Bài giảng giải tích bài 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (493.23 KB, 10 trang )
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI
§ 1. Đại cương về chuỗi số
Định nghĩa
Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
Các tính chất cơ bản
1 1 1
1
Đặt vấn đề: 1 n 2
2 4 8
2
Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?
1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ?
1. Chuỗi số:
Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy
số kí hiệu là an .
Định nghĩa:
Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 là chuỗi số, ký hiệu là
an ,
n 1
an là số hạng tổng quát.
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn S thì ta bảo chuỗi
n
an S .
hội tụ, có tổng S và viết:
n 1
Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi
an phân kỳ.
n 1
Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính
Sn 1 q q 2 q n
qn
n 0
n 1
1 q
, q 1
1 q
1
, q 1
n
1 q
Phân kỳ khi q 1
lim Sn
1
qn 1 q ,
q 1.
n 0
Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính
1
n n 1
n 1
1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
1
1
1
1
1
1 1 1 1
1
1
1.2 2.3
n n 1 1 2 2 3
n 1
n n 1
1
lim Sn lim 1
1
n
n
n 1
Sn
1
n n 1 1
n 1
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ
1
1
1
1
n (Chuỗi điều hoà) Sn 1 2 3 n
n 1
Lấy n 2m 1 có
1 1
1
1 1 1 1
1
1
1
Sn 1 m 1 1 m
m 1
2 3
2 3 4 5
8
2
2
2 1
1
1
1
1
1
2. 4. 2m. m 1 m 1
2
4
8
2
2
Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn
n
Chuỗi đã cho phân kỳ
Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương:
1
n2
n 1
Sn 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2.2 3.3
n.n
1.2 2.3
n 1 n
22 32
n2
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
2 2
n
1 2 2 3 3 4
n 1 n
Sn tăng và dương
lim Sn S
n
1
n2 S
n 1
Nhận xét:
an 0 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
an hội tụ thì nlim
n 1
Chứng minh:
Có an Sn Sn 1 ;
lim an lim Sn Sn 1 0
n
Nếu lim an 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi
n
n
an phân kỳ.
n 1
Thay đổi một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của
chuỗi.
2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
n
n 1
n 1
Ví dụ 5.
n
1 0
n n 1
n
phân kỳ
n
1
n 1
lim
Ví dụ 6.
1
n
1 1 1 1
n 1
1
n
Có lim 1
n
1
n =2k,k
n =2k+1.
Không tồn tại lim 1
n
n
1
n
phân kỳ.
n 1
Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau
3 5
2n 1
2
4 36
n 2 n 1
(ĐS:
1)
n 1
Ví dụ 8.
n
1
n 1
n
(PK)
2. Tính chất. Giả sử
an S1, bn S2,
n 1
n 1
( an bn ) an bn S1 S2
n 1
n 1
n 1
§2. Chuỗi số dương
Định nghĩa
Các định lí so sánh
1. Định nghĩa:
an ,
an 0
n 1
Nhận xét.
an hội tụ khi và chỉ khi S
n
bị chặn.
n 1
Trong bài này ta giả thiết chỉ xét các chuỗi số dương
2. Các định lí so sánh.
3
Các tiêu chuẩn hội tụ
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
Định lí 1. Cho hai chuỗi số dương, an bn , n tuỳ ý hoặc từ một lúc nào đó trở đi
bn hội tụ an
n 1
hội tụ
n 1
an phân kỳ bn
n 1
phân kỳ
n 1
Chứng minh.
a1 a2 an b1 b2 bn
0 Sn Tn
Rút ra các khẳng định.
Ví dụ 1.
1
Ví dụ 2.
3n 1
n 2
n 1
Chuỗi dương
ln n n
Chuỗi dương
3n 1 3 n
1
3n 1
1
3n
1
ln n
1
1
n ln n
1
phân kỳ
n
n 2
1
0
3n
1
hội tụ
1
n 1
1
3
Chuỗi đã cho hội tụ
1
ln n phân kỳ
n 2
a
Định lí 2. Cho hai chuỗi số dương, lim n k 0
n bn
an và bn cùng hội tụ
n 1
hoặc cùng phân kì.
