Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 Học kì I (Lê Văn Đoàn)

TRUNG TM HONG GIA

C

NG TON

Học kì 1 Năm học 2016 2017

Biên soạn & Giảng dạy:
Ths. Lê Văn Đoàn




(sin x cos x )2 2 sin2 x
2


sin x sin 3x
2

2 4
1 cot x

4


1
x

2

x

3
x

u 2
2

un 1 2un 3, n


2

C 6C 6C 9x 14x

S

A'


C'

A'

E'

H

D'

B'

B'

C'
M
A

E

D

A

C

F
G

E
B

B

C

I


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

PHẦN i. Giải tích
Chương 1 : HÀM SỐ LƯNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
§ 0. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trò lượng giác
sinx

π

II

Cung phần t
I

π

O

-

π

cosx

IV

III

I

II

III

IV

sin 

+

+

–

–

cos 

+

–

–

+

tan 

+

–

+

–

cot 

+

–

+

–

Giá trị LG

π

Nhất c – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos

-

2. Công thức lượng giác cơ bản
tan . cot   1

sin2   cos2   1

1  tan2  

1
cos2 

1  cot2  

1
sin2 

3. Cung góc liên kết
Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(a )  cos a

sin(  a )  sin a

sin(a )   sin a

cos(  a )   cos a

tan(a )   tan a

tan(  a )   tan a

cot(a )   cot a

cot(  a )   cot a

Cung hơn kém 

sin(  a )   sin a
cos(  a )   cos a

Cung phụ nhau



sin   a   cos a
2



cos   a   sin a
 2



tan   a   cot a
 2




cot   a   tan a
2


Cung hơn kém


2



sin   a   cos a
2



cos   a    sin a
2


Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 1 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM

Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–



tan   a    cot a
2



cot   a    tan a
 2


tan(  a )  tan a
cot(  a )  cot a

4. Công thức cộng cung
sin(a  b )  sin a  cos b  cos a  sin b.
tan(a  b) 

cos(a  b)  cos a  cos b  sin a  sin b.

tan a  tan b

1  tan a  tan b

Hệ qu

tan(a  b) 

tan a  tan b

1  tan a  tan b


 1  tan x

 1  tan x
và tan   x  
tan   x  

 4
4
 1  tan x
 1  tan x

5. Công thức nhân đôi và hạ bậc
Nhân đẫi

H b c

sin 2  2 sin   cos 

sin2  

1  cos 2

2

 cos2   sin2 
cos 2  
2
2
2 cos   1  1  2 sin 

cos2  

1  cos 2
2

tan 2 

2 tan 
1  tan2 

tan2  

1  cos 2
1  cos 2

cot2 

cot2   1
2 cot 

cot2  

1  cos 2
1  cos 2

Nhân ba

 sin 3  3 sin   4 sin 3 

 cos 3  4 cos 3   3 cos 


tan 3 

3 tan   tan3 
1  3 tan2 

6. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a  cos b  2 cos
sin a  sin b  2 sin

a b
a b
 cos
2
2

cos a  cos b  2 sin

a b
a b
 cos

2
2

sin a  sin b  2 cos

a b
a b
 sin
2
2

a b
a b
 sin
2
2

tan a  tan b 

sin(a  b)
cos a  cos b

tan a  tan b 

sin(a  b)
cos a  cos b

cot a  cotb 

sin(a  b)

sin a  sin b

cot a  cotb 

sin(b  a )
sin a  sin b

Đặc biệt

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 2 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
 
 
sinx  cos x  2 sinx    2 cosx  
4

 4 

Mẫn: Tốn, Năm học:

–






sin x  cos x  2 sinx     2 cos x  
4 
4 



7. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a  cos b 

1 
 cos(a  b )  cos(a  b)
2 
sin a  cos b 

B ng l




sin a  sin b 

1 
 cos(a  b)  cos(a  b)
2 

1 
 sin(a  b)  sin(a  b)

2

ng giác của một số góc đặc biệt














sin 
cos 



tan 
cot 

kxđ
kxđ

Một điểm M thuộc đ ờng tròn l



















kxđ

kxđ

ng giác sẽ có tọa độ M cosα, sinα

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 3 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

§ 1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC
. Tính chất của hàm số
a. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Hàm số y  f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x  D thì x  D
và f (x )  f (x ). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Hàm số y  f (x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x  D thì x  D và
f (x )  f (x ). Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
b. Hàm số đ n điệu: Cho hàm số y  f (x ) xác định trên tập (a;b)  .

 y  f (x ) gọi là đồng biến trên (a;b) nếu x 1, x 2  (a;b) có x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ).
 y  f (x ) gọi là nghịch biến trên (a;b) nếu x 1, x 2  (a;b) có x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ).
c. Hàm số tuần hồn:

 Hàm số y  f (x ) xác định trên tập hợp D, đ ợc gọi là hàm số tuần hồn nếu có số
T  0 sao cho với mọi x  D ta có (x  T )  D và (x  T )  D và f (x  T )  f (x ) .
 Nếu có số d ơng T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm
tuần hồn f .
. Hàm số y  sin x .

