các dạng bài tập nhị thức niu tơn

Nhi thức Newton

Dạng 2:

Tính tổng các biểu thức có dạng: C  C  C  ......C
PP giải: Vận dụng công thức hệ quả. Sau đó chon giá trị x phù hợp với bài toán
0
n

1
n

2
n

n
n

1. Tính giá trị của biểu thức:
 A  C60  C61  ...C66


B  C50  2C51  22 C52  ....25 C55



C  Cn0  Cn1  Cn2  ...Cnn



D  2n Cn0  2n2 Cn2  2n4 Cn4  .....Cnn



E  2n1 Cn1  2n3 Cn3  .....Cnn



F  Cn0  2Cn1  22 Cn2  .....2n Cnn



G  C22n  C24n  C26n  ....C22nn



11
H  C116  C117  C118  ....C11
2
n
1
n

p
n
p 1
n

C
C
 .... p

C
C

ĐS: 1024
n
n
n 1
n

C
C



I  Cn1  2



A  Cn0 



B  Cn0  2Cn1  3Cn2  ....  n  1 Cnn



C  1.2Cn2  2.3Cn3  3.4Cn4  ...  n  1 nCnn



D



E  P1  2P2  3P3  ....nPn
1
1
1
1
A  2  2  2  ... 2
A2 A3 A4
An
1
1
1
1
B  3  3  3  .... 3
An An1 An 2
An m




 ...n

1 n
 3  1
2
1
ĐS:  3n  1

2
ĐS:

Cn1 Cn2
Cn

 ... n
2
3
n 1

2n 1  1
n 1
n2 n
DS: B 
2
2
DS:  n  1 n.2n2
ĐS: A 

1
1
1

 ....
(n chẵn )
1!.  n  1! 2! n  2 !
 n  1!1!

a:

S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66

b:

S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55

c:

S3 = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717

d:

S4 = C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111

e:

0
2001
1
2000
k
2001k
2001 0
S4  C2002
C2002
 C2002
C2001
 ...  C2002
C2002

k  ...  C2002C1



2. Chứng minh rằng:
3. a. C20n  C22n  ....C22nn  C21n  C23n  .....C22nn1
4. b.  Cn0    Cn1   .....  Cnn   C2nn
2

2

2

1
1
1


5. c. 3n Cn0  Cn1  2 Cn2  ..... n Cnn   4n
3
3
3


0
2 2
4 4
2n 2n
6. d. C2 n  C2 n 3  C2 n 3  ......C2 n 3  22n1  22 n  1
0

2001
1
2000
k
2001k
2001 0
C2002
 C2002
C2002
 ...C2002
C2002
 ...C2002
C2002  1001.22002
7. e. C2002

Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013

1


Nhi thức Newton

8. (C )  (C )  (C ) ...  (C )  (1) C
0 2
n

9.

1 2
2n

2 2
2n

2n 2
2n

n

1
2n

(-1)n C0n + (-1)n-1 2C1n + … + (-1)n-k 2k Ckn + 2n Cnn = 1

10. C02n + C12n + C42n + … + (C22nn ) 2 = 22n-1









2000
2000
 chia hết cho 11
11. 1001  1001  1
 1001  1



12.  n  1 n  2  n  3 ...  2n  chia hết cho P = 1.3.5.7…(2n - 1)

13. Tìm số nguyên dương n thõa mãn: C21n  C23n  ....C22nn1  2048
1) Chứng minh bất đẳng thức:

ĐS: n = 6

Cn1  Cn2  ...  Cnn  n.  2n  1.

2) Chứng minh: Ckk  Ckk1  Ckk2  ...  Ckkm1  Ckkm1 .
3) Cho m  k  n. Chứng minh: Cm0 Cnk  Cm1 Cnk 1  Cm2 Cnk 2  ...  CmmCnk m  Cmk n .
4) Chứng minh rằng: Cn0  Cn1  Cn2  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn  0.
k

 2n  2 
5) a) Chứng minh: C .C .C ...C  

 n 1 
HD: Sử dụng bất đẳng thức cosi
0
n

1
n

2
n

n

n 1

n
n

.

6) * Chứng minh: C2nnk .C2nnk   C2nn  .
2

HD:
7) a) Chứng minh: 2.1.Cn2  3.2.Cn3  ...  n.  n  1 .Cnn  n.  n  1 .2n2.
8) b) Chứng minh:  Cn0    Cn1   ...   Cnn   C2nn .
2

2

2

14.
CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP
1) Chứng minh rằng: Cnk  2Cnk 1  Cnk 2  Cnk2  2  k  n  .
2) Chứng minh rằng: Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk3  3  k  n  .
3) Chứng minh : Cnk  Cnk 1  Cnk11.

