Một số đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

!
!

Bạn muốn đọc nhanh
những thông tin cần thiết ?
Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi
đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào
mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

! Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó
!
!

Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ
trang báo cáo trên màn hình ?
Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th
thưước
có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to
! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th
thưước
muốn,, Nhấn OK
hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn

Chúc bạn hài lòng
với những thông tin đđưược cung cấp

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận nghiên cứu, em đã gặp rất nhiều khó
khăn và bỡ ngỡ. Nếu không có sự giúp đỡ tận tình và sự động viên, khuyến
khích chân thành của nhiều thầy cô giáo, của bạn bè và gia đình thì có lẽ em khó
có thể hoàn thành được khóa luận này.
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Th.S. Hoàng Thị
Duyên, người đã chỉ dạy cho em những kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm trong
học tập và nghiên cứu khoa học; đã động viên, khuyến khích em trong suốt quá
trình nghiên cứu khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, cán bộ, giảng viên Trường Đại
học Quảng Bình, các giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên đã tận tình giảng dạy,
chỉ dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Cảm ơn các bạn đã đồng hành, giúp đỡ, sát cánh cùng em trong suốt thời
gian học tập vừa qua.
Cuối cùng, em xin cảm ơn ba mẹ đã sinh thành, nuôi dưỡng, dạy dỗ em nên
người; luôn luôn động viên, khuyến khích và tạo điều kiện tốt nhất cho em học
tập, hoàn thành nhiệm vụ.
Em xin chân thành cảm ơn!

1


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................... 1
MỤC LỤC................................................................................................. 2
MỞ ĐẦU ................................................................................................... 4

CHƯƠNG I ............................................................................................... 6
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................ 6
1.1. Biến ngẫu nhiên............................................................................... 6
1.1.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên ........................................................ 6
1.1.2. Bảng phân phối xác suất ............................................................. 6
1.1.3. Hàm phân phối xác suất F(x) ..................................................... 7
1.1.4. Hàm mật độ xác suất f(x) ............................................................ 9
1.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục ....................... 10
1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc ............................................................ 10
1.2.1.1. Định nghĩa............................................................................. 10
1.2.1.2. Các phân phối rời rạc thường gặp .......................................... 10
1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục ........................................................... 15
1.2.2.1. Định nghĩa............................................................................. 15
1.2.2.2. Một số phân phối liên tục thường gặp ................................... 15
CHƯƠNG II ........................................................................................... 27
CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN .................................. 27
2.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ......................................................... 27
2.2. Trung vị.......................................................................................... 31
2.3. Mode .............................................................................................. 31
2.4. Phương sai...................................................................................... 32
2.5. Độ lệch chuẩn................................................................................. 36
2.6. Độ biến thiên và giá trị tới hạn ....................................................... 36
2.6.1. Độ biến thiên ............................................................................ 36
2


2.6.2 Giá trị tới hạn ............................................................................ 36
2.7. Moment .......................................................................................... 37
2.8. Hệ số bất đối xứng ......................................................................... 37
2.9. Hệ số nhọn ..................................................................................... 38

TỔNG KẾT ............................................................................................ 39
PhẦn phỤ LỤc: CÁC BẢNG SỐ....................................................... 40
Bảng 1: Hàm phân phối chuẩn .............................................................. 40
Bảng 2: Giá trị của hàm mật độ chuẩn................................................... 41
Bảng 3: Giá trị tk (α ) của phân phối Student ......................................... 42
Bảng 4: Giá trị χ k2 (α ) của phân phối Khi bình phương ......................... 43
Bảng 5: Giá trị hàm e − λ ......................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................... 46

3


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Ra đời từ thế kỷ 17, xác suất thống kê là một ngành khoa học hiện đại, nó
gần như xuất phát từ các hiện tượng đời sống thực tiễn, hình thành , phát triển
rất nhanh và được sử dụng và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực tự nhiên và
xã hội khác nhau. Hơn 300 năm phát triển, đến nay, nội dung và các phương
pháp xác suất thống kê rất phong phú, đa dạng.
Trong khoa học cũng như trong cuộc sống hằng ngày, ta bắt gặp rất nhiều
hiện tượng ngẫu nhiên mà ta không thể đoán biết được chắc chắn rằng liệu
chúng có xảy ra hay không? Ngẫu nhiên phổ biến ở khắp mọi nơi, trong cả sự
may mắn hay rủi ro, trong cả sự thành công hay thất bại. Ngẫu nhiên cũng chính
là một phần của cuộc sống. Bộ môn Lý thuyết xác suất nghiên cứu các quy luật
của hiện tượng ngẫu nhiên và các phương pháp tính toán xác suất của các hiện
tượng ngẫu nhiên.
Do khuôn khổ có hạn, khóa luận của em chỉ đề cập đến một khía cạnh nhỏ,
đó là ‘‘Một số đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên” nhằm nghiên cứu các
định nghĩa, bài tập ví dụ có liên quan từ đó có những ứng dụng thực tiễn đến

