TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.MATHVN.com

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

TÓM TẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3
A. ĐẠI SỐ.
1. Tam thức bậc hai.
b

Giả sử f (x )  ax 2  bx  c  a  0;  ,   ;    ; S   
a


a  0
f (x )  0  x    
  0

x1  x 2  
  0
  x  x  af ( )  0


1
2

a  0
f (x )  0  x    
  0

af ( )  0
x1      x 2  
af (  )  0

 là nghiệm của f (x )  f ( )  0

af ( )  0
x1    x 2    
af (  )  0

x1    x 2  af ( )  0

af ( )  0
  x1    x 2  
af (  )  0


  0

  x1  x 2  af ( )  0
S
   0
2

  x1    x 2
x    x    f ( ).f (  )  0
 1
2




  0

af ( )  0

  x1  x 2    af (  )  0
S
   0
2
S
  0
2


  0

x1  x 2    af ( )  0
S
   0
2

2. Bất đẳng thức Cô si:
Với hai số a  0, b  0 thì

a b
 ab . Dấu ''  '' xảy ra  a  b
2

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

DeThiThuDaiHoc.com

1


Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.MATHVN.com

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

3. Phương trình – bất phương trình chứa trị tuyệt đối

A  B  A  B

A  B  A2  B 2

B  0
A B  
2
A  B
A  B  B  A  B

A  B
A B  
A  B

4. Phương trình – bất phương trình chứa căn
A  0  B  0 
A B 

A  B

A  0

A  B  B  0
A  B 2


B  0
A B  
2
A  B
A  0
A B 
A  B

B  0
B  0
A B  
 
2
A  0
A  B

B. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG .
1. Định lý hàm số Cosin:
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cosC

2. Định lý hàm số Sin:
a
b
c


 2R
sin A sin B sinC

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

DeThiThuDaiHoc.com

2


Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.MATHVN.com

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

3. Công thức tính diện tích tam giac:
1
1
1
S  aha  bhb  chc
2
2
2

S

1
1
1
S  ab sinC  ac sin B  bc sin A
2
2
2

abc
4R

S  p  p  a  p  b  p  c 

S  p.r

C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ .
I.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để giải một hệ phương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế. Bên cạnh đó
ta còn có một số loại hệ phương trình đặc biệt.
II. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT.
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
a1x  b1y  c1
(*)
 Dạng: 

a 2x  b2y  c 2
 Cách giải: Công thức Crammer
a1 b1
c1 b1
a1 c1
Đặt D 
; Dx 
; Dy 
a 2 b2
c 2 b2
a 2 c2

Dx

x  D
- Nếu D  0 : hệ (*) có nghiệm duy nhất 
y  Dy

D
(*)
vô
nghiệm.
- Nếu D  0 và Dx  0 hay Dy  0 : hệ
- Nếu D  Dx  Dy  0 : hệ (*) có hai trường hợp xảy ra: hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT.
 f (x , y )  0
 Dạng: 
(*) trong đó khi hoán vị vai trò của x và y cho nhau, từng phương trình của
g
(

x
,
y
)

0

hệ không thay đổi.
 Cách giải:
Đặt S  x  y ; P  xy
Giải tìm S, P. Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X 2  SX  P  0
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là   S 2  4P  0
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

DeThiThuDaiHoc.com

3


Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.MATHVN.com

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI.
(1)
 f (x , y )  0
 Dạng: 
(*) trong đó khi hoán vị vai trò của x và y cho nhau,thì phương

f
(
y
,
x
)

0
(2)

trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại.
 Cách giải: Có 2 cách
 f (x , y )  f (y , x )  0
Cách 1: 
 f (y , x )  0
 f (x , y )  f (y , x )  0
Cách 2: 
 f (x , y )  f (y , x )  0
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP .
 Dạng: Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình mà cấp của tất cả đơn thức trong hệ đều
bằng nhau.
 Cách giải:
- Xét x  0 , thế vào hệ tìm y.
- Xét x  0 , đặt y  tx , thế vào hệ tìm t, sau đó suy ra x và y.

D. LƯỢNG GIÁC.
I.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.

1. Các cung liên quan đặc biệt
1.1 Hai cung đối nhau: (  và -  )
cos( )  cos 
sin( )   sin 
tan( )   tan 
cot( )   cot 
1.2 Hai cung bù nhau: (  và    )
sin(   )  sin 
cos(   )   cos 
tan(   )   tan 
cot(   )   cot 


 )
2


cos      sin 
2


1.3 Hai cung phụ nhau: (  và



sin      cos 
2






tan      cot 
cot      tan 
2

2

1.4 Hai cung hơn, kém  : (  và    )
sin(   )   sin 
cos(   )   cos 
tan(   )  tan 

cot(   )  cot 

1.5 Cung hơn kém :
2




cos   x    sin x ; sin   x   cos x ;
2

2

Ghi nhớ: ‘ cos đối; sin bù; phụ chéo; hơn, kém  tan, cot ‘.

