Bài 2 biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (484.1 KB, 9 trang )
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
0989552911
Biến Đổi Đơn Giản Biểu Thức Chứa Căn Thức
Bậc Hai
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Ví dụ:
= 3
với a,b ≥ 0
với a < 0
với a < 0, b ≥ 0
với x > 2y >0
4
2
3
+
+
+
2
3
+
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Ví dụ: 2
3
2a.
với a ≥0
=
>
3x.
với x,y ≥0
3. Bài tập luyện tập:
Bài 2: So sánh các căn thức bậc hai:
a) 3
và
có 3
b)
=
>
c) 4
và 5
>
≥ 4
<
và
d)
nên 3
và
với
Hướng dẫn
=
=
Mà
=
=
>
Vậy
e)
+
nên
>
>
>
+
1
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
0989552911
>
+
>
2017(
) > 2016.(
2017 > 2016 ( luôn đúng)
)
+
>
+
Bài 3: Thực hiện phép tính.
1. 2
–
2.
2
+
= 0
3.
+
+
4. (
+
).
2.
5.
2
6.
2
+
+ 3
+
3
(6
(
2
+ 2
2
):
2).
3
5
7.
8.
9.
Tính giá trị biểu thức: A =
10.
Tính
:
2
5 2 8 5
2 5 4
Hướng dẫn
11. Rút gọn biểu thức: A =
4. Trực căn thức ở mẫu:
a) Với A,B ≥ 0, B ≠ 0 ta có:
Ví dụ:
=
=
b) Với A ≥ 0, A ≠ B2 ta có:
2
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
0989552911
c) Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B ta có:
Ví dụ:
với x ≥ 0 và x ≠ 1
với a > b > 0
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
b)
1
1
=
3 7 3 7
a)
4
1
6
3 1
32
3 3
c)
+
d) (
+
+
+
).(
)
+
=1
+
Hướng dẫn
e)
+
–
f)
g)
+
.
+
.
.
.
Bài 2: Cho x, y là các số dương. Chứng minh rằng:
x + y – 2(
) + 2 ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi nào ?
+
Hướng dẫn
Ta có: VT = x + y – 2(
= (x – 2
+
)+2= x–2
+ 1) + (y 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
+y2
+ 1) = (
+2
1)2 + (
1)2 ≥ 0 ∀x, y > 0
x=y=1
Bài 3: Tính tổng sau.
a) A =
+
+
+…+
b) A =
+
+
+…+
= 9
Hướng dẫn
3
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
Ta có:
0989552911
=
A=
1+
c) A =
+…+
+
+
=
1
+…+
+
Hướng dẫn
A =
+
+…+
=
d) Tìm số nguyên dương n sao cho:
+
+…+
+
= n 6
e) Hướng dẫn
Ta có:
=
(n + 1)
1 = n 6
6 = 0
n = 8
Bài 4: Tính tổng.
a) B =
+
…+
= 7
b) E =
+
…
= 4
c) P
1
1
1
1
...
2 3
3 4
4 5
2n 2n 1
Hướng dẫn
c)
= (
Ta có:
+
P =
)
(
)
+…
=
Bài 5: Tính tổng.
+… +
a) B =
+
+
+
b) B =
+
+
+…+
c) M =
1
5 1
1
9 5
1
13 9
...
= 6
= 11
1
4n 1 4n 3
.
Hướng dẫn
Ta có:
=
=
4
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
0989552911
=
=
M =
d) A
1
1
1
1
...
=
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4
100 99 99 100
Hướng dẫn
Ta có:
=
=
e) Tìm giá trị của x thỏa mãn:
+…+
+
=
Hướng dẫn
Ta có:
=
=
+
+…+
=
+
+…+
=
+
+…+
=
=
+
=
=
= 45
x = 2024
Bài 6: Tính tổng:
+…+
A=
+
+
B =
+
+…+
C =
Hướng dẫn:
Ta chứng minh: 1
1
1
=
2
2
n
n 1
1
n 2 2n 1 n 2
n n 1
2
2
= 1
2n n 1
n n 1
2
2
1
n n 1
2
2
2
=
A = (1 +
2
1
=
1
2
n n 1 n n 12
) + (1 +
1
1
=
n
n
1
) + (1 + ) + … + (1 +
)
5
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
= 99 +
= 100
+ 1+
+ …+ 1+
= 99,99
B = 1+
+1+
0989552911
+1+
= 2014 +
+ … +1 +
= 1007(2 +
+1+
)
C =
= 2017
= 2007
5. Bài toán bất đẳng thức chứ căn bậc hai
Bài 1: Cho A
1
1
1
1
...