cuộc sống.
Khóa luận được thực hiện dựa trên sự tìm tòi và nghiên cứu rất nhiều các
tài liệu khác nhau và không thể thiếu những sai sót trong việc sắp xếp và hệ
thống lại các kiến thức. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến từ phía
các thầy, cô giáo để cho khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
2.Mục đích nghiên cứu
Trang bị cho bạn đọc các kiến thức hữu ích về lý thuyết xác suất và thống kê
toán học. Nêu các định nghĩa về biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên liên tục, biến
ngẫu nhiên rời rạc; các định nghĩa, tính chất, ví dụ về các đại lượng đặc trưng
của biến ngẫu nhiên và một số phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
4


3. Đối tượng nghiên cứu
Ở chương I, em nghiên cứu về biến ngẫu nhiên, bảng phân phối xác suất, hàm
mật độ xác suất, hàm phân phối xác suất; biến ngẫu nhiên liên tục và biến
ngẫu nhiên rời rạc cùng với một số phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc và
liên tục.
Ở chương II, em trình bày một số đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên
như kỳ vọng, phương sai, mode, trung vị, độ lệch chuẩn, moment, độ biến
thiên, giá trị tới hạn, hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ của đề tài là nghiên cứu các đại lượng đặc trưng của biến ngẫu
nhiên, các đặc trưng chủ yếu của biến ngẫu nhiên và lý thuyết xác suất có liên
quan.
5. Phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết xác suất thống kê toán về biến ngẫu nhiên và các đại lượng đặc
trưng của biến ngẫu nhiên.
Hệ thống bài tập liên quan đến biến ngẫu nhiên và các đại lượng đặc trưng
của biến ngẫu nhiên .

6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
6.2. Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết
6.3. Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết
6.4. Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm.

5


CHƯƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, em trình bày một số khái niệm, một số phân phối của
biến ngẫu nhiên, bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật
độ xác suất làm cơ sở để xây dựng chương II của khóa luận. Các kiến thức ở
chương này chủ yếu được trích dẫn từ các tài liệu [1] [4] [6] [7] [8].
1.1. Biến ngẫu nhiên
1.1.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận các giá trị nào đó phụ
thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên, nghĩa là với mọi giá trị thực x ∈ . thì { X ≤ x}
là một biến cố ngẫu nhiên.
Nói cách khác, biến ngẫu nhiên là đại lượng mà các giá trị của nó là số thực phụ
thuộc vào các kết quả của phép thử.
Kí hiệu Biến ngẫu nhiên: X, Y, Z,...
Ví dụ 1.1.
i) Sai số khi đo lường một đại lượng vật lí,
ii) Tuổi thọ của một bóng đèn,
iii) Số chấm xuất hiện khi ta gieo một con xúc xắc,
iv) Số khách hàng vào cửa hàng trong một thời điểm nào đó.
Căn cứ vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận được người ta phân chia biến ngẫu

nhiên thành hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục.
1.1.2. Bảng phân phối xác suất
Định nghĩa 1.2. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là bảng
dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1 , x2 , x 3 ,..., xn ,... với
các xác suất tương ứng p1 , p2 , p3 , ..., pn , ... thì ta có bảng phân phối xác suất
của biến ngẫu nhiên X như sau
X

x1

x2

x3

...

xn

...

P

p1

p2

p3

...

pn

...

