Bài giảng xác suất thống kê chương 3 ths trần thị minh tâm

CHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
THỐNG KÊ

NỘI DUNG:
I. LÝ THUYẾT MẪU
II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG
III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ
IV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ CỦA TỔNG THỂ
V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ


I. LÝ THUYẾT MẪU
1. Tổng thể và mẫu




Tổng thể: ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu.
Tập hợp M gồm tất cả những phần tử mang đặc
tính X của một vấn đề quan tâm nghiên cứu gọi
là tổng thể. Ta gọi N là số phần tử của tổng thể.
Ví dụ
- Số cử tri trong một cuộc bầu cử.
- Thu nhập của các hộ gia đình ở một địa phương
- Điểm trung bình các tất cả sinh viên trong một
trường đại học.
- Trọng lượng một loại cá dưới hồ.
- ...


I. LÝ THUYẾT MẪU

1. Tổng thể và mẫu


Thông thường, N rất lớn nên ta không thể
lấy hết những phần tử của M để thực hiện
thí nghiệm vì những lý do sau:
 N quá lớn.
 Thời gian và kinh phí không cho phép.
 Có thể làm hư hại hết các phần tử của
M.


I. LÝ THUYẾT MẪU
1. Tổng thể và mẫu
Vì vậy người ta thường lấy một số phần tử
của M để nghiên cứu, các phần tử này gọi
là mẫu lấy từ M. Số phần tử của mẫu gọi
là cỡ mẫu, ký hiệu là n.
 Ví dụ
 Thăm dò 2000 cử tri.
 Khảo sát 300 gia đình.
 Cân trọng lượng 500 con cá.
…



I. LÝ THUYẾT MẪU
2. Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể


Ký hiệu Xi là giá trị quan sát X trên phần
tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n
biến ngẫu nhiên (X1, ..., Xn) gọi là mẫu lý
thuyết lấy từ M.



Tính chất mẫu:





Các Xi có cùng phân phối như X.
Các Xi độc lập với nhau.

Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số
liệu (x1, .., xn) gọi là mẫu thực nghiệm lấy
từ X.


I. LÝ THUYẾT MẪU
3. Phương pháp chọn mẫu
Theo xác suất
(Probability sampling)
 Ngẫu nhiên đơn giản
(simple random
sampling)
 Hệ thống
(systematic sampling)

 Phân tầng (theo tỷ lệ,
không theo tỷ lệ)
(stratified sampling)
 Theo nhóm (một bước,
hai bước…)
(cluster sampling)

Phi xác suất
(Non-probability sampling)
 Thuận tiện
(convenience sampling)



Phán đoán

(judgment sampling)


Phát triển mầm

(snowball sampling)


Định mức/Hạn ngạch
(quota sampling)


I. LÝ THUYẾT MẪU
Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm



Bảng thống kê đơn giản
Thứ tự (i)

1

2

Giá trị của X

x1

x2 x3 ...

hoặc: x1 x2 x3 ... xn-1

3

...

n-1

n

xn-1

xn

xn

Ví dụ. Đo chiều cao của 10 sinh viên trong lớp (cm)
Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155


Thứ tự

Chiều
cao(cm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

160 155 147 155 168 181 150 163 168 155


I. LÝ THUYẾT MẪU
Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm


Bảng tần số
X

x1

x2 x3 ...

xk-1

xk

ni

n1 n2 n3 ...

nk-1

nk

Với n1 + n2 + ... + nk = n


Ví dụ. Khảo sát điểm của 50 bài thi môn toán.

điểm của bài thi

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0 6.5 7.0

Số bài

14

12

8

6

4

4

2

I. LÝ THUYẾT MẪU
Trình bày số liệu mẫu thực nghiệm


Bảng tần số chia khoảng
X

(a1,b1]

(a2,b2]

...

ni

n1

n2

...

(ak,bk]
nk

Với n1 + n2 + ... + nk = n
Chú ý: khi tính các tham số thống kê các khoảng
giá trị của X được lấy bằng giá trị trung tâm của
khoảng: xi = (ai + bi)/2, thu được bảng sau:
X

x1

x2 x3 ...

xk-1

xk

ni

n1 n2 n3 ...

nk-1

nk


I. LÝ THUYẾT MẪU
4. Các tham số đặc trưng của mẫu
Trung bình
 Phương sai – Độ lệch chuẩn
 Trung vị
 Mode



I. LÝ THUYẾT MẪU
4. Các tham số đặc trưng của mẫu


Xét mẫu cỡ n: (X1, ..., Xn)


Trung bình mẫu:

1 n
X = ∑ Xi
n i =1


I. LÝ THUYẾT MẪU
4. Các tham số đặc trưng của mẫu


Phương sai mẫu:
n
2
1
2
S = ∑( Xi − X )
n i =1

S = X − (X )
2

2

2

Với

n
1
X 2 = ∑ X i2
n i =1


I. LÝ THUYẾT MẪU
4. Các tham số đặc trưng của mẫu


Phương sai mẫu hiệu chỉnh
n
2
1
2
S =
Xi − X )
(
∑
n − 1 i =1



Độ lệch chuẩn:

S = S2


I. LÝ THUYẾT MẪU
4. Các tham số đặc trưng của mẫu



Xét mẫu cỡ n: (X1, ..., Xn)
được biểu diễn theo bảng tần số



X

X1

X2 X3 ...

ni

n1 n2 n3 ...

