Chuyen de tich phan va ung dung (lan)

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1) Nguyên hàm thừa nhận.
2) Tính chất của tích phân.
3) Phương pháp tính tích phân.
4) Ứng dụng của tích phân
PHẦN 2: PHÂN DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
b

A/ TÍCH PHÂN. Để tính I = ∫ f ( x ) dx
a

Dạng 1: Nếu f ( x ) là đa thức ⇒ sử dụng công thức thừa nhận đưa ra kết quả.
1



Ví dụ 1: Tính I = ∫  x 3 − 2 x 2 + − e 2 x dx
−1

3
x





Hướng dẫn: Nhận thấy các hàm số trong dấu tích phân có thể sử dụng các
tích phân thừa nhận để tính.
1

 x 4 2x 3

3
e2x 



+ 3 ln x −
Ta có, I = ∫  x 3 − 2 x 2 + − e 2 x dx =  −
x
3
2  −1

 4
−1
1

1

e2  1

2

2

e −2 

4

e2

1

=  − + 3.0 −  −  + + 3.0 −  = − − + 2
2  4 3
2 
3 2 2e
4 3
2

4


Bài tập tương tự: I = ∫  x 3 + 2 x 2 + + cos 2 x dx
x

1
g ( x)
Dạng 2: Nếu f ( x ) = h( x) (tích phân phân thức)
TH1: Nếu h( x ) = ax + b ⇒ chia đa thức g (x) cho h( x ) đưa về tích phân thừa nhận.
1
1
Chú ý: dx = −d ( − x ) = d ( x ± b ) = −d ( b − x ) = d ( ax ± b ) = − d ( b − ax )
a
a
1
4
2
2 x − 3x + 5 x − 7
dx
Ví dụ 2: Tính I = ∫
x +1

0

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là một đa thức
còn mẫu số là nhị thức nên để đưa về tích phân thừa nhận thực hiện chia tử cho
mẫu.
1

Ta có, I = ∫
0

1

(

1

2 x 4 − 3x 2 + 5x − 7
13 

dx = ∫  2 x 3 − 2 x 2 − x + 6 −
dx
x +1
x
+
1


0
1

)

= ∫ 2 x − 2 x − x + 6 dx − 13∫
3

2

0

0

d ( x + 1)
x +1

1

 x 4 2x 2 x 2

1
=  −
−
+ 6 x  − 13 ln x + 1 0
3
2
 2
0
16
1 2 1

=  − − + 6 − 0 − 13[ ln 2 − 0] =

− 13 ln 2
3
2 3 2

2
4 x 3 − 5x 2 + 2 x − 6
1
dx viết dx = − d (1 − 2 x )
Bài tập tương tự: I = ∫
1 − 2x
2
1

TH2: Nếu h( x ) = ax 2 + bx + c có ∆ = b 2 − 4ac và g ( x ) = k là hàm hằng


(1) Nếu ∆ > 0 : Ta có,
x1 > x2
⇒ đưa về
1

Ví dụ 3: Tính I = ∫
0

 1
k
k
k
1 
=

=
−

 với
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x 2 ) a( x1 − x 2 )  x − x1 x − x 2 
2

∫

du
để tính
u

1
dx
x + x−6
2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là hằng số và
mẫu là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta sử dụng ứng dụng của định lý
viets phân tích tam thức thành nhân tử chung sau đó tách thành hai phân thức có
mẫu là nhị thức để tính.
1

Ta có, I = ∫
0

1

1

1 1
1 
dx = ∫ 
−
dx
2
5  x − 2 x + 3
x + x−6
0

1 d ( x − 2 ) 1 d ( x + 3) 1
1
= ∫
− ∫
= ln x − 2 − ln x + 3
5 0 x−2
5 0 x+3
5
5
0
1

1

1

1

0

1
[ 0 − ln 2] − 1 [ ln 4 − ln 3] = 1 ln 3
5
5
5 2
1
1
dx
Bài tập tương tự: I = ∫
2
− 3x + 7 x + 10
0
=

(2) Nếu ∆ = 0
k
k
du
1
Ta có ax 2 + bx + c = a( x − x ) 2 ⇒ đưa về ∫ 2 = −
u
u
0
0

Ví dụ 4: Tính I =

∫x

2

−1

1
dx
− 2x + 1

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là hằng số và
mẫu là tam thức bậc hai có nghiệm kép, ta biến đổi tam thức về dạng bình phương
của một biểu thức để tính.
0

1
d ( x − 1)
1
 1  1
I=∫ 2
dx = ∫
=−
= − − 1 −  −  =
2
x − 1 −1
 2  2

−1 x − 2 x + 1
−1 ( x − 1)
0

0

Ta có,

0

1
dx
− 3x + 12 x − 12
−1

Bài tập tương tự: I = ∫

2

(3) Nếu ∆ < 0
k
k
= 2
trong đó, u = u ( x ) , d = hằng số
ax + bx + c u + d 2
⇒ sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt u = d tan t .