 Hàm số y  sin x có tập xác định là D    y  sin  f (x ) xác định  f (x ) xác định.
 Tập giá trị T  1;1 , nghĩa là 1  sin x  1 

 0  sin x  1
 0  sin2 x  1



 Hàm số y  f (x )  sin x là hàm số lẻ vì f (x )  sin(x )   sin x  f (x ). Nên đồ thị
hàm số y  sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
 Hàm số y  sin x tuần hồn với chu kì To  2, nghĩa là sin(x  k 2)  sin x . Hàm số
y  sin(ax  b) tuần hồn với chu kì To 

2

a

 


 Hàm số y  sin x đồng biến trên mỗi khoảng   k 2;
 k 2  và nghịch biến
2
 2



3
trên mỗi khoảng   k 2;
 k 2 , với k  .
 2
2





 Hàm số y  sin x nhận các giá trị đặc biệt





 k 2
2
sin x  0  x  k 
, (k  ).

sin x  1  x    k 2
2
sin x  1  x 

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 4 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

y

 Đồ thị hàm số

–

y  sin x





3
2




2




2

O



3
2

x

5
2

–

Hình dạng đồ thị hàm số y  sin x
. Hàm số y  cos x .

 Hàm số y  cos x có tập xác định D    y  cos  f (x ) xác định  f (x ) xác định.
 Tập giá trị T  1;1 , nghĩa là 1  cos x  1 

 0  cos x  1
 0  cos2 x  1



 Hàm số y  f (x )  cos x là hàm số chẵn vì f (x )  cos(x )  cos x  f (x ), nên đồ thị
của hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
 Hàm số y  cos x tuần hồn với chu kì To  2, nghĩa là cos(x  k 2)  cos x . Hàm số
y  cos(ax  b ) tuần hồn với chu kì To 

2

a

 Hàm số y  cos x đồng biến trên mỗi khoảng (  k 2; k 2) và nghịch biến trên mỗi
khoảng (k 2;   k 2).

 Hàm số y  cos x nhận các giá trị đặc biệt



3
2






2

O

cos x  1  x  k 2



cos x  0  x 


 k  , (k  ).
2
cos x  1  x    k 2



y

 Đồ thị hàm số



y  cos x 

2



3
2



5
2

x

–

. Hàm số y  tan x .

Hình dạng thị hàm số y  cos x
 



 Hàm số y  tan x có tập xác định D   \   k , k  , nghĩa là x   k  
 2

2

hàm số y  tan  f (x ) xác định  f (x )   k ; (k  ).
2

 Tập giá trị T  .
 Hàm số y  f (x )  tan x là hàm số lẻ vì f (x )  tan(x )   tan x  f (x ) nên đồ thị
của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 5 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

 Hàm số y  tan x tuần hồn với chu kì To    y  tan(ax  b ) tuần hồn với chu
kì To 



a

 Giá trị đặc biệt



tan x  0  x  k 



tan x  1  x 


, (k  ).
 k
4

tan x  1  x    k 
4



y

 Đồ thị hàm số y  tan x



3
2






2

y  tan x

O


2

3
2



2

5
2

x

. Hàm số y  cot x .

 Hàm số y  cot x có tập xác định là D   \ k , k  , nghĩa là x  k ; (k  ) 
hàm số y  cot  f (x ) xác định  f (x )  k ; (k  ).

 Tập giá trị T  .
 Hàm số y  f (x )  cot x là hàm số lẻ vì f (x )  cot(x )   cot x  f (x ) nên đồ thị
của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
 Hàm số y  cot x tuần hồn với chu kì To    y  cot(ax  b ) tuần hồn với chu
kì To 



a


 Giá trị đặc biệt





 k
2

cot x  1  x   k 
, (k  ).
4

cot x  1  x    k 
4

cot x  0  x 

y

 Đồ thị hàm số y  cot x

y  cot x

2



3
2






2

O


2



3

2

2

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

x

Page - 6 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

Dạng toán 1: Tìm tập xác đònh của hàm số lượng giác
 Ph

ng pháp gi i. Để tìm tập xác định của hàm số l ợng giác ta cần nhớ

 y  tan f (x ) 

sin f (x )

ĐKXĐ


 cos f (x )  0  f (x )   k , (k  ).
cos f (x )
2

 y  cot f (x ) 

cos f (x ) ĐKXĐ
 sin f (x )  0  f (x )  k , (k  ).
sin f (x )

 Một số tr ờng hợp tìm tập xác định th ờng gặp
 y

 y

1
ĐKXĐ

 P (x )  0.
P (x )

1
2n

P (x )

ĐKXĐ
 y  2n P (x ) 
 P (x )  0.

ĐKXĐ

 P (x )  0.