6


Chú ý: điều kiện để tạo ra quy luật xác suất thì các xác suất pi phải thỏa mãn
điều kiện
0 ≤ pi ≤ 1


∑ pi = 1.
 i

Ví dụ 1.2. Một hộp có 10 viên bi trong đó có 4 bi xanh, 6 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
2 viên bi. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số viên bi đỏ được lấy ra?
Giải.
Gọi X là số viên bi đỏ được lấy ra khi ta lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Khi đó X là
biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2 với các xác suất tương ứng
P ( X = 0) =
P ( X = 1) =

C42
2
= .
2
C10 15

C41 .C16 8
= .
C102
15

P ( X = 2) =

C62
5
= .
2
C10 15

Vậy ta có bảng phân phối xác suất số viên bi đỏ lấy ra được là
X

0

1

2

P

2
15

8
15

5
15

1.1.3. Hàm phân phối xác suất F(x)
Định nghĩa 1.3. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là hàm
số FX ( x) xác định với mọi x ∈ bởi công thức
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) , − ∞ < x < +∞.

Tính chất
Hàm phân phối có các tính chất sau
i) 0 ≤ F X ( x ) ≤ 1 với mọi x ∈ .
ii) FX ( x ) là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu X là biến ngẫu nhiên
liên tục thì

FX ( x) là hàm liên tục.
+
FX ( a + ) = FX ( a ) với FX ( a ) =

7

lim FX ( x )

x>a,x→a


iii) FX (−∞) = lim FX ( x) = 0; FX (+∞) = lim FX ( x) = 1 ,
x→−∞

x→+∞

iiii) P {a < X ≤ b} = FX (b) − FX (a) .
iiiii) P { X > a } = 1 − F X ( a ) ; P { X < a } = F X ( a − ) với FX ( a − ) = lim FX ( x ).
x
Ví dụ.1.4. Một nguồn thông tin sinh ra các ký hiệu ngẫu nhiên từ bốn ký tự
{a, b, c, d } với xác suất P(a) = 1/ 2 , P(b) = 1/ 4 và P (c ) = P ( d ) = 1/ 8 . Mã hóa các
ký hiệu này theo các mã nhị phân sau
a

0

b

10

c

110

d

111

Đặt X là biến ngẫu nhiên ký hiệu độ dài của mã, đó là số các bit. Tìm hàm phân
phối xác suất của X.
Giải.
Ta có
P { X = 1} = P(a) = 1/ 2 ,
P { X = 2} = P (b) = 1/ 4 ,
P { X = 3} = P {c , d } = P ( c ) + P ( d ) = 1 / 4 .

Khi đó hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là
x <1
0
1/ 2 1 ≤ x < 2

FX ( x) = 
3 / 4 2 ≤ x < 3
1
x≥3

Đồ thị của FX ( x) có dạng bậc thang

8


1.1.4. Hàm mật độ xác suất f(x)
Định nghĩa 1.4. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là
đạo hàm của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó. Kí hiệu f(x)
f ( x ) = F ' ( x ) , − ∞ < x < +∞.

Tính chất
i) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục luôn luôn không âm
f(x) ≥ 0 , − ∞ < x < + ∞.
ii) Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục tính bằng tích phân
suy rộng của hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên đó trong khoảng ( −∞; x )
x

F( x) =

∫ f ( x ) dx.
−∞

iii) Tích phân suy rộng trong khoảng ( −∞; +∞ ) của hàm mật độ xác suất
bằng 1
+∞

∫ f ( x ) dx = 1.

−∞

iiii) Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng ( a; b )
bằng tích phân xác định của hàm mật độ xác suất trong khoảng đó
b

P ( a < X < b ) = ∫ f ( x ) dx.
a

Ví dụ 1.5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất dạng
0 khi x ≤ 0

F ( x ) =  x 2 khi 0 < x ≤ 1.
1 khi x > 1


Tìm hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.
Giải.
Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X là
f(x) = F’(x)
Với x < 0 suy ra F(x) = 0 nên f(x) = 0.