Ta có,

2

1

Ví dụ 5: Tính I = ∫
0

1
dx
x + x +1
2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là hằng số và
mẫu là tam thức bậc hai vô nghiệm, ta biến đổi tam thức về dạng bình phương của
một biểu thức cộng với một số không đổi để tính.


1

1

1
dx
dx = ∫
2
2
Ta có,
1
3
0 x + x +1
0 
x+  +
2
4

1
3

3dt
3
tan t ⇒ dx =
=
tan 2 t + 1 dt
Đặt, x + =
2
2
2
2
2 cos t
π
π
Đổi cơ số: x = 0 ⇒ t = và x = 1 ⇒ t =
6
3
π
π
3
π
tan 2 t + 1 dt
3
3
2
2 3
2 π π 
π
=
dt
=

t =
Khi đó, I = ∫ 2
 − =
∫
3
3
3π
3 π
33 6 3 3
π
tan 2 t +
6
6
6
4
4
0
1
dx
Bài tập tương tự: I = ∫ 2
3 x + 6 x + 12
−1
I=∫

(

(

)

)

TH3: Nếu h( x ) = ax 2 + bx + c có và g ( x ) = mx + n

(

)

A. ax 2 + bx + c '+ B
mx + n
=
⇒ Đồng nhất tìm A, B. Đưa tích phân đã cho
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
u' dx
du
=∫
về sử dụng ∫
và TH2.
u
u
1
x −1
dx
Ví dụ 6: Tính I = ∫ 2
x + x +1
0

Phân tích:

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là nhị thức và
mẫu là tam thức bậc hai, ta biến đổi đồng nhất đưa về trường hợp 2 để tính.
1

A=

2
A
=
1

x −1
A( 2 x + 1) + B 2 Ax + A + B

2
=
=
⇒
⇒
Ta có, 2
2
2
x + x +1
x + x +1
x + x +1
 A + B = −1  B = − 3

2

(

)

1 ( 2 x + 1) dx 3
dx
1 d x2 + x +1 3 π
−
=
−
Khi đó, I = ∫ 2
2 0 x + x + 1 2 ∫0 x 2 + x + 1 2 ∫0 x 2 + x + 1
23 3
1

1

1

(sử dụng kết quả quả ví dụ 5)

1
1
π
1
π
⇒ I = ln x 2 + x + 1 −
= ln 3 −
0
2
2 3 2

2 3
0
2x + 1
dx
Bài tập tương tự: I = ∫
2
−
3
x
+
12
x
−
12
−1

TH4: Nếu h( x ) = ax 2 + bx + c có và g ( x ) có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của h( x )
⇒ Chia đa thức g ( x ) cho h( x ) đưa về TH2 hoặc TH1.
1

2x3 − 4x 2 + 7 x − 5
dx
2
x
+
x
−
6
0

Ví dụ 7: Tính I = ∫

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là đa thức có
bậc lớn hơn bậc của mẫu và mẫu là tam thức bậc hai, ta thực hiện phép chia đa
thức đa thức tử cho đa thức mẫu và đưa về TH 2 và TH3 để tính.
− 3x 3 + 2 x 2 + 3x + 4
x −1
= −3 x + 5 + 2
Ta có,
2
x + x +1
x + x +1


( x − 1) dx

1

 3x 2

1
π
=  −
+ 5 x  + ln 3 −
Khi đó, I = ∫ ( − 3x + 5) dx + ∫ 2
2 3
 2
0 2
0
0 x + x +1

1

1

(sử dụng kết quả của TH3)

π
7 1
π
 3
 1
= − + 5 + ln 3 −
= + ln 3 −
2 3 2 2
2 3
 2
 2

TH5: Nếu h( x ) phân tích các bậc nhất thì đồng nhất thành các phân thức có mẫu là
từng bậc nhất. Nêu bậc nhất có luỹ thừa bậc cao đồng nhất thành các phân thức có luỹ
thừa từ bậc cao giảm dần xuống bậc 1. Tương tự, với mẫu bậc hai và thêm phân thức
đạo hàm mẫu trên mẫu. (Không thi đến)
.
4