Nhận xét. Đối với các chuỗi số dương
an
0 và
n bn
1/ Nếu lim
a
2/ Nếu lim n và
n bn
Ví dụ 4.
an và bn :
n 1
n 1
bn hội tụ an hội tụ
n 1
n 1
bn phân kì an phân kì
n 1
n 1
n2
2n3 3
n 1
Chuỗi dương
4
n 1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
2
2
1
n2
n
n 1 .
n
.
3
3
2
3
2n 3 2n 1
2n 1 3
2n 3
2n 3
n2 1
lim
: 2 1
n 2n 3
2n
1
1
2n 2
hội tụ
n 1
n2
2n3 3 hội tụ
n 1
Ví dụ 5.
1
np ,
p0
n 1
1
1
Khi 0 p 1 có 0 n n p , do
n
n
p
1
phân kỳ nên
n
n 1
1
np
phân kỳ.
1
n 1
Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m sao cho n 2m , có
Sn S
m
2
1
2
2
p
1 1
1
1
1
1 p p p p
1
m 1
3 4
7
2
2
4
4
p
2m 1
2m 1
p
1
1
2
p 1
1
2p 1
2
1 am
1
1
, 0 a p 1 1
1 a
1 a
2
Dãy Sn bị chặn trên
1
np
hội tụ.
n 1
KL: Chuỗi hội tụ với p > 1 và phân kì với 0 < p 1.
Ví dụ 6.
n 1
1
n3 3
Chuỗi dương
1
1
1
an
; bn 3/2
n
n 3 3 n 3/2 1 3
3
n
a
lim n 1
n bn
5
p
1
2p 1
m 1
2
m
p
1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
bn hội tụ
n 1
1
hội tụ
3
n 1 n 3
Ví dụ 7
a1)
ln 1
n 1
n2
(PK)
a2)
n 2
b1)
2
n sin
n 1
c1)
d1)
(PK);
2 n
(HT)
c2)
n 1
(PK)
(HT)
(PK)
3
n 1
d2) n e
(PK)
1
n sin n
n 2 n 1
1
n
1
b2)
2
n
n 1
n 1
1
n
1
(PK)
n 2
n 2
d3)
5
n 1 n 1
n 2
n cos n
n 1
sin
n 1
sin 3 n7 2n3 3
(HT)
n 1
e) Xét sự hội tụ
1)
ln n
4 n5
(HT)
2)
n 1
3)
n ln 1 arctan2 2
n 1
n3
1
1
n 1 arcsin ln n
n
(PK)
(HT)
f) Xét sự hội tụ
1
1)
n 1 ln n
n 1
(PK)
2)
n 1
3)
1
1
sin
n
n
n 1
(HT)
f) Xét sự hội tụ : 1)
n 1
ln n 1
3
(HT)
( n 1)
3) Các tiêu chuẩn hội tụ
a) Tiêu chuẩn D’Alembert
6
ln n 1
4
n
5
(HT)
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
an 1
l
n an
lim
Khi l 1
an
hội tụ
n 1
Khi l 1
an phân kỳ.
n 1
Chứng minh
an 1
a
l , chọn > 0 đủ bé để l + < 1 n 1 < l + , n n0.
n an
an
an 1
a a
n n
Mặt khác có an n . n 1 0 .an0 l 0 an0 0, n
an 1 an 2
an0
l < 1: Từ lim
Do đó lim an l
n
an 1
a
l , chọn đủ bé để l > 1 n 1 l 1 an + 1 > an
n an
an
l > 1: Từ lim
phân kì
Nhận xét. Khi l = 1 không có kết luận gì
Ví dụ 1.
1
n!
n 1
1
0
n!
a
1
1
n!
1
lim n 1 lim
:
lim
lim
0 1
n an
n n 1 ! n ! n n 1 !
n n 1
an
1
n ! hội tụ
n 1
Ví dụ 2.