1
4) Chứng minh: Pk . An21.Cn23 . An25  .n.k !. An55 .
2
5)

6) Chứng minh rằng với 4  k  n thì: Cnk  4.Cnk 1  6.Cnk 2  4.Cnk 3  Cnk 4  Cnk4 .
HD: Áp dụng tính chất Cnk  Cnk1  Cnk11 3 lần ta được đpcm
7) CMR:

n 1  1
1  1
 k  k 1   k
n  2  Cn 1 Cn 1  Cn

Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013

2


8) CMR:

Nhi thức Newton

1
1
1
1 n 1
(n > 1, n thuộc N)
 2  2  .... 2 
2
A2 A3 A4
An
n

9) CMR: Cn1  2

Cn2
Cn3
Cnn

3

....

n
 Cn21 (n > 0, n thuộc N)
Cn1
Cn2
Cnn 1

10) CMR Pn  1  P1  2P2  3P3  ...  n  1 Pn1 = n! - 1 (n >1)
HD: Ta có: Pk  Pk 1   k  1 Pk 1 . Cộng vế cho vế ta được điều phải cm
Giải phương trình giai thừa
9) 3.Cx21  2. Ax2  x.
10) Ax31  Cxx11  14  x  1 ;
11) Cx21. Ax2  4 x3   A21 x  .
2

12) P n 2  720 An5 .P n5 .
13) An3  3 An2 

1
P .
2  n 1

14) Giải bất phương trình:
15) Cx41  Cx31 

5 2
Ax 2  0.
4

Ax41
 14.P3 .
Cxx13
1
6
17) A22x  Ax2  Cx3  10 .
2
x
16)

ĐS: x=3, x= 4

18) Giải bất phương trình: Cxx12  Cxx11  2000.
19) GPT: Axy 1 : Axy1 : Cxy1  21: 60 :10

ĐS: x = 7, y = 3

2 Ayx  5C yx  90
20) GHPT:  x
x
5 Ay  2C y  80

ĐS: x = 2, y = 5

An41  3 An3
, biết rằng: Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24  149
21) (ĐH-D-2005)
Tính giá trị của biểu thức: M 
 n  1!
( n là số nguyên dương ). DS: M = 3/4
22) (DH- B 2002)Cho đa giác đều A1A2…A2n. nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết số tam giác có 3 đỉnh
là 3 trong 2n đỉnh của đa giác gấp 20 số hình chữ nhật có đỉnh là 4 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác. Tìm n
ĐS: n = 8
23)

Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013

3


Nhi thức Newton

IV – Nhị thức Newton:
12

1

24) Cho  x  
x

a. Xác định hệ số của số hạng thứ 8
b. Xác định hệ số của số hạng chứa x 4
c. Xác định số hạng khong chứa x của khai triến

12

 x 3
25) Tìm hệ số của số hạng chứa x4 của khai triển:   
3 x

18

1

26) Tìm số hạng không phụ thuộc vào x của khai triển:  x3  3 
x 

19
9
27) Tìm hệ số của x trong khai triển 2  x 

ĐS: T10  C199 .210

28) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển 3  2 x 15 .

ĐS: T8  C157 .38.  2 

29) Tính hệ số của x 5 y 8 trong khai triển x  y 13 .

ĐS: T 9  C138  1287

7

30)

n

1

31) Tìm số hạng đứng giữa của khai triển:  x   biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng 5
3

n

1 

32) Cho  x3  2  Tìm hệ số của số hạng chứa x2 biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển bằng
x 

11.
33) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển  x 2  1 bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x12.
n

2

34) Tìm hệ số của số hạng chứa x của khai triển:  x 2  
x


8

4

6

1


35) Tìm x để trong khai triển:  x lg x 1  12 x  có số hạng thứ 4 bằng 200.



8

1

36) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 3   .
x

17

 1

 4 x3  . Tìm số hạng không chứa x của khai triển.
37) Trong khai triển 
3 2
 x

7

1 

38) (ĐH-D-2004 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  3 x  4  với x > 0.
x


39) Biết hệ số x 2 trong khai triển 1 3x  là 90. Tìm n.
n



40) Trong khai triển nhị thức x 3 x  x 28 / 15



n

hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết.
Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79

Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013

ĐS: 792

4


Nhi thức Newton

41) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: 1  x   1  x   1  x   ...  1  x  .
5

6

7

11

Ta được một đa thức: P( x )  A0  A1.x  A2 .x 2  ...  A11.x11.
Tính A7 =?.
42) Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức 1  x 2  x3  . Ta được một đa thức:
9

Px  A0  A1 x2  A2 x 2  ... . Tính A7 .

