Khóa luận tốt nghiệp vật lý mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ






KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài

GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA
SVTH: NGUYỄN ĐỨC THANH TUYỀN
NIÊN KHÓA: 2008 - 2009

Thành phố Hồ Chí Minh
Tháng 4 - 2009


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn này, em đã nhận được sự giúp đỡ và động viên
nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
- Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ
Nhiệm khoa Vật Lý đã tạo điều kiện cho em được học tập và giờ đây được hoàn thành
khóa học này.

- Tất cả quý thầy cô giáo, những người đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý
báu trong suốt 4 năm học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn.
- TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã hết lòng
hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực
hiện và hoàn tất luận văn.
- TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho
em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài.
- Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) đã nhiệt tình giúp đỡ và
đóng góp ý kiến cho đề tài.
Do đề tài được thực hiện trong thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức của
bản thân còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong
nhận được sự góp ý, phê bình, xây dựng của quý thầy cô và các bạn.
Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố
Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc
sức khỏe và thành công!

SVTH: Nguyễn Đức Thanh


Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

MỞ ĐẦU
1. Tình hình chung về nghiên cứu đề tài

Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựng
cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi động
trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư
Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho một
loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán
lý thuyết trường. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro,
Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác. Nhóm nghiên cứu của TSKH. Lê
Văn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp
của anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bài
toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương
pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với
cường độ bất kì ” (2008). Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướng
dẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệu
ứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt…
2. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt
trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển
động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự
nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các
phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng
đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực
tương ứng.
Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng
tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một

SVTH: Nguyễn Đức Thanh


Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống
kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và
hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không
gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…
Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chính
xác khi điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn lắm
5V
( Ee 10
), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp
cm
nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải.
Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượng
của dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vào
các toán tử aˆ và aˆ liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy).
Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở
ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán
tử sinh hủy. Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểu
diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng
thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các
giao hoán tử của các toán tử sinh hủy.
Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụng
thêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điện
trường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình

mà các phương pháp trước chưa giải quyết được.
Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã
chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:
Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải
tính tích phân của các hàm đặc biệt.
Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh


Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền
thay đổi tham số trường ngoài.
Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ học
lượng tử. Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn về
mặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầu
tìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường
theo phương pháp này.
3. Tóm tắt đề tài luận văn a.
Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới
với mục tiêu cụ thể là:
Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm…

Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger.
Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tử
hydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánh
với lời giải chính xác đã có. Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minh
họa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển
mạnh mẽ của phương pháp.
Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo
phương pháp toán tử.
b. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy. Các
toán tử aˆ và aˆ tác động lên các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử aˆ giảm số phônôn 1
đơn vị hay toán tử hủy phônôn. Toán tử aˆ tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh
phônôn. Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử nˆ aˆ aˆ gọi là toán tử trung hòa. Toán tử nˆ
tác dụng lên hàm qui về việc nhân hàm này với n. Nói một cách khác, toán tử số

SVTH: Nguyễn Đức Thanh


Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

phônôn nˆ trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó bằng số phônôn
có trong trạng thái đã cho.
c. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương:
Chương 1: Đại cương về bài toán nguyên tử hydro.
Trình bày các kết quả thu được của bài toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu là
xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Giới thiệu về bài toán nguyên tử
hydro dưới tác dụng của điện trường. Chương này sẽ đóng vai trò cơ sở cho việc so sánh
kết quả của các chương tiếp theo và kiểm tra độ tin cậy của phương pháp toán tử.
Chương 2: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro.
Trong chương này sẽ bày cơ sở của phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược về
phương pháp. Giải lại bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức là biểu
diễn Hamiltonian của nguyên tử hydro theo các toán tử, xác định mức năng lượng cơ bản
của nguyên tử hydro có tính đến bổ chính bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn. Chương 2
tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ chính xác của phương pháp toán tử dựa trên kết
quả đã có theo cách tính toán cổ điển trong chương 1.
Chương 3: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện
trường.
Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này sẽ xác định lại
mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi có tác dụng của điện trường. Khi cường
độ điện trường nhỏ, có thể coi tương tác giữa điện trường và nguyên tử hydro là nhiễu
loạn, bổ sung thêm phần nhiễu loạn này vào trong Hamiltonian của nguyên tử hydro và
tìm lại các kết quả của chương 2 với Hamiltonian mới trong điện trường. So sánh kết quả
tính toán được theo phương pháp toán tử với kết quả tính toán cổ điển.
Vẽ được đồ thị so sánh kết quả tính toán của hai phương pháp.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh


Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường

theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Để đơn giản trong việc tính toán nên các công thức trong luận văn sẽ được viết
trong hệ đơn vị không thứ nguyên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử với
m e

1.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh


Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO
Trong chương này sẽ trình bày lại các kết quả tính toán được của bài toán
nguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển để làm cơ sở cho việc so sánh kết
quả của các tính toán sau này (mức năng lượng cơ bản). Ngoài ra, còn trình
bày về sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi được
đặt trong điện trường và nguyên nhân gây ra sự thay đổi đó.