A  0
 L u ý rằng 1  sin f (x ); cos f (x )  1 và A.B  0  

B  0

 Với k  , ta cần nhớ những tr ờng hợp đặc biệt


 k 2
2
 sin x  0  x  k 


 sin x  1  x    k 2
2

 cos x  1  x  k 2

 sin x  1  x 




Ví d


 k

4

 tan x  1  x    k 
4
 tan x  1  x 

. Tìm tập xác định của hàm số y  f (x ) 


 k
2

 cot x  1  x   k 

4

 cot x  1  x    k 
4
 cot x  0  x 

 tan x  0  x  k 



 k 
2
 cos x  1  x    k 2

 cos x  0  x 



sin 3x
2  cos x


2
1  cos x
tan x  1

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 7 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d

Mẫn: Tốn, Năm học:

. Tìm tập xác định của hàm số y  f (x ) 

–

 2  x 2

cos x

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
BÀI T P V N D NG
BT .

BT .

Tìm tập xác định của các hàm số l ợng giác sau

4

x

b

y  cos 2x .

y

1  cos x

sin x

d


2 
y  tan 5x   
3 


e

y

2 tan 2x  5

sin 2x  1

f

y

g

y

tan 2x

sin x  1

h

y

cos x  4

sin x  1

i

y

j

y

2  sin x

cos x  1

k

y

l

y

1  sin x

1  cos x

a

y  cos

c

cos x  2

1  sin x
cot 2x
1  cos2 x



m y

x

sin x

n

y

o

x2  1

x cos x

p

y

y

tan 2x

1  cos2 x

cos 2x
 tan x .
1  sin x
tan 2x
sin x  1



Tìm tập xác định của các hàm số l ợng giác sau
a

c

y

y

2  x 2

sin 2x


tan 2x  
4 




1  sin x  

8 



b

y  2  4x 2  tan 2x .

d




tan x  

4 
y




1  cos x  

3 

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 8 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

e



1  tan   x 
4


y

cos x  2

3

cos x  cos 3x

g

y

i

y  2  sin x 

k



1  cos x
y  cot x   

6 
1  cos x


1

tan x  1

Mẫn: Tốn, Năm học:

3  sin 4x

cos x  1

f

y

h



y  cot 2x   . tan 2x .
3 


j

2

l

–

4

sin x  cos2 x



1  cot   x 
 3

y


 
2
tan 3x  

4 
y

2

Dạng toán 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số lượng giác
 Ph

ng pháp gi i.

 Dựa vào tập giá trị của hàm số l ợng giác, chẳng hạn
  1  sin x  1 

0  sin x  1
0  sin2 x  1

hoặc 1  cos x  1 

0  cos x  1
0  cos2 x  1



 ”iến đổi về dạng m  y  M .

 Kết luận max y  M và min y  m.
Ví d

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x ) 

4
5  2 cos2 x sin2 x



Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x )  3 sin 2 x  5 cos 2 x  4 cos 2x  2.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 9 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

  
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (x )  sin6 x  cos 6 x  2, x   ;  
 2 2



Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI T P V N D NG
BT .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số l ợng giác sau
a

BT .

b

y  1  cos 4x .

c

y  3 sin 2x  4.

d

y  4  5 sin2 2x cos2 2x .

e

y  3  2 sin 4x .

f

y  4  2 sin5 2x  8.

g

y

4

1  3 cos2 x

h

y

i

y

j

y

l

y

k

BT .

y  5 3  cos 2x  4.
2

2



4  2 sin2 3x
4
y




2  cos x    3

6 

4
5  2 cos2 x sin2 x
3
3  1  cos x
2





3 sin 2x  cos 2x



Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số l ợng giác sau
a

y   sin2 x  cos x  2.

b

y  sin4 x  2 cos2 x  1.

c

y  cos2 x  2 sin x  2.

d

y  sin 4 x  cos4 x  4.

e

y  2  cos 2x  sin2 x .

f

y  sin6 x  cos6 x .

g

y  sin 2x  3 cos 2x  4.

h

y  cos2 x  2 cos 2x .

i

y  2 sin2 x  cos 2x .

j

y  2 sin 2x (sin 2x  4 cos 2x ).

k

y  3 sin2 x  5 cos2 x  4 cos 2x .

l

y  4 sin2 x  5 sin 2x  3.

m y  (2 sin x  cos x )(3 sin x  cos x ).

n

y  sin x  cos x  2 sin x cos x  1.

o

y  1  (sin 2x  cos 2x )3 .

p

y  5 sin x  12 cos x  10 

q



y  2 sin x  2 sin   x   1.
 4


r



2 
y  2 cos 2x  cos 2x    3.

3 


Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số l ợng giác sau

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 10 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

a
c
f

 
y  sin 2x , x  0;  
 2



  

y  sin 2x  , x   ;  
 4 4

4 




y  2 sin2 x  cos 2x , x   0;  
 3



Mẫn: Tốn, Năm học:

b
d
g

–


 2 

y  cos x  , x   ; 0 
 3 
3 



 
y  sin4 x  cos4 x , x   0;  
 6






3  
y  cot x   , x   ;   
 4
4 
4 



Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

 Ph

ng pháp gi i.

