ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Phutho pt pen

PHƯƠNG TRÌNH PELL

PHƯƠNG TRÌNH PELL LOẠI I
I.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa. Phương trình Pell loại I là phương trình dạng
x 2 − dy 2 = 1, d ∈ ¥ * ( I )

2. Định lý 1 (Sự tồn tại nghiệm) Phương trình (I) có nghiệm nguyên dương khi và
chỉ khi d là số không chính phương.
3. Định lý 2 (Công thức nghiệm) Giả sử ( a, b ) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
(I), nghĩa là b là số nguyên dương nhỏ nhất để 1 + db 2 là số chính phương. Khi đó
tất cả nghiệm của phương trình (I) xác định bởi hai dãy ( xn ) , ( yn ) cho bởi hệ thức
sau:
Dạng thứ nhất (truy hồi lồng nhau)
 x0 = 1, x1 = a, xn+1 = axn + dbyn

 y0 = 0, y1 = b, yn+1 = bxn + ayn

Dạng thứ hai (tuyến tính cấp hai)
 x0 = 1, x1 = a, xn+2 = 2axn+1 − xn

 y0 = 0, y1 = b, yn+ 2 = 2ayn+1 − yn

Dạng thứ ba (công thức tổng quát)

( a +b d ) +( a −b d )
=
n

xn

2

n

( a +b d ) −( a −b d )
=
n

; yn

2 d

n

; n = 0,1, 2,...

Tuỳ vào hoàn cảnh cụ thể của từng bài toán mà ta sẽ sử dụng các dạng công thức
nghiệm trên cho phù hợp.
4. Tính chất nghiệm. Tất cả các nghiệm nguyên dương ( xn ; yn ) của phương trình
(I) thoả mãn x0 = 1 < x1 < ... < xn < ...; y0 = 0 < y1 < ... < yn < ... và

(
(

x + d y = x + d y
n
1
1
 n


 xn − d yn = x1 − d y1


)
)

n

n

n = 1, 2,3,...

II.
MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HOẠ
Thí dụ 1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương
x2 − 3 y2 = 1.
Lời giải Phương trình đã cho có nghiệm cơ bản là ( x; y ) = ( 2;1) . Do đó tất cả nghiệm
của phương trình được xác định bởi
 x0 = 1, x1 = 2, xn+2 = 4 xn+1 − xn
với n = 0,1, 2,...

 y0 = 0, y1 = 1, yn+2 = 4 yn+1 − yn
Thí dụ 2. Tìm tất cả các số nguyên dương x > 2 sao cho tam giác có độ dài cạnh là
x − 1, x, x + 1 có diện tích là một số nguyên.
1


Lời giải

Gọi S là diện tích tam giác. Theo công thức Hê rông ta tìm được
1
S = x 3 ( x 2 − 4 ) ⇒ 16 S 2 = 3 x 2 ( x 2 − 4 ) . Ta có, nếu S ∈ ¢ thì x chẵn. Đặt x = 2 y suy ra
4
S 2 = 3 y 2 ( y 2 − 1) ⇒ S = y 3 ( y 2 − 1) ⇒ 3 ( y 2 − 1) = h 2 ⇒ h = 3 z ⇒ y 2 − 3 z 2 = 1 . Ngược lại, nếu

( y; z ) là nghiệm của phương trình

y 2 − 3 z 2 = 1 thì dễ thấy x = 2 y, y > 1 thoả mãn điều
kiện đề bài. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình này là ( 2;1) . Vậy tất cả nghiệm y
của phương trình là dãy ( yn ) xác định bởi y0 = 1, y1 = 2, yn+2 = 4 yn+1 − yn . Suy ra nghiệm

của bài toán là dãy ( xn ) với n ≥ 1 cho bởi x0 = 2, x1 = 4, xn+2 = 4 xn+1 − xn . Đó là các số
4,14,52,...