3n
n!
n 1
3n
an
0
n!
an 1
3n 1 3n
3
:
an
n 1! n ! n 1
a
lim n 1 0 1
n an
Chuỗi đã cho hội tụ
7
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi
an
1.3.5 2n 1
1 1.3 1.3.5
2 2.5 2.5.8
2.5.8 3n 1
1.3.5 2n 1
0
2.5.8 3n 1
an 1 1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1 2n 1
:
an
2.5.8 3n 1 3n 2 2.5.8 3n 1 3n 2
an 1 2
1
n an
3
Chuỗi đã cho hội tụ
Ví dụ 4
lim
a1)
a3)
(PK)
nn
n 1
n
n !3n
n !
c1)
d1)
n 1
(HT)
nn
b4)
2n !!
n 1
nn
(HT)
(HT)
2
3n 2n 1
2n 3n 2
n 1
22n 1
b2)
n
n 1 5 ln n 1
(PK)
2n 1!!
n 1
(HT)
(HT)
n 2n
b3)
nn
2
32n 1
b1)
n
n 1 4 ln n 1
n 1
7
n 1
a2)
n !2n
(HT)
n !3n
(PK)
nn
d2)
n 1
b) Tiêu chuẩn Cauchy
Giả sử lim n an l
n
Nếu l 1
an hội tụ
n 1
Nếu l 1
an
phân kỳ
n 1
Nhận xét. Nếu l = 1, không có kết luận gì
2n 1
Ví dụ 5.
3n 2
n 1
n
8
n ! n
nn
(PK)
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Email:
2n 1
an
0
3n 2
2n 1
na
n
3n 2
2
lim n an 1
n
3
Chuỗi đã cho hội tụ
n 1
Ví dụ 6. Xét sự hội tụ, phân kì
n
n 1
n2
(PK)
Ví dụ 7.
3n 2 n 1
a1)
2
4
n
cos
n
n 1
2n ln n
n n 5n
n 1 2
n
n 1
n 2
b1)
n
3
n 1
nn 4
n 1 3
n3
b2)
n
2
n 1
nn 4
(HT)
(PK)
2
(HT)
(HT)
n2
c)
(HT)
3 n ln n
2
a3)
2n 2 n 1
a2)
2
3
n
sin
n
n 1
n n 5n
n
n
n 1
(HT)
2
c) Tiêu chuẩn tích phân
Có mối liên hệ hay không giữa:
b
f ( x ) dx
f ( x ) dx blim
a
a
k
và
an klim
an
n 1
n 1
n
n
Hình 14.4
f ( x ) dx a1 a2 an a1 f ( x ) dx ,
1
1
Nếu f(x) là hàm liên tục, dương giảm với mọi x 1 và lim f ( x ) 0 , f(n) = an, khi đó
x
an và f ( x ) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
n 1
Ví dụ 8.
1
1
n ln n
n 2
9
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
f (x)
1
dương, giảm với x 2 và có lim f ( x ) 0
x
x ln x
b
Email:
f ( x ) dx lim
b
2
2
d ln x
b
lim ln ln x lim ln ln b ln ln2
2
b
n
ln x
f ( x ) dx phân kỳ
1
1
n ln n phân kỳ
n 2
Tổng quát có thể xét
1
n ln n p
hội tụ chỉ khi p > 1.
n 2
Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 1
1 1 1
ln2
2 3 4
1 1 1
1
1
1
1 1 1
1
1
2 3 4
2n 1 2n
3
2n 1 2 4
2n
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
2
1
1
2 3
2n
2n
2 3
2n
2 3
n
2 4
S2n 1
1
1
ln2n o(1) ln n o(1), voi lim 1 ln n
n
2
n
ln2 o(1) ln 2 khi n
Mặt khác ta có
1
S2n 1 S2n
2n 1
lim S2n 1 lim S2n ln 2
n
1n 1 ln2
n 1
n
1 1 1 1 1
3
ln2.
3 2 5 7 4
2
Ví dụ 11. Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số sau
1
ln
ln 1 n
ln n
n
a)
(HT);
b)
(HT)
c)
2
2
2
n 1 n 2
n 1 n 3
n 2 3n
Ví dụ 10. Tương tự nhận được 1
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
10
(HT)