Ví dụ 8: Tính I = ∫
1

dx
x ( x + 1)

2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân tích về tích và luỹ thừa
của các nhị thức nên động nhất ta được.
B = 1
1
A B
C
(
A + C ) x 2 + ( A + B) x + B

= + 2 +
=
⇒  A = −1
Ta có, 2
2
x +1
x ( x + 1) x x
x ( x + 1)
C = 1

1 
dx
dx
d ( x + 1)
 1 1
dx = − ∫ + ∫ 2 + ∫
Khi đó, I = ∫  − + 2 +
x x
x + 1

x 1x
x +1
1
1
1
4

4

4

= − ln x 1 −

4

4

4

4
1
3
5
1 
+ ln x + 1 1 = − ln 4 −  − 1 + ( ln 5 − ln 2 ) = − ln
x1
4
8
4 
0

Bài tập tương tự: Tính I =

x2 + 1
∫−1 ( x − 1) 3 ( x + 3) dx

Dạng 4. Tích phân chứa căn thức.
b

Tìm tích phân I = ∫ f ( x ) dx trong đó f ( x ) không chứa a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , x 2 − a 2
a

có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn ⇒ Sử dụng tích phân đổi cơ số và đặt u = căn
thức.
ĐẶC BIỆT
• Nếu f ( x ) chứa a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , x 2 − a 2 có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn

a cos t

⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt x = a tan t
 a

 cos t
• Nếu f ( x ) chứa căn trong biểu thức dưới mẫu nên nhân liên hợp trước khi nhận

dạng để sử dụng phép đặt.
1

1

0

0

15
8
8
8 7
Ví dụ 9: Tính tích phân I = ∫ x 1 + x dx = ∫ x 1 + x x dx


Hướng dẫn, ta thấy tích phân có chứa căn thức không phải tích phân đặc
biệt nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số để tính và đặt u chính là căn thức trong
dấu tích phân.
Đặt u = 1 + x 8 ⇒ u 2 = 1 + x 8 ⇔ udu = 4 x 7 dx ⇒ x 7 dx =

udu
và x 8 = u 2 − 1
4

Đổi cơ số, x = 0 ⇒ u = 1 và x = 1 ⇒ u = 2
Khi đó,
2

I=

∫(
1

)

udu 1
u − 1 u.
=
4
4
2

2

∫(
1

2

 1  4 2 2 2   1 1 
1  u5 u3 
2 2
 −  −  =
u − 1 u du =  −  =  
−
+

4 5
3 1
3   5 3  30 15
 4  5
2

)

2

7
3

Bài tập tương tự: Tính I = ∫ x + 1 dx
3
0

4

Ví dụ 10:Tính tích phân I =

∫

2 3

3x + 1

4

dx
x 16 − x

2

=

∫

2 3

xdx
x

2

16 − x 2

Hướng dẫn, Ta thấy tích phân này chứa căn đặc biệt a 2 − x 2 và có dx đi
cùng x có luỹ thừa bậc lẻ nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt u = 16 − x 2 .
 xdx = −udu

2
2
2
Đặt u = 16 − x ⇒ u = 16 − x ⇔ 

2
2
 x = 16 − u
Đổi cơ số, x = 2 3 ⇒ u = 2, x = 4 ⇒ u = 0
0

Khi đó, I = ∫
2

2

2

2

− udu
du
du
1  1
1 
=∫
=∫
= ∫
+
du
2
2
( 4 − u )( 4 + u ) 8 0  4 − u 4 + u 
16 − u u 0 16 − u
0

(

)

2
1  d ( 4 + u) d ( 4 − u)  1
1
−
∫
 = [ ln 4 + u − ln 4 − u ] 0 = ln 3

8 0 4 + u
4−u  8
8
2

=

4

Ví dụ 11: Tính tích phân I =

∫

2 3

dx
16 − x 2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân này cũng chứa căn đặc biệt a 2 − x 2 như ví dụ
2 nhưng lại có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn nên ta sử dụng phương pháp đổi
cơ số để làm và đặt x = a cos t .
dx = −4 sin t.dt