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

DeThiThuDaiHoc.com

4


Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.MATHVN.com

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

2. Các công thức lượng giác cơ bản

 sin 2 x  cos 2 x  1



1
 1  cot 2 x
2
sin x
sin x
 tan x 
cos x
3. Công thức cộng

1
 1  tan 2 x
cos 2 x

 tan x .cot x  1



 cot x 

cos x
sin x

sin(a  b )  sin a .cos b  cos a .sin b
cos(a  b )  cos a .cos b  sin a .sin b
tan(a  b ) 

tan a  tan b
1  tan a .tan b

4. Công thức nhân
4.1 Công thức nhân đôi
sin 2a  2sin a cos a
cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a
2 t ana
1  tan 2 a
4.2 Công thức nhân ba
sin 3a  3sin a  4sin 3 a
t an2a 

cos 3a  4 cos3 a  3cos a
t an3a 

3 tan a  tan 3 a

1  3 tan 2 a

5. Công thức hạ bậc
1  cos 2a
sin 2 a 
2
3sin a  s in3a
sin 3 a 
4

1  cos 2a
2
3cos a  cos 3a
cos3 a 
4
cos 2 a 

6. Công thức biến đổi tổng thành tích
a b
a b
cos a  cos b  2 cos
cos
2
2
a b
a b
cos a  cos b  2sin
sin
2
2

a b
a b
sin a  sin b  2sin
cos
2
2
a b
a b
sin a  sin b  2 cos
sin
2
2
Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

DeThiThuDaiHoc.com

5


www.MATHVN.com

Bng túm tt cụng thc Toỏn hc ph thụng

Trng PTTH Ngụ Thi Nhim

7. Cụng thc bin i tớch thnh tng
1
cos a .cos b cos(a b ) cos(a b )
2
1

sin a .sin b cos(a b ) cos(a b )
2
1
sin a .cos b sin(a b ) sin(a b )
2

II.

PHNG TRèNH LNG GIC

DNG 1. PHNG TRèNH LNG GIC C BN
Kin thc c bn

u v k 2
sin u sin v
u v k 2
u v k 2
cos u cos v
u v k 2
tan u tan v u v k 2
cot u cot v u v k 2
Trng hp c bit:
sin u 0 u k


k 2
2

sin u 1 u k 2
2

sin u 1 u

cos u 0 u


k
2

cos u 1 u k 2
cos u 1 u k 2

DNG 2. PHNG TRèNH BC HAI I VI MT HM S LNG GIC
Kin thc c bn
Phng trỡnh bc hai theo mt hm s lng giỏc l phng trỡnh cú dng:
at 2 bt c 0 (1) trong ú t l mt tr ong cỏc hm s: sinu; cosu; tanu; cotu.
Cỏch gii: t t = sinu; cosu; tanu; cotu.
Chỳ ý: sin u ; cos u 1
DNG 3. PHNG TRèNH BC NHT THEO SIN u V COSu
Kin thc c bn
Dng : a sin u b cos u c
(1) trong ủoự a 2 b 2 0
iu kin cú nghim: a 2 b 2 c 2
Caựch giaỷi:
Giỏo viờn biờn son: Trng Hoi Trung

DeThiThuDaiHoc.com

6

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.MATHVN.com

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

Chia hai vế của PT cho a 2  b 2 ,
a
b
c
(1)

sin u 
cos u 
2
2
2
2
2
a b
a b
a b2
 sin u .cos   cos u .sin   sin 
 sin(u   )  sin 

DẠNG 4. PHƯƠNG TR ÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO SINU VÀ COSU
Kiến thức cơ bản
Dạng tổng quát:
a sin 2 u  b sin u cos u  c cos 2 u  d (2)

Cách giải:


 k có thỏa phương trình (2) không ?
2
B2: Xét cos u  0 . Chia 2 vế phương trình (2) cho cos 2 u . Ta được phương trình mới dạng:
a tan 2 u  b tan u  c  0 .

