SỰ ĐỐI XỨNG CỦA TINH THỂ Ô MẠNG CƠ SỞCÁC HỆ TINH THỂ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA VẬT LÝ
---------------

SỰ ĐỐI XỨNG CỦA TINH THỂ
Ô MẠNG CƠ SỞ-CÁC HỆ TINH THỂ

Nhóm thực hiện:
1. Nguyễn Thị Hải Yến
2. Huỳnh Thị Thùy Trâm
3. Phan Nguyễn Đức Dược
4. Nguyễn Hoàng Vũ
5. Nguyễn Thị Thanh Tuyền
6. Nguyễn Thị Hồng Sen

Chuyên ngành:
VẬT LÝ LÝ THUYẾT & VẬT LÝ TOÁN – KHÓA 23

Huế, 5/ 2015


MỤC LỤC
Trang bìa...............................................................................................................1
Mục lục.................................................................................................................2
Nội dung...............................................................................................................3
I. Sự đối xứng trong tinh thể.................................................................................3
1.1. Các yếu tố đối xứng định hướng (yếu tố đối xứng trong hình hữu hạn)..3
1.1.1. Đồng nhất E (hay I)...........................................................................4
1.1.2. Tâm đối xứng [C]..............................................................................4
1.1.3. Mặt đối xứng (hay mặt gương) [P]....................................................5

1.1.4. Trục đối xứng xoay Ln.......................................................................5
1.1.5. Trục đối xứng nghịch đảo (hay trục đảo chuyển)..............................8
1.2. Các yếu tố đối xứng vị trí (yếu tố đối xứng trong hình vô hạn).............10
1.2.1. Trục tịnh tiến Lt...............................................................................10
1.2.2. Mặt ảnh trượt Pt...............................................................................10
1.2.3 Trục xoắn ốc Lxn..............................................................................11
II. Ô mạng cơ sở - các hệ tinh thể.......................................................................12
2.1.Ô mạng cơ sở...........................................................................................13
2.2. Các hệ tinh thể........................................................................................13
2.2.1. Hệ ba nghiêng..................................................................................14
2.2.2. Hệ một nghiêng...............................................................................14
2.2.3. Hệ trực giao.....................................................................................14
2.2.4. Hệ tam phương................................................................................15
2.2.5. Hệ tứ phương...................................................................................15
2.2.6. Hệ lục phương.................................................................................15
2.2.7. Hệ lập phương.................................................................................16
Tài liệu tham khảo..............................................................................................17

Trang 2


NỘI DUNG TRÌNH BÀY
I. Sự đối xứng của tinh thể
1. 1. Các yếu tố đối xứng định hướng (hay các yếu tố đối xứng trong hình hữu
hạn)
Tính đối xứng bộc lộ rõ trên bề mặt tinh thể; sự lặp lại được xác lập nhờ các
thao tác chính sau:
-

Phép phản chiếu: các phần bằng nhau của tinh thể có thể lặp lại nhau, sau khi

phản chiếu qua trọng tâm (tâm đối xứng) hoặc phản chiếu trong mặt phẳng (mặt
gương) tưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện.
-

Phép quay: các phần bằng nhau của đa diện trùng lại nhau, sau khi quay

quanh đường thẳng tưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện.
1.1.1. Đồng nhất E (hay I)
Ký hiệu: E (Einheit) hoặc I (Identical)
Từ cấu hình cân bằng gốc, qua phép biến đổi E thành một cấu hình mới trùng
với cấu hình cũ. Nguyên tử sẽ trở lại chính nó sau khi biến đổi.
1.1.2. Tâm đối xứng [C]
Tâm đối xứng C sẽ làm trùng khít hình F với ảnh F’ của nó bằng phép nghịch
đảo so với điểm C đó.
Hay: C là một điểm trong hình có tính chất: bất kỳ đường thẳng nào qua nó
đều cắt hình tại 2 điểm cách đều 2 bên nó.