Đặt x = 4 cos t ⇒ 

2
2
 16 − x = 16 − 16 cos t = 4 sin t
3

π
⇔ t = , x = 4 ⇒ cos t = 1 ⇔ t = 0
Đổi cơ số: x = 2 3 ⇒ cos t =
2
6

Khi đó, I =

π
6

π

− 4 sin t.dt
π
∫π 4 sin t = ∫0 dt = t 06 = 6
0

6
2 3

Ví dụ 12: Tính tích phân I =

∫
2

x2 − 3
dx .
x2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân này cũng chứa căn đặc biệt x 2 − 3 có dx đi
cùng x có luỹ thừa bậc chẵn nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số để làm và đặt
x=

a
.
cos t



3 sin tdt
dx =
cos 2 t

3

3
⇒
Đặt x =
−3
2
cos t
1
 x − 3 = cos 2 t
=
sin t. cos t
 x2
3
3


cos 2 t

1
π
⇔t=
Đổi cơ số: x = 0 ⇒ tan t = 0 ⇔ t = 0, x = 1 ⇒ tan t =
6
3
π
6

π
6

π
6

π
6

t
sin t
1 − cos t
 1

Khi đó, I = ∫ 1 sin t. cos t. 3 sin
dt = ∫
dt = ∫
dt = ∫ 
− cos t dt

2
0

cos t

3

0

2

cos t

2

cos t

0

0

 cos t





dt
cos t
d sin t

1  d sin t
d sin t 
=
dt = ∫
= ∫
+
Tính I 1 = ∫
2
cos t ∫0 cos 2 t
2 0 1 + sin t ∫0 1 − sin t 
0
0 1 − sin t




π
π


π
1  6 d (1 + sin t ) 6 d (1 − sin t )  1
1
[
]
= ∫
−∫
= ln 1 + sin t − ln 1 − sin t 06 = ln 3

2 0 1 + sin t

1 − sin t
2
2
0




π
6

π
6

π
6

π
6

π
6

π
6

π

Tính I 2 = ∫ cos tdt = sin t 6 = 1
0

2

0

1
2

Vậy, I = I1 − I 2 = ln 3 −

1
2
1

1

Bài tập tương tự: Tính ∫

4 − x2

0

2
3
dx , ∫ x 2+ 1 dx ,
1

x

3

∫

2

1
x2 −1

dx

Chú ý:
(1) Đối với tích phân chứa căn ở biểu thức dưới mẫu nên sử dụng nhân liên hợp để
đưa về tích phân có dạng trên để tính.
(2) Đối với tích phân chứa căn bậc hai mà trong căn là một tam thức bậc hai đưa
biến đổi đưa về dạng a 2 − u 2 , a 2 + u 2 , u 2 − a 2 trong đó, u là một biểu thức của
x và a là một số không đổi. Sau đó nhận dạng để tính.
1

Ví dụ 13: Tính tích phân I = ∫

−1

dx
1+ x + 1+ x2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có chứa căn ở biểu thức dưới mẫu. Do
đó, ta sử dụng nhân liên hợp để đưa về tích phân có các dạng như ở các trường
hợp trên.
1

1

1

1

1

1+ x − 1+ x2
1 dx 1
1
1+ x2
=∫
dx = ∫ + ∫ dx − ∫
dx
Ta có, I = ∫
2
2x
2 −1 x 2 −1
2 −1 x
−1 1 + x + 1 + x
−1
dx

1

Tính I 1 =

dx
= ln x

x
−1

∫

1

1
−1

=0

Tính I 2 = ∫ dx = x −1 = 2
1

−1

Hướng dẫn, sau khi liên hợp song, ta thấy tích phân đã cho đưa về các tích
phân có thể tính được và xuất hiện cả dạng chứa căn x 2 + a 2 nhưng có dx đi với
luỹ thừa bậc lẻ. Do đó, để tính ta lại đặt cả căn làm ẩn phụ.