B1: Xét cos u  0 . Kiểm tra u 

*Chú ý: Nếu phương trình lượng giác có bậc cùng chẳn hoặc cùng lẻ theo sinu và cosu thì ta
cũng giải bẳng phương pháp trên.
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN XỨNG
Dạng tổng quát:

a  sin u  cos u   b sin u cos u  c  0 (3)
Cách giải:


Đặt t = sin x  cos x  2 sin(x  ) (*)
4
2
t 1
 sin x cos x  
.
2

(Điều kiện :

t  2)

Thế vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Một số công thức quan trọng




 sin u  cos u  2 sin  u    2 cos  u  
4
4






 sin u  cos u  2 sin  u     2 cos  u  
4
4


 1  s in2x   sin x  cos x 

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

2

DeThiThuDaiHoc.com

7


www.MATHVN.com

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

E. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM .
1. Quy tắc cơ bản.
  c ’  0

 u .v 

u

 v  u '  v '
'

 u  u 'v  v 'u
  
v2
v 
'

'

 u 'v  v 'u

2. Bảng công thức tính đạo hàm.

k .x 

'

k .u 

k

'

 k .u '

n
n 1
(x ) '  n .x

n
n 1
(u ) '  n .u
.(u ) '

1
1
( )'   2
x
x
1

( x )' 
2 x

1
(u ) '
( )'   2
u
u
u'
( u )' 
2 u

 sin x   cos x
'
 cos x    sin x

 sin u   cos u. u 
'
'
 cos u    sin u. u 

'

'

'

(e x ) '  e x

u'

cos 2 u
u'
(cot u ) '  (1  cot 2 u ).u '   2
sin u
u
u
(e ) '  e .u '

(a x ) '  a x .ln a
1
(ln x ) ' 
x
1
(loga x ) ' 
x .ln a

(a u ) '  a u .ln a .u '
u'
(ln u ) ' 
u
u'
(loga u ) ' 
u .ln a

(tan x ) '  1  tan 2 x 

1
cos 2 x

(cot x ) '  (1  cot 2 x )  

(tan u ) '  (1  tan 2 u ).u ' 

1
sin 2 x

*Đặc biệt :




a b
c d
ax  b
y
y'
cx  d
(cx  d ) 2
a1 b1
y

x2  2

a1 c1

x

b1 c1

a b

a 2 c2
b2 c 2
a1x 2  b1x  c1
y' 2 2
2
2
2
a 2x  b2x  c 2
(a 2x  b2x  c 2 )

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

DeThiThuDaiHoc.com

8


Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

www.MATHVN.com

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

F. CÔNG THỨC MŨ – LOGARIT.

1.

CÔNG THỨC MŨ
a  a.a
...

a

2.

STT

n

CÔNG THỨC LOGARIT

STT
1

loga 1  0

a 1  a a

2

loga a  1

3.

a 0  1 a  0

3

loga a M  M

4.

a n 

1
an

4

a loga N  N

5.

a n  n am

5

loga (N 1.N 2 )  loga N 1  loga N 2

6.

a

6

loga (

7.

a .a  a

7

loga N    .loga N

8.

am
 a m n
n
a

8

loga N 2  2.loga N

(a m )n  (a n )m  a m .n

9

9.

loga N  loga b.logb N
logb N 

n thua so

m



m
n



1



m

an
m

n

1
n

am

m n

10.

(a .b )n  a n .b n

10

11.

a
an
( )n  n
b
b

11

12.

a M  N  M  loga N

12
13

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

N1
)  loga N 1  loga N 2
N2

loga N
loga b
1
loga b 
logb a
1
loga N  loga N


log c
log a
a b =c b

DeThiThuDaiHoc.com

9


www.MATHVN.com

Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông

Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm

G. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM .
Nguyên hàm của những hàm số thường
gặp
1.  dx  x  C

Nguyên hàm của những hàm số thường
gặp
1
1
1
13.  n dx  
 n 1  c
x
n 1 x
1

14. 
dx  x  c
2 x
1
15.  f(ax + b)dx = F(ax + b) + C
a
16.

2.  kdx  kx  C
3.  x ndx 
4.

x n 1
 C n  1
n 1

1
 x dx  ln x  C x  0

1
1
 x 2dx   x C
1
1
C
6.  n dx  
x
n  1 x n 1

7.  e xdx  e x  C

ax
 C  0  a  1
ln a
9.  cos xdx  sin x  C
8.  a xdx 

10.  sin xdx   cos x  C
1
dx   (1  tan 2 x )dx  tan x  C
2
cos x
1
12.  2 dx   (1  cot 2 x )dx   cot x  C
sin x

11. 

Giáo viên biên soạn: Trương Hoài Trung

1 ax  b 
 ax  b  dx  a   1 C   1
1
1
17. 
dx  ln ax  b  C x  0 
ax  b
a
1
18.  e ax bdx  e ax b  C

a
1
19.  cos ax  b  dx  sin ax  b   C
a
1
20.  sin ax  b  dx   cos ax  b   C
a
1
1
dx  tan ax  b   C
21. 
2
cos ax  b 
a
1
1
dx   cot ax  b   C
22.  2
sin ax  b 
a


5.

DeThiThuDaiHoc.com

 1

10