Trang 3


Nhận biết: Một đa diện có tâm C khi mỗi mặt bất kỳ của đa diện có một mặt tương
ứng nằm ở phía xuyên tâm đối, song song, bằng nhau và trái chiều đối với nhau.

Tinh thể thạch anh
1.1.3. Mặt đối xứng (hay mặt gương) [P]
Mặt đối xứng là một mặt phẳng chia hình ra 2 phần bằng nhau, phần này đối
với phần kia là ảnh của nhau qua gương.

Trang 4

1.1.4. Trục đối xứng xoay Ln (n là một số nguyên )
Đó là những đường thẳng qua tâm điểm của hình mà khi xoay hình quanh nó
đủ một vòng 3600 bao giờ hình cũng chiếm những vị trí tương tự vị trí đầu tiên một
số nguyên n lần.
- n được gọi là bậc trục.
- Góc xoay bé nhất để hình trở lại vị trí tương tự vị trí đầu tiên gọi là góc xoay cơ sở
của trục. Nếu gọi góc xoay cơ sở là α thì bao giờ ta cũng có: α =3600/n. Nghĩa là 1
vòng xoay 3600 bao giờ cũng chứa một số nguyên lần góc α.

Hình

Góc

Trục quay

(α =3600/n)

(Ln)

α=1800 = 3600/2

n = 2 → L2

α = 1200 =3600/3

n = 3 → L3

α = 600=3600/6

n = 6 → L6

Hình thoi

Tam giác đều

Lục giác đều

Trang 5


Hình vuông
α = 900 = 3600/4

n = 4 → L4

Hình tròn
α = 3600/∞

*

L∞

Trục đối xứng bậc 1 là trục có góc xoay cơ sở α = 360 0/1 = 3600. Một vật có

hình dáng méo mó bất kỳ khi xoay quanh 1 đường thẳng bất kỳ bao giờ cũng trở lại
ví trí đầu tiên. Nên trục đối xứng bậc 1 không mang nội dung đối xứng nào.
*

Định lý:
Trong tinh thể chỉ có các trục đối xứng bậc 1, 2, 3, 4 và 6.
Tính chất cơ bản nhất của mạng không gian là tính chất tịnh tiến tuần hoàn.

Chính tính chất này đã giới hạn số trục xoay cho phép có được trong mạng (và cũng
là trong tinh thể).
- Trước tiên ta chứng minh định lý: Trong mạng luôn có phép tịnh tiến vuông góc
với trục đối xứng xoay.

α

+ Cho trục Ln vuông góc với mặt hình vẽ.
Trang 6


+ Lấy 1 nút mạng a1 gần trục nhất nhưng không nằm trên trục.
+ Xoay mạng quanh trục 1 góc α = 3600/n, a1 phải tới vị trí nút a2.
r

r

Phép tịnh tiến a1a2 hay a là phép tịnh tiến bảo toàn mạng. a vuông góc với Ln.
(Đó là điều phải chứng minh.)
- Chứng minh định lý:
B’

A’

+ Vẽ mặt phẳng vuông góc với trục Ln cho trước và chứa một nút mạng a1.
+ Vết xuyên của trục Ln qua mặt phẳng là điểm A (điểm A không nhất thiết là

nút mạng).
+ Xoay a1 quanh Ln một góc α = 3600/n, a1 sẽ đến a2 tương đương (theo định
nghĩa trục đối xứng và tịnh tiến tuần hoàn của mạng).

r

+ Qua tác dụng của phép tịnh tiến a , điểm A phải cho điểm B tương đương.
Qua điểm B cũng phải có trục Ln vuông góc với mặt phẳng.
+ Xoay điểm B quanh A một góc α =3600/n được điểm B’.
+ Xoay điểm A quanh B cũng một góc α =3600/n được điểm A’.
B, B’, A’ là những điểm tương đương với điểm A.