 B ớc . Tìm tập xác định D của hàm số l ợng giác.
Nếu x  D thì x  D  D là tập đối xứng và chuyển sang b ớc .
 B ớc . Tính f (x ), nghĩa là sẽ thay x bằng x , sẽ có kết quả th ờng gặp sau
 Nếu f (x )  f (x )  f (x ) là hàm số chẵn.
 Nếu f (x )  f (x )  f (x ) là hàm số lẻ.
L
 Nếu khơng là tập đối xứng (x  D  x  D ) hoặc f (x ) khơng bằng f (x ) hoặc
f (x ) ta sẽ kết luận hàm số khơng chẵn, khơng lẻ.
 Ta th ờng sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng tốn này, cụ thể
cos(a )  cos a, sin(a )   sin a, tan(a )   tan a, cot(a )   cot a.
Ví d . Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a

b

f (x )  sin2 2x  cos 3x .

f (x )  cos x 2  16.

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

.................................................................................

..................................................................

BT .

BÀI T P V N D NG
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a y  f (x )  tan x  cot x .
b y  f (x )  tan 7 2x . sin 5x .


9 

 
c y  f (x )  sin 2x 
d y  f (x )  2 cos3 3x   


2 
2 
e

y  f (x)  sin3(3x  5)  cot(2x  7).

f

y  f (x )  cot(4x  5) tan(2x  3).

g

y  f (x )  sin 9  x 2 .

h

y  f (x )  sin2 2x  cos 3x .

C ố
gắ ng h ế
t sư
ùc ơ ûgiâ
y ph út nà
y sẽ
đ ặ t bạ n và
ovò trí
tuyệ
t vơ ø
i nh ấ
t ơ ûnh ư
õ
ng k h oả
ng k h ắ c sau.

O. Winfrey
Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 11 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC


I. Phương trình lượng giác cơ bản
Với k  , ta có các ph ơng trình l ợng giác cơ bản sau

a  b  k 2

 sin a  sin b  

a    b  k 2
 tan a  tan b  a  b  k.

a  b  k 2
 cos a  cos b  

a  b  k 2

 cot a  cot b  a  b  k.

Nếu đề bài cho dạng độ (o ) thì ta sẽ chuyển k 2  k 360, k   k 180, với   180o.
Những tr ờng hợp đặc biệt


 k 2
2
 sin x  0  x  k 


 sin x  1  x    k 2
2

 cos x  1  x  k 2

 sin x  1  x 



 k 
2
 cos x  1  x    k 2



 cos x  0  x 


 k

2

 cot x  1  x   k 

4

 cot x  1  x    k 
4
 cot x  0  x 

 tan x  0  x  k 



 k

4

 tan x  1  x    k 
4
 tan x  1  x 



Ví d . Giải các ph ơng trình
a

1
sin 2x   
2

b



cos x    1.

3 

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

c

d

tan(2x  30o )  3.



cot x    1.
3 


........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

BÀI T P V N D NG
BT .

Giải các ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định
a
c

2

3


sin 2x    1.
6 

sin x  sin

b
d


 1
sin 2x    

6  2




cos 2x    cos 

3 
4

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 12 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
e
g
i
k
m

1
cos x   
2

f

h

2 sin(x  300 )  3  0.


2 cos 2x    2  0.

4 

j

(1  2 cos x )(3  cos x )  0.
2 sin 2x  2 cos x  0.

o sin 2x .cos 2x 

Mẫn: Tốn, Năm học:

1
 0.
4

–



cos x    1.
6 

cot(4x  35o )  1.



2 cos x    3  0.

6 

l

tan(x  300 ). cos(2x  1500 )  0.

n

sin x  3 sin

p

sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x 

x
 0.
2
1

16

II. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác
1. Sử dụng thành thạo cung liên kết
Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(a )  cos a

sin(  a )  sin a

sin(a )   sin a

cos(  a )   cos a

tan(a )   tan a

tan(  a )   tan a

cot(a )   cot a

cot(  a )   cot a

Cung h n kém 

Cung ph nhau


sin   a   cos a
2




cos   a   sin a
2




tan   a   cot a
2



cot   a   tan a
2

Cung h n kém


2



sin   a   cos a
 2



cos   a    sin a
2


sin(  a )   sin a
cos(  a )   cos a



tan   a    cot a
2



cot   a    tan a
 2


tan(  a )  tan a
cot(  a )  cot a
Tính chu kỳ

sin(x  k 2)  sin x

cos(x  k 2)  cos x

sin x  (  k 2)   sin x

cos x  (  k 2)   cos x

tan(x  k )  tan x

cot(x  k )  cot x

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 13 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d
a

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

. Giải ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định



sin 2x  cos x   

3 

b





tan 2x    cot x   

3 

3 


........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

Ví d
a

. Giải ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định



sin 3x  cos   x   0.
 3


b

tan x . tan 3x  1  0.

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

........................................................................................

........................................................................

BÀI T P V N D NG
BT .

Giải các ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định
a



sin 2x  cos   x  
 6


b



2 
9 
sin 3x    cos x   


3 
4 

c



cos 2x    sin x .
4 


d


2 
cos 2x  sin x   
3 


e



cos 4x    sin 2x  0.
5 


f



2 
9 
sin 3x    cos x   
3 
4 



g



3 

cot 2x    tan x   

4 
6 


h



tan 3x    cot x .
5 


 Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot và ngược lại, ta sẽ làm như thế nào ?
.....................................................................................................................................................

