Bài tập phương pháp tích phân từng phần có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

PP

Nguyên hàm – tích phân

A VÀO D U VI PHÂN + PP TÍCH PHÂN T NG PH N
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N

Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng PP đ a vào d u vi phân + tích phân t ng ph n thu c

khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

website Hocmai.vn.

ng) t i

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

a vào d u vi phân
2

Bài 1.

2


1

xdx

1

1

Bài 2.

1

x  1dx    x  1 2 d  x  1 



1 x2

0

1

  d
0

4

Bài 3.

4

2
 x x  9dx    x  9 d
0

1

0

 13 



x2  9 

x2  9



34
0



2
3

4
1

3
t anx
2
2
2 d  t anx  
24 
dx

t
anx
t
anx




2

0
3
3
cos x
0

4


0





3

3

  t anx-cotx  dx   











Bài 5.

 

1

1  x2   1  x2

2

0

Bài 4.





3
2
2
2
 x  1 21  3 3  2 2
3
3



6



2cos2x
dx 
sin 2 x

6

d  sin 2 x

3





sin 2 x



  ln sin 2 x 3 0


6

6

1
d  e x  e x 
e2  1
e x  e x
x
x 1
e
e




ln
ln

dx
0 e x  e x 0 e x  e x
0
2e
1

Bài 6.

ln 2

Bài 7.


0

4

Bài 8.


1
e

Bài 9.


1

ex
dx 

ex  1

e

x

x

e 1
x

0

 ln e x  1

   2 e 

1

x

x

4

1

ln 2
0

 ln 3  ln 2

 2  e2  e 

1
3
2
2
1  ln x
e
dx   1  ln x 2 d  ln x  1  1  ln x 21  2 2  1
3
3
x
1



e



e

ln x
1 2 e 1
1 x dx  1 ln xd  ln x  2  ln x1  2


Bài 11.



d  e x  1

dx   2d e

e

Bài 10.

4

ln 2




cosx
cosx
cosx
 e s inxdx =- e d  cosx     e  2  e  1
2

2

0

0

0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

1
1
1  ex  ex 


1
ex 
2
1
x1







1  ln
dx
1
dx
x
ln
1
e
dx


0 1 e x
0 1  ex
0  1  ex 
0
0
1 e
1

Bài 12.

Tích phân t ng ph n
D ng 1:

 P  x e dx  P  x e   e dP  x

Bài 1.

\ I1   x.e x dx

x

x

x

1

0

u  x  du  dx
t: 
x
x
dv  e dx  v  e
1

V y : I1   x.e dx  x.e
x

x1
0

0

1

  e xdx  e  e x  e  e  1  1 .

1

0

0

1

Bài 2. I   x3e x dx
2

0

1

Ta có I   x3e x dx 
2

0

1

1

1 2 x2
1
x e d ( x2 )   tet dt (1)

