Toán 11 học sinh giỏi trại hè hùng vương lần thứ 12 các trường chuyên TUYÊN QUANG mới nhất

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
---------

ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)

Bài 1 (4,0 điểm). Cho dãy (un) xác định bởi: u1 = 2; un +1 = un2 − un + 1, ∀n ∈ ¥ * . Tìm M
nhỏ nhất thỏa mãn

1 1
1
+ + ... +
< M , ∀n ∈ ¥ * .
u1 u2
un

Bài 2 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I).
Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N khác B, đường thẳng CI cắt đường tròn (O) tại M khác C.
Trên cung BC không chứa A của đường tròn (O) lấy điểm G tùy ý (G khác B, C). Gọi J, K lần lượt là
tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABG, ACG. Đường tròn ngoại tiếp tam giác GJK cắt đường
tròn (O) tại điểm P khác G. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, N cắt nhau tại Q. Chứng minh
rằng ba điểm P, A, Q thẳng hàng.
Bài 3 (4,0 điểm). Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

2

2
2
x3 − x 2 + 4 + y 3 − y 2 + 4 + z 3 − z 2 + 4 .
3
3
3

Bài 4 (4,0 điểm). Tô các số từ 1 đến 2017 bằng các màu khác nhau sao cho không có hai số
nào cùng màu chia hết cho nhau. Cần ít nhất bao nhiêu màu ?
Bài 5 (4,0 điểm). Tìm các chữ số a, b, c, d sao cho abcd 2016 chia hết cho 2017.
-HếtNgười ra đề: Đoàn Phú Như. 0916. 776. 986

1


HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm này có 03 trang)
Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm đã
định.
Bài
Hướng dẫn giải
Điểm
Ta có u1 = 2 > 1 và un +1 = (un − 1) 2 + un . Chứng minh bằng quy nạp ta được

un > 2, ∀n ∈ ¥ , n ≥ 2 (*).

1,0

Ta lại có: ui +1 = ui2 − ui + 1 ⇒ ui +1 − 1 = ui (ui − 1)

⇒
n

Do đó:

1

∑u

1
ui +1 − 1
=

i =1 i

1

=

1
1
1
1
1
− ⇒ =
−
.
ui − 1 ui
ui ui − 1 ui +1 − 1

1,0

(*)

1
1
1
−
= 1−
< 1, ∀n ∈ ¥ * .
u1 − 1 un +1 − 1
un +1 − 1

Suy ra M ≤ 1 .
Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy (un ) tăng. Do đó nếu dãy (un ) có
giới hạn hữu hạn L thì L > 2 . Vì phương trình L = L2 − L + 1 có duy nhất nghiệm
là L = 1 , bởi vậy dãy (un ) không có giới hạn hữu hạn. Suy ra


1
lim un = +∞ ⇒ lim  ∑ ÷ = 1 (**).
 u ÷
 i =1 i 

1,0

n

 n 1
lim

Với mọi a < 1 thì từ
 ∑
 i =1 ui
M ≥1 ⇒ M =1.


= 1 suy ra tồn tại n0 sao cho
÷
÷


n0

1

∑u

> a . Do đó

i =1 i

1,0

2

0,5

Ta có G, J, M và G, K, N thẳng hàng. Hai tam giác PJM và PKN có

·

·
·
·
·
·
; PJM
.
PMJ
= PNK
= 1800 − PJG
= 1800 − PKG
= PKN
PM MJ
=
Suy ra hai tam giác PJM và PKN đồng dạng. Do đó:
.
PN NK
Vì J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABG và M là điểm chính giữa cung AB của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABG nên MJ = MA.
2

1,5

1,5


Bài

Hướng dẫn giải
Tương tự NK = NA. Suy ra

PM AM
=
. Do đó PMAN là tứ giác điều hòa.
PN
AN

Vì PMAN là tứ giác điều hòa nội tiếp đường tròn (O) nên các tiếp tuyến của (O) tại
M, N cắt nhau tại điểm Q trên PA hay ba điểm P, A, Q thẳng hàng.
Ta chứng minh:

