05 toan nang cao tu luan va trac nghiem dai so giai tich 11 (NXB dai hoc quoc gia 2006) le hong duc, 256 trang

Toánnôngcao
Tự LUẬN & TRẮC NGHIỆM

ĐẠI ỉó «GIẢI TÍCH i l


LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ BÍCH NGỌC

TOÁN NÂNG CAO

Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Đ A I S Ố & G IẢ I T ÍC H

11

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


MỞ Đ Ẩ U

Sự 1(11 việt của phương pháp thì trắc nghiệm (1(7 và (tang dưự( (hửng minh
từ những nước cỏ nên giáo (hu tiên tiến trớn thê giới hời những ưu (liếm như
tính khái lì (/nan, tính han (/nút và tính kinh tể.
Trong thời gian không xa, theo (hu trương (ủa BGD&DT các trường (lọi
lìọc, cao (lăng và trung học (huyên nghiệp sè (huyên sang hình thức tuyên
sinh hằng plĩỉrơng pháp trắc nghiệm. Va (lê ( ỏ (lược thời gian (huân bị tốt
nhất, các hùi kiêm tra kiến thức trong chương trình THCS ve) TỊỊPT cùng sè
có phân trắc nghiệm (lê các em học sinh làm quen.
Tuy nhiên, việc biên soạn các câu hỏi trắc nghiệm cần tuân thủ một sô
yêu t ầu cơ bản vê mật lí luận sư phạm vù V nghĩa dich thực của cúc sô liệu
thống kê. Ngoài ra, một dề thi môn toán dược chấm hoàn toàn dựa trên kết

(Ịiui trắc nghiệm chắc chắn sè chưa phù hợp với hiện trạng giáo due cùa
nước ta hài nhiêu lí (lo, từ dó dan tới việc không ddm hảo dược tính khách
quan trong việc (tánh giá kết quả học tập của học sinh. Để khắc phục nhược
diêm này Nhỏm Cự Môn chúng tỏi dề .xuất lurớỉìg thực hiện như sau:
1. Với mồi dề thi hoặc dề kiểm tra vần tuân tliít dúng cấu trúc chung và
diem trắc nghiệm không quá 3.5 (Item.
2. Trong những câu hỏi cỏ phần trác nghiệm sè dược hiểu là ' trắc
nghiệm và tự luận". Ở dây, thông thường các em học sinh sè phai
lựa chọn một trong hôn dúp số vù cần biết rằng sổ điểm a của câu
hỏi này dược chìa lủm dôi:
■

Nếu lựa chọn dáng lời giai trắc nghiệm sè nhận dược -- diêm.

■

Nếu thực hiện đúng lời giải tự luận cho cáu hỏi sẽ nhận dược —

diểm cồn lại.
Dây chính là yếu tô dê dâm háo tính khách quan bởi:
1. Với những học sinh chi mồ mẫm dap án hoậc nhận dược nỏ thông
qua những yếu to .xung quanh sè chì nhận dược tôi da — dient với
.xúc suất 25%.
2. Với những học sinh hiến dược nội dung cáu hỏi từ dỏ dinh hướng
dược các phép thử bằng tay hoặc hằng máy tính f.x - 570MS chắc
chắn sẽ nhún dược — điểm.
2
3. Với nhữììg học sinh khá hơn biển hiện hằng việc hiểu dược nội dung
câu hói và cỏ thể thực hiện dược một phẩn câu hỏi này dưới dạng tự
luân sè nhân dươc khoảng a + - = — diêm.

‘ 2 4

4

4. Cuối ( ùng. với nlìtTng học sinh biết cách thực hiện cáu hỏi dưới dạng
tự luận sè nhận dược a diểm.
3


Dựa trên tư tưởng này, Nhỏm Cự Môn dưới sự phụ trách của Lê Hồng
Đức xin trân trọng giới thiệu tới hạn dọc hộ sách:
TOÁN NÂNG CAO T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM THPT

Bộ sách này sể cung cấp cho hạn đọc một ngán hàng hài tập tự luận và
trắc nghiệm môn toán THPT có chất lượng theo đúng thứ tự của chương trình
Toán PTTH hởi vé hình thức hạn đọc sẽ nhận thấy rằng hộ sách này chỉnh là
những cuốn sách giải hài tập của hộ sách Học và Ôn tập Toán (được viết
theo lớp 10,11,12) do NXB Đại học Quốc gia Hù Nội ấn hành.
Cuốn HẠI S Ố \ỉk GIẢI TÍCH 1 1 được chia thành 6 chương:
Chương I:
Dãy sô
Chương II: Giới hạn của hàm số
Chương III: Hàm số liên tục
Chương IV: Hàm số mũ - Hàm sô' logarit
Chương V:

Phương trình, bất phương trình và hệ mũ
Chương VI: Phương trình, bất phương trình và hệ lôgarit
Cuối
cùng,

cho
dùdã
rất cô' g ắ n ị Ị ,
hỏi những hiểu hiệt
vàkinh nghiệm còn hạn mong nhận dược những ỷ
kiến đóng góp quỷ háu của hạn đọc gán Mọi ý kiến dóng góp
liên hệ
Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lê Hồng Đức phụ trách
Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Nội
Điện thoại: (04) 7196671 hoậc 0893046689
E-mail: cumon(5)hn.vnn.vn hoặc lehongduc39(a)yalioo.coin.
Hà Nội,

/ tháng 4 năm 2006

NHÓM C ự M ÔN - LÊ HỔNG ĐỨC

4


CHƯƠNG I
DẢY SỐ - C Ấ P SỐ CỘNG - C Â P s ố

NHẰN

CHỦ ĐỂ 1

DÃY SỐ
I. TÓM TAT LÝ THUYẾT
1. ĐINH NC.HĨA

«
Định nghĩa Dãy so (u j lủ nìột ánh xạ từN* vào R
f : N' ->R
Khi đó, ta có un = f(n).
Kí hiệu (un) hay ờ dạng khai triển

là Uj,

u2, ..., un, ...

2. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT DÃY SỐ

Một dãy số thường dược xác dinh bàng một trong các cách:
Cái lì I

Dày số xác định hởi một công thức cho sô hạng tổng quát uir

Cách 2: Dây số xác dinh hỏi một công thức truy hồi, tức lủ:
■ Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu).
■ Cho cồng thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số
hạng) đứng trước nó.
Cách 3: Dãy sô xúc dinh hởi một mệnh dề mô tư các số họng liên tiếp của nó.
3. DÃY SỐ ĐƠN DIỆU

Định nghĩa I (Dãy sô túng): Dãy số (u j dược gọi lủ tưng nếu Vn e N*, un< Un+|.
Định nghía 2 (Dây số giam): Dây số ịu j dược gọi là giảm nếu Vn 6 N*,un> Un, ị.
4. DÃY SỐ BỊ C H Ặ N

Định nghĩa 3 (Dây sô hi chặn trên): Day sô (u„) dược gọi lừ hi chận trên nếu:

3M € R : un < M, Vn 6 N\
Định nghĩa 4 (Dãy sô bị chận dưới): Dãy sô (u j dược gọi là bị chận dưới nếu:
3m € R : Un > m, Vn e N*.
Định nghĩa 5 (Dãy sô bị chặn): Dãy số (u j được gọi lù hị chặn nếu nó vừa hì
chận trên vừa hi chặn dưới, tức là:
3m, M € R : m < un < M, Vn e N*.
5


II. PHƯƠNG PHẤP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VẢ BẢI TẬP

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với giá thiết cho dãy số (un) dưới dạng cóng thức tổng quát hoặc biểu thức
truy hổi và câu hỏi thường được đặt ra là:
■ Hãy viết k số hạng đầu của dãy sỏ hoậc tìm uk. Câu hòi này dược thực
hiện bàng phép thế.
■

Xác định xem a là số hạng thứ mấy cùa dãy số. Câu hỏi này được thực
hiện bầng việc giãi phương trình ấn n.
BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Bàl táp 1. Cho dãy số (u„) với u„ = — — .
2n -1
a. Viết 6 số hạng dầu của dãy.
, 5
3; - - ;
3
. 7

6; -7;
5

9

7

11

♦ —y

13

□

*

11
5 7 9
11 15 19 23
—
9

♦

13

*

□

^ í ^

17

21

5 7 9 11
-1;6; — ; — y _ %
3 5 7 9
21
5 9 13 17 —
3

- ; — ; ----•

7

11

15

19

b. Tìm xem — là số hạng thứ mấy của dãy sổ ?
□

Us.

□

u7.

Bài tập 2. Cho dãy 5ÌỐ (u„) với u„

□

uy.

u

u 11-

n -1
/ n 12 + 36

a.

Viết 5 số hạng dầu của dãy
4
6
8
7
1
1
3
5
2 •:
□
□ ur> r'—

/ 6 Ĩ ; /8 5 : / 1 Ĩ 7 ’
6 ; V4Õ; /5 2 ' /7 2 lõ '
/4 5
7
5
9
1
3
2
3
4
r□”ầ
1 \• 1—. % r~~—*
□ n- Ị--:1Õ; /136
/4 0
V45 V52 síẽĩ
V ÌÕ; V52
7
b. Tìm xem — là số hạng thứ mấy <
của dãy số ?
10
□ Uv
□ Uk.
L) u7.
□ u,IU-

Bài tãp 3. Cho dãy sô (u„) với u„ = - ^ —
n+1
Tim u.„ U|J, u2)„ u2lltl.
□ 1; 1; 1; 1

4
1 1' ——
□
4 11 2n -1
n .
n +1
5
□ -1 ; _ ; --- ---I ; -------□ 9; 12; 2n; 2n + 1.
5 13 2n +1 n +1
6


b

Tim
□
c. Tim
u
Bài tập 4.

xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy
u2(l.
□ u2m.
□
xem 1 là số hạng thứ mấy của dãy
Uíu U||)|.
□
Cho dãy sò (un) xác định như sau:

số ?

u2n+l.
số ?
U2(K)7.

□

U,.
2n-

U| = 1
un = 2 ub_, +1, n > 2
a.

Hây viết 6 sổ hạng đầu của dãy số.
u
1;
7; 31; 127;511;2047.
□ 1; 2; 4; 8;16; 32.
□ 1; 3; 15; 63;127; 511.
□ 1; 3; 7; 15;31; 63.
b. Tìm xem 511 là số hạng thứ mấy của dãy số ?
□ Un.
□
u,.
□
lift.
□
U|

Bài tập 5. Cho dãy số (un) xác định như sau:

u ị =2, u2 =3
u„ = 3un.j - 2u„
a.

Tim
u
□
b. Tim
□

n>3'

u4, ux.
0;
“ 180.
□ 3; 63.
9; 549.
u
2;18.
xem 11 là số hạng thứ mấy của dãy số ?
u4.
□ Uv
□ U|K.

□

Không có.

Bài toán 2: Sừ dung phương pháp quy nạp chứng minh dày số (un) thoá
màn tính chất K.

PHI ONG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước ì
(Bước rơ sớ): Chứng minh ràng số hạng đầu thoà mãn tính chất K
Bướr 2: (Bước íỊỉty nạp): Gia sử số hạng uk thoả mãn tính chất K. Ta di
chửng minh sò hạng ukt| củng thoá mãn tính chất K.
Bước 3. Kết luân dãy sỏ (u„) thoá mãn tính chất K.
BÀI TẬP T ự LUẬN
Bài tập 6. Cho dãy sô (un) với un = 13" ~ 1. Chứng minh ràng mọi số hạng
của dãy sỏ này đểu chia hết cho 12.
Bài tập 7. Cho dãy số (un) xác dịnh như sau:
Uị = u 2 =

1

u.. = 2 u(1_2 + un_t, n > 3
Chứng minh rằng mọi sỏ hạng của dãy số này đều là sỏ le.
Bài tập 8.