Trang 7


Theo tính chất tịnh tiến tuần hoàn của mạng, đường thẳng A’B’ song song với
đường AB phải có cùng thông số a (các hàng mạng song song nhau thì có cùng
thông hàng). Nghĩa là khoảng cách giữa 2 điểm tương đương A gần nhau nhất trên
mỗi đường thẳng này đều bằng a. Do đó khoảng cách giữa A’ và B’ phải bằng một
số nguyên lần a.
A’B’ = ka. (Trong đó k là một số nguyên nào đó)
Trên hình vẽ ta sẽ thấy: AB = BA’=AB’= a
A’B’ = a + 2acos(π−α) = a(1-2cos α) = ka
Hay: 1-2cosα = x → 2cosα =1- k = N → cosα =N/2
Điều kiện k là số nguyên dẫn đến N cũng phải là số nguyên nhưng có thể là
dương hoặc âm. Ngoài ra còn điều kiện các giá trị của cosα nữa.
Kết hợp các điều kiện ta lập bảng thống kê sau :
N

cosα

Góc xoay cơ sở [α]

Bậc của trục xoay
[n]

-2

-1

1800

2

-1

-1/2

1200

3

0

0

900

4

1

1/2

600

6

2

1

3600

1

Tóm lại trong tinh thể chỉ có các trục đối xứng bậc 1, 2, 3, 4, 6.
1.1.5. Trục đối xứng nghịch đảo (hay trục đảo chuyển): Lin (n là một số nguyên)
Là một tập hợp gồm một trục đối xứng và một tâm điểm, tác dụng không
riêng lẻ mà đồng thời.
Nói cách khác, trục đảo chuyển được thiết lập nên sau khi cho hình quay một
góc α=3600/n quanh trục đối xứng, rồi cho đối xứng qua tâm điểm của hình, thì hình
trở lại vị trí tương tự vị trí đầu tiên.
Trang 8


Vì ta có các trục đối xứng với: n = 1, 2, 3, 4, 6 nên ta cũng có các trục nghịch
đảo Li1, Li2, Li3, Li4, Li6.
-

Trục đối xứng Li1 không khác gì tâm C (Li1=C ), vì việc xoay hình quanh trục

một góc 3600 tương đương với việc không cần xoay.

-

Trục Li2 không khác gì cho mặt gương P đặt vuông góc với Li 2 (Li2=P). Nhìn

hình vẽ dưới dây ta có thể thấy 2 điểm tương đương a’ và a’ 1 có thể suy ra lẫn nhau
bằng phép đối xứng qua Li2 (xoay quanh Li2 góc 1800 rồi cho nghịch đảo qua tâm
O) hoặc bằng phép đối xứng qua mặt P (vuông góc với Li2 và chứa tâm O).

-

Trục nghịch đảo Li3 bằng tổng hợp tác dụng của trục L3 và tâm đối xứng C

Trang 9


-

Tác dụng của trục Li6 bằng tổng hợp tác dụng của L 3 và mặt phẳng P vuông

góc với L3.

Có thể viết lại như sau: Li1 = C,

Li2 = P, Li3 = L3C, Li6 = L3P

 Tóm lại: dạng đối xứng bên ngoài có thể thấy được của các tinh thể

được diễn tả chủ yếu qua các phép đối xứng: C, P, L1, L2, L3, L4, L6, Li4, Li6.

1.2. Các yếu tố đối xứng vị trí (hay các yếu tố đối xứng trong hình vô hạn)
Để nghiên cứu cấu trúc bên trong của tinh thể được thuận lợi, mạng tinh thể
được coi là những hình vô hạn. Trong hình này, với mỗi yếu tố đối xứng trên, ta có
vô số yếu tố đối xứng cùng loại song song nhau…
Trong hình vô hạn có những yếu tố mà hình hữu hạn không có, đó là: trục tịnh
tiến, mặt ảnh trượt, trục xoắn ốc.
1.2.1. Trục tịnh tiến Lt
Là 1 phương trong một hình mà khi ta tịnh tiến hình 1 đoạn nhất định song
song với phương đó thì hình sẽ trở về vị trí tương tự vị trí cũ trong không gian.
Đoạn thẳng đó gọi là bước tịnh tiến hay chu kỳ tịnh tiến T.
Ví dụ: Mạng tinh thể NaCl
Trang 10