1

Tính I 3 =

1

1+ x2
1 + x 2 xdx

dx = ∫
x
x2
−1

∫

−1

 xdx = udu

2
2
2
Đặt u = 1 + x ⇒ u = 1 + x ⇔ 

2
2
x = u − 1
Đổi cơ số: x = −1 ⇒ u = 2 , x = 1 ⇒ u = 2
2

Khi đó, I 3 =
1
2

u 2 du
∫ u2 −1 = 0
2
1

2

Vậy, I = I 2 = .2 = 1 .
1

dx

Ví dụ 14: Tính tích phân I = ∫

x + 2x + 5
2

−1

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có chứa căn và trong căn là tam thức
bậc hai. Do đó, ta thực hiện biến đổi dồn biến x vào thành bình phương của một
biểu thức.
1

Ta có, I =

dx

∫

x 2 + 2x + 5

−1

1

=

dx

∫ ( x + 1)

−1

2

+4

Hướng dẫn, sau khi biến đổi ta thấy tích phân đưa về dạng u 2 + a 2 với và có
dx đi với x có luỹ thừa bậc chẵn. Nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt
u = a tan t để làm.
2dt

dx = cos 2 t
Đặt x + 1 = 2 tan t ⇒ 
2
 ( x + 1) 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4 =
cos t

π
Đổi cơ số: x = −1 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t =
4
2
2
 π

Vì t ∈ 0; 4  ⇒ cos t > 0 nên cos t = cos t


π
4

Khi đó, I = ∫
0

π
2dt
π
4
2
cos t = dt = 1 [ ln 1 + sin t − ln 1 − sin t ] 4 = ln 1 + 2
∫0 cos t 2
0
2
cos t

(

)

(Sử dụng kết quả của ví dụ 12)
2

Ví dụ 15: Tính tích phân I =

∫

−1

2

4 x − x 2 + 5dx =

∫

9 − ( x − 2) dx
2

−1

Hướng dẫn, sau khi biến đổi ta thấy tích phân đưa về dạng a 2 − u 2 với và có
dx đi với x có luỹ thừa bậc chẵn. Nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt
u = a cos t để làm.
dx = −3 sin tdt
x
−
2
=
3
cos
t
⇒
Đặt

2
2

 9 − ( x − 2 ) = 9 − 9 cos t = 3 sin t
π
Đổi cơ số: x = −1 ⇒ t = π , x = 2 ⇒ t =
2
π 
Vì t ∈  ; π  ⇒ sin t > 0 nên 3 sin t = 3 sin t
2 


π
2

π

π

π

2

2

9
9 1
9π

Khi đó, I = ∫ 3 sin t.( − 3 sin tdt ) = 9 ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t ) dt = t − sin 2t  π =
2π
2 2
4


π
π
2

2

Bài tập tương tự:
Dạng 5: Nếu f ( x ) = g ( x ).h( x ) trong đó, g ( x ) là hàm đại số còn h( x ) là một trong các
hàm số lượng giác, mũ (cơ số e) và lôgarit (lôgarit tự nhiên = ln).
⇒ Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
 g ( x) là đai sô
⇒ đặt
h( x) là lg hoăo mu

TH1: Nếu 

du = g ' ( x)dx
u = g ( x)
⇒

(tính ra kết quả của đạo
dv = h( x )dx v = ∫ h( x) dx

hàm g ' ( x) và nguyên hàm của h(x) ).
b

b

a

a

b

Khi đó, I = ∫ udv = uv − ∫ vdu .
a

π
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫ ( 2 x − 3) sin 2 xdx
0

Hướng dẫn: Ta thấy, tích phân đã cho có dạng tích của một hàm đại số và
hàm lượng giác nên ta sử dụng tích phân từng phần để tính.
du = 2dx
u = 2 x − 3

⇒
Đặt 
1
dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x

2
π
2

π
2

π

Khi đó, I = − 1 ( 2 x − 3) cos 2 x + ∫ cos 2 xdx =  1 ( π − 3) − 3  + 1 sin 2 x 2 = π − 3
 2
2
2  2
2
0
0
0
1

2
2x
Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ ( x + 2 x )e dx
0

Hướng dẫn ta thấy tích phân đã cho có dạng tích của hàm đại số với hàm số
mũ nên ta sử dụng tích phân từng phần để tính.
du = 2( x + 1) dx
u = x 2 + 2 x 
⇒
Đặt 
1 2x
dv = e 2 x dx
v = 2 e
1

π

2

0

0

Khi đó, I = 1 ( x 2 + 2 x )e 2 x − ∫ ( x + 1) e 2 x dx =  3 e 2 − 0 − I '


2

2



Sau khi sử dụng công thức tích phân từng phân cho tích phân đã cho ta đưa
đến một tích phân mới vẫn có dạng tích của hàm đại số với hàm số mũ nên ta tiếp
tục sử dụng tích phân từng phần để tính để phân mới xuất hiện. Khi sử dụng hai
tích phân từng phần trong một bài không được sử dụng u và dv cho hai lần đặt đó.
1

