Bai 27 Nhi thuc Niu Ton (CB - 11)

Người soạn: Ma Đình Khải


TËp thĨ Líp11A3


Kiến thức cũ:

Kiểm tra kiến thức cũ:
- Hãy nhắc lại công thức sau:

n!
C =
k!( n − k ) !
k
n

- Hãy nhắc lại 2 tính chất của các số

C k = C n −k
n
n
Ck −1 + Ck −1 = Ck
n −1
n
n

C

k
n

Kiến thức cũ:

n!
C =
k!( n − k ) !
k
n

C =C
k
n

n −k
n

Ck −1 + Ck −1 = C k
n −1
n
n

Áp dụng cơng thức, Hãy tính:
2
?
C0 = C 2 = 1
?
2
0
?

3
C3 = C3 = 1
?

C =C =?
3
1
3

2
?
3


Nhắc lại các khai triển sau đây:

2
1
C 0 = C 2 = 1 C2 = 2 C 0 = C 3 = 1
2
3
3

L­u ý:

2
C1 = C3 = 3
3

( a + b)

3
3
2
2
3 = C 0 a 3 + C1 a 2 b1 + C 2a 1b 2 + C3b 3
( a + b ) = 1a + 3a b + 3ab + 1b 3
3
3
3
Tương tự:
4
( a + b)(a + b)3
( a + b) =
4
3
2 2
3
4
= a + 4a b + 6a b + 4ab + b
2

= C0 a 2 + C1 a1b1 + C 2 b 2
= 1a + 2ab + 1b
2
2
2
2

2

= C a + C a b + C a b + C ab + C b
0
4

4

1 3
4

2
4

2 2

3
4

3

4 4
4

TỔNG QUÁT:

( a + b)

n

C0 a n + C1 a n −1b + ... + C k a n −k b k + ... + C n −1ab n −1 + C n b n
= n

n
n
n
n
(Đây được gọi là công thức Nhị thức Niu – Tơn)


Tiết 27: §3 NHỊ THỨC NIU – TƠN

Niu Tơn


I.Công thức Nhị thức Niu – Tơn (SGK- T55)
0
k n −k
n −1
n
a + b ) = C n a n + C1 a n −1 b + ... + C n a b k + ... + C n a b n −1+ C n b n
(
n
n

(1)

Chú ý (SGK-T56): Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):
+ Số các hạng tử là n + 1
Có bao nhiêu hạng tử trong khai triển
+ Các hạng tử có số mũ của a giảm dần số mũ của a
Hãy nhận xét từ n đến 0
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n xét số mũ của b

Hãy nhận
Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a = b = 1)
Hãy nhận xét tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử
+ Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau
Hãy nhận xét các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối
0

0


I. Công thức Nhị thức Niu – Tơn:
0
k n −k
n −1
n
a + b ) = C n a n + C1 a n −1b + ... + C n a b k + ... + C n a b n 1+ C n b n
(
n
n

(1)

+ Số hạng tổng quát của khai triĨn (thø k+1) cã d¹ng:

Tk+1 =
+ Ta có cơng thức nhị thức Niu Tơn thu gọn:
n
n
k
n

k =0

( a +b)

+Do

( a + b)

n

= ( b + a)

n

C

= ∑C a

nên ta có thể viết

n −k

( a + b)

n

k n−k
n

a

b

b

k

k
n

=∑C a b
k=0

k k n− k
n


I. Công thức Nhị thức Niu – Tơn:
0
k n −k
n −1
n
a + b ) = C n a n + C1 a n −1 b + ... + C n a b k + ... + C n a b n −1+ C n b n
(
n
n

Nhiệm vụ:
Hệ quả (SGK-T56):
Hãy thay vào cơng thức khai triển trên với:

n
0
1

n
Với a = b = 1, Ta coù: 2 = C n + C n + ... + C n
a = = 1;
Vớiba= 1 b = −1, Ta coù:
a = 1; 0b− C11+ ... + ( −1) k C k + ... + ( −1) n C n
0=C =−
n

n

n

n

(1)


C = C =1
0
5

Chó ý

ÁP DỤNG:

( x + 2)

* VÝ dơ : TÝnh

5
5

C =C =5
1
5

5

4
5

2
C5 = C3 = 10
5

Gi¶i : Ta cã
4

L thõa cđa x:

x

5

x

L thõa cđa 2:

1

1

2

2

0
5

1
5

c

Sè tỉ hỵp:

c

c

x

3

2

2
5

x
2

2

3

3
5

c

1

x

4

2
4
c5

1
5
2
5
5

c

x + 2 ) = x + 10x 4 + 40x 3 + 80x 2 + 80x + 32
(
5

5


II. TAM GIÁC PA –XCAN (SGK-T57)
Từ công thức (1):

( a + b)

n

1
= Cn0 a n + Cn a n −1b + ... + Cnk a n − k b k + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n (1)

Khi cho n = 0, 1, 2, 3,…và sắp xếp các hệ số thành dịng, ta có:

n = 0 ⇒ ( a + b) = 1
1
n = 1 ⇒ ( a + b) = 1 1
0

n = 2 ⇒ ( a + b) =
3
n = 3 ⇒ ( a + b) =

4
n = 4 ⇒ ( a + b) =
2

1 2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

n = 5 ⇒ ( a + b) = 1
5

n = 6 ⇒ ( a + b) =
6

n = 7 ⇒ ( a + b) =
7

5 10 10

1
5 1

1

6

15

20 15 6

1

1

7

21 35 35 21 1 1

Pascal


Vậy, theo công thức (1), khi cho n = 0,1, 2, 3,4,…và sắp
Xếp các hệ số thành dòng ta nhận được một tam giác
gọi là tam giác Pa - XCan

1
1
1
1
1
1
1
1
1

5

3

1

6
10

15
21

1

3
4

6
7

2

4

1

10
20

35

5
15

35
k −1

1
6

21

1
7

1

NHẬN XÉT: Từ công thức Cn = Cn −1 + Cn 1 Suy ra cách tính các
Số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó
1

Chng hn: C52 = C4 + C42 = 4 + 6 = 10
k

2
1
2
C7 = C6 + C6 = ? 6 + 15 =

k

21


II. TAM GIC PA XCAN

áp dụng: Dựa vào tam gi¸c pascal, h·y khai triĨn:
(x+y)6 ?

