steel frames.
- Develop a reliable and efficient program for non-linear analysis of planar steel
frames.
3. Creativeness and innovativeness:
This research presents a beam-column element capable of modeling the secondorder effects and the inelasticity of planar steel frame structures under static loads.
The displacement function of a beam-column member subjected to axial forces and
bending moments at the ends is approximately assumed to be a fifth-order
polynomial function satisfying the compatible and equilibrium conditions at the
mid-length and ends of the member. Then a stiffness matrix with stability functions

Trưởng Đơn vị
(ký, họ và tên)

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ và tên)

considering the bowing effect is formulated in order to simulate the second-order
effects accurately.
The end plasticity factors are used to model the gradual plastification of two end
element sections by plastic-hinge assumption.
A structural nonlinear analysis program of steel frame structures is developed by

ThS. Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm

MATLAB programming language based on the arc-length method combined with

7

8


minimum residual displacement method and its analysis results are proved to be

Chương I. MỞ ĐẦU

reliable through some numerical examples.
4. Research results:

I.1. Tổng quan

It is verified for accuracy and computational efficiency by comparing the
predictions with other results available in the literature. Through a variety of
numerical examples, the proposed program proves to be a reliable and efficient tool
in predicting strength and behavior of steel structures.

Phân tích kết cấu là quá trình xác định ứng xử của hệ kết cấu khi chịu các dạng
tải trọng. Phân tích đàn hồi tuyến tính giả thuyết bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị
đến ứng xử của kết cấu và do đó quan hệ ứng suất – biến dạng là tuyến tính. Phân
tích này thường đơn giản với khối lượng tính toán ít. Dạng phân tích này hiện đang

5. Products:

được áp dụng phổ biến để thiết kế kết cấu với việc kể đến tác động phi tuyến hình

Tinh-Nghiem Doan-Ngoc, Cong-Tin Le-Nguyen, Thuy-Linh Nguyen-Thi, TanHung Nguyen, Cuong Ngo-Huu. Nonlinear Analysis Of Planar Steel Frames
Using Fifth-Order Polynomial Displacement Function. 14th Conference on Science
and Technology, HCMUT Vietnam, (2015).

học và vật liệu một cách gián tiếp thông qua các công thức thiết kế hoặc các hệ số
đơn giản nào đó được đề xuất trong các tiêu chuẩn. Tuy nhiên, dạng phân tích này
chưa phản ánh đúng bản chất chịu lực thật của kết cấu. Ngược lại, trong bài toán
phân tích phi tuyến quan hệ tải trọng – chuyển vị là phi tuyến, do đó cần phải sử

Tinh-Nghiem Doan-Ngoc, Cong-Tin Le-Nguyen, Thuy-Linh Nguyen-Thi, TanHung Nguyen, Cuong Ngo-Huu. Nonlinear Analysis Of Planar Steel Frames
Using Fifth-Order Polynomial Displacement Function. Construction Magazine, 10
(2015).

dụng các thuật toán giải lặp để phân tích (vì kết cấu đã bị biến đổi về hình học và
tính chất vật liệu cũng đã thay đổi).
Do việc phân tích phải trải qua nhiều bước lặp và ma trận độ cứng luôn được
cập nhật sau mỗi bước gia tải nên thời gian và khối lượng tính toán của bài toán

6. Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability:
The proposed program can be applied in advanced analysis for the purpose of

researching and teaching advanced analysis of steel structures.
This research can be discussed as a special subject at HCMC University of

phân tích phi tuyến sẽ lớn hơn nhiều so với bài toán phân tích đàn hồi tuyến tính.
Một phân tích phi tuyến cho khung thép cần kể đến các yếu tố chính sau: phi tuyến
hình học và phi tuyến vật liệu.
Phân tích phi tuyến hình học có kể đến ảnh hưởng do sự biến đổi hình học và

Technology and Education.

sự phân bố ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện, do đó ma trận độ cứng sẽ có thêm
các ẩn số chuyển vị so với ma trận độ cứng thông thường. Nếu trong phân tích
tuyến tính thì lời giải có thể tìm trực tiếp thì trong phân tích phi tuyến hình học lời
giải phải dùng đến phương pháp gia tải từng bước do có sự biến đổi về mặt hình học
của kết cấu sau mỗi bước tải.
Phân tích phi tuyến vật liệu là phân tích có kể đến ứng xử phi đàn hồi của vật
liệu. Có hai phương pháp thường được sử dụng khi phân tích phi tuiyến vật liệu là
phương pháp khớp dẻo và phương pháp vùng dẻo.