>
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1
Hướng dẫn
Ta sử dụng bất đẳng thức Cô si a + b ≥ 2
Ta có:
>
=
=
>
=
=
>
=
=
>
=
=
≥
:
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được:
+
+…+
+
Bài 2: Chứng minh rằng: B = 1 +
>
+
+
= 2 (đpcm)
+…+
> 86
Hướng dẫn
Ta có: B =
+
B =
B>
+
+
+…+
+
+
+
+…+
+
+
+
+…+
B> 2
Trực căn thức ở mẫu ta được:
B > 2(
Bài 3: Chứng minh:
1) > 2(
1 +
+
1) = 2(44 – 1) = 86
+
+…+
> 2(
1)
6
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
0989552911
Hướng dẫn
Ta chứng minh:
Vậy: 1 +
+
=
+
>
=
+…+
+
=2
> 2(
…+
+
+
1
1)
+ 0) = 2(
Bài 4: Chứng minh:
1 +
+
+…+
+
>
Hướng dẫn
Ta có:
>
Nên
>
1+
>…>
>
+
+…+
+
Bài 5: Chứng minh:
<1+
+
>
=
+…+
+
<
Hướng dẫn
Ta có:
>
Nên
>
1+
+
Ta có:
=
Do đó: 1 +
+
1–
>
+
<
>…>
+…+
>
= 2(
+…+
+
=
)
> 2(
… +
+
+ 0) = 2
1
1
2
(k 1) k
k 1
k
1
Bài 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương k ta có:
Hướng dẫn
Ta có:
= (
=
(
=
) (1 +
Bài 7: Chứng minh :
) < 2(
) =
(
)(
+
)
) + 2(
) + 2(
) (đpcm)
1
1
1
1
.......
2
2 3 2 4 3
(n 1) n
Hướng dẫn
Áp dụng:
+
2(
< 2(
+
Bài 8: Cho A =
)
< 2(1
+ …+
) = 2(1
) +…+
) < 2 (đpcm)
+
+…+
7
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
B = 1+
0989552911
+…+
+
Chứng minh B > A
Hướng dẫn
Ta có:
=
1+
A=
Với mọi k N* ta có:
Do đó: B = 1 +
+
=
+…+
>
1 = 10 (1)
=
=2
+…+
+
B > 2(1 +
+
+
…
+
Từ (1) và (2) suy ra: B > A
Bài 9: Cho 25 số tự nhiên a1, a2, a3, … a25 thỏa điều kiện:
+
+…+
+
) = 2(1 + 6) = 10 (2)
= 9.
Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.
Hướng dẫn
Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng
quát, giả sử: a1 < a2 < … < a25 suy ra a1 ≥ 1, a2 ≥ 2 , … a25 ≥ 25.
Thế thì:
Ta lại có:
+
+…+
+
≤
+…+
+
+
+
+…+
=
Từ (1) và (2) suy ra:
+
+ 1 = 2(
+…+
+
+…+
+
+…+
+
(1).
+1<
1) + 1 = 9 (2)
< 9, trái với giả thiết. Vậy tồn tại hai
số bằng nhau trong 25 số a1, a2, a3, … a25.
Bài 10: Cho 2015 số tự nhiên a1, a2, a3, … a2015 thỏa điều kiện:
+
+
+…+
≥ 89.
Chứng minh rằng trong 2015 số tự nhiên đó tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
Hướng dẫn
Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng
quát, giả sử: a1 < a2 < … < a2015 suy ra a1 ≥ 1, a2 ≥ 2 , … a2015 ≥ 2015.
Thế thì:
+
+
+…+
≤
+
+…+
(1).
8
Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
Ta lại có:
+
+…+
+1<
Mà 2(
0989552911
+
=
+…+
+
1) + 1 = 89
Từ (1) và (2) suy ra:
+
+
+
+…+
+…+
+
+…+
+ 1 = 2(
1) + 1
+
< 89 (2)
< 89, trái với giả thiết. Vậy tồn tại
ít nhất hai số bằng nhau trong 2015 số a1, a2, a3, … a2015.
9