Cho dãy số(u„) với u„ =

7 "'.Chứng minh rằng u,, > 2n +
7


inưtTm: i: uav so - l a p so com: - l a p so nnan

Bài tập 9. Cho dãy sô (un) xác dinh như sau:
u, = 1, u2 = 2

,u„ = u„-2+2un_1, n > 3 '
Chứng minh rằng un <

, Vn e N \
v> /
Bài tập 10. * Cho dãy số (un) xác định như sau:
Uị = a, u2 = b
1
2
, với cd * 0.
,un = c.un I +d.u„_2,n > 3
Chứng minh ràng un = (eI + ne2)rn với e,, e2 là các hằng sò phụ thuộc a, b
và r là nghiệm kép của phương trình X2 ~ cx - d = 0.
Áp dụng: Cho dẫy số:
a, = 1, a2 = -3
a„ = 6an_! - 9 a n_2, n > 3
Chứng minh rằng a„ = 3" - 2n.3"~ \ Vn e N*.
Hướng dần: Vì r là nghiệm kép của phương trình X2 - cx ” d = 0 nên c = 2r và
d = - r \ do đó un có dạng un = 2ru„ _ ị - ru„ - 2.
Bàỉ tập 11. * Cho dãy số (u„) xác định như sau:
Uị = a, u2 = b
, với cd * 0.
“n =c.un_,+d.un. 2, n > 3
Chứng minh rằng u„ = e,^" + e2r2n với e,, e2 là các hằng số phụ thuộc a, b
và r,, r2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình X2- cx - d = 0.
Áp dụng'. Cho dãy số:
a, = a 2 = 1
a „ = a n - i + a n-2> n - 3

l+x/5

V’

Ị ^ v
Chứng minh rằng a„ =
2
■
■ "
2
Hướng
dần:Chứng minh bằng quy nạp.

. Vn e N*.

Bàỉ toán 3: Xác định công thức của dãy số (un).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách I : Sử dụng biến đổi dại số đế thu gọn và đơn giản biểu thức của un.
Cúch 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước:
Bước ỉ:
Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán
công thức cho un.
Bước 2:
Chứng minh công thúc dự đoán bằng phương phápquy nạp.
8


BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Bài tập 12. Cho dãy số (u„) xác định như sau:

Ju,=4

|u n = 2un_ị, n > 2

Xác định công thức tính un theo n.
□ u„ = 2'wl. □ un = 22n~'.
□
Bài tập 13. Cho dãy số (un) xác định như sau:
h

~

ị -

ub

= 4"*'.

□

u„ = 4'" 1.

.....................

[u„ = V 2 + Un - l - n S 2

Xác định công thức tính un theo n.
□

-.

n

_

lL=2ảì— . □
11 2n+l

^

7Ĩ

_

n

U=2ũCK-— - . □ IL=XTK—- .
^
ọ n+1
^
2"

„

□

. n

\ị=m— .
2n

2

Bài tâp 14. Cho dây số (u„) với u„ = —-——
------với mọi n 6 N và dãy sỏ
n + 4n + 3
(S„) xác dinh như sau:
Ịs, =u,
t Sn = s n_, + UM, n > 2
Xác dịnh công thức tính Sn theo n.
2
n2 + 4n + 3
1
(n + l)(n + 3)

S,,=

1
(n + 2)(n + 3)

□ s„ =

5n2 +13n
(n t- 2)(n + 3)

□

Bài tập 15. Cho dãy số (u„) xác dịnh như sau:
u, =5
“ n = Ỷ “ n-|.

□

5" 1
u„ = - - .

□

u„ =

(

m ịm

Xác định công thức tính u„ theo n.
5
1
a
u« = p r • a u n = p r •

nì 2

Bài tập 16. Cho dãy số (u„) xác định như sau:
u, = 1
3

n >2

'n-l

Xác định công thức tính u„ theo n.
□ u„= 1.
1 khi n lẻ
□ u„ =
3 khinchẩn

□

u„ = 3.

□

u„ =

1 khi n lẻ
3 khi n chẩn

9


X

Bài toán 4: Xét tính đơn điệu của một dãy số (u„).
PHƯONt; PIIẢPCHtỉNCỈ

Ta có thê lựa chọn một trong các cách sau:
Củcìì I : Thực hiện theo các hước:
Bước I : " Lập hiệu I ỉ = u„ +1 - UIPtừ dó xác dinh dấu của H.
Bước 2:
Khi đỏ:

■ Nếu H > 0 với Vn c N thì dãy số (u„) tăng.
■ Nếu H < 0 với Vn e N thì dày sô (u„) giam
Cách 2: Nếu u„ > 0 với Vn e N" ta có thể thực hiện theo các bước:
Bước I :

Lập ti sô p = -1“ “ , từ đó so sánh p với 1.
Uu
Khi đó:
■ Nếu p > 1 với V ne N thì dày sổ (u„) tảng.

Bước 2:

■

Nếu p < 1 với Vn € N thì dãy sỏ (un) giảm.

BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Bài tập 17. Xét tính đơn điệu cùa các dãy số (u„), biết u„ =

.
4"
□ Tăng
□ Giảm
u Không tăng, không giám
Bài tập 18. Xét tính đơn diệu cúa các dãy sổ (u„), biết u„ = n + sin n
□ Tảng
u Giảm
□ Không tang, không giám
\n

Bài tập 19. Xct tính dơn diệu của các dãy số (u„), biết u„ =

3.
□ Không tăng, không giám
□ Tăng
□ Giảm
1- n
Bài tập 20. Xét tính dơn điệu cùa các dãy sỏ (u„), biết u„
Tăng

□

Giám

□

Không tăng, không giảm

Bài tâp 21. Xét tính dơn điêu cúa các dãy số (u„), biết u„ = n +1
□ Giảm
□ Không tăng, không giám
L) Tăng
(1 )
Bài tãp 22. Xét tính dơn diêu cùa các dãy sô (u„), bit't u„ = -— —.
n+1
□ Tâng
□ Giảm
□ Không tăng, không giảm
Bài tập 23. Xét tính đơn diệu của dãy số (u„), biết:
|u , = 2

u„ = 2u„ I - 1, n > 2
□ Tăng
10

□

Giảm

□

Khôr.g tăng, không giảm


Bài tập 24. Xét tính dơn điệu cùa dãy số ( u j, biết:

1
Un = n- —
+ n f 2 + ... + --1 1
2n
□
□
Giảm
u Tăng
lang
u vnam
□ Không tâng, không giám
Bài táp 25. Xét tính đơn diệu của dãy số (un), biết:
u„= <¡2 + V ĨT T + V Ĩ (n dấu càn).
Bài tap 26. Cho dãy sô (u„) với u„ = - - - — và dãy sò (Sn) xác định như sau:
n '+ n

js, =«,

H = s n., ) U„,I1>2'
a.

Xét tính đơn điệu của các dày số (un).
u l ãng
□ Giảm
□ Không tăng, không giâm
b. Xét tính dơn diệu của các dày số (S„).
LI Tang
□
Giảm
□
Không tăng, không giảm
c. Xác định công thức tính Sn theo n.
n
□ s - i
□ sn =
n
n+1
nu ^ -- n + 1
□ s - -JL
'"
n+i
n
#
n ? i 2n
Bài táp 27. Cho dãy số (un) với u„ =

và dãy số (Pn) với:
n2 f 2n + 1
p„ = u , . u 2. . . u h.
a. Xét tính đơn diệu của dãy số (un).
□ Tảng
□ Giám
□ Không tảng, không giâm
b. Xét tính dơn diệu của dãy số (P„).
□ Tăng
□ Giảm
□ Không tang, không giám
c. Xác dịnh cóng thức tính p„ theo n.
n
n +2
□ p„ =
.
□ p„ = —.
n +1
2 (n + l)
□

p . - » " + ỉ >.
n+ 1

□ P.-X .

n+1

I Bài toán 5: Xét tính bị chặn của một dãy số (un).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng dịnh nghĩa:
■ Nếu 3M e R : un < M, Vn G N* thì (un) bị chặn trên.
■ Nêu 3m € R : un > m, Vn e N* thì (un) bị chặn dưới.
■ Nếu 3m, M G R : m < un < M, Vn G N thì (u„) bị chặn.
Chú ý: Dựa trẽn kết quá:
■ Mọi dãy số ( u n) giảm luôn bị chận trên bởi Uị.
■ Mọi dãy số (un) tâng luôn bị chận dưới bới U|.
11


BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Bài tập 28. Dãy sô' (u„), biết u„ =
□
□

2n
□
□

Chi bị chặn trên
Chi bị chạn dưới

Bài tập 29. Dãy sô' (u„), biết u„ =
□
□

Chỉ bị chặn trên
Chỉ bị chặn dưới

Bài tâp 30.- Dãy sô (u„), biết u„ =
□
□

n2 + 1
□
□

□
□

□
□
1

1.3

Bị chặn
Không bị chặn trên và dưới

Bị chặn
Không bị chặn trên và dưới

1
2.4
□
□

Chi bị chặn trên

Chỉ bị chặn dưới

Bài tập 32. Dãy số (u„). biết u„ =

tà:

n
là:
Vn2 +1

Chi bị chặn trên
Chi bị chặn dưới

Bài tập 31. Dãy số (u„), biết u„ =

Bị chặn
Không bị chặn trên và dưới

+ ... +

1
là:
n(n + 2)

Bị chặn
Không bị chặn trên và dưới
1

1.3

+ ... + —
là:
3.5
(2 n -l)(2 n + l)

□ Chỉ bị chặn trên
□ Bị chận
u Chỉ bị chặn dưới
□ Không bị chặn trên và dưới
Bài tập 33. Cho dãy sô' (u„) xác định như sau:
u, =2
u .,,+ 8
un = 111
n >2
2
a. Chứng minh rằng (u„) bị chận trên bởi 8.
b. Chứng minh rằng (u„) tăng. Suy ra (u„) bị chặn.
Bài tập 34. Cho dãy sô' (u„) xác dịnh như sau:
k=V 2
,un =V 2 + Un - |.n ^ 2
a.

Tìm công thức biểu diễn u„ theo n.
K
ít
. . □ u=2n>- n+l
□
2"*'2
b. Chứng minh rằng (u„) bị chặn.
12

7t

lị=CCR
V

□

It,=ái

n

2°


Bài táp 35. Cho dãy số (u„) xác định như sau:
I', = 1

<

f2
t1 n > 2
u„-i + l
a Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bới 1.5.
b. Chứng minh rằng (un) bị chận dưới bới 1.
un =

11

III. HƯỚNG DẪN - GIẢI - ĐÁP s ố

n :. Ể
5 7 9 II 13 _
19
Rai tâp 1. 6 sỏ hạng đâu của dãy là 3; —; —; —; —*; --- . Va u.) =
17
3 ’ 5 : 7 : 9 II

Bài tập 2. 5 số hang dầu cùa dãy là 0;

