Tiểu luận toán cao cấp nhóm nửa nhóm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (591.99 KB, 23 trang )
KHOA THCS
ôn:
n
n
:
–
n:
n
34
n
n
n
n:
n
............................................................................................................................................3
1.
................................................................................................................................3
2.
..........................................................................................................................3
3.
....................................................................................................................3
4.
..............................................................................................................................3
........................................................................................................................................5
.......................................................................................................................5
.................................................................................................................................7
-
............................................................10
......................................................................................................................................21
............................................................................................................................23
n
1.
,
,
,
,
,
n
2.
n
-
,
,
–
n
3.
n
n
,
,
4.
n
n
–
Ơ
1:
n
I.
n ô
n n
1.
,
hai ngôi
n
II.
n n
1.
M t n a nhóm là m t c p (X,*)
X là m t t p không rỗng và * là
m t phép toán hai ngôi trên X có tính ch t k t h p.
y n u (X,*) là m t n a nhóm thì
(x*y)*z=x*(y*z)
v i m i x,y,z∈X.
M t n a nhóm có ph n t trung l p thì ta g i là m t v nhóm.
M t n a nhóm (v nhóm) mà phép toán có tính ch t giao hoán thì ta g i là
m t n a nhóm (v nhóm) giao hoán.
:
N ù
,
0; N
,
(P(X),∪)
,
∅.( (X),∩)
,
X.
N∗
BCNN. N∗ ù
nhóm. Tuy nhiên N∗ không
Ơ
1
2:
n n
:
X≠∅*
X, (X,*)
, , ∈ X,
i)
*( * )
∈ X sao cho x ∈ X,
ii)
∈X
iii)
( * )*
*
*
∈X
(X,*)
*
*
X
Abel.
2
n
n
n
n
≠ ∅, *
X
( * )*
i)
n
m)
:
, , ∈X
*( * ),
X
*
ii)
*
, ∈
X,
X
iii)
X
iv)
X
X
X
.
3.
n
(X, )
i)
ii)
ỗ
X
(
)
(
)
∈ X,
,
iii)
( x-1) -1
iv)
( , )-1 = y -1 x -1
∈X
,
n
II.
n n
1.
X
X
ù
T
⊆
,
≠ ,
n
2.
≠
n
n
n
X
i)
x,y ∈
ii)
∈
∈H
x-1 ∈ H
e∈
iii)
3.
a)
x,y ∈
b)
x,y ∈ H, xy-1 ∈ H
n
III.
31
∈
-1
∈H
n
n n
X
x-1ax ∈
∈
∈X
n
n
32
n
(
i)
X
X
ii)
X
,
)
X
ù
(
,
)↦
,
X
4
n
X
X/A = { xA| x ∈ X
X
ù
,
Ơ
3:
-
n 1:
n
n
≠∅X
n
n
n
n
n ô
n
n
I.
X
, , ∈ X,
:
n
n
*( * )
( * )*
ôn
i:
∀ a,b ∈ N*
+ ∈ N*
+
N*
∀ a,b ∈ N*
(a+b)+c = a+ (b+c)
+
∀ a,b ∈ N*
+
+
+
, (N*, +)
II.
1
n
n
ôn
:
∀ a,b ∈ N*
+ ∈ N*
+
∀ a,b ∈ N*
N*
( + )+
+( + )
+
∀ a,b ∈ N*
+
+
+
, (N*, +)
2 ( *,*)
(*)
:
∀ a,b ∈ N*
( , ) ∈ N*
(*)
N*
(( , ), )
N (a,(b,c))
+
( , )
( , )
+
∈ N*
( , )
( , )
Suy ra ( *,*)
3.
n
n
n
n
n
n
*
a
b
c
a
b
a
a
b
c
a
b
c
a
b
c
n n
n
n.
ôn
:
(a*a)*a = b*a = c
a*(a*a) = a*b = a
(a*a)*a ≠ a*(a*a)
*
; *
n
III.
n
∈ X ; b ∈ X sao cho ab = ba
1 X
a) CMR: (ab)n = anbn
b)
2 X
; *
;
∈N
( )2 = a2b2
ù
X
g?
XX↦X
(x,y)↦ x
X
n 2:
n
n
n
n
n
n
n
n
I.
, , ∈ X,
i)
(
)
( )
e∈X
ii)
∈X
iii)
∈X
,
∈X
( X, )
( , ),
( , )
II.
1
(*)
Q,
*
+ +
a)
(Q, *)
,
a,b ∈ Q
, ∈Q -
b)
* ∈ Q\{-1}
(Q - ,*)
c)
a.
0
( Q, * ).
m. Suy ra -1 ∈ ( Q,*)
( Q, *)
0
(- ) *
(- ) + + (- )
Nên ( Q,*)
b.
n ô
, ∈
*
-
↔ b=
= -1
- ,
+ +
-
, ≠- )
( tr
*
≠-
*
∈ Q\{-1}.
, ∈Q - ,
c.
(a*b)*c = ( a + b + ab) * c = a + b + ab + c + ac + bc + abc.
a*(b*c) = a* ( b+c + bc ) = a + b + c + bc + ab + ac + abc.