1.1 Bài toán hạt trong trường xuyên tâm
Chuyển động của electron trong trường lực Coulomb của hạt nhân nguyên tử là
một bài toán quan trọng trong cơ học lượng tử. Chúng ta chủ yếu nghiên cứu chuyển
động của hạt trong trường xuyên tâm của hạt nhân.
Thế năng của một hạt có khối lượng m 0 chuyển động trong một trường lực đối
xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ hạt đến tâm lực:
U Ur

(1.1.1)

Do đó Hamlitonian của hạt có dạng:
2

ˆ
H

2 m0

2

Ur
(1.1.2)

Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác của electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc
vào khoảng cách r1 r2 giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán
chuyển động của hai hạt với định luật tương tác U r1 r2 rút về bài toán chuyển động
của một hạt có khối lượng rút gọn trong trường lực U r . Trong trường hợp nguyên tử
hydro, ta có:

m .m

e

p

memp

SVTH: Nguyễn Đức Thanh


Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

Vì m p

me nên

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

me . Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydrro sẽ

được coi như gồm hạt e chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng
yên. Một trường như vậy là trường hợp riêng đối xứng xuyên tâm, trong đó thế năng
chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm lực. Chúng ta khảo sát chuyển động của e
trong trường lực đối xứng xuyên tâm dưới dạng tổng quát nhất, sau đó chuyển sang
trường hợp trường Coulomb.
Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương
trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạ ng:

2 me

(1.1.3)

E U r0

2

Thay toán tử Laplace trong tọa độ cầu vào (1.1.3), ta được:
1

1

r

2

,

r

r2

2
m

r

e

E U r0

(1.1.4)

2

r2

Trong tọa độ cầu r, , các toán tử hình chiếu và bình phương momen xung lượng có
dang:

ˆ

l

l

ˆ

i cos

y

(1.1.6)

cot g cos

i sin

x

ˆ

l

(1.1.5)

i

z

cot g sin

ˆ2

2
,

L

2

(1.1.7)
(1.1.8)

Dựa vào (1.1.8) ta có:
ˆ2

1

L

r2

r2

r

r

2 2

r

2
m

e

2

E U r0

(1.1.9)


SVTH: Nguyễn Đức Thanh
Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chúng ta biết rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài
định luật bảo toàn năng lượng, còn có hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo
toàn momen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn hình chiếu của momen lên
trục z định hướng tùy ý trong không gian.
Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này.
Một cách tương ứng, ta viết nghiệm của phương trình (1.1.9) dưới dạng:
nlm

(1.1.10)

r , ,Rn r Yl m ,

Ta nhớ lại rằng, năng lượng hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các
trị riêng của các toán tử ˆ2 và ˆ được đặc trưng bằng các số lượng tử quỹ đạo l và số
l
L
z
lượng tử từ m. Thay (1.1.10) vào (1.1.9) và chú ý rằng:
2

ˆ2
L Ylm

l l 1 Ylm

Ta đi tới phương trình sau cho phần xuyên tâm Rnl r của hàm sóng
1d
r

2

2

dR

r

dr

2

2 me
2

E Ur

dr

nlm

r, ,

:

ll 1

2 me

r

2

Rr 0

(1.1.11)

1.2 Chuyển động trong trường Coulomb. Năng lượng của nguyên tử hydro
Chuyển động của một hạt electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử
là một ví dụ quan trọng nhất của chuyển động trong trường xuyên tâm. Có thể coi
nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, gồm hạt nhân và một
eletron, hoặc iôn của một nguyên tử bất kì trong đó chỉ còn một electron, hoặc cũng có
thể là nguyên tử hydro mêzô gồm có một prôtôn và mêzôn tích điện âm.
Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze ( Z: số
prôtôn trong hạt nhân, e là điện tích nguyên tố) có dạng:
U

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Z e2
r

(1.2.1)


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường

theo phương pháp toán tử

Với Z = 1, biểu thức (1.2.1) là thế năng (hệ đơn

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

vị Gau ) của electron trong

nguyên tử hydro, với Z > 1, biểu thức đó là thế năng của electron trong iôn đồng dạng
hydro. Dễ dàng thấy rằng hàm (1.2.1) thỏa mãn các điều kiện :
lim r 2 U r
r