( x + y)

6

=

x + 6x y + 15x y + 20x y + 15x y + 6xy + y
6

5

4 2

n=1
n=2
n=3

1
1
1
1

n=4
n=5
n=6 1

3 3

1

4
15

1
3

1

6
10

4

10

20

5

1

2
3

5
6

1

2 4

1
5

15

1
6

1

6

II. TAM GIÁC PA – XCAN

ÁP DỤNG ( hđ 2):
Dựa vào tam giác Pa – xcan, chứng tỏ
rằng:
2

n=0

1 + 2 + 3 + 4 = C5

n=1

Giải:

n=2

2
1 + 2 + 3 + 4 = ( C0 + C1 ) + C3 + C3
2
2
4

n=3

2
2
= C1 + C3 + C3 = ( C1 + C3 ) + C3
3

4
3
4

= C +C = C = C
2
4

3
4

3
5

2
5

n=4
n=5

n=6
n=7


Áp dụng
Bài1: Hãy chọn câu trả lời đúng
Số hạng không chứa x trong khai triển
A

6

C

20

B

1

D

15

Bài 2: Khai triển các biểu thức sau:
4

a, (2 x + y )

b, ( x − 3)

5

 1 2
 +x ÷
x 

6

là:

Sư dơng

Cách giải
Bài 1:

k n− k k
n

Tk +1 = C a b

Hãy chọn câu trả lời đúng

Số hạng không chứa x trong khai trin
A

6

C

20

B

1

D

1 2
+x ữ

x

6

l:

15

Giải: Ta cã: Tk+1 =

1 6 −k 2 k
k −6 +k 2 k
k −6 +3 k
C 6 ( x ) ( x ) = C 6x x = C 6x
k

Vì số hạng không chứa x nên:
2

T3 = C 6 = 15

−6 + 3k = 0 ⇒ k = 2

KÕt qu¶: D


Áp dụng

Bµi2: Khai triển các biểu thức sau:

a, (2 x + y ) ; b, ( x − 3)
4

5

n

a + b ) = ∑C k a n −k b k
(
n
n

k =0

Giải:

a, (2 x + y ) 4 =
C (2 x) + C (2 x ) y + C (2 x ) y + C (2 x) y + C y
0
4

4

1
4

3

2
4

2

2

3
4

3

= 16 x + 32 x y + 24 x y + 8 xy + y
4

3

2

2

3

4
4

4

4

b,( x − 3)5 = [x+(-3)]5 =
C x + C x (− 3) + C x (− 3) + C x (− 3) + C x (− 3) + C (− 3)

0 5
5

1 4
5

2 3
5

2

3 2
5

3

4
5

2

5
5

= x − 15 x + 90 x − 270 x + 405 x − 243
5

4

3

2

5


Củng cố bài học:
Nắm được công thức khai triển Niu – Tơn

( a + b)

n

1 n−1
n

k n− k k
n

n−1
n

n−1

= C a + C a b + ... + C a b + ... + C ab + C b
0 n
n

n

= ∑C a
k =0

k
n

n −k

b

k

Nắm được quy luật trong tam giác Pa – Xcan
Bài tập về nhà: 1,2,3,4,5,6 sgk trang 57, 58

n n
n


XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN

CÁC THẦY CÔ GIÁO
ĐÃ NHIỆT TÌNH ĐẾN THAM DỰ vÀ GÓP Ý
CHO GIỜ DẠY ĐẠT KẾT QUẢ TỐT ĐẸP.

XIN CHÚC CÁC THẦY CÔ :
SỨC KHOẺ VÀ HẠNH PHÚC


Bài tập

Bài tập 1:
Khai triển các nhị thức

a ) (a + 2b)

5

1 13
b) (x - )
x

1
3
5
a ) (a + 2b)5 = C50 a 5 + C5 a 4 (2b) + C52 a 3 (2b) 2 + C5 a 2 (2b)3 + C54 a1 (2b) 4 + C5 a 0 (2b)5

= a 5 + 10a 4b + 40a 3b 2 + 80a 2b3 + 80ab 4 + 32b5
1
b)( x − )13 =
x
1
1
1
1
1
1
0
1
2
3

4
5
6
= C13 x 13 − C13 x 12 ( )1 + C13 x 11 ( ) 2 − C13 x10 ( ) 3 + C13 x 9 ( ) 4 − C13 x 8 ( ) 5 + C13 x 7 ( ) 6
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
7
8
9
10
11
12
13 1
− C13 x 6 ( ) 7 + C13 x 5 ( ) 8 − C13 x 4 ( ) 9 + C13 x 3 ( )10 − C13 x 2 ( )11 + C13 x1 ( )12 − C13 ( )13
x
x
x
x
x
x

x
= x 13 − 13x 11 + 78 x 9 − 286 x 7 + 715 x 5 − 1287 x 3 + 1716 x −
1
1
1
1
1
1
1
− 1716( )1 + 1287( ) 3 − 715( ) 5 + 286( ) 7 − 78( ) 9 + 13( )11 − ( )13
x
x
x
x
x
x
x