20
20

t u  t  du  dt ; dv   et dt  v  et
1

V y  tet dt  tet
0

1
0

1

1

  et dt  e  et

0

0

 e  (e  1)  1

1
2

V y thay vào (1) và ta có I 
1

Bài 3. I   (4 x2  2 x  1)e2 xdx
0

1

2

1
1
Ta có I   (2 x)2  2 x  1e2 xd (2 x)   (t 2  t  1)et dt (1)
20
20

t u  t 2  t  1  du  (2t  1)dt ; dv  et dt  v   et dt  et
2

V y  (t  t  1)e dt  (t  t  1)e
2

t

2

0

t

2
0

2

2

  (2t 1)e dt  e 1  (2t 1)e tdt (2)
t

2

0

0

L i đ t u  2t  1  du  2dt ; dv  et dt  v   et dt  et
2

Do đó  (2t  1)e dt  (2t  1)e
t

0

Hocmai.vn – Ngôi tr

t

2
0

2

 2 et dt  3e2  1  2(e2  1)  e2  3 (3)
0

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

2

Thay (3) vào (2) và có  (t 2  t  1)et dt  2 (4)
0

Thay (4) vào (1) và có I = -1
1

Bài 4. I =  (4 x2  2 x  1).e2 xdx .
0

(8 x  2)dx  du
2

4 x  2 x  1  u 
t  2 x


1
v  e-2x

e
dx
dv



2

1
 1 -2x  1
I  (4 x  2 x  1)  e    (4 x  1).e 2 xdx 1 1
= 2 - +J
 2
0 0
2e 2
J
2

4dx  du
4 x  1  u

t  2 x

1 2 x
e dx  dv v  e
2


1
1
1 2 x
3 1
.(4
1)
2
e
x


e2 xdx = 2  .
I=

0 0
2
2e 2

1 1 3 1 2
1 1
  J = 2   2   2 1
2
2e 2 2e 2 2e
2e 2

V yI=


Bài 5. I1   e x . sin xdx
0

u  e x  du  e xdx
t: 
dv  sin xdx  v   cos x






V y : I1   e x . sin xdx   e x . cos x   e x . cos xdx  e  1  J
0

0

1

0

u  e x  du  e x dx
t: 
dv  cos xdx  v  sin x






V y : J   e . cos xdx  e . sin x   e x . sin xdx   I
x

x

0

0

0

Th vào (1) ta đ

c : 2 I 1  e  1  I 1 

e  1
.
2


2

Bài 6. I   e3 x sin 5 xdx
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

1
t u  e3 x  du  3e3 xdx ; dv  sin 5 xdx  v   sin 5 xdx   cos5 x
5




1
32
Ta có I   e3 xcos5 x 2   e3 xcos5 xdx
5
50
0


1 32
I    e3 xcos5 xdx (1)
5 50
1
t u  e3 x  du  3e3 xdx ; dv  cos5xdx  v   cos5xdx  sin 5x
5






1 3x
3 2 3x
1 32 3
V y I   e cos5 xdx  e sin 5 x 2   e sin 5 xdx  e  I (2)
5
50
5
5
0
0
2

3x

1 3  1 32 3 
Thay (2) vào (1) ta có I    e  I 
5 55
5 
3

34
1 3 3
5 3 3 5  3e 2
 I   e2 I   e2 
25
5 25

34 34
34
1

Bài 7. I =

x.e x
0 (1  x)2 dx

1
1
1
1
 ex
x.e x
x.e x  e x  e x
ex 
ex
ex



dx
dx
dx
dx

dx
I =
=


2
2
2 
2




x

x

x

x

x

x
(1
)
(1
)
1
(1
)
1
(1
)


0
0
0
0
0
1

1

e x  u
e x dx  du



t  1
1
 (1  x)2 dx  dv v 
 1 x


x

e
dx .
(1  x) 2
0

Tính J= 

1 x 1
e
ex
1 x
1 
dx
.e 
.e dx 
J=
1  x 0 0 1  x
2
1 x
0
1

I=

1

1
 e
 e
ex
ex
1
dx
dx






0 1  x  2
0 1  x   2  1
1



(1  sin x)e x
0 1  cosx dx
2

Bài 8. I =






2 x
(1  sin x)e
e
e .sin x
I= 
dx  
dx  
dx
1  cosx
1  cosx
1  cosx

0
0
0
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

x

2

x

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân



ex
0 1  cosxdx .
2

Tính J =

e x  u
e x dx  du


1
t  dx 
x
dx  dv  
1  cosx 2cos 2 x
v  tan
2


2



x
x
x
2.sin .cos

2
x
x
2 dx  e 2  e x .
2

2 dx
J = e x .tan 2   e x .tan dx  e 2   e x .

x
x
2
2
2
0
0
cos
2cos
0 0
2
2







2

sin

2




e x .sin x
dx .
1  cos x
0
2

= e2  







2
e .sin x
e x .sin x
V yI= e 
dx  
dx  e 2 .


1
cos
1
cos
x
x
0

0
2

x

2

1  sin x
u

t 1  cosx
e x dx  dv


Cách khác:

D NG 2:

 P  x sin xdx;  P  x cosxdx

2

Bài 1.