9

10

Phương pháp khớp dẻo (plastic hinge) còn gọi là phương pháp dầm-cột là mô

đề xuất hàm đa thức bậc bốn và cho kết quả tốt hơn hàm bậc ba, tuy nhiên kết quả

hình đơn giản, dễ sử dụng và phổ biến nhất. Trong phương pháp khớp dẻo giả thiết

phân tích là không chính xác khi sử dụng một phần tử cho một cấu kiện của kết cấu.

sự chảy dẻo chỉ xảy ra trong một vùng nhỏ ở hai đầu phần tử, phần còn lại được giả

Chan và Zhou (1994) [6] đã phát triển một phần tử dùng đa thức bậc 5 cho hàm

thuyết vẫn còn đàn hồi.

chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu tải đầu mút theo phương pháp cân bằng từng

Phương pháp vùng dẻo (plastic zone), hay còn gọi là phương pháp dẻo phân

điểm rời rạc (Pointwise Equilibrating Polynomial - PEP) cho phân tích phi tuyến

bố (distributed plasticity), là phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên việc chia cấu

khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh. Trong phân tích chỉ cần sử dụng một phần tử

kiện thành nhiều phần tử dọc theo chiều dài và chia mặt cắt ngang tiết diện thành

cho mỗi cấu kiện của kết cấu nhưng kết quả vẫn đạt độ chính xác cao. Phân tích phi

nhiều thớ. Phương pháp này có thể: mô phỏng sự lan truyền dẻo qua mặt cắt ngang

tuyến vật liệu sử dụng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh.

và dọc theo chiều dài cấu kiện. Tuy nhiên khối lượng tính toán và lưu trữ trong

Liew JYR, Chen WF, Chen H (2000) [13] đã phát triển phương pháp khớp dẻo

phương pháp này là khá lớn. Do vậy, phương pháp này thường chỉ được dùng trong

hiệu chỉnh dùng hai mặt chảy dẻo đồng dạng cho phép mô phỏng sự chảy dẻo dần

nghiên cứu để kiểm tra độ tin cậy các phương pháp phân tích khác.

dần của đầu mút phần tử thay vì sự chảy dẻo đột ngột của thường thấy trong phân
tích khớp dẻo đơn giản.

I.2. Tình hình nghiên cứu
Với tính hiệu quả về mặt tính toán, phương pháp dầm-cột đã được nghiên cứu
sâu rộng trong phân tích khung thép chịu tải trọng tĩnh và động. Phương pháp này
dựa vào việc mô phỏng cấu kiện bằng việc chia cấu kiện thành một hay hai phần tử.
Lui EM và Chen WF (1986) [14] phân tích ứng xử của khung thép phẳng dùng
phương pháp khớp dẻo. Ứng xử phi tuyến của liên kết được mô phỏng bằng hàm
mũ và có kể đến sự gia tải và dỡ tải của liên kết.

Kim SE và Choi SH (2001) [11] trình bày một phương pháp phân tích nâng
cao khung thép không gian có xét đến các yếu tố phi tuyến hình học, vật liệu và liên
kết bằng cách dùng hàm ổn định và phương pháp khớp dẻo.
Ngo-Huu C, Kim SE và Oh JR (2008) [15] đề xuất phương pháp khớp dẻo thớ
có chiều dài khớp thớ bằng không để phân tích phi tuyến vật liệu và dùng hàm ổn
định truyền thống để phân tích phi tuyến hình học cho phần tử dầm-cột của khung
thép không gian chịu tải tĩnh.. Sau đó, Tai TH và Kim SE (2011) [23] cũng dùng

Hsieh SH và Deierlein GG (1991) [9] phân tích phi tuyến khung không gian

phương pháp trên để phân tích ứng xử động của hệ khung thép không gian. Tuy

có liên kết nửa cứng. Ứng xử phi tuyến vật liệu được kể đến bởi việc sử dụng

nhiên, ở phương pháp trên, quan hệ lực dọc và chuyển vị bỏ qua ảnh hưởng của góc

phương pháp khớp dẻo có ma trận giảm dẻo dựa trên mặt dẻo ba tham số để mô

xoay hai đầu phần tử.

phỏng sự chảy dẻo của mặt cắt ngang do tác động của lực dọc trục và mômen uốn
theo hai phương.