 Hãy viết các cơng thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ nhau ?
.....................................................................................................................................................
BT .

Giải các ph ơng trình l ợng giác sau giả sử điều kiện đ ợc xác định

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 14 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
a
c
e
g
i
k

cos(3x  450 )   cos x .




sin x     sin 2x   

4 
6 



tan 3x     tan x .
3 




cos 3x    cos x  0.

3 


sin 2x    cos x  0.
4 



tan 3x    tan 2x  0.

4 

Mẫn: Tốn, Năm học:

b
d
f
h




cos 2x     cos x 
3 





sin 2x    sin x  0.

3 

–

 

4 





cot x    cot   x   0.
4 

2



2 
7 
sin 3x    sin x    0.

3 
5 


j





cos 4x    sin x    0.
3 
4 



l

tan 2x . tan 3x  1.

 Muốn bỏ dấu "  " trước sin, cos, tan, cotan ta sẽ làm như thế nào ?
.....................................................................................................................................................

 Hãy viết cơng thức cung góc liên kết dạng cung đối nhau ?
.....................................................................................................................................................
BT

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a
c
e
f
h

sin 4x  2 cos2 x  1  0.

sin 5x  2 cos2 x  1.


cos   x   sin 2x  0.
2


x
 cos 5x  1.
2
 4



 x   cos   x   3.
sin 
 9

 18


2 sin2

b
d
f
g
i

2 cos 5x . cos 3x  sin x  cos 8x .

cos 2x cos x  cos x  sin 2x sin x .
1  tan x
cot2x 

1  tan x


 4


sin 3x    sin   3x   3.
5 

5


 5


cos 3x    sin   3x   2.
3 

6


2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

a b
a b
 cos


2
2

 cos a  cos b  2 sin

a b
a b
 cos

2
2

 sin a  sin b  2 cos

 cos a  cos b  2 cos
 sin a  sin b  2 sin

a b
a b
 sin

2
2

a b
a b
 sin

2

2

Khi áp dụng tổng thành tích đối với hai hàm sin và cosin thì đ ợc hai cung mới là
a  b a b
;
 Do đó khi sử dụng nên nhẩm tổng và hiệu hai cung mới này tr ớc để
2
2
nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung cùng cung với hạng tử còn lại
hoặc cụm ghép khác trong ph ơng trình cần giải.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 15 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

. Giải ph ơng trình sin 5x  sin 3x  sin x  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình cos 3x  cos 2x  cos x  1  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI T P V N D NG
BT

BT

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

sin x  sin 2x  sin 3x  0.

b

cos x  cos 3x  cos 5x  0.

c

1  sin x  cos 2x  sin 3x  0.

d

cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  0.

e

sin 3x  cos 2x  sin x  0.

f

sin x  4 cos x  sin 3x  0.

g

cos 3x  2 sin 2x  cos x  0.

h

cos x  cos 2x  sin 3x .

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

sin 5x  sin x  2 sin2 x  1.

b

sin x  sin2x  sin 3x  1  cos x  cos2x.

c

cos 3x  2 sin 2x  cos x  sin x  1.

d

4 sin 3x  sin 5x  2 sin x cos 2x  0.

e

sin 5x  sin 3x  2 cos x  1  sin 4x .

f

cos2x  sin 3x  cos 5x  sin10x  cos 8x .

g

1  sin x  cos 3x  cos x  sin 2x  cos 2x .

h

sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x .

3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos
 sin2  

1  cos 2

2

 tan2  

1  cos 2


1  cos 2

 cos2  

1  cos 2

2

 cot2  

 L u ý đối với cẫng thức h b c của sin và cosin:
― Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số

1  cos 2

1  cos 2

1
và cung góc tăng gấp đơi.
2

― M c đích của việc h b c hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong muốn và nhóm
hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng cơng thức tổng thành tích sau khi hạ bậc sẽ
xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài tốn đơn giản hơn.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 16 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d

. Giải ph ơng trình sin2 2x  cos2 8x 

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

1
cos10x .
2

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x 

3

2

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI T P V N D NG
BT

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

sin2 x 

c

cos2 x 

e

1

2

2 3

4

 7


2 
sin2 3x    sin2   x  
3 

4


g

sin2 2x  sin2 x  1.

i

sin2 x  sin2 2x  sin2 3x 

k

3

2
sin2 x  sin2 2x  sin2 3x  2.

2

8
. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
m sin 3 x cos x  sin x cos3 x 

BT

a

b


 3
cos2 2x    

4  4

d

4 sin2 x  1  0.

f


 1
cos4 x  sin 4 x    
4  4


h

sin2 2x  cos2 3x  1.

j

cos2 x  cos2 2x  cos2 3x 

l

3

2
sin2 x  sin2 3x  cos2 2x  cos2 4x .

n

sin 3 x cos x  sin x cos3 x  

 
sin2 4x  cos2 6x  sin10x, x  0;   b
 2 

2

4

  5x 
9x
cos3x  sin7x  2sin2     2cos2 
 4 2 
2

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 17 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
c

Mẫn: Tốn, Năm học:

2 sin2 2x  sin 7x  1  sin x .