Suy ra ( a*b) * c = a* ( b*c). Nên
∈
-
=
a*b = a*(
)=a+(
=
=0
*
) + a.(
(
)=
)
-
0
(Q - ,*)
Q+,
2
a*b =
,
(*)
, ∈ Q+
(Q+,*)
Q+ ≠ ∅, Q+
, , ∈ Q+,ta c
(a*b)*c =
*( * )
(*)
*c =
*
=
suy ra (a*b)*c = a*(b*c) . suy ra Q+
00
∈ Q+,
a*2009 =
00 *
=
Q+
=a
00
∈ Q+
,
(
a*a' =
)
=
= 2009 = a'*a
∈ Q+
(Q+,*)
V
, ∈ Q+,
a*b =
=
= b*a
Suy ra (Q+,*)
]
3 Cho X ={[
∈ }
X
:
[
] ∈ X nên X ≠ ∅
[
] ∈ X, x ∈
[
] ∈ X, y ∈ Q
=[
][
]=[
] ∈X
(do y+x ∈ Q),
=[
-1
]
AA' = [
][
]=[
] =[
I3 = A'A.
∈X
(X, )
n
III.
1
X
n
,
x*y = x + 2xy + y
X
(*)
(x,y ∈ X)
(X,*)
2
X
(*)
(a,b)*(c,d) = (a + c.(-1)c.b + d)
(X,*)
]=
n3
n
n
n
n
n
n
I.
⋃X
Ø≠
i)
x,y ∈ ,
ii)
x,y ∈ ,
ii)
x-1 ∈ H
⋃X
Ø≠
i)
xy ∈
xy-1 ∈ H
II.
1 Cho A
ỗ
X
A
AA-1 = A
X
:
A-1 = {a-1 | a∈A}. khi A
X
A-1 ⊂ A
A-1 ⊂ A nên AA-1 ⊂ A
,
∈A
-1
∈ AA-1 nên A ⊂ AA-1
AA-1 = A
AA-1 = A,
, ∈ A,
Suy ra A
2
-1
∈ AA-1 = A
X
Z
nguyên
:
n
n-1
Z[x] = { f(x) = {anx + an-1x
Z ⊂ Z[x]
∈Z
+…+
∈ Z[x]
1
1x
+ a0
ai ∈ Z , i = ̅̅̅̅̅
, ∈Z
+ ∈ Z[x]
( ) ∈ Z[x]
0 ∈ Z[x]
f(x) + 0 = 0 + f(x) = f(x)
0
Z[x]
∈Z
–a do a – a = 0
Suy ra (Z,+)
n
III.
n
1 Cho A
n
∈X
X
∈A
X
2
Z,
Z
Z
ỗ
X
X
n4
i)
n
ii)
n
n
n
n
n
n
≤X
∈ ,
ii)
i)
Z, m ∈ Z
A
3
I.
A
≤X
x ∈ X,
x ∈ X,
xhx -1 ∈
x-1hx ∈ H
A
X
II.
X = ZxZ = {(k1,k2) : k1,k2 ∈ Z
1
(k1,k2)( l1,l2 ) = (k1 + l1,k2 + (-1)k1 l2 )
A
(0, )
X
:
A = {an : n ∈
(0, )
V i n = 1 thì (0, 1)1 = (0, 1)
(0, )n-1
(0, − )
≥
(0, )n (0, − )(0, )
(0, )n (0, )
0
−
(0 + 0,
− + (− )0 1) = (0, n)
0
0
(0, 1)n= [(0, 1)-n]-1 (0, − )-1 (0, (− )n+1 (− ))
(0, )
Cu i cùng: (0, 1)0= (0, 0).
V y: A = {(0, 1)n: n ∈ Z} = {(0, n) : n ∈ Z}
Bây gi ta ki m tra A th
u ki n chu n t c:
∀(k1,k2) ∈ X, ∀(0, n) ∈ A:
(k1,k2) (0, n) (k1,k2)-1 = (k1,k2) (0, )(− 1, (− )k1+1k2) = (0, m) ∈ A
(v
(− )k1 n; tuy nhiên giá tr m có th không ph i tính c th
ph n t thu cA ch c n thành ph
A
ub
(0, )
0
i
!)
X
III.
1.
n
n
X = ZxZ = {(k1,k2) : k1,k2 ∈ Z
(k1,k2)( l1,l2 ) = (k1 + l1,k2 + (-1)k1 l2 )
B = {(n,0) : n ∈ Z} ⊂ X
Ch ng minh r ng B là nhóm con không chu n t c c a X.
n n
1)
2) M t n a nhóm là m t c p (X,*)
X là m t t p không rỗng và * là
m t phép toán hai ngôi trên X có tính ch t k t h p.
y n u (X,*) là m t n a nhóm thì
(x*y)*z=x*(y*z) v i m i x,y,z∈X.
3) M t n a nhóm có ph n t trung l p thì ta g i là m t v nhóm.
X≠∅*
4)
X, (X,*)
, , ∈ X,
iv)
*( * )
( * )*
∈ X sao cho x ∈ X,
v)
∈X
vi)
*
∈X
*
*
*
X
5)
X
ù
X
6)
x-1ax ∈
∈
∈X
X
7)
X/A = { xA| x ∈ X
ù
X
,
n
Nửa nhóm
(X,*); *-t/c kết hợp
Vị nhóm
e - P/tử đơn vị
Nhóm
x' - P/tử đối xứng
–
ù
,
,
,
,
,
,
,
–
n –
1.
2. N
ôn
n
n
-
n
n
n
n
n