Ngo-Huu C, Kim SE (2009) [16] đã phát triển một phần tử dầm-cột khớp thớ
phi tuyến cho mô phỏng khung thép không gian chịu tải tĩnh. Tác động phi đàn hồi

Đã có một số nghiên cứu sử dụng hàm dạng bậc ba và hyperbole của Krahula

được mô phỏng dựa vào phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh, cấu kiện được chia

(1967), Krajcinovic (1969), Mei (1970) và Barsoum & Gallagher (1970). Các hàm

thành ba phần tử gồm hai phần tử khớp thớ hai đầu có chiều dài hữu hạn và một

này có thể mô phỏng chính xác hàm dạng của một vài dạng kết cấu đơn giản, tuy

phần tử đàn hồi ở giữa. Hàm ổn định truyền thống có được từ lời giải giải tích của

nhiên các hàm trên không cho kết quả chính xác đối với các bài toán về ổn định và

cấu kiện dầm-cột chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu được sử dụng để mô

do đó việc sử dụng hàm nội suy đa thức bậc cao là vẫn cần thiết. So và Chan (1991)
11

12


phỏng ứng xử bậc hai của phần tử đàn hồi ở giữa. Lực dọc bỏ qua ảnh hưởng của
góc xoay hai đầu phần tử.

I.3. Tính cấp thiết của đề tài
Thông thường, khi hệ kết cấu ứng xử phi tuyến, phương pháp phần tử hữu hạn

Chiorean CG (2009) [8] đã đề xuất một phương pháp dầm cột mới cho phân

(PTHH) được sử dụng để phân tích. Phương pháp này chia nhỏ một cấu kiện thành

tích phi tuyến khung thép không gian có liên kết nửa cứng. Quan hệ lực – biến dạng

nhiều phần tử con, mức độ chính xác phụ thuộc vào số lượng phần tử con được chia.

phi đàn hồi phi tuyến và hàm ổn định được dùng để mô phỏng tác động phi tuyến

Do việc phân tích phải qua nhiều bước lặp và phải cập nhật lại ma trận độ cứng kết

vật liệu và hình học.

cấu sau mỗi bước gia tải nên khối lượng tính toán và dữ liệu lưu trữ của bài toán

Chin-Long Lee và Filip C. Flippou (2009) [7] đề xuất một phần tử dầm-cột sử

phân tích phi tuyến theo phương pháp này sẽ rất lớn. Việc giảm khối lượng tính

dụng phương pháp khớp thớ với chiều dài khớp thớ thay đổi (Spreading Inelastic

toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu là cần thiết và

Zone Element – SIZE) để phân tích ứng xử kết cấu dưới tác dụng của tải lặp.

có tính thực tiễn cao.

Aslam Kassimali và Juan J. Garcilazo (2010) [1] phân tích phi tuyến hình học

Trong phương pháp dầm-cột, yếu tố phi tuyến hình học do sự tương tác giữa

khung thép phẳng đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ. Phương pháp đề xuất

lực dọc và mô-men uốn được tính đến bằng việc cải tiến các hàm ổn định từ lời giải

sử dụng lý thuyết dầm-cột có xét đến hàm ổn định và hàm hiệu ứng cung được trình

của phương trình vi phân cân bằng chịu tải đầu mút. Yếu tố phi tuyến vật liệu được

bày trước đó bởi Oran (1973) [18] và Kassimali (1976) [19] . Trong nghiên cứu này,

được xét đến bằng cách sử dụng mô hình khớp dẻo hiệu chỉnh. Ưu điểm của việc sử

quan hệ lực dọc và góc xoay hai đầu phần tử được kể đến thông qua các hàm hiệu

dụng phương pháp dầm-cột là chỉ cần sử dụng một hoặc hai phần tử con trên một

ứng cung được thiết lập dựa trên các hàm ổn định truyền thống.