1 2 2
3
4
; — ; —J= ; - 7 =.-. Và Un=
10
V40 V45 V52 V61
p_

4
n
Bài tàp 3. Ta có u„ = —. u,, = 1. U,„ = 1, u,„,, = —— U| = 0 và u,„ = 1.
5
'
n +1
Bài tập 4. 6 sò hạng dáu của dãy là 1; 3; 7; 15: 31: 63. Và u., = 511.
Bài tập 5. Ta có u , = 9; u„ = 549 và không tồn tại số hạng có giá trị hàng 11.
Bài tập 6. Ta có:
u,= 1 3 - 1 = 12 => u, : 12.
Giả sứ uk : 12, tức là (13k - 1) : 12.
Ta di chứng minh

Uu i

: 12, thật vậy:

uk ) l= 13k t' - 1 = 13k t l - 13k + 13k- 1 = 12. 13k + (13k - 1)
suy ra uk, I : 12 bời 12. 13k : 12 và (13k - 1) : 12.
Vậy, mọi sỏ hạng cùa dãy số (u„) đều chia hốt cho 12.
Bài tập 7. Ta có u, = 3 là sô lẻ.
Giả sử công thức đúng với uk lẻ, suy ra uk I lé.
Ta di chứng minh uk, I lẻ, thật vậy:
uk1 1 = 2uk_, + uk là tổng của một số chẩn và một sô lè, nèn uk, I lé.
Vậy, mọi sô hạng của dãy số này dểu là sô lé.
Bài tập 8. Ta có:
u, = 2’ = 8 > 7 = 2 + 5=> dúng với n = 1.
Giả sử uk> 2k + 5, tức là 2k*2 > 2k + 5.
Ta di chứng minh uk,, > 2(k + 1) + 5 = 2k + 7, thật vậy:
ukt , = 2k41 *2= 2. 2k*•’ > 2(2k + 5) = (2k + 7) + (2k + 3) > 2k + 7.
Vậy, mọi số hạng cùa dãy số (un) đều thoá mãn u„ > 2n + 5.
13


.

i. I^IIỊ

V « Ị / r*%* VUHÌU,

V i i p 21Z m u m

Bài tập 9. TacóUị = 5<

' 5'

=> đúng với n = 1, 2, 3.

vz /
Cìiá sư công thức đúng với n = k, tức là uk_ I <
ta đi chứng minh uk1 1 <

'5 )

(5)

k 1

và uk <

■—

1 2J

)
12 J
5

—

k.l

ã;

Thật vậy:
uk , + 2uk <
k+•1
—
V2 J

( 51
V2 /

- NK
+I

/ e^
+2

Vz /

V- /

í-ĩ'
s2>

( 4 --4ì
, ---- 1
125 5

24
(5 '
25 < ( 2 j

' 5 ' - 12 /c V
+2
V2 /
V^ /

k+1

, đpcm.

/ 5 nVậy, ta luôn có un <

, Vn 6 N*.
V^ /

Bài tập 10. Bạn đọc làm theo hướng dẫn.
Bài tập 11. Tương tự bài 10.
Bài tập 12. Ta có u, = 4 = 2J; u2 = 2.2’ = 2’; u, = 2.2’ = 2*.
Từ đó, bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng u„ = 2" *'.
Bài tập 13. Ta có u, = V2 = 2.

2

= 2cos -- .
2

l ừ dó! bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dươc rằng un = 2cos ~ ~
2

Bài tập 14. Ta có ngay:
s„ = u, + u, + ... + u„.

Mặt khác, ta có biểu dicn:
___2 __ _
_ 2
_
1
J_
u„ =
n’ + 4n t-3 ~ (n + l)(n + 3) - n + 1 n + 3
Từ dó, ta nhận được:
1
1
u, = — - —
2
4
1
1
u, - - - —
3
5
1 1
u, =
1____ l_
u„= n+1 n 3
14


Cộng theo vế các dắng thức trên, ta được':

1

s„ = U| + Ui 4- .. . + u„ =

Bài tap 15. Ta

c ó U|

= 5;

Us

2

1
3

4-

= —; U; =
3

I

1

n42

nI3

=

5n2 fl3 n
—
---------' .
(n I 2)(n 4 3)

—- .

3

l ừ đó, bằng phương pháp quy nap ta chứníi minh dược rằn« un

5
3"

Bài tãp 16. 'la có Uị = I; Uì = 3; U; = 1; u4 = 3.
I ừ dó, băng phương pháp quy nạp ta chim« minh dược rang u„ =

(l khi n lè
3 khi nchẩn

Bùi tập 17. Ta có(un) giảm bằng cách lập ti số lập ti số:
p = iỉiiii. _ p _ ii i"
44 ’" 1

un

14

■n

1
-

< 1 .4=1.

4

4

Bai táp 18. Ta cổ(un) tang bàng cách lập hiệu:
II = u„ t I
u„ = |(n+ 1 ) 4 - sin (n 4- 1)] - (n
=

(1

siivn) 4- siiT(n

4 1)

4-

sin n)

> 0.

Bài tâp 19. Không tang, khổng giám.
Bài tập 20. l a có(u„) giam bàng cách lập tí sổ hoặc lập hiệu.
Bài lập 21. Ta có (uj giâm bầng cách lập tí sỏ lập ti số.
Bài tâp 22. Khôn« tang, khỏng giảm.

Bài tâp 23. Ta cồ (u„) tăng và có thể trình bày theo hai cách sau:
0/(7/ /: Xét hiệu:
H = u„. I - II,. = (2u„ - D - u„ = u„ - l.
Ta sẽ đi chứng minh u„ > 1, Vn

G

N bang quy nạp -

Do dó 11> 0, lừ dó suv ra dãy (u„) lăng.
Cách

2:Trước ticn, ta di chirng minh u„ > 1, Vn e N' -

tự lủm.