Với 0 < x < 1 suy ra F(x) = x2 nên f(x) = 2x
Với x > 1 suy ra F(x) = 1 nên f(x) = 0

9


Tại x = 0 ta có
F '(0− ) = lim
x→ 0

−

F ' (0 + ) = lim

x→ 0 +

Suy ra

F ( x ) − F (0)
0−0
0
= lim
= lim = 0.
−
−
x−0
x
x→ 0
x→ 0 x
F ( x ) − F (0)

x2 − 0
= lim
= lim x = 0.
x−0
x
x→ 0 +
x→ 0 +

f(0)= F’(0) = 0

Tại x = 1 có
F ( x) − F (1)
x 2 − 12
F '(1 ) = lim
= lim
= lim ( x + 1) = 2.
x −1
x→ 1 −
x→ 1 − x − 1
x→ 1 −
−

F ' (1+ ) = lim

x→ 1 +

F ( x) − F (1)
1 − 12
0
= lim

= lim
= 0.
+ x −1
+ x −1
x −1
x→ 1
x→ 1

Vậy ta có hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X là
0 khi x ≤ 0

f ( x ) = 2x khi 0 < x ≤ 1.
1 khi x > 1


1.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục
1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1.2.1.1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà tập hợp giá trị của nó là
hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
Ví dụ
i) Gọi X là số nốt xuất hiện khi gieo con xúc xắc thì X là một biến ngẫu
nhiên rời rạc nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ii) Gọi Z là số khách hàng vào một thời điểm của nhà hàng A trong một
đơn vị thời gian thì Z là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị
0, 1, 2, 3, ..., n
1.2.1.2. Các phân phối rời rạc thường gặp
1.2.1.2.1. Phân phối Bernoulli
Định nghĩa 1.5. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị 0, 1 với xác
suất tương ứng

P { X = k} = p k q1−k ; k = 0,1.
10


Trong đó 0 < p < 1, q = 1 − p, được gọi là có phân phối Bernoulli tham số p.
Xét phép thử Bernoulli với sự thành công của phép thử là sự xuất hiện của
biến cố A và giả sử xác suất xuất hiện của A trong mỗi lần thử là p . Gọi X là
số lần thành công trong một lần thử thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân
phối Bernoulli tham số p .
Phân phối Bernoulli tham số p còn được gọi là phân phối 0 - 1 A( p) .
Bảng phân phối
X

0

1

P

q=1-p

P

Ví dụ 1.6.
i) Gieo con xúc xắc. Gọi X là số mặt chẵn – giá trị 1 với xác suất p = 0,5; giá
trị 0 - mặt lẻ với xác suất q = 0,5.
ii) Ấp 1 quả trứng. Gọi X là số trứng nở. X lấy giá trị 1 (trứng nở) với xác suất
p = 0,8; X nhận giá trị 0 (trứng không nở) với xác suất q = 0,2.
1.2.1.2.2. Phân phối nhị thức B ( n, p ) .
Định nghĩa 1.6. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 0, 1, ..., n với

xác suất tương ứng
p X (k ) = P { X = k } = Cnk p k q n − k ; k = 0,1,..., n

trong đó n là số tự nhiên và 0 < p < 1, q = 1 − p , được gọi là có phân phối nhị
thức tham số n, p , ký hiệu X B ( n, p ) .
11


Bng phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn cú quy lut nh thc B ( n, p ) .

Hm phõn phi
n

FX ( k ) = Cnk p k q n k , 0 k n.
k =0

Ví dụ 1.7. Có một hộp gồm 10 viên thuốc giống nhau trong đó có 3 viên thuốc
hỏng. Chọn lần lợt 5 viên thuốc (có hoàn lại) để kiểm nghiệm.
a) Tìm xác suất để đợc 3 viên thuốc tốt.
b) Tỡm xác suất để có tối đa 2 viên thuốc tốt.
Giải.
a) Ta cú X

B ( n, p ) nờn

7
P( X = 3) = C .
10
3
5

3

2

3
. = 0, 3027.
10

b) Ta cú
P ( X 2 ) = P ( X = 1) + P ( X = 2) = 0,837.

Vớ d 1.8. Tỡm xỏc sut 1 gia ỡnh 4 con cú
a) ớt nht 1 con trai.
b) ớt nht 1 con trai, 1 con gỏi. Gi s xỏc sut sinh con trai bng 0,5.
Gii.
Gi X l s con trai thỡ X l i lng ngu nhiờn cú phõn phi nh thc vi
12


p = 0,5 và n = 4.
a) Gọi A là biến cố có ít nhất một con trai thì
 1
P ( A ) = 1 − P( X = 0) = 1 − B  4; 
 2
4

15
1
=1− C   =

.
16
2
0
4

b) Gọi B là biến cố có ít nhất một con trai , một con gái.
Ta có
P( B) = 1 − ( P ( X = 0 ) + P ( X = 4 ) )
= 1−

1 1 7
− = .
16 16 8

1.2.1.2.3. Phân phối Poisson
Định nghĩa 1.7. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị k = 0, 1, 2, ... với xác
suất
p X (k ) = P { X = k} = e−λ

λk
; k = 0,1, 2,...
k!

gọi là có phân phối Poisson tham số λ > 0 , ký hiệu X

P (λ ).