 7
cos2 x  cos2 2x  cos2   3x   
3
 4

d

g

sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x.

h

tan2 x  sin2 2x  4 cos2 x .

i

cos2 3x .cos 2x  cos2 x  0.

j

4 sin2

e

f

–

cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  cos2 4x  2.


 
sin2 4x  cos2 6x  sin 10x, x  0;  
2

 2 

x
3 
 3 cos2x  1  2cos2 x   

2
4 

4. Xác đònh nhân tử chung để đưa về phương trình tích số
Đa số đề thi, kiểm tra th ờng là những ph ơng trình đ a về tích số. Do đó, tr ớc khi giải
ta phải quan sát xem chúng có những l ợng nhân tử chung nào, sau đó định h ớng để
tách, ghép, nhóm phù hợp. Một số l ợng nhân tử th ờng gặp

— Các biểu thức có nhân tử chung với cos x  sin x th ờng gặp là
 1  sin 2x  sin2 x  2 sin x cos x  cos2 x  (sin x  cos x )2 .
 cos 2x  cos2 x  sin2 x  (cos x  sin x )(cos x  sin x ).
 cos4x  sin4 x  (cos2 x  sin2 x )(cos2 x  sin2 x )  (cos x  sin x )(cos x  sin x ).
 cos3x  sin 3 x  (cos x  sin x )(1  sin x cos x ).

 1  tan x  1 

sin x
cos x  sin x


cos x
cos x

cos x
sin x  cos x


sin x
sin x




1
 cos x    sin x   
(sin x  cos x ).
4 

4 


2
 1  cot x  1 





1
 sin x     cos x   
(sin x  cos x )............


4
4


2

— Nhìn d ới góc độ hằng đẳng thức số 3, dạng a 2  b 2  (a  b )(a  b), chẳng hạn
sin2 x  12  cos2 x  (1  cos x )(1  cos x )
 sin x  cos x  1   2

2
2
cos x  1  sin x  (1  sin x )(1  sin x )
2

2

 cos3 x  cos x . cos2 x  cos x .(12  sin2 x )  cos x (1  sin x )(1  sin x ).
 sin 3 x  sin x .sin 2 x  sin x .(12  cos 2 x )  sin x (1  cos x )(1  cos x ).
 3  4 cos2 x  3  4(1  sin2 x )  (2 sin x )2  12  (2 sin x  1)(2 sin x  1).
 sin 2x  (1  sin 2x )  1  (sin x  cos x )2  12  (sin x  cos x  1)(sin x  cos x  1).

 2(cos4x  sin 4 x )  1  3 cos2 x  sin2 x  ( 3 cos x  sin x )( 3 sin x  cos x ).........
— Phân tích tam thức bậc hai dạng f (X )  aX 2  bX  c  a.(X  X1 )  (X  X 2 ) với X
có thể là sin x , cos x ,.... … và X1, X 2 là nghiệm của f (X )  0.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 18 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
Ví d

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

. Giải ph ơng trình 2 cos x  3 sin x  sin 2x  3.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình cos 2x  (1  sin x )(sin x  cos x )  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình (sin x  cos x  1)(2 sin x  cos x )  sin 2x  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình (2 sin x  3)(sin x cos x  3)  1  4 cos2 x .

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI T P V N D NG

BT

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

sin 2x  3 sin x  0.

b

(sin x  cos x )2  1  cos x .

c

sin x  cos x  cos 2x .

d

cos 2x  (1  2 cos x )(sin x  cos x )  0.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 19 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

BT

BT

–

e

(tan x  1)sin2 x  cos 2x  0.

f

sin x .(1  cos 2x )  sin 2x  1  cos x .

g



sin 2x  cos x  2 sin x    1.

4 

h


 1  cos 2x
2 cos   x  
 1  cot x .
 4
sin x


i



1  tan x  2 2 sin x   

4 

j



cos x  cos 3x  1  2 sin 2x   

4 

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

2 sin2 x  3 sin x cos x  cos2 x  1. b

c

4 sin2 x  3 3 sin 2x  2 cos 2 x  4.

d

(cos x  1)(cos2x  2cos x )  2 sin2 x  0.

e

(2cosx 1)(sin2x 2sinx 2)  4cos2 x 1. f

(2sinx 1)(2cos2x 2sinx 3)  4sin2 x 1.

g

(2sin x  1)(2sin2x  1)  4 cos2 x  3.

h

(2sinx 1)(2cos2x 2sinx 1)  3 4cos2 x.

i

sin2x (sinx cosx 1)(2sinx cosx 2). j

4sin2x sin x  2sin2x  2sin x  4  4cos2 x.

2(cos4 x  sin 4 x )  1  3 cos x  sin x .