cấu kiện là có thể mô phỏng khá chính xác ứng xử phi tuyến của kết cấu, do đó hiệu

R.J. Balling và J.W. Lyon (2010) [21] đề xuất phần tử đồng xoay mới kết hợp

quả tính toán sẽ cao hơn so với phương pháp PTHH truyền thống.

lý thuyết khớp dẻo để áp dụng cho phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho

Tác giả tiếp tục phát triển phương pháp dầm-cột bằng cách: i) đơn giản hóa lời

khung thép. Phần tử đồng xoay được phát triển có ưu điểm là chỉ cần mô phỏng một

giải giải tích của hàm chuyển vị bằng việc xấp xỉ với hàm đa thức bậc 5; ii) thiết lập

phần tử cho một cấu kiện mà vẫn đạt độ chính xác cao, tuy nhiên, phần tử khớp dẻo

ma trận độ cứng phần tử có kể đến ảnh hưởng của góc xoay hai đầu phần tử; iii) sử

được đề xuất vẫn là khớp dẻo cứng và sự chảy dẻo dần dần của khớp dẻo vẫn chưa

dụng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh để phản ánh chính xác hơn ứng xử phi

được kể đến.

tuyến hình học và phi tuyến vật liệu của kết cấu khung thép phẳng khi chịu tải.

Thanh-Nam Le, Jean-Marc Battini và Mohammed Hjiaj (2011) [24] đề xuất
phần tử dầm đồng xoay trong phân tích động khung thép phẳng đàn hồi. Nghiên cứu
sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 3 cho phần tử dầm nên quan hệ giữa mômen và góc xoay chưa xét đến ảnh hưởng của lực dọc.

I.4. Mục tiêu của đề tài
• Phát triển trận độ cứng mới cho phần tử dầm-cột dựa trên việc xấp xỉ hàm
chuyển vị bằng hàm đa thức bậc 5 kết hợp với các khớp dẻo hiệu chỉnh ở
hai đầu phần tử để phân tích ứng xử phi tuyến hình học và phi tuyến vật

C.K. Iu and M.A. Bradford (2012) [10] đề xuất phần tử dầm-cột bậc 4 trong
phân tích phi tuyến hình học cho khung thép đàn hồi. Ma trận độ cứng phần tử dầmcột được xây dựng từ hàm năng lượng.

liệu cho khung thép phẳng.
• Phát triển một chương trình phân tích tin cậy và hiệu quả cho phân tích ứng
xử phi tuyến của khung thép phẳng.

13

14

I.5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Chương II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Đối tượng nghiên cứu:
Chương này trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử có xem xét tác

• Khung thép phi đàn hồi chịu tải trọng tĩnh.

động phi tuyến hình học theo lý thuyết dầm-cột. Hiệu ứng cung được kể đến để xem

Phạm vi nghiên cứu:

xét sự thay đổi chiều dài phần tử do sự uốn cong của phần tử khi chịu lực. Các hệ số

chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của tiết diện hai

• Khung thép phẳng có liên kết cứng.

đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo. Hàm chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu lực
I.6. Cách tiếp cận – Phương pháp nghiên cứu

dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định xấp xỉ bằng hàm đa thức bậc năm

Cách tiếp cận:

thỏa các điều kiện tương thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện

• Cơ sở lý thuyết của phương pháp dầm-cột và phương pháp khớp dẻo.

(theo Chan và Zhou [6]). Ưu điểm của việc sử dụng hàm này là sự đơn giản trong
việc thiết lập công thức mà vẫn đảm bảo độ chính xác như hàm ổn định lượng giác

• Các kết quả của các phương pháp và hướng phân tích có trước.

truyền thống. Đây là những đóng góp chính của đề tài này.

Phương pháp nghiên cứu:
II.1. Giả thiết

• Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với lập chương trình tính toán.

Những giả thiết sau đây được sử dụng trong việc thành lập phần tử dầm-cột

• So sánh, đánh giá, phân tích các kết quả.