Hàm phân phối

FX (n) = e

−λ

λk
∑ k ! , n = 1, 2,3,...
k =0
n

13


Phân phối Poisson dùng để nghiên cứu những sự kiện hiếm có. Một bệnh ít
gặp ( khi ta nghiên cứu tình hình tử vong), số hồng cầu hoặc vi sinh vật pha rất
loãng khi ta đếm qua ô vuông của ống kính đếm, tai nạn ít xảy ra.
Trong những trờng hợp đó với điều kiện n phải lớn ( n > 50 và n. p < 5 )
phân phối Poisson có thể thay thế phân phối nhị thức, ta tính dễ dàng các số hạng
của luật Poisson , trái lại việc tính toán các số hạng của luật nhị thức rất công
phu khi n lớn.
Vớ d 1.9. mt tng i in thoi cỏc cuc gi n mt cỏch ngu nhiờn, c
lp v trung bỡnh cú 2 cuc gi trong 1 phỳt. Tỡm xỏc sut
a) Cú ỳng 5 cuc gi n trong 2 phỳt (bin c A).
b) Khụng cú mt cuc gi no trong 30 giõy (bin c B).
c) Cú ớt nht 1 cuc gi trong 10 giõy (bin c C).
Gii.
Ký hiu X (t ) l s cuc gi n tng i trong khong thi gian t phỳt,
cú th chng minh c X (t ) cú phõn phi Poisson tham s t , trong ú l s
cuc gi trung bỡnh trong 1 phỳt. Theo gi thit = 2 . Vy ta cú
a) X ( 2 ) P ( 4 ) , do ú
P( A) = P{X (2) = 5} = e 4

45
0,156 .
5!

1

b) X P (1) . , do ú
2
P ( B ) = P{X (1 / 2) = 0} = e 1 0,3679 .

1
1
c) X P , do ú
6

3

P (C ) = P { X (1/ 6) 1} = 1 P { X (1 / 6) = 0}

= 1 e1/3 0, 2835 .

Vớ d 1.10. Mt mỏy dt cú 5000 ng si) xỏc sut trong mt phỳt mt ng
si b t bng 0,0002. Tỡm xỏc sut trong mt phỳt cú khụng quỏ 2 ng si
b t.
Gii.
Bi toỏn tha món lc Bernouli vỡ n = 5000 rt ln so vi p = 0,0002
quỏ nh v tớch n.p = 5000.0,0002 = 1 npq khụng i. Vy = 1.
Do ú tuõn theo phõn phi Poisson, ta cú

14


P ( 0 ≤ X ≤ 2 ) = p0 + p1 + p2

p0 = e −λ .

λ0
0!

−1

= (2,71) .

10
−1
= (2,71)
0!

1
−1
p1 = p0 = (2,71)
1
p2 =

1
1
−1
p1 = (2,71)
2

2

Do đó
1
−1 
P ( 0 ≤ X ≤ 2 ) = ( 2, 71) 1 + 1 +  = 0,9225.
2


1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục
1.2.2.1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà tập hợp giá trị của nó có thể lấp
đầy một khoảng nào đó trên trục số.
Ví dụ 1.11.
i) Gọi X là năng suất lúa vụ mùa của một tỉnh, X là biến ngẫu nhiên liên
tục.
ii) Gọi Y là kích thước của chi tiết do một máy sản xuất ra khi đó Y là
một biến ngẫu nhiên liên tục.
iii) Gọi Z là nhiệt độ không khí ở một tỉnh A trong một ngày thì Z là
một biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong khoảng từ a oC đến b 0C .
1.2.2.2. Một số phân phối liên tục thường gặp
1.2.2.2.1. Phân phối đều U(a, b)
Định nghĩa 1.8. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên

[ a, b ] nếu hàm mật độ xác suất của nó xác định bởi
 1

f X ( x) =  b − a
 0

nÕu x ∈ [ a, b ]
nÕu ng−îc l¹i

Hàm phân phối xác suất tương ứng

15


x

FX ( x ) =




0
xa

f X (t ) dt =
b a
1

nếu x a
nếu a < x b
nếu x > b

Vy X cú kh nng nhn giỏ tr trong khong ( a; b ) l u nhau v khụng
nhn giỏ tr ngoi ( a; b ) .