Thí dụ 3 (Irish MO 1995) Xác định tất cả các số nguyên a sao cho phương trình
x 2 + axy + y 2 = 1 có vô hạn nghiệm nguyên phân biệt ( x; y ) .
Lời giải Phương trình có vô hạn nghiệm nếu và chỉ nếu u 2 ≥ 4 . Viết lại phương trình
2
đã cho dưới dạng ( 2 x + ay ) − ( a 2 − 4 ) y 2 = 4 .
● Nếu a 2 < 4 , các nghiệm thực của phương trình này lập thành một Elipse và vì vậy
chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên.
2
● Nếu a = ±2 thì phương trình có vô số nghiệm nguyên vì VT = 4 ( x ± y ) .
● Nếu a 2 > 4 thì a 2 − 4 không là số chính phương vid vậy phương trình Pell
u 2 − ( a 2 − 4 ) v 2 = 1 có vô hạn nghiệm. Nhưng theo phép đặt x = u − av, y = 2v suy ra
phương trình đã cho có vô hạn nghiệm nguyên.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Giải các phương trình sau
a) x 2 − 6 y 2 = 1

b) x 2 − 7 y 2 = 1
c) x 2 − 31y 2 = 1
d) x 2 − 41y 2 = 1
2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
2
2
a) x 2 − 4 xy + y 2 = 1
b) x 2 − 6 xy + y 2 = 1
c) ( x − 1) + ( x + 1) = y 2 + 1
3. (VNTST 1974) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình x 2 − 2 y 2 = 1
thoả mãn điều kiện 80 < x < 120 .
4. Tìm các số nguyên dương thoả mãn phương trình
 x ( x + 1) 
y ( y + 1)
b) 
÷ =
2 
2

2

a) ( x + 1) − x = y
3

3

2

2
2

2
5. Tìm một nghiệm của phương trình Diophantine x − ( m + 1) y = 1 , với m ∈ ¥ * .

6. Tìm tất cả các số nguyên dương T sao cho số tam giác

T ( T + 1)
là một số chính
2

phương.

m ( m + 1)
7. Tìm số nguyên dương m sao cho số
là một số chính phương.
3

8. (USA MO 1986) Tìm tất cảc các số nguyên dương n sao cho trung bình cộng của
n số chính phương đầu tiên lại là một số chính phương.
9. (Putnam Mathematical Competition) Chứng minh rằng tồn tại vo hạn bộ ba số
nguyên dương liên tiếp mà mỗi số là tổng của hai bình phương.
2


10.(T10/409 THTT) Cho p = ( n + 1) − n 7 − 1 ( n ∈ ¥ ) . Chứng minh rằng có vô hạn số tự
nhiên n để p là số chính phương.
11.(American Mathematical Monthly (# 6628, 98 (1991)).
7

1
1

Tìm số nguyên dương m để tam giác với ba cạnh ( m3 + m 2 ) − 1; ( m3 − m 2 ) + 1; m 2 hoặc
2

m3 −

2

1
1
( m − 1) ; m3 − ( m + 1) ; m có diện tích là số chính phương.
2
2

12.(T3/337 THTT) Xét một tam giác có số đo độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên
tiếp lớn hơn 3 và số đo diện tích của tam giác cũng là số tự nhiên. Chứng minh
rằng tồn tại một đường cao của tam giác đã cho chia tam giác đó thành hai tam
giác nhỏ mà số đo độ dài các cạnh của cả hai tam giác nhỏ cũng là số tự nhiên.
13.Cho dãy số ( tn ) xác định truy hồi như sau t0 = 0, t1 = 6, tn+ 2 = 14tn+1 − tn . Chứng minh
rằng với mỗi số n ≥ 1 , thì tn là diện tích của một tam giác có độ dài ba cạnh đều là
các số nguyên.
b
b+1
14.Xác định các số nguyên dương a, b thoả mãn Ca = Ca −1 .
15.Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho cả 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính
phương.
16.Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho 2005n + 1 và 2006n + 1 đều là số chính
phương.
17.(VNTST 2013) a) Chứng minh rằng tốn tại vô số số nguyên dương t sao cho
2012t + 1 và 2013t + 1 đều là các số chính phương.
b) Xét m, n là các số nguyên dương sao cho mn + 1 và ( m + 1) n + 1 đều là các số chính

phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 8 ( 2m + 1) .
18.Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương sao cho 3n + 1 và 4n + 1 là bình
phương đúng thì n chia hết cho 56 .
19.Tìm bốn giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương n sao cho tổng của n phần tử đầu
tiên trong dãy số học 1,5,9,13,... là một số chính phương.
20.Cho số nguyên dương d không là số chính phương và số nguyên dương k tuỳ ý.
Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp các số nguyên dương ( x, y ) thoả mãn
 x 2 − dy 2 = 1

