HSG toan 9,15 16

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
-----------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016
Khóa ngày 15/11/2015

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề chính thức

Bài 1: (4 điểm)
a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số 9n + 1 không chia hết cho 4
b/ Chứng minh: với x là số nguyên lẻ, giá trị của biểu thức A = x3 – 3x2 – x + 21 chia hết cho 6
Bài 2: (4 điểm)
a/ Cho biểu thức y =

x2 − x
x + x +1

b/ Giải phương trình sau :
Bài 3: (4 điểm)

−

x2 + x
x − x +1

. Hãy rút gọn A = 1 -

y + x + 1 với 0 ≤ x < 1

x + 3 + 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 5

a/ Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b =

5
4 1
. Chứng minh rằng + ≥ 5 . Đẳng thức
4
a 4b

xảy ra khi nào?
b/ Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:
A = x − x − 2015

Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở E,
tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở D.
a/ Chứng minh các tam giác AED và ABC đồng dạng
b/ Tính tổng ME2 + MD2, biết MC = 8cm và

DC 3
=
DA 5

Bài 5: (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I (với I khác O). Tia
DA cắt tia BC ở E nằm ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên

CD.
a/ Chứng minh rằng EA.ED = EB.EC
b/ Chứng minh rằng CH = DK
----- HẾT -----


UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
-----------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016
Khóa ngày 15/11/2015

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9
Bài
1a/
1,5 đ

1b/
2,5 đ

2a/
2đ

Nội dung đáp án
Ta có: 9n + 1 = (3n)2 + 1
Số 3n luôn là số lẻ (tận cùng 1,3,7,9)
Do đó: 3n = 2k + 1
Nên (3n)2 + 1 = (2k + 1)2 + 1 = 4k2 + 4k + 1 + 1 = 4k(k + 1) + 2

4k(k+1) M4 ; 2 không chia hết cho 4
Vậy 9n + 1 = (3n)2 + 1 không chia hết cho 4
Do x là số nguyên lẻ nên x3, 3x2, x là các số lẻ
⇒ A = x3 – 3x2 – x + 21 chẵn, hay A M2
Mặt khác ta có x3 – x = x(x – 1)(x + 1) M3, ∀x ∈ ¢
⇒ A = x(x – 1)(x + 1) – 3x2 + 21 M3, ∀x ∈ ¢
Mà (2,3) = 1 nên A M2.3 hay A M6 với x là số nguyên lẻ.
x

y=

(

)(

) − x(

x −1 x + x +1
x + x +1

A = 1 − −2 x + x + 1 = 1 −

(

)(

) =x−

x +1 x − x +1
x − x +1

)

x −1

2

= 1−

x − x − x = −2 x

x −1 = 1+ x −1 = x

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1

1

(do 0 ≤ x < 1 ⇒ x − 1 < 0 )
2b/
2đ

x + 3 + 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 5

⇔

x −1 + 4 x −1 + 4 + x −1 − 6 x −1 + 9 = 5

⇔

(

x −1 + 2

)

2

+

(

x −1 − 3

)

2

=5

x −1 − 3 = 5

0,25
0,25
0,25

⇔

x −1 + 2 +

⇔

x − 1 − 3 = 3 − x − 1 (có thể chia 2 trường hợp để giải)

0,25

⇔

x − 1 − 3 ≤ 0(vi A = − A ⇔ A ≤ 0)

0,5

⇔

3a/
2đ

Đkxđ: x ≥ 1

x − 1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x − 1 ≤ 32 ⇔ 1 ≤ x ≤ 10
Vậy nghiệm của phương trình là 1 ≤ x ≤ 10
5

Từ a + b = ⇔ 4a + 4b = 5
4
4 1 4 1
4 1
Vế trái: + = + + 5 − 5 = + + 4a + 4b − 5 =
a 4b a 4b
a 4b
4
1
4
  1

=  + 4a ÷+  + 4b ÷− 5 ≥ 2 ×4a + 2
×4b − 5 = 10 − 5 = 5
a
4b
a
  4b


0,5
0,25
0,25
1


3b/
2đ

4

 a =1
 a = 4a
4 1

⇔
Vậy + ≥ 5 dấu “=” xảy ra khi 
1 (vì a > 0; b > 0)
a 4b
 1 = 4b
b = 4
 4b
A = x − x − 2015 có điều kiện: x ≥ 2015
1
3
Ta có A = x − x − 2015 = x − 2015 − x − 2015 + + 2014
4
4
2

1
3
3

=  x − 2015 − ÷ + 2014 ≥ 2014
2
4
4

1
1

1
Dấu “=” xảy ra khi x − 2015 − = 0 ⇔ x − 2015 = ⇔ x = 2015 (thỏa điều
2
4
4
3
1
kiện). Vậy minA = 2014 khi x = 2015
4
4

4

0,5
0,25
0,5
0,5

0,75

0,25
A
D

E
//

B

a/

2đ

b/
2đ

M

C

DC MC
=
(1)
DA MA
EB MB
=
(2)
Vì ME là phân giác của góc AMB nên ta có:
EA MA
DC EB
=
Do MB = MC (gt) nên từ (1) và (2) sauy ra:
DA EA
Theo định lí Ta-Let đảo ta có ED // BC. Vậy ∆AED
∆ABC
Theo giả thiết MB = MC = BC:2 ⇒ BC = 2MC = 2.8 = 16cm
DC 3
DC + DA 3 + 5
AC 8
= ⇒
=

⇒
=
mà
DA 5
DA
5
AD 5
BC AC
16 8
=
⇔
= ⇒ ED = 10cm
∆ABC ⇒
Vì ∆AED
ED AD
ED 5
Mặt khác ME ⊥ MD (do phân giác hai góc kề bù)
Xét ∆ EMD vuông tại M, theo Py-Ta-Go: ME2 + MD2 = ED2 = 102 =100

Vì MD là phân giác của góc AMC nên ta có:

5

D
K
B

O

0,5

0,5
0,25
0,5
0,25
0,75
0,5
0,5
0,25

N
M
I

A

H
C

a/

//

E

Ta có ∆ ABC nội tiếp (O), có AB là đường kính nên ·ACB = 900

0,25


∆ ABD nội tiếp (O), có AB là đường kính nên ·ADB = 900

2đ

Chứng minh: ∆ ECA

∆ EDB (g – g)

EC EA
=
⇒ EB.EC = EA.ED
ED EB
Kẻ OM ⊥ CD, OM cắt AK tại N ⇒ MC = MD và ON//AH//BK
OA = OB 
Xét ∆ AKB có :
 ⇒ AN = NK
ON // BK 
⇒

b/
2đ

Xét ∆ AHK có :

AN = NK 
 ⇒ MH = MK
MN // AH 

⇒ MC – MH = MD – MK , hay CH = DK

0,25

0,75
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5