Xét ti sỏ:
p — ^n.l _

~-l = 2 — -1- > J

u„

u„

Vậy, dãy (u„) tàng.
Bùi tập 24. 'Ta có(u„) tàng bằng cách lập hiệu H = u„,, - u„.
Bài tập 25. 'l a có (II„) tăng bàng cách lập hiệu H = u„ t I - u„ rồi sứ dụng
phương pháp chứng minh quy nạp.
Bài tãp 26. Ta có (u„) giám,

(S„)

tàng và s„

=

n+1
15


Ch ươn ti I: IXtv sỏ - Cấp sỏ cónn

Cân só nhãn

Bài tạp 27. Ta có (u„) tăng. (Pn) giảm và p„ =

n+2
2(n + 1)

Bài tập 28. Viết lại u„ dưới dạng:
u„ =

1

1

n - — > 0 => (u„) bị chặn dtrới bới 0.
n

Ta thây ngay giá trị của u„ có thế lớn bao nhiêu tuỳ ý, do dó (u„) không bị
chặn trên.
Vậy, dãy (u„) chi bị chặn dưới.
Bài tập 29. Ta có 0 < u„ < — suy ra dãy (u„) bị chặn.
Bài táp 30. Ta có

-Ị- < u„ < 1 suv ra dãy (u„) bi chân.
V2

Bài tập 31. Ta có ngay u„ > 0.
Mặt khác, ta c ó ---- = Ậ
k(k + 2)
u„ —

2 k

kf2

I
I
1Ị
_ 3
+
+ ... +
n( n + 2)
4
1.3
2.4

do dó:

1
2 nt 1

>
n+ 2/

<

3
4

Vảy, ta đươc 0 < u„ < - suy ra dãy (u„) bi chăn.
4

Bài tập 32. Tương tự bài 31 suy ra dãy (u j bị chặn.
Bài tập 33.
a.

("hứng minh bàng phương phấp quy nạp.

b.

Sử dụng kết qua câu a.

Bài tập 34. Ta có un= 2cos

suy ra 0 < u„ < 2 suy ra dãy (un) bị chặn.

Bài tập 35. Chứng minh bàng phương pháp quy nạp.

16


CHƯ D E 2

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa Số u dược gọi là giới hạn của dãy (un) nếu với mọi số € dương
ỉuỳ ỷ, tồn tại sỏ tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì I un - u I< 8
Như vậy:
lim un = u <=> Ve > O, 3N e N : ị un —u I < e với n > N.

n-* r

2. CÁC ĐINH LÍ VỂ GIỚI HAN CỦA DÃY s ò

Định lí 1. (Diều kiệĩì cần dê dày sổ cỏ giới hạn): Nếu một dãy sô có giới hạn
thì nó bị chạn.
Định l í 2: (Định lí Vuiơstrat - Điêu kiện dù dê dãy sỏ cố giới hạn):
■ Một dãy số túng vù bi chận trên thì ( ó giới hạn.
■ Một dãy sô'giam và bị chận dưới thì cỏ giới hạn.
Định lí 3 : (Tinh duy nhất cua giới hạn )\ Nêu một dãy số có giới hạn thì giới
hạn dó lủ duy nhất.
Định lí 4. (Cúc phép toán tren cúc giới hạn cùa ddy sấy. Nêu hai dày ay) (an)
vù (b„) cỏ giới hạn thì ta cố:
lim(an ± b n) = lim an ± lim bn
I1~*3C

n

» *o

lim(aI1.b11) = lim a„ . lim bn

»-►co

»—
►
r

n +JT.

a„
lim an
lim - - = £?£— , với lim b„
n->°°bn
lim bn
Định

lí 5

: Ncu huí
lim an < lim bn.

n-»co

0.

(lũyró (a,,) vù (b„)

có

lì —
►

Định lí 6: (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ha dây sdy^x (bn) và (cn) sao cho a,, < bn< cn
Vn > N,h Nug N 'và lim an = limc.n = A thì lim bM= A.
n-*ao

n—
►
«?

n ~+r¡

3. CÁC GIỚI HẠN c ơ S Ả N

Ta có:
I. lim c = c, với c là hằng sô.
n-*Q0
2.

lim —a = 0, với a > 0.
n—
>oopỊ

3.

limq" = 0, với Iq 1 < 1.
n—»00

ĐAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỌl
TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ VIÊN

L.C /

A6 2

r
17

ịỊ


um m ii LỊ ưav so - la p Sõ yoniLr u»p M> HMn
4. DÀY SỐ DẦN TỚI VỎ c ự c

Định nghĩa: Dcĩ\
gọi lù dân tới +00 nếu với mọi số dương M tuỳ ỷ, tồn
tại số tự nhiên N sưo cho với mọi n > N thì un > M.
Như vậy:
lim UB = + 00 o VM > 0, 3N e N*: un > M với n > N.
n-*ao
Tương tự, ta có định nghĩa:
lim un = - 0 0 0 VM > 0, 3N e N*: u„ < - M với n > N.
Ta có các kết quả sau:
1
1. Nếu lim u.. = ì 00 thì lim — = 0.

II-►co u
n"♦co
1
= +CO,
2. Nêu lim un = 0 thì lim
II—
►
<*>
»-*' u
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI rẬP

Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước I
: ới Ve > 0, xuất phát từ bất đảng thức:
V
Ị u„ - u I < e => n > g(e).
Bước
2 :Chọn N = [g(e)l + 1.
Bước ĩ : Vậy:
Ve > 0, 3N e N’ : I u„ - u I < e với n > N o

lim un = u.

BÀI TẬP T ự LUẬN

Bài tập 1. Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng:
a.

n
lim

= 1.
»-»* n + 1

2n + 5
lim
n-*«0 3n + l

b.