43) (Đại học Thuỷ lợi, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: Q  x   1  x   1  x   ...  1  x 
9

10

14

Ta được đa thức: Q  x   a0  a1 x  ...  a14 x14 . Xác định hệ số a9.
Tìm hệ số của x8 trong khai triển của biểu thức: 1  x 2 1  x  .
8

44) (ĐH-A-2004)

45) Tìm hệ số chứa x5 y 3 z 6t 6 trong khai triển  x  y  z  t 

20

46) Tìm hệ số chứa x6 y 5 z 4 trong khai triển:  2 x  5 y  z 

ĐS: 126126.106

15

47) Cho : 1  x  x 2  x 4   a0  a1 x  ...a28 x 28
7

1.Tính a3.
2.Tính a0  a1  a2  ...a28
48) Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển: 1  2 x  3x 2 

10

49) Tìm hệ số của x 3 trong khai triển của biểu thức: P x   1  x   1  x   1  x   1  x  .
2

3

4

5

7

 1

50) Trong khai triển:  3 2  x  .Tìm số hạng chứa x 2 của khai triển đó.
 x

n

1


51) (ĐH-A-2003)
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:  3  x5  , biết
x

n 1
n
rằng: Cn4  Cn3  7(n  3) ( n là số nguyên dương, x > 0 ).
8

Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của

52) (ĐH-D-2003)

x

2

 1  x  2  . Tìm n để a3n3  26n.
n

n

n

 1

53) (ĐH-A-2006)
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của:  4  x 7  , biết
x


1
2
3
n
20
rằng: C2n1  C2n1  C2n1  ...  C2n1  2  1. ( n là số nguyên dương, x > 0 ).
26

 a

54) Trong khai triển:  3
b


21

b
3
a


 . Tìm số hạng có số mũ của a và b như nhau.


55) Tìm các hạng tử là số nguyên trong khi khai triển



3 2



19

Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013

5


Nhi thức Newton

56) Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn .
57) Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển:  a  b  , biết rằng tổng các hệ số bằng 4096.
n

58) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: (1 + x)n
59) Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển.

1 2
  
3 3

8

ĐS: 1792/2187

Cho khai triển: 1  2 x   a0  a1 x  ...  an x n . Trong đó n  N * và các hệ số a0 , a1,....., an
n

60) (ĐH-A-2008)

thỏa mãn hệ thức: a0 
61) (ĐH-A-2002)

a
a1
 ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số: a0 , a1 ,..., an .
2
2

Cho khai triển nhị thức:

n

n

n 1

n 1

n

x
x 1
x 1
x 1





  3x 
  3x 
0
1
n 1 
n
3
2
2
2
 2  2   Cn  2   Cn  2   2   ...  Cn  2   2   Cn  2  ( n là số nguyên



 








3
1
dương ). Biết rằng trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
x 1
2

x
3

62) (ĐH-A-2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho:
1
2
C2n1  2.2C2n1  3.22 C23n1  4.23 C24n1  ...   2n  1 .22 n C22nn11  2005.

22  1 1 23  1 2
2n1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn .
2
3
n 1

63) (ĐH-B-2003)

Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: Cn0 

64) (ĐH-D-2002)

Tìm số nguyên dương n sao cho: Cn0  2Cn1  4Cn2  ...  2n Cnn  243.

65) Xác định hệ số chứa x11 trong KT:  x 2  2   3x3  1 biết: C22nn  3C22nn1  ... 1 3k C22nnk  ..32n.C20n  1024
n

66) Tính tổng

n

n!
i  j  k n i ! j !k !



k

ĐS: 3n

1 2 
ĐS: 0     1
3 3 

n! 2 j
.
67) Tính tổng:   1
i ! j !k ! 3i  j
i  j k n
k

n

Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số trong khai triển sau:
 x  1 x  2  x11  a1x10  ...  a11
Hãy tìm hệ số a5
5
10

Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển x 1  2 x   x 2 1  3x  ( Khối D-2007)
Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức  x  y  z  t  ( Đề 4 “TH&TT” -2003)
Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11 trong khai triển đa thức:
20

x

2

 2   3x3  1 biết:
n

n

C22nn  3C22nn1  ...   1 3k C22nnk  ...  32n C20n  1024
k

n

1 

Bài 5: (LAISAC) Khai triển P  x    x3  2  ta được P  x   a0 x3n  a1 x3n5  a2 x3n10  ... Biết rằng ba hệ
2x 

số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số cộng. Tính số hạng thứ x4
Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013

6