đồng xoay:

I.7. Nội dung nghiên cứu

(1) Phần tử ban đầu thẳng và có dạng lăng trụ.
(2) Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục

• Nghiên cứu tổng quan tình hình nghiên cứu liên quan đến đề tài.
• Xây dựng ma trận độ cứng mới mô phỏng ứng xử bậc hai của phần tử dựa
vào phương pháp dầm-cột dựa trên việc xấp xỉ hàm chuyển vị bằng hàm đa
thức bậc 5, kết hợp với các mô hình khớp dẻo hiệu chỉnh để mô phỏng sự
chảy dẻo dần dần của khớp dẻo.

phần tử.
(3) Bỏ qua biến dạng ngoài mặt phẳng và biến dạng cắt.
(4) Bỏ qua ảnh hưởng của hệ số Poisson.
(5) Sự mất ổn định cục bộ của cấu kiện và sự mất ổn định tổng thể của dầm
không xảy ra.

• Xây dựng lưu đồ thuật toán phân tích phi tuyến cho hệ kết cấu.

(6) Biến dạng của phần tử là nhỏ, nhưng chuyển vị của hệ kết cấu có thể lớn.

• Xây dựng chương trình phân tích bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để tự

(7) Các đặc trưng mặt cắt ngang (kể cả mô-đun đàn hồi) được giả thiết là
không đổi dọc theo chiều dài phần tử.

động hóa quá trình phân tích.

• So sánh kết quả phân tích với các nghiên cứu trước đó để chứng minh độ

(8) Mô hình khớp dẻo sử dụng các đường cường độ dẻo đã được đề xuất bởi
Orbison, LRFD và Balling (sẽ được trình bày ở phần sau) tùy theo các ví

tin cậy và tính hiệu quả của phương pháp đề xuất.

dụ phân tích.

15

16


II.2. Các hàm ổn định khi xấp xỉ chuyển vị bằng đa thức bậc 5

Bảng 1. Lời giải giải tích của hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm ổn định s1 , s 2

II.2.1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị và hàm ổn định

Trường hợp F ≤ 0

Xét phần tử dầm-cột điển hình chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu như
trong Hình II-1.
M1

θ1

δ

∆(x)

a=

F
L

Hình II-1. Phần tử dầm-cột điển hình

 d4∆ ( x ) 
 d2∆ ( x ) 
EI 
 + F
=0
4
2
dx


 dx 

( F ≤ 0)

(1)

 d4∆ ( x ) 
 d2∆ ( x ) 
EI 
 − F
=0

4
2
dx


 dx 

( F > 0)

(2)

Áp dụng các điều kiện biên, ta được quan hệ giữa mô-men và góc xoay:

s 2  θ1 
 
s1  θ2 

λ sin λ − λ 2 cos λ
2 − 2cos λ − λ sin λ
λ 2 − λ sin λ
s2 =
2 − 2cos λ − λ sin λ

(1 − cosh λ + λ sinh λ ) θ1 + ( cosh λ − 1) θ2
L
λ ( 2 − 2cosh λ + λ sinh λ )
( sinh λ − λ cosh λ ) θ1 + ( λ − sinh λ ) θ2
b=
L
λ ( 2 − 2cosh λ + λ sinh λ )

(1 − cosh λ )( θ1 + θ2 )
c=
( 2 − 2 cosh λ + λ sinh λ )
( sinh λ − λ cosh λ ) θ1 + ( λ − sinh λ ) θ2
d=−
L
λ ( 2 − 2cosh λ + λ sinh λ )
a=

λ 2 cosh λ − λ sinh λ
2 − 2cosh λ + λ sinh λ
λ sinh λ − λ 2
s2 =
2 − 2cosh λ + λ sinh λ

s1 =

Phương trình vi phân bậc 4 của phần tử dầm-cột được viết như sau:

 M1  EI  s1
 = 
 M 2  L s 2

 λx 
 λx 
∆ ( x ) = a sinh 
 + b cosh 
 + cx + d
 L 
 L 

(1 − cos λ − λ sin λ ) θ1 + ( cos λ − 1) θ2
L
λ ( 2 − 2cos λ − λ sin λ )
( sin λ − λ cos λ ) θ1 + ( λ − sin λ ) θ2
b=
L
λ ( 2 − 2cos λ − λ sin λ )
(1 − cos λ )( θ1 + θ2 )
c=
( 2 − 2cos λ − λ sin λ )
( sin λ − λ cos λ ) θ1 + ( λ − sin λ ) θ2
d=−
L
λ ( 2 − 2cos λ − λ sin λ )