2
3

Bài tập 2. Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng:
n +4n
lim —
= 1.
n +4n + 5
Bài íập 3. Dùng định nghía giới hạn, chứng minh rằng:

18

a.

lim
-— = 0.
ù-** n- + 1

b.

a.

lim (Vn - Vn - 1) = 0.
11—
♦oo

b.

lim

n-+oĐ

n;! + n - nì = --)
2


Bài toán 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn.

■]

PHƯƠNG PHÁP CIIƯNG

sứ dụng dinh lí Vaiơstrat, cụ thể:
■ Một dãy sỏ tâng và bị cnặn trên thì có giới hạn.
■ Một dãy sô giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
BÀI TẬP T ự LUẬN
Bài tập 4. Cho dãy số (un) với u„ = 1 + -— + ...+

Chứng minh ràng

2

dãy sô này có giới hạn.
I V*1

Bài tặp 5. Cho dãy số (u„) với un = 1 + -

Chứng minh rằng dãy sô này

có giới hạn.
Bài tập 6. Cho dãy số (u„) xác định bởi:
u, =
u„ =V2 + U„ , , n > 2
Chứng minh rằng dãy sô này có giới hạn.

PHƯƠNG PHÁP CHƯNG

Ta lựa chọn một trong hai cách:
CcU lì

1:Đưa dãy số cần tìm giới hạn vể dạng tổng hiệu, tích, thương của
những dãy số mà ta dã biết giới hạn.
Ta có các kết quả sau:
1. lim C ==C, với c là hằng số.
n-*co

2.
3.
4.

lim — = 0, với (X > 0.

r--*®n°
lim qn = 0, với 1q 1 < 1.

n-*0Q

Nếu lim un = + co thì lim —

5. Nếu lim un = 0 thì lim

= +CO.

n-*oo

Cáclì

2:s ử dụng nguyên lí kẹp giữa.
19


BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Bài tập 7. Tính các giới hạn sau:
2n -1
a. lim
n-»00 3n + 2
1
2
□ □
a
□

—

3

b.

lim
a

c.

l.

□

ì_
3

□

□

0.

4n +1
lim
"-♦» n2 + 6
□

d.

n ’ + 2n + 1
3n’ + 2n2 +6

4.

□ ' -

□

0.

□

□

□

0.

□

n
lim
"-»* n -1
□

1.

-1 .

+O0.

Bài tập 8. Tính các giới hạn sau:
a.

Vn2 + n + 1
lim
* 2n + Vñ + 1
□

,

b.

lim

00.

□

ỉ_
2

a.

□

s

T====——
2nVn2 + 1 +1
1

□

□

□ 00.
3

lim(Vn2 - n + 1 - Vn2 + 1).

n—>oo

□

0.

□

ì_
2

b.

4Ï

nVn' + 1 + n Vrĩ

I
3
Bài tập 9. Tính các giới hạn sau:
□

□

lim

□

-•

□

00 .

□

0.

□

00.

n-yfîv' +1
VrTTl - n

□

20

1

□

1.


Hai táp 10. Tính các giới hạn sau:

a.

, 1-2"
lim -—— .
» »' 1+2"
□

b

1.

□

□

□

.

3” I _ 4» +1
lim T------- T •
3n+2

13
7
75
Bài tạp 11. Tính các giới hạn sau:
a.

0

—+ -— + ... + n.(n + 1)
2.3
u 1.
u 0.
5
2 n -Ư
3
•" 2 +
n' n
n )
□
□ 0.

□

□

u

□

co.

3.

□

co.

3.

□

00.

lim

lim
n—
»or V
V V
□ 0.

1

1
+1

\

1

+ ... +

V n2 + 2

+n

1.

□

□

□

III. HƯỚNG DẨN - GIẢI - ĐÁP s ố
Bài tập 1.
a. Với Ve > 0, ta xét:
n

< r. c>

n +1

n t I

n t1

< r, o n >

e

+ 1, ta dược:

Chọn N =

Ve > 0, UN (

V:

n
n+1

< e với n > N o

lim
"
n41

b. Bạn dọc tự làm.
Bài tập 2.
a. Với Ve > 0, ta xét:
1
< — < e <=> n >
0

n" + 1
n +1
n
Ve
-

—

------------

+ 1, ta được:

Chọn N =

LVe\

Ve >0. 3N e N ':

Ị_
n2 + 1

0

< e với n > N o
»

lim —-— = 0.
n +1

n-*«

21


Chưưrni 1: Dàv so - Cap số côm: - Ciíp số nhân

b.
Bạn dọc tự làm
Bài tập 3.
a. Với Ve > 0, ta xét:
|( - / ñ - V ñ - l ) - 0 = V ñ-V rT ^l = — —
< —7= =
vn+vn-l2vn1

on>

4e2


1.

+

1

Chon N = —^T-+l
4e

+ l,tađ ư ơ c:

V e>0,3N eN ": Vñ - Vn -1 <evóin>N<=> lim (%/ñ - -v/n - 1) = 0.
n-->0o v

'

Ran dọc tự làm.
Bài tập 4. Bằng việc chứng minh (un) đơn điệu tăng và bị chặn trên bới 2 (cụ
b.

thể un < 2 — - ) chúng taỶếi luận được dãy số có gi*ri hạn.
n
Bài tập 5. Ta sê đi chứng minh (un) đơn điệu giảm và bị chặn dưới,
a.

Vì un > 0 với mọi n, nển ta xét tỉ số:
I

f

p = Un+. =

1+

u.

1-

\

ih 2

J \ fld

/

1+

n +1

n

/

Ä

\n*l

- f n +2 n Ỵ
V n + 1 n + 1J

n+2
n+1

- n+1

1

(n + 1)3

í,1+ ——
1 ì
n +1 y

Theo bất đảng thức Bernoulli ( 1 + a)n > 1 + na, do dó:
1+

1

1

1+

n +1

(n + 1 )

suy ra:
n♦I

p<

1-,

1

1

1+

(n + 1)

1-

(n + 1 )

1

(n + 1)4

«♦1
< 1.