2x
Xét I ' = ∫ ( x + 1) e dx
0

du1 = dx
u1 = x + 1

⇒
Đặt 

1 2x
2x
dv1 = e dx v1 = e
2



1

1

2x
1
1 2x
 2 1 e
2x
(
)
Khi đó, I ' = x + 1 e − ∫ e dx = e −  −
2
20
2 4

0

Vậy, I =

2

2

2

1

0

2
1  3e 2 1
 2 1 e
= e −  −  −  =
−
2  4 4
4
4


2

3e
3e
3e
1 3e
1
− I'=
−
+ =
+
2
2

4
4
4
4

 g ( x) là đai sô
⇒ đặt
h( x) là ln

TH2: Nếu 

du = h' ( x)dx
u = h( x)
⇒

(tính ra kết quả của đạo
dv = g ( x )dx v = ∫ g ( x )dx

hàm h' ( x) và nguyên hàm của g (x) ).
b

b

a

a

b

Khi đó, I = ∫ udv = uv − ∫ vdu .

a

1

(

)

2
Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫ 3x − 2 x + 1 ln( x + 1) dx
0

Hướng dẫn ta thấy tích phân đã cho có dạng tích của hàm đại số với hàm số
lôgarit nên ta sử dụng tích phân từng phần để tính.
dx

u = ln ( x + 1)
du =
⇒
x +1
Đặt 
2
dv = 3 x − 2 x + 1 dx v = x 3 − x 2 + x

1
1
x3 − x2 + x
3
2
dx

Khi đó, I = x − x + x ln( x + 1) 0 − ∫
x +1
0

(

(

)

)

1

 x3

3 
7
 2
7

2
= [ ln 2 − 0] − ∫  x − 2 x + 3 −
dx = ln 2 −  − x + 3 x − 3 ln( x + 1)  = ln 2 −  − ln 2 = − + 2 ln 2
x +1
3
3

 3
0

0
1

Dạng 6: Tích phân lượng giác.
TH1: Biến đổi lượng giác đưa về thừa nhận (Không thi vào)
TH2: Biến đổi lượng giác đưa biểu thức trong dấu tích phân biểu diễn theo sinx và
cosx. Khi đó, f ( x ) = f ( sin x, cos x )
2dt

dx = 1 + t 2

x
2t

⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số để tính và đặt t = tan ⇒ sin x =
đưa về tích
2
1+ t2


1− t2
cos
x
=

1+ t2


phân đại số để làm.
ĐẶC BIỆT

• Nếu f ( − sin x, cos x ) = − f ( sin x, cos x ) ⇒ đặt t = cos x
• Nếu f ( sin x,− cos x ) = − f ( sin x, cos x ) ⇒ đặt t = sin x
• Nếu f ( − sin x,− cos x ) = f ( sin x, cos x ) ⇒ đặt t = tan x
Ví dụ: Tích tích phân
π
2

1) I 1 = ∫
0

dx
2 cos x + sin x + 3


π
2

2) I = ∫ cos 2 x + sin x dx
0

sin 2 x + cos x

π
2

3) I = ∫ sin 2 x + sin x dx
0

π
2

4) I = ∫
π
4

1 + 3 cos x

sin 2 x
dx
3
cos x − sin 2 x − 1

π
2

4) I = ∫
π
6

sin 2 xdx
sin 3 x

Dạng 6: Tích phân chứa trị tuyệt đối.
Bước 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối.
Bước 2: Đưa ra dấu của biểu thức [ a; b]
Bước 3: Tách tích phân đã cho thành các tích phân theo dấu ở bước 2.


Ví dụ: Tính tích phân
4

2
1) I = ∫ 2 x − 5 x − 3 dx
0

2

2) I =

∫

−2

x 2 − 2x − 3
dx
x −1

2

3) I = ∫ x 3 − 2 x 2 − x + 2 dx
−1

2

2
Bài tập tương tự: I = ∫ x − x dx
0

Dạng 7: Một số dạng tích phân khác.
TH 1: Tích phân của hàm số mũ và biểu diễn theo một hàm số mũ ( e x ) .

⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số để làm và đặt u = e x
ln 5

Ví dụ 1: Tính tích phân I =

∫e

x

ln 3
ln 3

Ví dụ 2: Tính tích phân I =

dx
+ 2e − x − 3
e x dx

∫

(e

0

x

)

+1

3

ln 2

1

e −2 x
x 2 + e x + 2x 2e x
I=∫
dx
Bài tập tương tự: I = ∫ x dx
1 + 2e x
0 e +1
0
dx
TH 2: Tích phân chứa ln x và
x
⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt u = ln x
sin ( ln x )
dx
x
1
e

Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫
e

Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫
1

e

ln x
dx
2 2 + ln 2 x

(

)

ln x 2 + ln x
dx
Bài tập tương tự: I = ∫
x
1
e

3

2

2
ln x
ln( x + 1)
I = ∫ 2 dx I = x + 1 ln xdx
I=∫
dx
,
,
∫1 x

1 x
x2
1
2

e

e

B/ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I/ Ứng dụng trong vật lý.
II/ Ứng dụng trong toán học.

e


1

3
x

D-2010 ∫  2 x −  ln xdx


Dạng 1: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , hai đường thẳng
b

x = a, x = b và trục hoành ⇒ diện tích S = ∫ f ( x ) dx
a

Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi một đồ thị hàm
số và trục hoành thì cận a, b là nghiệm của phương trình f ( x ) = 0
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 4 x và
hai đường thẳng x = −1.x = 2 , trục hoành.
Ví dụ 2:(D-2012) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=

− 3x − 1
và hai trục toạ độ.
x −1

Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi một đồ thị
hàm số và trục hoành mà không có hai đường thẳng x = a, x = b . Đi giải phương
trình f ( x) = 0 và hai đường thẳng x = a, x = b chính là nghiệm của phương trình.
Dạng 2: Hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và hai
b

đường thẳng x = a, x = b ⇒ diện tích S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 − x 2 , y = x
và hai đường thẳng x = 0, x = 1 .
Ví dụ 2: (A-2014)Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong
y = x 2 − x + 3 và đường thẳng y = 2 x + 1 .
Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
hàm số mà không có hai đường thẳng x = a, x = b . Đi giải phương trình f ( x) = g ( x)
và hai đường thẳng x = a, x = b chính là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3:(A-2007) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng

(

)

y = ( e + 1) x, y = 1 + e x x

Ví dụ 4:(B-2002) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = 4−

x2
x2
,y=
4
4 2

Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −
và y =

7−x
x−3

(

1 2
x − 8x + 7
3

)

Cách khác: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) . Dựa vào sự tương giao của hai đồ thị
để đưa ra tích phân. Thường sự dụng khi việc giải phương trình f ( x) = g ( x) khó khăn

và phá dấu trị tuyết đối khó khăn.
2
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 4 x + 3 và
y = x + 3.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
y = x2 , y =

x2
27
,y=
27
x

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
y = x2 , y =

x2
2
8
,y = ,y =
4
x
x


Chú ý: Tơng tự( bằng cách coi x là hàm, y là biến). Khi đó, diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi đờng cong x = g(x) và x = h(x) cùng liên tục trên đoạn [c; d] là:
d

S = | g ( y ) h( y ) | dy

c

Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi ng cong y 2 2 y + x = 0 v
ng thng x + y = 0
Vớ d 2: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi ng cong y 2 = 2 x v ng
thng x 2 y + 2 = 0 , trc honh.
Dng 3: Khi quay hỡnh hỡnh phng c gii hn bi th hm s y = f ( x ) , hai
ng thng x = a, x = b v trc honh quanh Ox ta c khi trũn xoay cú th tớch l:
b

V = f

2

( x ) dx

a

Vớ d 1:(B-2007) Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi cỏc ng y = x ln x, y = 0, x = e
Tớnh th tớch ca khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh trc Ox.
Vớ d 2: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = ln x, Ox, x = 2 . Tớnh
th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh Ox.
Vớ d 3: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s
y = x ln (1 + x 3 ) , y = 0, x = 1 .
Tớnh th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh Ox.
Tơng tự( bằng cách coi x là hàm, y là biến). Khi đó, hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số x = g(y), trục tung, hai đờng thẳng y = c và y = d quay quanh trục tung tạo
thành một khối trò xoay.
Vớ d 1: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s
y=

1
, x = 0, x = 1, y = 0 . Tớnh th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh
1+ x2

Oy.
Vớ d 2: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = 2 x x 2 , y = 0 . Tớnh
th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh
a) Ox.
b) Oy
Vớ d 3: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = x 2 , y = 3x + 10, y = 1 .
Tớnh th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh Oy.