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

BT

Mẫn: Tốn, Năm học:

sin x  4 cos x  2  sin 2x .

b

sin 2x  3  2 cos x  3 sin x .

c

2(sin x  2 cos x )  2  sin 2x .

d

sin 2x  sin x  2  4 cos x .

e

sin 2x  2 cos x  sin x  1  0.

f

sin 2x  2 sin x  2 cos x  2  0.

g

sin 2x  1  6 sin x  cos 2x .

h

sin 2x  cos 2x  2 sin x  1.

i

sin 2x  2 sin x  1  cos 2x .

j

sin x (1  cos 2x )  sin 2x  1  cos x .

l

sin 2x  sin x  2 cos 2x  1.

m (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin2x  sin x.

n

tan x  cot x  2(sin 2x  cos 2x ).

o

(1  sin2 x)cosx (1  cos2 x)sinx 1 sin2x.

p

sin 2x  2 sin2 x  sin x  cos x .

q

cos 3x  cos x  2 3 cos 2x sin x .

r

cos 3x  cos x  2 sin x cos 2x .

s

2 sin2 x  sin 2x  sin x  cos x  1.

t

cos x  tan x  1  tan x sin x .

u

tan x  sin 2x  2 cot2x .

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

cos x  2sin x.(1  cos x )2  2  2sin x.

b

2(cos x  sin 2x )  1  4 sin x (1  cos2x ).

c


x
1  sin x cos x  2 sin x  cos 2  
2 



d



sin 2x  cos x  2 sin x    1.
4 


e





2
sin   2x   sin   x  

2
4

4


f





2

cos   x   sin 2x   

4 
2
4



g

sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x .

h

sin 3 x  cos3 x  2(sin5 x  cos5 x ).

i

2 sin 3 x  cos 2x  cos x  0.

j

5
sin8 x  cos8 x  2(sin10 x  cos10 x)  cos2x.
4

l

sin 2x  cos 2x  2 sin x  0.

m tan 2x  cot x  8 cos2 x .

n 3sin3x  2  sin x(3  8cos x)  3cos x.

o

2 sin x (2 cos 2x  1  sin x )  cos 2x  2.

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 20 -


TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11
Mẫn: Tốn, Năm học:

–

III. Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác
Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đ a ph ơng trình về cùng một hàm l ợng giác
cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot với cung góc giống nhau, chẳng hạn
Dạng

Đặt ẩn phụ

Điều kiện

a sin2 X  b sin X  c  0

t  sin X

1  t  1

a cos2 X  b cos X  c  0

t  cos X

1  t  1

a tan2 X  b tan X  c  0

t  tan X

a cot2 X  b cot X  c  0

t  cot X

X


 k
2

X  k

Nếu đặt t  sin2 X , cos2 X hoặc t  sin X , cos X thì điều kiện là 0  t  1 .
Ví d

. Giải ph ơng trình 4 cos2 x  4 sin x  1  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình cos 2x  3 cos x  2  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình 3 cos 2x  7 sin x  2  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình 4 sin 4 x  5 cos2 x  4  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 21 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

....................................................................................................................................................................
Ví d

. Giải ph ơng trình cos 4x  12 sin2 x  1  0.

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Ví d

1
2
5
. Giải ph ơng trình  tan2 x 
  0.
2

cos x 2

Gi i ..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

BÀI T P V N D NG
BT

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

2 sin2 x  sin x  1  0.

b

4 sin2 x  12 sin x  7  0.

c

2 2 sin2 x  (2  2)sin x  1  0.

d

2 sin 3 x  sin2 x  2 sin x  1  0.

e

2 cos2 x  3 cos x  1  0.

f

2 cos2 x  3 cos x  2  0.

g

2 cos2 x  ( 2  2) cos x  2.

g

4 cos2 x  2( 3  2)cos x  6.

i

tan2 x  2 3 tan x  3  0.

j

2 tan2 x  2 3 tan x  3  0.

k

tan2 x  (1  3) tan x  3  0.

l

3 cot2 x  2 3 cot x  1  0.

m
BT

BT

3 cot2 x  (1  3)cot x  1  0.

n

3 cot2 x  (1  3)cot x  1  0.

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

6 cos2 x  5 sin x  2  0.

b

2 cos2 x  5 sin x  4  0.

c

3  4 cos2 x  sin x (2 sin x  1).

d

 sin2 x  3 cos x  3  0.

e

2 sin2 x  3 cos x  3  0.

f

2 cos2 2x  5 sin 2x  1  0.

g

3 sin2 x  2 cos4 x  2  0.

h

4 sin 4 x  12 cos2 x  7.

i

4 cos 4 x  4 sin2 x  1.

j

4 sin 4 x  5 cos2 x  4  0.

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

2 cos 2x  8 cos x  5  0.

b

1  cos 2x  2 cos x .

c

9 sin x  cos 2x  8.

d

2  cos 2x  5 sin x  0.

e

3 sin x  cos 2x  2.

f

2 cos 2x  8 sin x  5  0.

g

2 cos2 2x  5 sin 2x  1  0.

g

5 cos x  2 sin

x
 7  0.
2

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 22 -

ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600
h
BT

BT

cos 2x  cos2 x  sin x  2  0.

a

3 cos2 x  2 cos 2x  3 sin x  1.

b cos 4x  12 sin2 x  1  0.

c

cos 4x  2 cos2 x  1  0.

d

16 sin2

e

cos 2x  2 cos x  2 sin2

f

cos 2x  3 cos x  4 cos2

g

1  cos 4x  2 sin2 x  0.

h

8 cos2 x  cos 4x  1.

i

6 sin2 3x  cos12x  4.

j

5(1  cos x )  2  sin 4 x  cos 4 x .

k

cos4 x  sin 4 x  cos 4x  0.

l

4(sin4 x  cos4 x )  cos 4x  sin 2x  0.

b





cos2   x   4 cos   x   4.
3

6


x

2

x
 cos 2x  15.
2
x

2

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a



2 

cos 2x    3 cos x    1  0.

