DE THI HSG TOAN 7 co dap an

UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2015 - 2016

Môn: Toán
Ngày thi: 21 - 4 - 2016
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ THI CHÍNH

Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau.
3 3
11
11
) : ( + 2, 75 + − 2, 2) − ( −1) 2016
7 13
7
13

a) M = ( (0, 75 − 0, 6 + +

b) N= a3 + a2b – ab – b2 - 2a2 + a + 3b + 2015, biết a + b - 2=0.
Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm x , y, z biết:

3x y 3 z
= =
và 2x2 + 2y2 - z2 =10.
8 4 16

b) Cho hai đa thức sau:
P(x) = 2x3 – ax2 + (a + 1)x + 3.
Q(x) = 4x5 – 2x3 + ax2 – x – a – 15 .
Xác định hệ số a biết rằng P(x) + Q(x) = 4x5 + ax.
Bài 3: (2 điểm)
Tính giá trị của biểu thức : (S – P)2015 + (S – P)2016 , biết rằng:
1 1 1
1
1
1
S = 1 − + − + ... +
−
+
2 3 4
2013 2014 2015
1
1
1
1
1
P=
+
+
+ ... +
+
1008 1009 1010
2014 2015

Bài 4: (6,5 điểm)

Cho ∆ABC vuông tại A, (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ
đường vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại I, cắt AB và AC lần lượt tại D, E.
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DE tại K.
a) Tính góc BKD.
b) Chứng minh rằng: AE =

AB + AC
.
2

c) Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 18km, CH = 32km. Tính độ dài AB và
AC.
d) Nếu đặt tại H một máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động 30km
thì các thành phố tại địa điểm A và C có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
Bài 5: (3,5 điểm)
2
2
a) Tìm các cặp số (x, y) thỏa mãn : x + 2 x + y − 25 = 0
b) Chứng minh rằng nếu có sáu số nguyên a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 thỏa mãn điều kiện:
2
2
a1 + a2 + a32 + a4 2 + a5 2 = a6 2 thì cả sáu số đó không đồng thời là số lẻ.
--------------------- Hết --------------------(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: .........................................................
Số báo danh:.........................


HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 7 (2015 – 2016)
Bài
Bài 1

(4
điểm)

Nội dung
3 3
11
11
) : ( + 2, 75 + − 2, 2) − ( −1) 2016
7 13
7
13

a) M = ( (0,75 − 0, 6 + +

Ta viết lại M như sau:
3 3
3 3 3 3
0, 75 − 0, 6 + +
− + +
7 13 − (−1) 2016
4 5 7 13 − 1 3 − 1 = − 8
M=
=
11
11
11 11 11 11 = 11
11
+ 2, 75 + − 2, 2
− + +
7

13
4 5 13 7

b) N = a3 + a2b - ab - b2 - 2a2 + a + 3b + 2015, biết a + b - 2=0.
Ta có N = a2(a+b) - b(a+b) - 2a2 + a + 3b + 2015
= 2a2 - 2b - 2a2 + a + 3b + 2015 ( vì a + b =2)
= a + b + 2015
= 2+ 2015 =2017.
Bài 2
(4
điểm)

Biểu
điểm

3x y 3 z
= =
và 2x2 + 2y2 - z2 =10.
8 4 16
3x y 3 z
x y
z
2x2 2 y 2
z2
2x2 + 2 y2 − z 2
10
1
= =
=
=

=
=
=
Từ
=> = = =>
8 12 16
8 4 16
128 288 256 128 + 288 − 256 160 16
2
x
1
= ⇒ x = ±2;
64 16
y2
1
= ⇒ y = ±3
144 16
z2
1
= ⇒ z = ±4
256 16
3x 3 y 3 z
=
=
Từ
suy ra x, y, z cùng dấu.
8 12 16

2,0(điểm)

2,0(điểm)

a) Tìm x , y, z biết:

Vậy (x;y;z) = (-2;-3;-4) ; (2; 3; 4)
b) Cho hai đa thức sau:
P(x) = 2x3- ax2 +(a+1)x+3.
Q(x) = 4x5 -2x3 + ax2 – x – a – 15 .
Xác định hệ số a biết rằng P(x) + Q(x) = 4x5 + ax.
Ta có P(x) + Q(x) = 4x5 + ax
=> 2x3 - ax2 + (a + 1)x + 3 + (4x5 - 2x3 + ax2 – x – a - 15) = 4x5 + ax
=>...=> (a+1)x – x - ax = 15 – 3 + a
=> ax + x – x - ax =12+ a
=> a = -12

2,0(điểm)

2,0(điểm)


Bài 3
(2
điểm)

Tính giá trị của biểu thức : (S - P)2015 + (S - P)2016 , biết rằng:
1 1 1
1
1
1
S = 1 − + − + ... +

−
+
2 3 4
2013 2014 2015
1
1
1
1
1
P=
+
+
+ ... +
+
1008 1009 1010
2014 2015

Ta biến đổi biếu thức S như sau:
1 1 1
1
1
1
S = 1 − + − + ... +
−
+
2 3 4
2013 2014 2015
1 1 1
1
1

1
1 
1 1
S = 1 + + + + ... +
+
+
− 2  + + ... +
÷
2 3 4
2013 2014 2015
2014 
2 4
S = 1+

S=

2(điểm)

1 1 1
1
1
1
1 
 1 1
+ + + ... +
+
+
− 1 + + ... +
÷
2 3 4

2013 2014 2015  2 3
1007 

1
1
1
1
1
+
+ ... +
+
+
= P => S - P = 0
1008 1009
2013 2014 2015

Vậy (S - P)2015 + (S - P)2016 = 0.
Bài 4 a. Tam giác vuồng ADE có DI vừa là đường cao vừa là phân giác nên ∆ADE
(6,5
vuông cân tại A ⇒ ∠AED = ∠ADE = 450 .
điểm)
BK // AE nên ∠BKD = ∠AED =450.

2(điểm)

A

B
D

H
K

E
I

M

C

b. C/m được ∆MBK = ∆MCE (g.c.g) nên BK = CE.
BK//AC, AC ⊥ AD ⇒ BK ⊥ AD. Do đó tam giác BKD vuông cân tại B
⇒ BK = BD mà BK = EC ⇒ EC = BD
Ta có AB + AC = AD - BD +AE + EC= AD + EA = 2. AE
⇒ AE =

2(điểm)

AB + AC
.
2

c . Áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:
AB2 + AC2 = BC2 = 502 . (1)
AH2 = AB2 - BH2 = AC2 -CH2 <=> AB2 - 182 = AC2 - 322.
=> AC2 -AB2 = 322 - 182 . (2)
từ (1); (2) ta có: 2.AC2 = 502 + 322 - 182 = 3200
⇒ AC2 = 1600 ⇒ AC = 40 km.
⇒ AB = 30 km.

1,5(điểm)


d. Tính được AH = 24 km. Vì AH < 30km, CH > 30km nên nếu đặt máy phát
sóng tại H thì địa điểm A nhận được tín hiệu, còn địa điểm C không nhận
được tín hiệu.
Bài 5 a) Tìm các cặp số (x, y) thỏa mãn :

(3,5
điểm)

x 2 + 2 x + y 2 − 25 = 0

1(điểm)

2,0(điểm)

2
2
Ta có x + 2 x ≥ 0; y − 25 ≥ 0 với mọi x, y.
2
2
2
2
Để có x + 2 x + y − 25 = 0 thì x + 2 x = 0 và y − 25 = 0

 x( x + 2) = 0

⇒

 x = 0; x = −2

⇒  y = 5; y = −5
2

 y − 25 = 0
có 4 cặp số (x;y) cần tìm là(0;5); (0;-5); (-2;5);(-2;-5)

b) Chứng minh rằng nếu có sáu số nguyên a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 thỏa mãn điều 1,5(điểm)
kiện: a12 + a2 2 + a32 + a4 2 + a52 = a6 2 thì cả sáu số đó không đồng thời là số lẻ.
Giả sử cả 6 số đó là số lẻ ⇒ mỗi số hạng ở VT khi chia cho 8 đều có số dư là
1⇒ VT khi chia cho 8 dư 5 nhưng VP chia 8 lại dư 1.( mâu thuẫn).
Vậy cả 6 số a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 không thể đồng thời là số lẻ.
Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.