 y Mk
21.Chứng minh rằng phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz = 1 có vô số nghiệm nguyên.
22.(Bulgarian MO 1999) Chứng minh rằng phương trình x3 + y 3 + z 3 + t 3 = 1999 có vô

số nghiệm nguyên.
23.(T6/287 THTT) Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên
x 3 + y 3 + z 3 + t 3 = 2 S 3 − 1 . Trong đó S là tổng của n số nguyên dương đầu tiên, n là
một số nguyên dương cho trước.
24.Chứng minh rằng phương trình x 2 + y 3 = z 4 có vô số nghiệm nguyên.
25.(Romanian TST 2000) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ( x, y, z , t ) không có ước
chung lớn hơn 1 và thoả mãn x3 + y 3 + z 2 = t 4 .
3


26.Chứng minh rằng có vô hạn các bộ ba số nguyên dương ( a, b, c ) có ước số chung
lớn nhất là 1 và a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 là số chính phương.
27.Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ( a, b, c ) các số nguyên sao cho a 4 + b3 = c 2 và
( a, c ) = 1 .
28.(Korea Final Round 2012) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ,
phương trình nx 2 + y 3 = z 4 có vô hạn nghiệm nguyên dương ( x, y, z ) sao cho
( x, y ) = ( y , z ) = ( z , x ) = 1 .

29.(Canada MO 1998) Cho hai dãy số ( xn ) và ( yn ) xác định như sau:
x0 = 0, x1 = 1, xn+1 = 4 xn − xn−1

với n = 1, 2,...
y0 = 1, y1 = 2, yn+1 = 4 yn − yn−1
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có yn2 = 3xn2 + 1 .

30. (Nghệ An TST 2007, Cần Thơ MO 2012) Cho dãy số ( un ) xác đinh bởi
u1 = 1, u2 = 2, un = 4un−1 − un−1, n = 3, 4,... . Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có

un2 − 1
là
3

một số chính phương.
31.(THTT 11/2009) Cho dãy số ( un ) : u0 = 9, u1 = 161, un = 18un−1 − un−2 . Chứng minh rằng
1 2
( un − 1) là một số chính phương.
5

32.(Phú Thọ MO 2005) Cho dãy số ( un ) : u0 = 3, u1 = 17, un+2 = 6un+1 − un , n = 0,1, 2,... . Chứng
un2 − 1
minh rằng
là số chính phương với mọi n = 0,1, 2,... .
2
33.Cho dãy số ( xn ) : x0 = 1, x1 = 3, xn+2 = 6 xn+1 − xn , n = 0,1,... . Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1
thì xn không là một số chính phương.

34.Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 4, an+1 = 18an − an−1, n = 1, 2,... . Chứng minh rằng 5an2 + 1 là
một số chính phương với mọi n = 0,1, 2,... .

35.(VNTST 2012) Cho dãy số nguyên dương ( xn ) được xác định như sau:
x1 = 1, x2 = 2011, xn+2 = 4022 xn+1 − xn , n = 1, 2,... . Chứng minh rằng

x2012 + 1
là số chính
2012

phương.
36.Cho số nguyên dương n thoả mãn 2 + 2 28n 2 + 1 là số nguyên dương. Chứng minh
rằng 2 + 2 28n 2 + 1 là số chính phương.
37.(British MO 2006) Cho số nguyên dương n . Chứng minh rằng nếu 2 + 2 1 + 12n 2
là một số nguyên thì nó là số chính phương.
38.Chứng minh rằng có vô hạn các số nguyên dương n sao cho  2n  + 1 là số chính
phương.

4


39.Xét các dãy ( un ) , ( vn )

u1 = 3, v1 = 2
 xn = un + vn

xác định bởi un+1 = 3un + 4vn . Đặt 
. Chứng minh
 yn = un + 2vn
v = 2u + 3v
n
n
 n+1

rằng yn =  xn 2  , ∀n ≥ 1 .
a

1

n
40.Cho dãy ( an ) : a1 = 1, an+1 = 2 + a . Chứng minh rằng
n

2
an2 − 2

∈¢ .