Quy luật phân phối đều có ứng dụng rộng trong thống kê toán. Nó có ý nghĩa to

lớn trong các phơng pháp phi tham số. Khái niệm phân phối đều đôi khi còn
đợc sử dụng trong lý thuyết các ớc lợng thông kê.
Trong một số lý thuyết kết luận thống kê ngời ta thờng xuất phát từ quy tắc
sau đây: Nếu ta không biết gì về giá trị tham số cần ớc lợng thì mỗi giá trị có
thể có của tham số đó là đồng khả năng. Điều đó dẫn đến việc quan niệm tham
số cần ớc lợng nh một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối đều.
Vớ d 1.12. Khi thõm nhp vo th trng mi) doanh nghip khụng th khng
nh c mt cỏch chc chn rng doanh s hng thỏng cú th t c s l
bao nhiờu m ch d kin c rng doanh s ti thiu s l 20 triu ng/
thỏng, v ti a l 40 triu ng/ thỏng.Tỡm xỏc sut doanh nghip t c
doanh s ti thiu l 35 triu ng/ thỏng.
Gii.
Gi X l doanh s hng thỏng m doanh nghip cú th t c th
trng ú. Do khụng cú thụng tin gỡ hn nờn cú th xem X l bin ngu nhiờn
liờn tc cú phõn phi u trờn khong (20;40).
Vy X cú hm mt xỏc sut nh sau

16


1

= 0, 05 , nếu x ( 20; 40 )

f ( x ) = 40 20

0
, nếu x ( 20; 40 )

T ú xỏc sut doanh nghip t c doanh s ti thiu l 35 triu
ng/thỏng c tỡm theo tớnh cht ca hm mt xỏc sut nh sau
+

P ( X > 35) =



40

f ( x ) dx = 0, 05dx

35

35

= 0, 05

40
35

= 0, 25.

Vy, xỏc sut doanh nghip ot doanh s ti thiu 35 triu ng/ thỏng l
0,25.
Ví dụ 1.13. i lng ngu nhiờn X cú phõn phi u trờn on [ 1;3].
Tớnh P ( X 2 < 2 ) .
Giải.
Ta có

(

)

(
)
= P ( 1 < X < 2 )

P X2 <2 = P 2 < X < 2

3

1
1
=
dx =

3 + 1 1
4

(

)

2 +1 .

1.2.2.2.2. Phõn phi m
nh ngha 1.9. Bin ngu nhiờn liờn tc X c gi l cú phõn phi m
tham s > 0 nu hm mt xỏc sut xỏc nh nh sau
e x

f X ( x) =
0

nếu x > 0
nếu x 0

Hm phõn phi xỏc sut
x

FX ( x) =




1 e x
f X (t ) dt =
0

nếu x > 0
nếu x 0

Trong thực tế nhiều đại lợng ngẫu nhiên phù hợp với phân phối mũ , chẳng
hạn thời gian phục vụ của hệ phục vụ đám đông là các i lng ngu nhiờn tuân
theo phân phối mũ ( thời gian nói chuyện các cuộc đàm thoại; thời gian khách
hàng cần phục vụ ở nhà hàng...) Thời gian sống của bóng đèn điện, thời gian
phục vụ của một dụng cụ điện tử... cũng tuân theo quy luật phân phối mũ.
17


VÝ dô 1.14. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ = 1 .

Xét đại lượng ngẫu nhiên Y = 2. X 2 . Hãy tính
a) P ( 2 < Y < 18 )
b) P (Y < 4 )
Giải.
a) P ( 2 < Y < 18 ) = P (1 < X < 3)
= e −1 − e −3 = 0,3181.

b) P (Y < 4 ) = P ( X < 2 )
= 1 − e−

2

= 0, 756.