Điểm

0,5

2
x3 − x 2 + 4 ≤ x + 2; ∀x ∈ [ 0;3] (1). Thật vậy
3

2
4

(1) ⇔ x3 − x 2 + 4 ≤ x 2 + 4 x + 4 ⇔ x( x − 3)  x + ÷ ≤ 0 ,
3
3

đúng với mọi x ∈ [0;3] . Đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc x = 3 .
y3 −

Tương tự ta có:

2 2
y + 4 ≤ y + 2; ∀y ∈ [ 0;3] (2);
3

2,0

2
z 3 − z 2 + 4 ≤ z + 2; ∀z ∈ [ 0;3] (3).
3
Cộng (1), (2), (3) ta được

2
2
2
x3 − x 2 + 4 + y 3 − y 2 + 4 + z 3 − z 2 + 4 ≤ x + y + z + 6 = 9 .
3
3
3
Suy ra: Max P = 9 đạt tại ( x; y; z ) = (0;0;3) và các hoán vị.
3
Ta chứng minh:

2
5 39
7 39
x3 − x 2 + 4 ≥
x+
; ∀x ∈ [ 0;3] (4). Thật vậy
3

78
26
2

 5 39
2
7 39 
61 
2
(4) ⇔ x − x 2 + 4 ≥ 
x+
÷ ⇔ ( x − 1)  x + ÷ ≥ 0 ,
3
26 
52 

 78
3

đúng với mọi x ∈ [0;3] . Đẳng thức xảy ra tại x = 1 .
Tương tự:

y3 −

2 2
5 39
7 39
y +4 ≥
y+
; ∀y ∈ [ 0;3] (5);

3
78
26

2,0

2
5 39
7 39
z3 − z 2 + 4 ≥
z+
; ∀z ∈ [ 0;3] (6).
3
78
26
Cộng (4), (5), (6) ta được

2
2
2
x3 − x 2 + 4 + y 3 − y 2 + 4 + z 3 − z 2 + 4 ≥ 39 .
3
3
3
Suy ra: Min P = 39 đạt tại x = y = z = 1 .
4

Các số 1, 2, 22 ,..., 210 phải tô bằng 11 màu khác nhau. Ta chứng minh cần ít nhất 11
màu để tô được 2017 số thoả mãn bài toán.

3

1,0


Bài

Hướng dẫn giải
Thật vậy, với 11 màu khác nhau mà ta gọi là màu 1, màu 2,…, màu 11, xét cách tô
màu sau:
Số 1 tô màu 1
Các số 2 và 3 tô màu 2
Các số từ 4 đến 7 tô màu 3
Các số từ 8 đến 15 tô màu 4
Các số từ 16 đến 31 tô màu 5
Các số từ 32 đến 63 tô màu 6
Các số từ 64 đến 127 tô màu 7
Các số từ 128 đến 255 tô màu 8
Các số từ 256 đến 511 tô màu 9
Các số từ 512 đến 1023 tô màu 10
Các số từ 1024 đến 2017 tô màu 11.
Dễ thấy cách tô màu trên thỏa mãn không có hai số nào cùng màu chia hết cho nhau.
Vậy cần ít nhất 11 màu.

Điểm

3,0

Đặt abcd = A,1000 ≤ A ≤ 9999 . Ta có

abcd 2016M2017 ⇔ (10000 A + 2016)M2017
⇔ (4.2017 A + 1932 A + 2017 − 1)M2017
⇔ (1932 A − 1)M2017 ⇔ 1139(1932 A − 1)M2017 (*)

2,0

Vì (1139, 2017) = 1 nên

(*) ⇔ (1091.2017 A + A − 1139)M2017 ⇔ ( A − 1139)M2017 .
5

Vì 1000 ≤ A ≤ 9999 nên −139 ≤ A − 1139 ≤ 8806 . Do đó

 A − 1139 = 0
 A = 1139
 A − 1139 = 2017
 A = 3156


( A − 1139)M2017 ⇔  A − 1139 = 4034 ⇔  A = 5173 .


 A − 1139 = 6051
 A = 7190
 A − 1139 = 8068
 A = 9207
Từ đây suy ra các chữ số a, b, c, d .
-Hết-

4

2,0