41.Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm ( m, n ) thoả mãn 9m = 2n2 + 1 .
42.Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thoả mãn 3a = 2b 2 + 1 .
43.Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số chính phương có dạng 1 + 2 x + 2 y với x, y ∈ ¥ * .
44.Chứng minh rằng nếu ba số nguyên dương m, n, p thoả mãn m + n + p − 2 mnp = 1
thì ít nhất một trong các số đó là số chính phương.
45.Chứng minh rằng không có số nguyên n nào để n 2 − 2 là một luỹ thừa của 7 với
số mũ lớn hơn 1 .
5
46.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình ( x − y ) = x3 − y 3 .
47.Cho hai đa thức P ( x ) , Q ( x ) với các hệ số nguyên có hệ số cao nhất cùng dấu,
deg P = n,deg Q = m thoả mãn P 2 ( x ) = ( x 2 − 1) Q 2 ( x ) + 1 . Chứng minh rằng
P′ ( x ) = nQ ( x ) .
2

2

x + y = z + u
. Tìm giá trị lớn nhất của
 2 xy = zu

48.(42nd IMO Shortlisted) Xét hệ phương trình 
x

hằng số thực m sao cho m ≤ y với nghiệm nguyên dương tuỳ ý ( x; y; z; u ) của hệ
và x ≥ y .
49. Chứng minh rằng phương trình x 2 − Dy 4 = 1 không có nghiệm nguyên dương nếu
D ≠ 0,3,8,15 ( mod16 ) và không có phân tích D = pq , với p > 1 là số lẻ, ( p, q ) = 1 và
hoặc p ≡ ±1( mod16 ) , p ≡ q ± 1( mod16 ) hoặc p ≡ 4q ± 1( mod16 ) .

PHƯƠNG TRÌNH PELL LOẠI II
I.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa. Phương trình Pell loại II là phương trình có dạng
5


x 2 − dy 2 = −1, d ∈ ¥ * ( II )

2. Định lý 1. Nếu d là số nguyên tố thì phương trình Pell (II) có nghiệm khi và chỉ
khi d ≠ 4k + 3 .
3. Định lý 2 (Điều kiện để phương trình có nghiệm). Gọi ( a; b ) là nghiệm nhỏ nhất
của phương trình liên kết Pell (I) x 2 − dy 2 = 1 của (II). Khi đó phương trình (II) có
nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm nguyên dương

 a = x 2 + dy 2


.
b = 2 xy

 a = x 2 + dy 2
4. Định lý 3 (Công thức nghiệm). Giả sử hệ 
có nghiệm duy nhất ( u; v ) .
b = 2 xy

Khi đó tất cả nghiệm của (II) được xác định bởi các dãy số nguyên dương
( xn ) , ( yn ) cho bởi một trong các dạng sau:
Dạng thứ nhất
 x0 = u , x1 = u 3 + 3duv 2 , xn+2 = 2axn+1 − xn

3
2
 y0 = v, y1 = dv + 3u v, yn+ 2 = 2ayn+1 − yn

Dạng thứ hai

(

)

2 n +1

(

)

2 n +1


u+v d
x =
 n


u+v d
 yn =


(

)

2 n +1

(

)

2 n +1

+ u −v d
2

− u−v d

2 d

5. Tính chất nghiệm. Các nghiệm của phương trình (II) thoả mãn

(
(

x + y d = u + v d
n
 n

 xn − yn d = u − v d


)
)

2 n +1

2 n +1

n = 1, 2,3,...

II.
MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HOẠ
Thí dụ 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
x 2 − 2 y 2 = −1 .
Lời giải Phương trình liên kết x 2 − 2 y 2 = 1 có nghiệm nhỏ nhất là ( 3;2 ) . Suy ra
nghiệm nhỏ nhất của phương trình đã cho thoả mãn hệ
2
2

 x0 = 1
3 = x0 + 2 y0
⇔

 y0 = 1
 2 = 2 x0 y0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

(

)

(

)

(

)

(

)

2 n +1
2 n +1

1+ 2
+ 1− 2

x =
 n
2

2 n +1
2 n +1

1+ 2
− 1− 2
 yn =

2 2
*
Thí dụ 2 Tìm k , m ∈ ¥ thoả mãn k < m và 1 + 2 + ... + k = ( k + 1) + ( k + 2 ) + ... + m .
Lời giải Giả sử k , m ∈ ¥ * thoả mãn k < m và 1 + 2 + ... + k = ( k + 1) + ( k + 2 ) + ... + m ( *)