0

(1.2.2)

0

limU r

0

(1.2.3)

r

Trong phương trình Schrodinger (1.1.9) cho U r
2

2

1

ˆ2

L

r

2

2 r
r
r
m
Thay (1.2.4) vào (1.1.11), ta được:
2

r

d2R
dr

2 2r

dR

Z e2
E

2

(1.2.4)

2E

2m
r

2 m e r2

dr

0 , ta có:

r

R l l 1R 0

(1.2.5)

( me : khối lượng electron). Để đơn giản cách viết các hệ số, chúng ta dùng các đơn vị
nguyên tử cho các đại lượng vật lý. Trong các đơn vị nguyên tử, người ta đặt
m e 1, e 1,

1

Trong phương trình (1.2.5) , ta thực hiện phép tính thay thế sau:
r r

2

o

m e e2
m e4

(1.2.6)

e

E Eo .

2

Từ (1.2.6) ta có :
r

r2

SVTH: Nguyễn Đức Thanh

r
2

r2

2

2
2

(1.2.7)


Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường

Trong đó n là một số nguyên, xác định bởi hệ
n nr l 1
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Thực hiện các phép biến đổi như trong [2- trang 241] ta có công thức truy toán cho
các hệ số ak
2

a

k l 1

Z

(1.2.8)

k l 2 k l 1 l l 1 ak

k 1

Với các giá trị k lớn, có thể bỏ qua Z ở tử số và l l 1

ở mẫu số trong công thức

(1.2.8). Khi đó hệ thức truy toán có dạng:

a

2 ak

k 1

(1.2.9)

k l 2
Từ hệ thức truy toán trên, kết hợp với các phép tính toán và ngắt chuỗi, ta thu được
các giá trị năng lượng để các hàm thỏa mãn các điều kiện chuẩn:
n

Z2
2n2

(1.2.10)


(1.2.11)

và được gọi là số lượng tử chính. Số nr được gọi là số lượng tử xuyên tâm. Vì nr không
thể âm, nên điều kiện sau phải được thực hiện:
n l 1
Từ đó suy ra rằng, với n đã cho số lượng tử quỹ đạo l

có thể có giá trị khả dĩ cực

đại bằng n 1 nghĩa là:
l n 1

(1.2.12)

Công thức (1.2.10) xác định năng lượng trong hệ đơn vị nguyên tử. Để biểu diễn
năng lượng trong hệ CGS, ta cần nhân
E0

với:

n

m e e4
2

SVTH: Nguyễn Đức Thanh
Tuyền

(1.2.13)


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường

= 1), ta có năng lượng của trạng thái cơ bản xác
theo phương pháp toán tử

và thu được:

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

m e4Z2

E

(1.2.14)

e

n

2 2 n2

hoặc viết trong hệ SI:
En m e Z 2 e4 . 1
2 2

2

n

(1.2.15)

2

32 o
trong hệ đơn vị SI này, thế năng của electron trong trường hạt nhân nguyên tử có dạng:
Ze2

U

4

Eo

1
2

or

1 9.109

trong đó:
4

Nm2
C2

o

Xét đối với nguyên tử hydro (Z
định thế năng iôn hóa nguyên tử hydro:
Trong hệ đơn vị CGS, dựa vào biểu thức (1.2.14) ta có:

m e4
Eo

2

e

2

13, 6eV

Trong hệ đơn vị nguyên tử, dựa vào biểu thức (1.2.10) ta có:

0, 5


N
h
ậ
n
x
é
t
v


ề

các trị

riêng
(1.2.16)

(1.2.17)

(1.2.18)

(1.2.19)

Công thức (1.2.14) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử
hydro. Theo (1.2.14) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số
nguyên. Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở
vô cực.
1. Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng m e Z 2 e4 và kết thúc ứng với năng lượng không.
22

SVTH: Nguyễn Đức Thanh
Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2. Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2, l
…, n-1. Như vậy có tất cả n giá trị của và l xác định độ lớn của momen xung
lượng.
L ll 1

3. Ba số nguyên
nlm

n, l, m duy nhất xác định một

gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.

r , ,Rnl r Ylm ,

Ứng với

hàm riêng

một giá trị đã

cho của l thì m

có thể nhận

các giá trị

m l , l 1,..., 1, 0, 1, ..., l 1, l . Tất cả có 2 l 1 giá trị của m. Lượng tử số m xác định
độ lớn hình chiếu momen xung lượng trên trục z:
Lz

m

Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau nlm , ta
nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng
giá trị năng lượng En là:

n1

2l 1 n2

(1.2.20)

l 0

Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2n2