Xk-1
nk-1

Trung bình mẫu:

1 k
X = ∑ ni X i
n i =1

Xk
nk

I. LÝ THUYẾT MẪU
4. Các tham số đặc trưng của mẫu


Phương sai mẫu:
k
2
1
2
S = ∑ni ( X i − X )
n i =1

S = X − (X )
2

2

2

Với
k
1
X 2 = ∑ ni X i2
n i =1


I. LÝ THUYẾT MẪU
4. Các tham số đặc trưng của mẫu


Phương sai mẫu hiệu chỉnh
n
2
1
2
S =
ni ( X i − X )
∑
n − 1 i =1



Độ lệch chuẩn:

S= S

2


I. LÝ THUYẾT MẪU
4. Các tham số đặc trưng của mẫu


Ví dụ 1. Khảo sát chiều cao của 15 sv trong một
lớp học:
160,165,155,162,167,145,158,170,165,155
158,160,170,175,169
Tính các tham số mẫu.



Ví dụ 2. Thời gian tự học của 100 sinh viên cho
bởi bảng sau

Thời gian tự học
Số sinh viên
Tính các tham số mẫu

1

2

3

10 20 40

4

5

20 10


II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG
1. Ước lượng điểm


Bài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên
X có hàm mật độ xác suất là f(x,θ); θ là tham số
chưa biết của hàm mật độ, ta cần đi tìm θ. Xét

mẫu ngẫu nhiên cỡ n: (X1, X2, ..., Xn) được lấy từ
ˆ = h ( X ,..., X )
Θ
1
n

X. Một thống kê
gọi là một ước
ˆ gọi là bài
lượng điểm của θ. Bài toán đi tìm Θ
ˆ = θˆ là một ước
toán ước lượng điểm. Và giá trị Θ
lượng điểm cụ thể cho θ.


II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG
1. Ước lượng điểm


Ví dụ:

-

Xét X là bnn có phân phối chuẩn X ~ N(μ, σ2).
Thì hai tham số cần tìm ở đây là Θ = ( θ1 ,θ 2 ) = ( µ , σ 2 )

-

Hai ước lượng cho a và σ2 là:

1 n
µ = X = ∑ Xi
n i =1
^

n
1
σˆ 2 = s 2 = ∑ ( X i − X ) 2
n i =1


II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG
2. Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)


Giả sử θ là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên
X. Dựa vào mẫu (X1, X2, ..., Xn) cần tìm hai đại
lượng θ1(X1,..., Xn) và θ2(X1,..., Xn) sao cho

P ( θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ) = γ


Với

γ

đủ lớn cho trước, thường

(*)

γ=95%

hoặc

99%. Xác suất γ gọi là Độ tin cậy (ĐTC) của ước
lượng. Khoảng [θ1, θ2] gọi là khoảng tin cậy của
ước lượng.


II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG
2. Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)


Ý nghĩa của (*):
Có γ100% số lần lấy cỡ mẫu n thì θ∈ [θ1, θ2].
Có (1-γ)100% số lần lấy cỡ mẫu n thì θ∉ [θ1, θ2].


III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH
TH biết trước phương sai





Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2). Với σ cho trước,
cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình µ với
ĐTC (1 – α).
Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn).
Đặt

X − µ)
(
Z=

σ



Khi đó Z ~ N(0,1).

n


III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH

TH biết trước phương sai
Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – α) :



µ = x mε
z

α
1−
2

với

ε=z

1−

α
2

σ
n

: phân vị của phân phối chuẩn, tra bảng phụ lục 3

ε gọi là sai số, độ chính xác, bán kính ước lượng.


III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH
TH chưa biết phương sai, n ≥ 30
Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2). Cần tìm khoảng ước
lượng cho trung bình µ với ĐTC (1 – α).

Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn).




Đặt

X − µ)
(
Z=

n

S




Khi đó Z ~ N(0,1).
Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – α) :
s
ε=z α
µ = x mε với
1−
n
2


III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH
TH chưa biết phương sai, n < 30





Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2). Cần tìm khoảng ước lượng
cho trung bình µ với ĐTC (1 – α).
Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn).
Đặt

X − µ)
(
T=

n

S




Khi đó Z ~ tn −1;1− α2 (phân phối student, tra bảng phụ lục 4)
Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – α) :

µ = x mε

với

ε = tn −1;1− α

2

s
n