6


( *) ⇔ 2 ( 1 + 2 + ... + k ) = 1 + 2 + .. + k + ( k + 1) + ( k + 2 ) + ... + m
m ( m + 1)
⇔ k ( k + 1) =
⇔ 2k 2 + 2k = m 2 + m ⇔ 8k 2 + 8k = 4m 2 + 4m
2

⇔ 2 ( 2k + 1) − 1 = ( 2m + 1) (1)
2

2

Đặt x = 2m + 1, y = 2k + 1 , biến đổi ( 1) về phương trình Pell loại II sau
x 2 − 2 y 2 = −1 (2)

Theo thí dụ 1 thì phương trình này có nghiệm là
 x0 = 1, x1 = 7, xn+2 = 6 xn+1 − xn

 y0 = 1, y1 = 5, yn+ 2 = 6 yn+1 − yn

Dễ thấy xk ≡ 1( mod 2 ) , yk ≡ 1( mod 2 ) , k = 0,1, 2,... . Do đó ta có hai dãy m và k với
xi − 1
y −1
; ki = i
và xác định bởi
2
2
 m0 = 0, m1 = 3, mi+ 2 = 6mi +1 − mi + 2

 k0 = 0, k1 = 2, ki+2 = 6ki +1 − ki + 2
Thí dụ 3. Cho số nguyên k lớn hơn 2 . Chứng minh rằng phương trình
x 2 − ( k 2 − 4 ) y 2 = −1
mi =

có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi k = 3 .
Lời giải Trước hết ta xét bài toán sau:
Chứng minh rằng nếu tồn tại một bộ ( x; y; z ) các số nguyên dương sao cho
x 2 + y 2 + 1 = xyz thì z = 3 .
2
Thật vậy, giả sử ( x; y; z ) là một nghiệm với z ≠ 3 . Với x = y thì x ( z − 2 ) = 1 , điều này
là không thể, do z − 2 ≠ 1 . Vậy x ≠ y . Ta có
2

2
0 = x 2 + y 2 + 1 − xyz = ( x − yz ) + y 2 + 1 + xyz − y 2 z 2 = ( yz − x ) + y 2 + 1 − ( yz − x ) yz .
Vì
vậy
2
2
( yz − x, y, z ) cũng là một nghiệm, do x ( yz − x ) = xyz − x = y + 1 > 0 suy ra yz − x > 0 . Chú
2
2
ý rằng nếu x > y thì x > y + 1 = x ( yz − x ) . Vì vậy x > yz − x , điều này chỉ ra rằng
nghiệm mới thiết lập nhỏ hơn nghiệm ban đầu theo nghĩa x + y > ( yz − x ) + y . Tuy
nhiên với giả thiết x ≠ y , điều này suy ra có thể xây dựng vô hạn nghiệm nguyên
dương giảm của phương trình đã cho, vô lý. Mâu thuẫn chỉ ra rằng phương trình
không có nghiệm nếu z ≠ 3 .
2
2
2
Trở lại bài toán: Ta sẽ chỉ ra rằng u − ( k − 4 ) v = −4 ( 1) không giải được nếu k ≠ 3 .
Giả sử ngược lại ( u, v ) là một nghiệm. Khi đó u và kv có cùng tính chẵn lẻ. Xét
u + kv
⇒ u = 2 x − kv và ( 1) trở thành x 2 + v 2 + 1 = xvk . Do k ≠ 3 nên theo bài toán trên
2
thì phương trình này vô nghiệm. Giả sử với k ≠ 3 , ( 1) có nghiệm ( x, y ) . Nhân hai vế
x=

phương trình đa cho với 4 thì ta có ( 2 x ) − ( k 2 − 4 ) ( 2 y ) = −4 . Mậu thuẫn với kết quả
2

2

trên của ( 1) .