Khi tịnh tiến toàn bộ mạng lưới NaCl từ trái sang phải theo phương L T một đoạn
bằng khoảng cách giữa 2 ion Na+ hoặc Cl- liền nhau, thì mạng sẽ trùng với vị trí cũ.
1.2.2. Mặt ảnh trượt Pt
Là một tập hợp gồm 1 mặt đối xứng và 1 phép tịnh tiến song song với mặt đối
xứng đó, chúng tác dụng đồng thời.
Sử dụng mạng tinh thể NaCl. Ở đây, việc dịch chuyển một đoạn (bước trượt t)
bằng một nửa bước tịnh tiến trước (t=1/2T), sau đó cho đối xứng.

1.2.3. Trục xoắn ốc Lxn
Là 1 tập hợp gồm 1 trục đối xứng và 1 phép tịnh tiến song song trục đối xứng
đó, chúng tác dụng không riêng lẻ mà đồng thời.
- Trục xoắn ốc có các loại: Lx1, Lx2, Lx3, Lx4, Lx6.
- Chúng phân biệt không những bằng góc quay cơ sở, mà còn bằng độ lớn của bước
trượt t.

Ví dụ 1:
Trang 11


- Trục xoắn bậc hai Lx2 (n=2) có góc quay cơ sở 180° và bước trượt t bằng 1/2 của
bước tịnh tiến T (t=T/n=T/2)
- Trục xoắn bậc ba Lx3 có góc quay cơ sở bằng 120° và bước trượt t bằng 1/3 của T
(t=T/n=T/3).
Ví dụ 2: Cho 1 hình lăng trụ vuông gồm hệ thống điểm A1, A2, A3
Ta có thể thấy, hình có trục xoắn bậc 4 (Lx4), vì khi quay hình quanh trục Lx4 góc
900 thì A1, A2, A3,… sẽ ở vị trí lần lượt A ’1, A’2, A’3,…và tịnh tiến 1 bước t=T/4 thì
A1 đến A2; A2 đến A3;…

- Các điểm A1, A2. A3, … qua tác dụng của Lx4 chuyển động theo 1 đường xoắn ốc.
- Nếu đường xoắn ốc theo chiều kim đồng hồ thì đó là trục xoắn ốc trái. Ngược lại ta
có trục xoắn ốc phải.
 Tóm lại: Trục xoắn ốc có các loại: Lx3, Lx4, Lx6. Lx1 tương ứng với trục tịnh
tiến. Lx2 tương ứng với mặt ảnh trượt.

Trang 12


II. Ô mạng cơ sở - các hệ tinh thể
2.1. Ô mạng cơ sở
Mạng tinh thể lý tưởng là tập hợp một số rất lớn các hạt được sắp xếp một
cách đều đặn trong không gian.
Ta có thể hình dung mạng tinh thể như một mạng lưới không gian vô tận mà
tại các nút của mạng là các hạt tạo nên tinh thể. Các nút mạng được gọi là gốc
mạng. Các gốc mạng đều đồng nhất về thành phần cũng như quy luật sắp xếp.
rrr

Từ ba vectơ cơ sở a , b, c ta dựng một hình hộp thì hình hộp này được gọi là ô

cơ sở.

Ô mạng cơ sở là ô mạng thể hiện đầy đủ tính chất đối xứng của mạng, đồng
thời là đơn vị tuần hoàn nhỏ bé nhất của mạng.