M2

θ2

x

Trường hợp F > 0

 λx 
 λx 
∆ ( x ) = a sin 
 + b cos 
 + cx + d
 L 

 L 

s1 =

(Với λ = L

F
cho cả hai trường hợp F ≤ 0 và F > 0)
EI

II.2.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5

(3)

Trong đó, s1 , s 2 được gọi là các hàm ổn định. Kết quả lời giải giải tích của

Việc thực hiện các phép biển đổi toán học trong quá trình thiết lập công thức
bằng việc sử dụng nghiệm giải tích chính xác của hàm chuyển vị ∆ ( x ) có các hàm
ổn định s1 , s 2 như trình bày ở trên rất phức tạp. Để đơn giản hóa việc biến đổi toán

hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm ổn định s1 , s 2 được trình bày như trong Bảng 1.

học mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết, hàm chuyển vị ∆ ( x ) được tác giả xấp
xỉ thành các đa thức bậc 5 và từ đó biểu thức các hàm ổn định cũng sẽ có dạng đơn
giản và dễ xử lý hơn. Bên cạnh đó, hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 5 phản ánh tốt
hơn ứng xử phi tuyến hình học của phần tử dầm-cột so với việc sử dụng hàm dạng
Hermit bậc 3 thông thường của phần tử dầm vì có xét đến tác động của lực dọc.

17

18

Hàm chuyển vị ∆ ( x ) được xấp xỉ như sau:

Bảng 2. Lời giải của hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm ổn định s1 , s 2 đề xuất

∆ ( x ) = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1x + a 0

(4)
Trường hợp F ≤ 0

Các hệ số a i ( i = 0 ~ 5 ) được xác định từ việc cho hàm chuyển vị giả thiết ở
trên thỏa các điều kiện tương thích và điều kiện cân bằng. Các phương trình được
trình bày như sau:

∆ ( x ) x =0 = 0

(5)

∆ ( x )x =L = 0

(6)

 d∆ ( x ) 

 = θ1
 dx  x =0

(7)

 d∆ ( x ) 

 = θ2
 dx  x = L

(8)

 d2∆ ( x ) 

( M1 + M 2 ) x − M 
EI 
 =  F∆ ( x ) +
1
2
L
x= L
 dx  x = L 

(9)

Trường hợp F > 0

∆ ( x ) = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0
a0 = 0

a0 = 0

a1 = θ1
a2 = −
a3 =

s1 =
s2 =

)

(

)

2

− 512q + 7680 θ1 + q − 64q + 3840 θ2
L ( q − 48 )( q − 80 )

(13q

2

)

(

)

2

− 832q + 3840 θ1 + 5q − 192q + 3840 θ2
L2 ( q − 48 )( q − 80 )

a4 = −
a5 =

a1 = θ1

( 6q

2

4q ( 3q − 160 ) θ1 + ( 2q − 80 ) θ2 
L3 ( q − 48 )( q − 80 )

4q ( θ1 + θ2 )
L4 ( q − 80 )

(

(80 − q )( 48 − q )

(

(80 − q )( 48 − q )

a3 =

)

)

s1 =

s2 =

( 6q

2

)

(

)

+ 512q + 7680 θ1 + q 2 + 64q + 3840 θ2
L ( q + 48 )( q + 80 )

(13q

2

)

(

2

)

+ 832q + 3840 θ1 + 5q + 192q + 3840 θ2
L2 ( q + 48 )( q + 80 )

a4 = −
a5 =

4 3q 2 − 256q + 3840
2 q 2 − 64q + 3840

a2 = −

4q ( 3q + 160 ) θ1 + ( 2q + 80 ) θ2 
L3 ( q + 48 )( q + 80 )

4q ( θ1 + θ2 )
L4 ( q + 80 )

(

4 3q 2 + 256q + 3840

)

( 80 + q )( 48 + q )

(

2 q 2 + 64q + 3840

)

(80 + q )( 48 + q )