7


2
2
Khi k = 3 , phương trình trở thành x − 5 y = −1 ( 2 ) . Phương trình ( 2 ) có nghiệm nhỏ
nhất là ( 2;1) . Suy ra các nghiệm của ( 2 ) là

(

)(

) + (1− 2 5 ) ( 2 − 5 )

(

)

1

 xn = 2  1 + 2 5 2 + 5


 yn = 1   2 + 1  2 + 5
÷

2 
5



2n
2n 
1 

+2−
÷ 2− 5 
5



2n

(

2n

)

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x 2 − 5 y 2 = −1 .
2. Chứng minh rằng phương trình x 2 − 34 y 2 = −1 vô nghiệm.
2
3. Tìm số nguyên dương n sao cho n 2 + ( n + 1) là số chính phương.
4. Xác định m, n ∈ ¥ * sao cho m + ( m + 1) + ... + n = mn .
5. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho n! chia hết cho n 2 + 1
.
2

2
6. Đặt an =  n + ( n + 1)  , n ≥ 1 . Chứng minh rằng có vô hạn số n sao cho an − an−1 > 0


và an+1 − an = 1 .



7. Chứng minh rằng nếu các số a, b ∈ ¥ * thoả mãn

a2 + 1
+ 1 là số chính phương thì
b2

giá trị của nó bằng 9 .
8. Tìm n ∈ ¥ sao cho Cnk −1 = 2Cnk + Cnk +1 với số tự nhiên k < n .
x+2 y+2
+
= 6 có vô số nghiệm nguyên dương.
y
x
10.Tìm tất cả các cặp số nguyên ( m, n ) sao cho mn + m và mn + n là các số chính

9. Chứng minh rằng phương trình

phương.
2
2
11.Tìm tất cả các đa thức P( x) ∈ ¢ [ x ] thoả mãn Q( x) = ( x + 6 x + 10 ) P ( x) − 1 là bình
phương của một đa thức với hệ số nguyên.

12.(USA MO 1997) Tồn tại hay không một hàng trong tam giác Pascal chứa bốn
phần tử phân biệt a, b, c, d sao cho b = 2a và d = 2c .

PHƯƠNG TRÌNH PELL TỔNG QUÁT
I.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa Phương trình Pell tổng quát là phương trình có dạng
Ax 2 − By 2 = n; A, B ∈ ¥ * , n ∈ ¢ ( III )
8


2. Định lý 1. Cho phương trình Ax 2 − By 2 = 1 (*) với AB không chính phương và
A > 1 . Gọi ( a; b ) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell liên kết x 2 − ABy 2 = 1 .
 a = Ax 2 + By 2
Xét hệ phương trình 
b = 2 xy

a) Nếu hệ trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất, gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm duy nhất
đó. Nếu Ax02 − By02 ≠ −1 thì phương trình (*) có nghiệm và ( x0 ; y0 ) chính là nghiệm
nhỏ nhất của nó.
b) Đảo lại, nếu phương trình (*) có nghiệm và ( x0 ; y0 ) là nghiệm nhỏ nhất của nó thì
( x0 , y0 ) là nghiệm duy nhất của hệ trên.
c) Giả sử phương trình (*) có nghiệm và ( x0 ; y0 ) là nghiệm nhỏ nhất của nó. Xét các
dãy số nguyên dương ( xn ) , ( yn ) xác định bởi

Khi đó ( xn ; yn )

 x0 , x1 = Ax03 + 3Bx0 y02 ; xn+2 = 2axn+1 − xn

3

2
 y0 , y1 = By0 + 3 Ay0 x0 ; yn+ 2 = 2ayn+1 − yn
là tất cả các nghiệm của (*) . Cũng từ trên ta suy ra

x =
 n


 yn =


(
(

Ax0 + B y0

)

2 n +1

Ax0 + B y0

)

2 n +1

+

(

Ax0 − B y0

)

2 n +1

Ax0 − B y0

)

2 n +1

2 A
−

(

2 B

3. Định lý 2. Phương trình (III) hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Nếu ( xk ; yk ) là
 xk +1 = axk + Bbyk
cũng là nghiệm của (III) ,
 yk +1 = Abxk + ayk

một nghiệm thì ( xk +1; yk +1 ) xác định bởi 

trong đó ( a; b ) là nghiệm của phương trình liên kết x 2 − ABy 2 = 1 .
4. Định lý 3. Giả sử phương trình (III) có nghiệm. Nếu ( x0 ; y0 ) là nghiệm nhỏ nhất

na 2 

2
của nó thì y ≤ max nAb ; −
 , trong đó ( a; b ) là nghiệm nhỏ nhất của phương
B 