I   x 2 .cos xdx
0

u  x2  du  2 xdx
t: 
dv  cos xdx  v  sin x




2

V y : I   x 2.cos xdxx 2 sin x



22
00

0

 2  x. sin xdx 
0



Ta đi tính tích phân

 x. sin xdx
0

4

2

2  x. sin xdx

1

0




2

V y:

2

u  x  du  dx
t: 
dv  sin xdx  v   cos x

2





2



2



 x. sin xdx   x. cos x 02   cos xdx   x. cos x 02  sin 02  1
0

0

1

Th vào (1) ta đ

c : I1   x.e x dx 

 2 8

0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

4
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

4

Nguyên hàm – tích phân

u  x  du  dx

t: 
1
dv 
dx  v  tan x

cos 2 x


x
I
dx
cos 2 x
0




4

2
x


4  tan xdx 
4 





 ln
.
tan
ln
cos
dx
x
x
x
2

0
0
cos x
4
4
2
0
0



4

V y : I2  


4

Bài 2. I   xcos 2 xdx
0




du  dx

14
x
u  x

t 

 I1  sin 2 x 4   sin 2 xdx
1
v  cos 2 xdx v  sin 2 x
2
20

 
0

2





 1
1
  cos 2 x 4  
8 4
8 4
0


4

Bài 3. I   x sin 2 xdx
0





 4
u  x  du  dx

4
1
1
1
1
4

x
xdx

xc
c
x
sin
2
os2x
os2xdx=
sin
2




t:
4
1
0 


 dv  sin 2 xdx  v   cos2x
2
2
4
4
0
0 0
2

2

 x cosxdx

Bài 4. I 

2

0

2

2

 x cosxdx  
2

0

0



2 2
  2 x sin xdx  2  xd  cosx   2  x cos x
  cosxdx 
x d  sinx   x s inx
0 0
0 0
0



2

2

2

2

2


2 
 2  2  s inx
  2  2  0  4
0

2

Bài 5. I 

4



xcos x dx

0

t : t  x  dt 

V y:

1
2 x

dx  2tdt  dx.x  0  t  0; x 

2





4

2

2


0

2
4



t 



2


2

2



2

sin  J 
xcos x dx   2t 2costdt=  2t 2 d  sin t   2t 2 sin t 2   4t sin tdt 
 J (1)
2
2
2
0
0
0
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân




 2


 2






Tính : J   4t sin tdt  4   td  cost    4 t cos t 2   costdt   4 0  sin t 2   4


0


0 0
0
 0










2

2
4

V y thay vào (1) ta có :



xcos x dx 

0

D NG 3:

2
2

4

 P  x lnxdx
e

Bài 1.

I   ln xdx
1

1

u  ln x  du  dx
t: 
x

dv  dx  v  x
e

e

V y : I 3   ln xdx  x. ln x 1   dx  x. ln x 1  x 0  1 .
e

1

e

e

1

e

Bài 2.

I   x2 ln 2 xdx
1

2ln xdx
x3
2
2
t u  ln x  du 
; dv  x dx  v   x dx 
3
x
2

e
e 2e
1
1
2
V y I  x3 ln 2 x   ln x.x2 dx  e3   x2 ln xdx (1)
1 31
3
3
31

t u  ln x  du 

dx
x3
; dv  x2 dx  v   x2 dx 

3
x

e

e 1e 2
1 3
V y  x ln xdx  x ln x   x dx
1 31
3
1
2

1
1 x3 e 1 3 1 3 1 2 3 1
 e3  .
 e  e   e  (2)
3
3 3 1 3
9
9 9
9

Thay (2), (3) vào (1) ta có:
1
22
1 1
4
2
5 3 2

1
I  e3   e3    e3  e 3 

e 

(5e3  2)
3
39
9 3
27
27 27
27 27
e

Bài 3.

x

3

ln 2 xdx

1

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

2 ln x

2
e
u  ln x  du  x dx
1 4 2 e 1 3
e4 1
t: 
 I  x ln x   x ln xdx   J (1)
1 21
4
4 2
 dv  x3dx  v  1 x4