2.2. Các hệ tinh thể
Căn cứ vào độ dài của ba cạnh a, b, c và ba góc α , β , γ giữa chúng người ta
chia các hệ tinh thể ra thành 7 hệ tinh thể: hệ ba nghiêng, hệ một nghiêng, hệ trực
giao, hệ tam phương, hệ tứ phương, hệ lục phương và hệ lập phương.
Căn cứ vào tổ hợp các yếu tố đối xứng trong tinh thể, người ta chia làm 3
hạng đối xứng:
- Hạng thấp: không có trục đối xứng cao hơn bậc hai
Trang 13


- Hạng trung: có duy nhất một trục đối xứng cao hơn bậc hai
- Hạng cao: có nhiều hơn một trục đối xứng cao hơn bậc hai
2.2.1. Hệ ba nghiêng
- Ô mạng cơ sở: hình bình hành
- a ≠ b ≠ c ; α ≠β ≠ γ ≠ 900
- Yếu tố đối xứng trong ô mạng : C
- Mức đối xứng hạng thấp
2.2.2. Hệ một nghiêng
Hệ đơn tà gồm hai loại mạng Bravais (đơn tà đơn giản và đơn tà đáy tâm) có tính
chất:
- Ô mạng cơ sở : Lăng trụ đáy hình bình
hành hay hình hôp lệch
- a ≠ b ≠ c ; ∝ = γ = 900 ≠ β

- Yếu tố đối xứng của ô mạng: L2PC. Hệ có
phép đối xứng quay với phép quay bậc 2 và
phép phản xạ qua mặt phẳng vuông góc với trục quay (L2PC) . Trong đó, trục L2 đi
qua tâm hình còn mặt phẳng phản xạ gương là mặt đáy.
- Mức đối xứng hạng thấp
2.2.3. Hệ trực giao: gồm bốn loại mạng Bravais (trực giao đơn giản, trực giao đáy
tâm, trực giao thể tâm, trực giao diện tâm) có mức đối xứng hạng thấp.
- Ô mạng cơ sở : Hình hộp diêm hay lăng trụ đáy chữ nhật
- a≠b ≠ c ; ∝ = γ = 900 = β
- Yếu tố đối xứng của ô mạng : hệ này có ba trục quay bậc 2 vuông góc với nhau và
3 mặt phẳng phản xạ vuôg góc với các trục quay (3L23PC).
- Mức đối xứng hạng thấp

2.2.4. Hệ tam phương
- Ô mạng cơ sở : Hình mặt thoi hay đa diện đáy thoi
- a = b = c ; ∝ = γ = β ≠ 900
Trang 14


- Yếu tố đối xứng của ô mạng : L33L23PC. Mức đối xứng hạng trung: hệ có một trục
quay bậc 3 duy nhất, có ba trục bậc 2 cắt nhau một góc 60 và ba mặt phẳng phản xạ
nằm giữa các trục bậc 2 (L33L23PC)
- Mức đối xứng hạng trung

2.2.5. Hệ tứ phương
- Ô mạng cơ sở : Lăng trụ đáy vuông hay lăng trụ tứ phương
- a = b ≠ c ; α = β = γ = 900
- Yếu tố đối xứng có trong ô mạng : L44L25PC
- Mức đối xứng hạng trung

2.2.6. Hệ lục phương
- Ô mạng cơ sở : Lăng trụ lục phương ( lăng trụ đáy
thoi trong lăng trụ lục phương )
- a = b ≠ c ; α = β = 900 ; γ = 1200
- Yếu tố đối xứng của ô mạng : hệ có một trục quay
bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau một góc 30, một
mặt phản xạ vuông góc với trục quay bậc 6, sáu mặt
phẳng chứa trục quay bậc 6 và trục quay bậc 2 (L66L27PC)
- Mức đối xứng hạng trung.
2.2.7. Hệ lập phương: gồm ba loại mạng Bravais (lập phương đơn giản, lập phương
thể tâm, lập phương tâm diện)
- Ô mạng cơ sở: Lập phương
- a = b = c ; α = β = γ =900
Trang 15


- Yếu tố đối xứng của ô mạng : 3L44L36L29PC.
- Mức đối xứng hạng cao.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Giáo trình cơ sở hóa tinh thể, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội
[2] Crystals and Crystal Structures, Richard J. D. Tilley, Emeritus Professor,
University of Cardiff
[3] Giáo trình tinh thể học (dành cho sinh viên công nghệ hóa học)
Trang 16


Trang 17