3 
3 



c

4 cos2 (6x  2)  16 cos2 (1  3x )  13. d


 5


5 cos 2x    4 sin   x   9.

3 
 6


e


 7
5
sin2x    3cosx    1  2sin x. f
2 
2 



cos2x  3 sin 2x  3 sin x  4  cos x .

g

3 sin2x  3 sin x  cos2x  cos x  2. h


1 
1 
  7. j
4sin2 x  2   4 sin x 
sin x 
sin x 





4   2
2cos2 x  2   9
 cos x   1.
cos x  cos x


cos2 x 



1
cos x  1  



2
2

cos x 
cos2 x

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a
c
e
g

BT

k

–

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

i
BT

sin2 x  cos 2x  cos x  2.

Mẫn: Tốn, Năm học:

3

 3  2 tan2 x .
2
cos x
3
2

sin x

b

1
 3 cot2 x  5.
2
cos x

 3 cot x  3.

d

9  13 cos x 

3

cos x

f

1
2
5

 tan2 x 
  0.
2
cos x 2

g

2 sin2 x  tan2 x  2.

2 tan2 x  3 

3 sin x  cos x 

1

cos x

4
 0.
1  tan2 x

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau
a

8 sin x cos x  cos 4x  3  0.

b

2 sin2 8x  6 sin 4x cos 4x  5.

c

cos x
 1  sin x .
1  sin x

d

1  cos x (2 cos x  1)  2. sin x
 1.
1  cos x

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 23 -


ĐỀ CƯƠNG HỌC TẬP LỚP 11

TT. HỒNG GIA, Số 14, Thống Nhất, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp.HCM
Số 56, Phố Chợ, P. Tân Thành, Q. Tân Phú, Tp. HCM – 0988.985.600

BT

Mẫn: Tốn, Năm học:

–

f

2 sin2 x  3 2 sin x  sin 2x  1
 1.
(sin x  cos x )2

g

3
4  2sin2x

 2 3  2(cot x  1).
2
sin2x
cos x

3 cos 4x  2 cos2 x  3  8 cos6 x .

k

3 cos x  2  3(1  cos x ).cot2 x .

l

sin 3x  cos 2x  1  2 sin x cos 2x .

m 2 cos 5x . cos 3x  sin x  cos 8x .

n

4(sin6 x  cos6 x )  4 sin 2x .

o

sin 4x  2  cos 3x  4 sin x  cos x .

b

3tan2x 

e

3 sin 2x  2 sin x
 2.
sin 2x cos x

g

2 cos 2x  8 cos x  7 

h

1

cos x

. Giải các ph ơng trình l ợng giác sau

cos2 x  cos3 x  1

cos2 x

3
2tanx 2

 4cos2 x  2.
cos2x 1  tan x

a

cos2x  tan2 x 

c

(2 tan2 x  1)cos x  2  cos 2x .

d

2cos2 x  3 cos x  2cos 3x  4 sin x sin2x.

e

4 sin x  3  2(1  sin x ) tan 2 x .

f

2sin3 x  3  (3sin2 x  2sin x  3)tan x .

g




5 sin   x   3(1  cos x )cot2 x  2.
2


g

3 sin2 x  2 sin x  3
 3  2 sin 3 x .
cot x

h

5sin x 

cos 3x  sin 3x
 3  cos2x.
1  2sin2x

k



3
1  tanx tan x 
tan
2
3
sin

x



x

2
cos2 x

2. Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)
D ng tổng qt a sin x  b cos x  c





() , a, b   \ 0 

Điều kiện có nghiệm của ph ơng trình a 2  b 2  c 2 , kiểm tra tr ớc khi giải
Ph

ng pháp gi i



Chia

vế

a 2  b 2  0, thì () 



Giả sử cos  

a
2

a b

2

, sin  

a
a 2  b2
b
2

2

sin x 



b
a 2  b2

cos x 

c
a 2  b2

()



,   0;2  thì



a b
c
c
()  sin x cos   cos x sin  
 sin(x  ) 
: dạng cơ bản.
a 2  b2
a 2  b2
sin a  cos b  cos a  sin b  sin(a  b)

L u ý. Hai cơng thức sử dụng nhiều nhất là 

cos a  cos b  sin a  sin b  cos(a  b)

Các d ng có cách gi i t ng tự


 2
2

 a  b cos nx

 a.sin mx  b.cos mx  
, (a 2  b2  0)
PP
2
2


 Chia : a 2  b2 .
 a  b sin nx


 a.sin mx  b.cos mx  c.sin nx  d.cos nx, (a 2  b 2  c2  d 2 )

Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607 – 0929.031.789

Page - 24 -