trình Pell liên kết x 2 − ABy 2 = 1 .
2
0

5. Định lý 4 (Công thức nghiệm) Giả sử phương trình (III) có nghiệm. Gọi
( α1; β1 ) , ( α 2 ; β 2 ) ,..., ( α m ; β m ) là tất cả các nghiệm của (III) thoả mãn bất đẳng thức

na 2 
2
β ≤ max nAb ; −
 , i = 1, 2,3,..., m
B 

Xét m dãy sau đây: Dãy thứ i ( i = 1, 2,3,..., m ) là ( xn,i ; yn,i ) xác định bởi
2
i

 x0,i = α i ; y0,i = βi

 xn+1,i = xn,i a + Byn,ib
 y = x Ab + y a
n ,i
n ,i
 n+1,i

Khi đó các dãy ( xn,i ) ; ( yn,i ) vét hết các nghiệm của phương trình (III)
9


Nhận xét: Mỗi dãy nghiệm ( xn,i ; yn,i ) xác định bởi
 x0,i = α i ; x1,i = aα i + Bbβi ; xn+ 2,i = 2axn+1,i − xn ,i

 y0,i = βi ; y1,i = Abα i + aβ i ; yn+2,i = 2ayn+1,i − yn,i

II.
MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HOẠ
Thí dụ 1. Giải phương trình 3x 2 − 2 y 2 = 1 .
Lời giải Phương trình Pell liên kết x 2 − 6 y 2 = 1 có nghiệm nhỏ nhất là ( a; b ) = ( 5;2 ) .
Phương trình 3x 2 − 2 y 2 = 1 có nghiệm nhỏ nhất là ( x0 ; y0 ) = ( 1;1) . Do vậy tập nghiệm
( xn ; yn ) được cho bởi công thức
 x0 = 1; x1 = Ax03 + 3Bx0 y02 = 9; xn+ 2 = 10 xn+1 − xn

3
 y0 = 1; y1 = By0 + 3 Ay0 = 11; yn+2 = 10 yn+1 − yn

Thí dụ 2. Giải phương trình x 2 − 2 y 2 = 7 .
Lời giải Phương trình Pell liên kết x 2 − 2 y 2 = 1 có nghiệm nhỏ nhất là ( a; b ) = ( 3;2 ) .
Ta có βi2 ≤ 7.22 = 28 , do vậy βi ∈ { 1, 2,3, 4,5} . Kiểm tra ta thấy có hai nghiệm thoả mãn
là ( 3;1) và ( 5;3) . Do vậy tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được mô tả bởi
hai dãy ( xn,1; yn ,1 ) và ( xn ,2 ; yn,2 ) được xác định bởi công thức sau:
 x0,1 = 3; y0,1 = 1
 x0,2 = 5; y0,2 = 3


 xn+1,1 = 3 xn ,1 + 4 yn ,1 và  xn+1,2 = 3 xn ,2 + 4 yn,2

y
y
 n+1,1 = 2 xn ,1 + 3 yn ,1
 n+1,2 = 2 xn ,2 + 3 yn ,2

hoặc có thể mô tả hai dãy trên bằng dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 như sau
 x0 = 3; x1 = 13; xn+2 = 6 xn+1 − xn

 y0 = 1; y1 = 9; yn+2 = 6 yn+1 − yn

 x0 = 5; x1 = 27; xn+2 = 6 xn+1 − xn
 y0 = 3; y1 = 19; yn+ 2 = 6 yn+1 − yn

và 

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Giải phương trình x 2 − 2 y 2 = 2 .
2. Giải phương trình 6 x 2 − 5 y 2 = 1 .
2
2
2
3. Giải phương trình ( x − 1) + x 2 + ( x + 1) = y 2 + ( y + 1) .
4. Giải phương trình x 2 + x + 1 = 3 y 2 .
5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x 2 + y 2 + 1 = 3xy .
6. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên dương liên tiếp sao cho mỗi số
trong đó đều là tổng của hai số chính phương.
7. (American Mathematical Monthly)
(a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương.
(b) Chứng minh rằng nếu n1 < n2 < ... < nk < ... là các số nguyên dương thoả mãn tính
chất trên thì nk nk +1 + 1 cũng là một số chính phương, k = 1, 2,... .