1.2.2.2.3. Phân phối chuẩn N (µ ; σ 2 )
Định nghĩa 1.10. Một biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối chuẩn có
hàm mật độ xác suất
−
1
fX ( x) =
e
σ 2π

( x − µ )2
2σ 2

, − ∞ < x < +∞

được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn. khi đó ta kí hiệu X ~ N (µ ; σ 2 ) .
Phân phối chuẩn được Gauss tìm ra năm 1809 nên nó còn được gọi là phân

phối Gauss. Phân phối chuẩn thường được thấy trong các bài toán về sai số gặp
phải khi đo đạc các đại lượng vật lý, thiên văn,...
Trong thực tế, nhiều biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn hoặc tiệm
cận chuẩn (Định lý giới hạn trung tâm). Chẳng hạn: trọng lượng, chiều cao của
một nhóm người nào đó, điểm thi của thí sinh, năng suất cây trồng, mức lãi suất
của một công ty, nhu cầu tiêu thụ của một mặt hàng nào đó, nhiễu trắng trên các
kênh thông tin,...
Trong nghiên cứu địa chất, phân phối chuẩn cũng được ứng dụng để mô tả
nhiều hiện tượng địa chất như hàm lượng và khoáng vật trong đá, hàm lượng
của một số nguyên tố hóa học, mực nước trong lỗ khoan,…

18


Hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn N(µ ; σ2 )
1
F ( x) =
σ 2π

x

∫e

−

( x − µ )2
2σ 2

dx.

−∞

Đồ thị hàm mật độ xác suất của X ~ N (µ ; σ 2 ) có dạng hình chuông, nhận
trục x = µ làm trục đối xứng, tiệm cận với trục hoành khi x → ±∞ và diện tích
giới hạn bởi đồ thị và trục hoành bằng 1.

Phân phối chuẩn tắc
Phân phối chuẩn N (µ ; σ 2 ) với µ = 0 , σ2 = 1 gọi là phân phối chuẩn tắc
N(0;1) .

Hàm mật độ xác suất của phân phối N(0;1)
ϕ( x) =

1
e
2π

−

x2
2 ,

− ∞ < x < +∞.

Hàm phân phối xác suất của N(0;1)
x

Φ( x) =

∫ ϕ(t )dt =

−∞

x

1
∫e
2π −∞

−

19

t2
2 dt ,

− ∞ < x < +∞.


Các tính chất của hàm phân phối xác suất Φ(x)
i) Φ( x) + Φ(− x) = 1 , Φ(− x) = 1 − Φ( x) .
ii) Nếu X ~ N(0;1) thì
∀ a > 0, P { X < a} = 1 − 2Φ(a), P { X > a} = 2Φ ( a ) .

ϕ( x)

Định nghĩa 1.11. Giá trị U α gọi là giá trị tới hạn mức α của phân phối
chuẩn tắc nếu
Φ −1 (1 − α ) = U α .

Ta có

i) Nếu X ~ N(0;1) thì




P { X > Uα } = α ; P  X > U α  = α ; P  X < U α  = 1 − α .


2

2


ii) Nếu X ~ N (µ ; σ 2 ) thì

X −µ
~ N(0;1) . Từ đó ta có
σ

 X −µ x −µ
 x −µ 
FX ( x) = P { X ≤ x} = P 
≤
 = Φ
.
σ 
 σ
 σ 
a − µ X − µ b − µ
b−µ

a −µ
P{a < X < b} = P 
<
<
 − Φ
.
 = Φ
σ
σ 
 σ
 σ 
 σ 

20


VÝ dô 1.15. Cho Z là đại lượng ngẫu nhiên với phân phối chuẩn. Xác định giá trị
của z nếu
a) P ( 0 ≤ Z ≤ z ) = 0, 423.
b) P ( Z ≤ z ) = 0, 7967.
c) P ( z ≤ Z ≤ 2 ) = 0,1000.
Giải.
a) Ta có ϕ( z ) : ϕ( z ) = 0, 423 suy ra z = 1, 43
Vậy P ( 0 ≤ Z ≤ z ) = 0, 423. Suy ra z = 1, 43 .
b) Ta có P ( −∞ < Z < zk ) = P ( Z ≤ zk ) − P ( −∞ < Z < 0 )
= 0,7976 − 0,5 = 0,2926 .

Ta được z = 0,83 .
c) P ( 0 < Z < zk ) = P ( 0 ≤ Z ≤ 2 ) − P ( zk < Z < 2 )
= 0,4772 − 0,1 = 0,3772 .