4
dx




u
x

du
'
ln
'

e 1e
e4 1 1 e e4 1
1
3e4  1
x
t: 
 J  x4 ln x   x3dx   . x4    e 4  1 
1 41
4
4 4 4 1 4 16
16
 dv '  x3dx  v '  1 x4

4

Thay các k t qu vào (1) ta có : I 

e4 1  3e4  1  e4  1
 

4 2  16 
32

e

Bài 4.

ln x
dx
2
1 x

I 
e

dx

e e
e
u  ln x  du  x
1
1
2
1  1
t: 
 I   ln x 1    2 dx     e   1  
x
x
e
e
 x
 dv  dx  v   1
1
e
e

2

x
x
e

Bài 5.

I   cos  ln x  dx
1

1

u  cosln x  du   sin ln xdx
t: 
x

dv  dx  v  x
e

e





V y : I 3   cosln xdx  x. cosln x1   sin ln xdx   e  1  J
e

1

1

1

u  sin ln x  du  cosln xdx
t: 
x

dv  dx  v  x
e

e

V y : I 3   sin ln xdx  x. sin ln x 1   cosln xdx  0  I 3
e

1

Th vào (1) ta đ

1

c : 2 I 3  e  1  I 3  

e  1
.
2

1

Bài 6.

I   x.ln  x2  x  1 dx
0

1 1 1 x2  2 x  1
1 31
1 2
1
1 2
dx
2
0 x.ln  x  x  1 dx  2 x .ln  x  x  1 0  2 0 x2  x  1 dx  2 ln 3  2  x  x 0  4 0 x2  x  1
1

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)
1

Nguyên hàm – tích phân

1

dx
dx

;J   2
2
2
x  x 1 0 
0
1  3

 x  
2  2 


3
3
 ln 3  J
4
4



1
3
2 33

 3
3
 3
  
. V y : I  ln 3 
.

tan t , t   ;   J 
dt 

2 2
3 
9
4
12
6 3

t : x

6

e 1

I

Bài 7.


0

e 1

I


0

x.ln( x  1)
dx
x 1

e 1

=



e 1

x.ln( x  1)
dx 
x 1
e 1

ln( x  1) dx 

0


0



 x  1  1.ln( x  1) dx  e1 ln( x  1)  ln( x  1)  dx

 

x 1

0

0

x  1 

ln( x  1)
dx  I1  I 2
x 1

 1
dx  du
ln( x  1)  u 
t 
  x 1
dx  dv

v  x

Tính I1 :

I1 = x.ln(x+1)

e 1
0

e 1




0

= e  1  [x  ln( x  1)]

e 1
0

x
dx  e  1 
x 1



ln( x  1) d ln( x  1) 

0

V y I = I1-I2= 1-



0

x  1 1
dx  e  1 
x 1

e 1



1 

 1  x  1  dx
0

1.

e 1

Tính I2 : I2 =

e 1

ln 2 ( x  1) e  1 1
 .
0
2
2

1 1

 .
2 2

x2  1
I 
ln xdx
x
1
e

Bài 8.

e

e

ln xdx
(1)
x
1

Ta có I   x ln xdx  
1

e

Ta th y

e
ln xdx

1 2 e 1

1 x 1 ln xd (ln x)  2 ln x 1  2 (2)

t u  ln x  du 

Hocmai.vn – Ngôi tr

dx
x2
; dv  xdx  v   xdx 
2
x

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

e

e 1e
1 2

1
1 e 1
1
1 1
1
Do v y  x ln xdx  x ln x   xdx  e2  x2  e2  e2   e2 
1 21
2
2
4 1 2
4
4 4
4
1

Thay vào (1) ta có I 

e2  3
4


4

I 

Bài 9.

0

x cos 2 x

1  sin 2 x

2

dx







1
14
1
 1

dx
x
dx
.
.



4


0 1  sin 2 x2


 2 1  sin 2 x  0 2 0 1  sin 2 x
4

x cos 2 x






16



14 1
1
dx
.


20 2
2
cos  x- 
 4






 1 2
1 1
2 

  .
tan  x   4    .
 0  1   .
16 2 2
4
16 2 2
4 16

0

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 10 -