2

2

  d∆ ( x )  ( M1 + M 2 ) 
 d 3∆ ( x ) 
EI 

 = F 
+
3
L
 dx  x = L   dx 
 x= L
2

(10)

2

Trong đó, các giá trị M1 , M 2 ở các phương trình (9), (10) được thay bằng quan
hệ sau:

 d2∆ ( x ) 
M1 = −EI 

2
 dx  x =0

(11)

 d2∆ ( x ) 
M 2 = EI 

2
 dx  x =L

(12)

Từ các phương trình (5) đến (10) ta xác định được các hệ số a i ( i = 0 ~ 5 ) , từ
đây ta xác định được hàm chuyển vị ∆ ( x ) và các hàm ổn định s1 , s 2 theo q = λ 2
như trong Bảng 2.

Hình II-2. So sánh các hàm ổn định
19

20


Kết quả các hàm ổn định đề xuất và hàm ổn định truyền thống theo lời giải

toàn đàn hồi, bằng 0 nếu tiết diện đã chảy dẻo hoàn toàn và có giá trị nằm giữa 0 và

giải tích được trình bày như trong Hình II-2 cho thấy hàm ổn định đề xuất có độ

1 nếu tiết diện đang chảy dẻo. Theo Liew và cộng sự [13], quan hệ mô-men và góc

chính xác khá cao. Với các hàm ổn định đề xuất, ta dễ dàng xác định được các đạo

xoay được viết lại như sau:

hàm của các hàm ổn định s1′ , s′2 trong các công thức tính toán nội lực nút phần tử ở

 M1  EI  s1p
 = 
 M 2  L s 2p

phần sau.

(20)

Trong đó, các giá trị s1p , s 2p , s3p được xác định theo các hàm ổn đinh s1 , s 2 và

II.3. Quan hệ nội lực và góc xoay hai đầu phần tử
Theo Hình II-1, lực dọc F có xét đến biến dạng của phần tử được xác định như
sau:

 EA
EA  L dδ
1 L  d∆ 
EA L  d∆ 
δ+
F=
dx + ∫ 

 dx  =

 dx
L  ∫0 dx
2 0  dx 

2L ∫0  dx 
 L
2

2

(13)

các hệ số e1 , e 2 :



s2
s1p = e1 s1 − 2 (1 − e 2 )  s 2p = e1e 2s 2
s1





s2
s3p = e 2 s1 − 2 (1 − e1 ) 
s1



(21)

Từ (15), (18), (19) lực dọc được hiệu chỉnh lại như sau:

δ 1
1

′ θ12 + s′2 p θ1θ2 + s′3p θ22  
F = EA  ±  s1p
2

L  2

Hay

(22)

2

L

EA
EA  d∆ 
F=
δ+

 dx
L
2L ∫0  dx 

(14)

2
2

δ
F = EA  + b1 ( θ1 + θ2 ) + b 2 ( θ1 − θ2 ) 
L


(15)

Trong đó, b1 , b 2 là các hàm hiệu ứng cung (bowing functions) được xác định

8q

( s + s )( s − 2 )
b1 = − 1 2 2
8q

(23)

s′2 p = e1e 2s′2

(24)



2s s s′ − s s′
s′3p = e 2 s1′ − 1 2 22
(1 − e1 ) 
s1



s2
b2 =
8 ( s1 + s 2 )

( F ≤ 0)

(16)

s2
8 ( s1 + s 2 )

( F > 0)

(17)

b2 =



2s s s′ − s 2s′
′ = e1 s1′ − 1 2 22 2 1 (1 − e 2 ) 
s1p
s1



2
2 1

theo các hàm ổn định s1 , s 2 và q = λ 2 như sau:

( s + s )( s − 2 )
= 1 2 2

(Biểu thức lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “– ” khi F ≤ 0)
Với

Theo Oran [18], lực dọc được viết lại như sau:

b1

s 2p  θ1 
 
s3p  θ2 

(25)

II.4. Thành lập ma trận độ cứng phần tử dầm-cột
Sơ đồ lực và chuyển vị đầu mút của phần tử dầm-cột được trình bày như trong
Hình II-3. Ta có quan hệ giữa các thông số hình học và các chuyển vị đầu mút phần