Ta được z = 1,161 .
Ví dụ 1.16. Giả sử X ~ N (µ ; σ 2 ) , µ = 2100, σ = 200 . Hãy tìm
a)

P { X < 2400} .

b)

P{1700 < X < 2200}.

c)

Xác định a để P { X > a} = 0, 03 .

21


Giải.
Ta có
2400 − 2100 

200



a) P { X < 2400} = Φ 

= Φ (1,5) = 0,9332.

2200 − 2100 
 1700 − 2100 
−Φ

200
200





b) P {1700 < X < 2200} = Φ 

= Φ(0,5) − Φ( − 2) = 0,6688 .
a − 2100 
 a − 2100 
 = 0, 03 suy ra Φ 
 = 0,97.
 200 
 200 

c) P { X > a} = 1 − Φ 
Ta được

0,97 = Φ(1,881) ⇒

a − 2100
= 1,881 ⇒ a = 2476, 2 .
200

Quy tắc hai xích ma và ba xích ma
Ta có thể tính xác suất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn X ~ N (µ ; σ 2 ) và tham số µ của nó theo công thức
ε
P { X − µ < ε} = 2Φ   − 1
σ

Nếu trong công thức trên ta đặt ε = 2σ tức là bằng hai lần độ lệch chuẩn của X
thì
P { X − µ < 2σ} = 2Φ ( 2 ) − 1 = 0,9546 .

Vậy
P {µ − 2σ < X < µ + 2σ} = 0,9546

Tương tự thay ε = 3σ ta được
P {µ − 3σ < X < µ + 3σ} = 0, 9974

Hai công thức trên là cơ sở của quy tắc hai xích ma và ba xích ma: Nếu X
có phân phối chuẩn N (µ ; σ 2 ) thì có đến 95,46% giá trị của X nằm trong khoảng

( µ − 2σ ; µ + 2σ ) và hầu như toàn bộ giá trị của
( µ − 3σ ; µ + 3σ ) .

22

X

nằm trong khoảng

1.2.2.2.4. Phân phối “Khi bình phương”
Định nghĩa 1.12. Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối “Khi bình
phương” n bậc tự do, ký hiệu X ~ χ 2n nếu hàm mật độ xác suất có dạng

 x n / 2 −1 − x
e 2
 n

f X (x) =  2 2 Γ( n )
2


0


n Õu x > 0

n Õu x ≤ 0

trong đó
+∞

Γ( x ) =

∫t

x −1 − t

e dt , x > 0.

0

là hàm Gamma.
Phân phối χ 2 do Karl Pearson đưa ra vào năm 1900. Có thể chứng minh được
rằng nếu X 1 , X 2 , ..., X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn
tắc N(0,1) thì
n

∑ X i2 = X 12 + X 22 + L + X n2 ~ χ 2n
i =1

Ta có
Nếu X 1 , X 2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối “ Khi bình
phương” lần lượt n1 và n2 bậc tự do thì X1 + X 2 là biến ngẫu nhiên có phân phối
“ Khi bình phương ’’ n1 + n2 bậc tự do
X 1 + X 2 ~ χ n21 + n 2 .

Giá trị tới hạn “Khi bình phương’’ n bậc tự do mức α , ký hiệu χ α2 ( n) , được
định nghĩa như sau

P {χ 2 > χα2 (n)} = α .

23


th hm f(x) ca phõn phi Khi bỡnh phng

Tớnh cht
Quy luật n1 có tính chất sau đây: Nếu 12 và 22 là các bin ngu nhiờn độc
lập cùng phân phối theo quy luật 2 , với số bậc tự do tơng ứng là n1 và n2 thì

tổng của chúng là bin ngu nhiờn

2 = 12 + 22 .
Cùng phân phối theo quy luật 2 với số bậc tự do là n = n1 + n2 .
1.2.2.2.5. Phõn phi Student T(n)
nh ngha 1.13. Bin ngu nhiờn liờn tc T cú phõn phi Student n
bc t do, ký hiu T ~ T(n) , nu hm mt xỏc sut cú dng
n +1
( n + 1)
)
2
2

x
2
fT ( x ) =
1+
, < x <+ .


n
n
n
2
(

trong ú (x) l hm Gamma.
Ngi ta chng minh c rng nu Z
T=

Z
V
n

N ( 0 ;1) , V

T ( N ).

24

X N2 ; Z v V c lp thỡ