Vậy, dãy (u„) giảm,
b. Ta có u„ > 1, ttíc là nó bị chặn dưới.
Vậy, dãy (u„) có giới hạn.
Bài tập 6. Với các kết quả dã biét trong những bài tập trước la có (un) đơn
điệu tăng và bị chặn trên bởi 2 do dó nó có giới hạn.
Bài tập 7.
a.
22

2

—.
3

b.

c. 0.

d. +0O.


Bai táp 8.
1
a. —.

b.

2

Bai táp 9.
a. 0.
Bai táp 10.
ti.

1
2

b. 0.

~l.

b. - -

Bái táp 11.
a. Ta có:
1.2

1
n.(n + l)

2.3

1 1 1
1 1
—4------- + ... + ---------- - = 1-------2 2 3
n n+1
n+1

suy ra:
r

1
lim — -t----- -t ... 4
1.2 2.3
n.(n t- 1

/

= lim! I

i \
ii + 1

= 1.

h. Tacó:
1

n

—r +

3
5
2 n -l
1 M ^ C
1 . t
+ — + ... ------— =
[1 + 3 + 5 + ... + (2n - I)] = — .ir = 1
ir n
n‘
n
rT

suy ra:
5
f 1 3
lim 2 * " 2 4—2
n Vn
n
n
c.

Dat u„ =

1

/ir 4 n

v n‘ 4- 2

= lim 1 = 1.

n2 y

1
7 =7 =
+ T f = r -f ... 4-

Vn* 4 1
n
,- =

2n -1

n /

, ta có nhán xét ráng:
VrT 4- i

n
< u; < —=====
V r T 4-1

trong dó lim —7=2 = = 1 va lim - 7=2 = = 1 suy ra lim un = 1
Vñ2 4- n
J n : 4-1

23


CHU ĐE 3

CẤP SỐ CỘNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA

Dk, y A7? (un) (ỉươi xúc định hỏi:
Uị = u
“ „♦1 = u n + d « V n e N *

(LI,

d là hai số thực cho trirớc) được gọi là cấp số cộng.
■ u là sỏ hạng đẩu tiên.
■ d là công sai.
Đặc biệt khi d = 0 thi (un) là dãy số trong đó tát cả các số hạng đều bàng nhau.

2. CÁC TÍNH C H Ấ T

■

Sò hạng thứ n được cho bởi cống thức:
un = uỊ + (n - l)d.

■

u„, un t ị, un^ là ba số hạng liên tiếp ciìa cấp số cộng (un) nếu:

un+, - Ị ( u n + un#2).

■ Tổng của n số hạng đầu tiên Sn được cho bới cồng thức:
sn = u I + u2 + ... + un = - (uI + uj
= - [2u, + (n ~ 1)d].
9
n. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DANG TOÁN LIÊN QlíAN VÀ BẢI TẬP

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Câu hỏi thường dirợc đặt ra là:
" Cho ha sô'li' h, < lập thành (úp sỏ CỘỈÌỈỊ, chĩhìg minh tính chất K "
khi dó, ta thực hiện theo các bước sau:
Hước I Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được:
a + c = 2b
hoặc biểu thức tương dương a - b ~ b - c = - (a ~ c).
.
24

Rưới 2:

Chứng minh tính chát K.


BÀI TẬP TỤ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Bài láp I. Cho ba số a. b, c lập thành một cấp sô cộng. Chứng minh rằng:
a2 + 8bc = (2b + c)-\
Bài táp 2. Cho (a„) là môt cấp số cộng. Chứng minh rằng:
a.

a,

b. (q

+

a„ = ak + a„ k,

I,

với k = 1.2 .......... n.

r)a,, + (r - p)a„ + (p - q)a, = 0.
Ị_
a.

_

/a ._ I + / a .

n

Ị

7*1 4 7*7

với a, > 0 , 1 = l,n .
Bài tập 3. Cho (an) là một cáp sò cộng. Hỏi các dãy sỏ sau có phải là cấp sỏ
cộng không ?
a . ¿•t 1» a Ị, a^, • • •, a ■)fj. 1, ...

Ü Là cấp sô cộng
□ Không là cáp số cộng
b. a2' a }, a 6, . . . , a2rj, • • >
□ Là cấp số cộng
□ Không là cấp sô cộng
Bài tạp 4. Cho (an) là một cấp sở cộng. Hòi các dãy sò sau có phai là
cộng không ?
a. (an -f p), với p là số thực tuỷ ý.
□ Là cap số cộng.
□ Không là cấp sỏ cộng
b. (p.an), với P là sổ thực tuỳ ý.
□ Là cấp sô cộng.
□ Không là.cấp số cộng
//
\\
— , với p là sô thưc tuỳ ý.
c.
□

Là cấp sô cộng

Lỉ

Không là cấp sô cộng

Ị Bài toán 2: Chứng minh ha sỏ lập thành một cấp số cộng.
PHƯƠNG PHÁP CIIUNG

Đè chứng minh ba sô a, b, c lập thành cấp sỏ cộng, ta di chứng minh:
a + c = 2b hoặc a -- b = b ~ c.

BÀI TẬP T ự LUẬN
Bài tập 5. Cho ba số a \ b2, c2 lập thành một cấp sô cộng có công sai khác 0.
Chứng minh ràng ba số —-— , —— , —— cũng lập thành một cấp sỏ cộng.
'b + c c + a a + b
Bài tập 6. Cho ba số dương a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng ininh
,
1
I
1
.A
' . *_
"
ráng ba sỏ ~J=---- Ỵ=r,
— J= , -~ỴZ------- Y= cũng lập thanh m M câp số cộng.
vb + VC V c + v a v a + v b
25