Phương trình ax+by=c

Chuyên đề
Chuyên đề
dạy tự chọn nâng cao
dạy tự chọn nâng cao
môn Toán trung học cơ sở
môn Toán trung học cơ sở
Nghiệm nguyên của
Nghiệm nguyên của


đa thức bậc nhất hai biến
đa thức bậc nhất hai biến
Nguyễn Mạnh Sơn
Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT Thái Nguyên



Tãm t¾t lý thuyÕt
Tãm t¾t lý thuyÕt
Kh¸i niÖm : ax + by = c (1)(a,b,c
Kh¸i niÖm : ax + by = c (1)(a,b,c
€
€
Z)
Z)

§iÓm nguyªn
§iÓm nguyªn
: M(x,y) ( x,y
: M(x,y) ( x,y
€
€
Z)
Z)


NghiÖm riªng
NghiÖm riªng
: x = x
: x = x
0
0
, y = y
, y = y
0
0




NghiÖm tæng qu¸t
NghiÖm tæng qu¸t
: x = f(t),y = g(t)
: x = f(t),y = g(t)

Tãm t¾t lý thuyÕt

Tãm t¾t lý thuyÕt
•
§Þnh lý 1:
(1) cã nghiÖm nguyªn  (a,b) \ c
HÖ qu¶ : NÕu (a,b) = 1 th× (1) lu«n
cã nghiÖm nguyªn.

Tãm t¾t lý thuyÕt
Tãm t¾t lý thuyÕt
•
§Þnh lý 2 :
NÕu (x
0
,y
0
) lµ mét nghiÖm nguyªn
cña (1) víi (a,b) = 1 th× (1) cã v« sè
nghiÖm nguyªn ®­îc cho bëi
x = x
0
+ bt ; y = y
0
– at (t € Z)
HÖ qu¶ : NÕu (x
0
,y
0
) lµ mét nghiÖm
riªng cña ax + by = 1 th× (cx
0

,cy
0
) lµ
mét nghiÖm riªng cña ax + by = c.

Cách giải 1:
Cách giải 1:


Tách phần nguyên
Tách phần nguyên


Chọn trong a và b hệ số có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn rồi tách phần
nguyên.
Lưu ý đến việc đặt điều kiện và kỹ
thuật chọn cách đặt.

C¸ch gi¶i 2: “
C¸ch gi¶i 2: “
Liªn ph©n sè
Liªn ph©n sè
”
”
i,Tr­íc hÕt t×m nghiÖm riªng cña
ax + by = 1 víi (a,b) = 1
*)ViÕt thuËt to¸n Euclide cho hai sè
a vµ b
a = bq

0
+ r
1
, b = r
1
q
1
+r
2.....

r
k-1
= r
k
q
k
+1



C¸ch gi¶i 2
C¸ch gi¶i 2
*)TÝnh m = = p/q
k
q
q
q
q
1
...

1
1
1
2
1
0
+
+
+
+

Cách giải 2
Cách giải 2
*)Nghiệm riêng của ax + by = 1
thoả mãn:



=
=
qy
px
0
0



=
=
py

qx
0
0

hoặc
Thử từng trường hợp để xác định dấu của x
0
, y
0
ii, Cuối cùng (cx
0
,cy
0
) là nghiệm của (1)

Định lý Euler
Định lý Euler

Cho m là một số nguyên dư
ơng bất kỳ và gọi là số
các số dương nhỏ hơn m và
nguyên tố cùng nhau với m .
Khi đó
n
(m)
1(mod m) với mọi số
nguyên n nguyên tố với m.
(m)

Cách giải 3:

Cách giải 3:
Đồng dư
Đồng dư
Cho phương trình ax b(mod m)(*)
Nếu (a,m) = 1 theo định lý Euler có
a
(m)
1(mod m).
Do đó a(ba
(m)-1
) b(mod m)
Vậy (*) có nghiệm là
x ba
(m)-1
(mod m)