Sử dụng MAPLE, tác giả chứng minh được các quan hệ sau:

tử như sau:

s1′ = −2 ( b1 + b 2 )

s′2 = −2 ( b1 − b 2 )

( F ≤ 0)

(18)

δ = ( u 4 − u1 )

(26)

s1′ = 2 ( b1 + b 2 )

s′2 = 2 ( b1 − b 2 )

( F > 0)

(19)

(u − u2 )
θ1 = u 3 − 5
L

(27)

Gọi e1,2 tương ứng là hệ số chảy dẻo mô tả mức độ chảy dẻo ở hai đầu mút
phần tử ( 0 ≤ e1 , e 2 ≤ 1) ; trong đó, e1,2 có giá trị bằng 1 nếu tiết diện vẫn còn hoàn

θ2 = u 6 −

(u5 − u2 )

(28)

L

21

22

[ K ] = [T]
T

2

2

5

5

 k T  =  k G  +  k θ 

z 3 u3

δ

θ1

 A
 I






EI 
kG  =
  L 







sym.

F

θ2
(M1 + M2)

(M1 + M2)
L

L

L

Hình II-3. Lực và chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột
Nội lực nút phần tử trong tọa độ địa phương và trong hệ tọa độ tổng thể:



( M1 + M 2 )



L

{ z} =  − F

M1

F −

( M1 + M 2 )
L


M2 


(29)
(30)

Trong đó, [T] là ma trận chuyển của phần tử dầm-cột khung phẳng.

0
0
0
 cosα sin α 0
 − sin α cosα 0

0
0
0 

 0
0
1
0
0
0
[T] = 

0
0 cosα sin α 0 
 0
 0
0
0 − sin α cosα 0 


0
0
0
0
1
 0

(31)

(s

1p

0

+ 2s 2p + s3p

) (s

+ s 2p

1p

L2

L
s1p

−

)

A
I
0




















(35)





T2 ( T1 + T2 ) 


LT1T2


T2




−T2 ( T1 + T2 )


2
LT2


(36)

0
−

(s

0

+ 2s 2p + s3p

1p

) (s

2p

L2

0

−

(s

1p

+ s 2p

)

0

(s

1p

)

s 2p

L

A
I

+ s3p
L

0

+ 2s 2p + s3p

)

−

L2

(s

2p

+ s3p

L
s3p

)


( T + T2 )
− 1
 0
L

2

( T1 + T2 )

L



 k θ  = EA 
 







sym.

−T1
T1 ( T1 + T2 )
LT12

( T1 + T2 )

0

( T1 + T2 )
L
T1
0

−T2

L
−

( T1 + T2 )

2

L
−T1 ( T1 + T2 )
−

( T1 + T2 )
L

( T1 + T2 )
L

2

Với

Ma trận độ cứng phần tử trong tọa độ địa phương được thành lập bằng cách
lấy đạo hàm nội lực nút phần tử theo các chuyển vị:

 ∂z   ∂z 
↔ k (i, j) = k ( j,i ) =  i  =  j 
 ∂u 
 j   ∂u i 

0

T

{Z} = T T  { z}

∂ { z}
 k T  =
∂ {u}

(34)

Trong đó

M2

F

(33)

tiếp tuyến phần tử trong tọa độ địa phương:

z 4 u4

M1

 k T  [ T ]

Khai triển (32) bằng phần mềm MAPLE, ta xác định được ma trận độ cứng

z 6 u6

z 1 u1

T

( i, j = 1 ~ 6 )

(32)

′ θ1 + s′2p θ2 )
T1 = − ( s1p

T2 = − ( s′2p θ1 + s′3p θ2 )

( F ≤ 0)

(37)

′ θ1 + s′2p θ2 )
T1 = ( s1p

T2 = ( s′2p θ1 + s′3p θ2 )

( F > 0)

(38)

Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đề xuất ở trên có xét đến ảnh hưởng bậc hai
và tác động phi tuyến vật liệu thông qua các hàm ổn định s1p , s 2p , s3p đã được hiệu

Ma trận độ cứng phần tử trong tọa độ tổng thể được xác định theo quan hệ:

chỉnh theo các hệ số chảy dẻo và các góc xoay ở hai đầu phần tử.
23

24


S

K

L

0

0

2

1

5

4