10


8. (T6/382 THTT) Tìm giá trị lớn nhất của x 2 + y 2 trong đó x, y là hai số nguyên
2
thuộc đoạn [ −2009;2009] và thoả mãn điều kiện ( x 2 − 2 xy − y 2 ) = 4

9. (VMO 1999) Cho hai dãy số ( xn ) n≥0 và ( yn ) n≥0 được xác định như sau
x0 = 1, x1 = 4, xn+1 = 3 xn − xn−1 , n = 1, 2,... và y0 = 1, y1 = 2, yn+1 = 3 yn − yn−1 , n = 1, 2,...
(a) Chứng minh rằng xn2 − 5 yn2 + 4 = 0, n = 1, 2,... .
(b) Chứng minh rằng nếu ( a, b ) là hai số nguyên dương thoả mãn phương trình
a 2 − 5b 2 + 4 = 0 thì tồn tại một số tự nhiên k sao cho a = xk , b = yk .
10.Chứng minh rằng tồn tại vô hạn a ∈ ¥ * thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i)
Tồn tại x, y ∈ ¢ , ( x, y ) = 1 sao cho a 2 = x3 + y 3 .
2
2
2
(ii) Tồn tại b ∈ ¢ sao cho a ( a + 3) | b + 3 .
2
2
11.Chứng minh rằng phương trình x + y = 4 ( x + 1) ( y − 1) có vô hạn nghiệm nguyên
dương.
2
12.Chứng minh rằng phương trình ( x + 2 y + 1) = 16 xy có vô hạn nghiệm nguyên
dương.

x + 2 3y + 4
+

= 10 có vô số nghiệm nguyên dương.
y
x
14.Cho a, b là các số nguyên không đồng thời bằng 0 . Chứng minh rằng phương
x+a y +b
trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương y + x = 3 .
15.Cho a, b là các số nguyên thoả mãn a + b > 0 . Chứng minh rằng phương trình sau
x+a y +b
có vô hạn nghiệm nguyên dương y + x = a + b + 2 .
16.(41st IMO Shortlisted) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao
cho P = n.r với P, r tương ứng là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp của

13.Chứng minh rằng phương trình

một tam giác với cạnh độ dài nguyên.
17.(T2/137 THTT) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu phương trình
x 2 + xy − y 2 = n có ít nhất một nghiệm nguyên thì nó có vô số nghiệm nguyên.
2
2
2
18.(PTNK 2003) Tìm k ∈ ¥ * để phương trình x − ( k − 4 ) y = −24 có nghiệm nguyên.
19.Cho d ∈ ¥ * . Chứng minh rằng có vô số n ∈ ¥ sao cho n! chia hết cho dn 2 + 1 .
20. (40th IMO Shortlisted) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy tăng chặt các số nguyên
dương ( an ) , ( bn ) sao cho an ( an + 1) chia hết bn2 + 1 với mọi n ≥ 1 .
21. Cho x, y là các số nguyên dương sao cho x ( y + 1) và y ( x + 1) là các số chính
phương. Chứng minh rằng hoặc x hoặc y là một số chính phương.
22.(VMO 2012) Xét các số tự nhiên lẻ a, b mà a là ước số của b 2 + 2 và b là ước số
của a 2 + 2 . Chứng minh rằng a và b là các số hạng của dãy số tự nhiên ( vn ) xác
định bởi v1 = v2 = 1 và vn = 4vn−1 − vn−2 với mọi n ≥ 2 .
23.(Timisoara’s Mathematics Gazette, 1979) Chứng minh rằng tất cả các số hạng của

dãy số xác định bởi a1 = 1, an+1 = 2an + 3an2 − 2 là số nguyên.
11


24.Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên dương m và n , tồn tại số nguyên dương
p thoả mãn

(

m + m −1

)

n

=

p + p −1 .

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.
4.
5.

Một số vấn đề Số học chọn lọc – Nguyễn Văn Mậu.
Bài giảng số học – Đặng Hùng Thắng.
Số học – Hà Huy Khoái.
Các bài giảng về số học – Nguyễn Vũ Lương.

Một số phương pháp xây dựng nghiệm cho phương trình Diophantine – Hoàng
Ngọc Minh.
6. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ; AMM; Crux; Excalibur; Kvan;Mathematical
Reflection.
7. An Introduction to Diophantine Equations – Titu Andreescu.
8. Pell’s Equation – Dusan Djukic.
9. Diễn đàn Mathscope. Org; Mathlink.ro.
10.IMO Shortlist 1959 – 2013.

12