DE THI HSG TOAN 6 co dap an

UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Năm học 2015 - 2016

Môn: Toán
Ngày thi: 21 - 4 - 2016
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ THI CHÍNH

Bài 1: (3 điểm)
Tính giá trị của biểu thức sau:

−1
2015
1
2015
.17,5 −
.2018 + .7,5 +
.2
2
2016
2
2016
20  

0  3
2016 1
2

4
3
R = 2015 − 2016 .  2 .5 − (−1) . 19 . ( 2.5 − 2 .3)   − 10
2




Q =

Bài 2: (4 điểm)
a) Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 +...+ 2200 .
Chứng tỏ rằng: B = - 1,9A có giá trị là một số nguyên.
b) Tìm x biết: (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 49.50) +

1
x = 40642.
2

Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất biết rằng khi chia A cho 29 thì dư 5, chia cho
31 thì dư 28.
b) Tính tỉ số

M
biết:
N

−40
−35

−30
−25
+
+
+
31.39 39.46 46.52 52.57
1
1
1
1
N=
+
+
+ ... +
31.33 33.35 35.37
55.57

M=

Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC có góc ABC = 80 0. Kẻ tia Bx là tia đối của tia BA, tia By
là tia phân giác của góc CBx.
a) Tính góc xBy.
b) Kẻ tia Bt là tia phân giác của góc ABC. Tính số đo của góc kề bù với góc
yBt.
c) Lấy A1 là trung điểm của đoạn AC, A2 là trung điểm của đoạn AA1 , A3 là
trung điểm của đoạn AA2 , ...., A20 là trung điểm của đoạn AA19 .Tính độ dài đoạn
thẳng AA20 biết độ dài đoạn AC là 410 cm.
Bài 5: (3 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu cộng nó với số gồm

hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được kết quả là một số chính phương.
b) So sánh:

A=

22015 − 2
22016 − 2
B
=
và
22016 + 1
22017 + 1

--------------------- Hết --------------------(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: .........................................................
Số báo danh:.........................


HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 6 (2015 – 2016)
Bài
Bài 1
(3
điểm)

Biểu
điểm

Nội dung
−1
2015

1
2015
.17,5 −
.2018 + .7,5 +
.2
2
2016
2
2016
−1
2015
. ( 2018 − 2 )
= . ( 17,5 − 7,5 ) −
2
2016
−1
2015
.2016 = - 2020 .
= .10 −
2
2016

Q=



0  3
2016
R = 2015 − 2016 .  2 .5 − (−1) .





1,5(điểm)

20  
1
. 2.52 − 24.3)   − 103
19 (
2


R=


1 20  

 2015 −  40 − 19 .2   − 1000 = 2015 – 38 – 1000 = 977.
2



Bài 2
(4
điểm)

1,5(điểm)

a, Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 +...+ 2200 .

Chứng tỏ rằng:B = - 1,9.A có giá trị là một số nguyên.
HD :
Ta có A = (2 + 22 + 23 + 24 ) + (25+ 26 +27 +28) +...+ (2197 + 2198 + 2199 + 2200)
= 2.(1 + 2 + 22 + 23) + 25.(1+2+ 22 +23 ) +...+ 2197.(1+2+ 22 +23 )

2(điểm)

= 2.15+25. 15 +....+2197 .15=15.(2+25 +...+2197 )
Ta thấy A chia hết cho 2 và 5 nên A có chữ số tận cùng là 0
Do đó B = - 1,9.A có giá trị là một số nguyên.
b) Tìm x biết: ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 49.50) +

1
x = 40642.
2

Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +....+ 49.50
ta có 3A = 49.50.51 ⇒ A = 49.50.17

2(điểm)

1
2

⇒ 49.50.17+ .x = 40642 Tìm được x = - 2016.
Bài 3
(4
điểm)

a, Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất biết rằng khi chia A cho 29 thì dư 5 , chia cho

31 thì dư 28.
Ta có A: 29 dư 5, A: 31 dư 28 ⇒A = 29k + 5 = 31q + 28 (k, q ∈N)
⇒ 29(k - q) = 2q + 23 > 0 ( vì q ∈N)
⇒ k > q > 0 mà 2q + 23 là số lẻ, A nhỏ nhất nên k, q nhỏ nhất ⇒
2q + 23 nhỏ nhất ⇒ k – q nhỏ nhất và cũng lẻ ⇒ k – q = 1 ⇒ 29.1 = 2q+23
⇒ q = 3 ⇒ A = 121, (thỏa mãn 121 = 29.4 + 5 = 31.3 + 28).
Vậy A=121

2(điểm)


b, Tính tỉ số

M
biết:
N

−40
−35
−30
−25
+
+
+
31.39 39.46 46.52 52.57
1
1
1
1
N=

+
+
+ ... +
31.33 33.35 35.37
55.57

M=

Ta có:

−40 1 1
−35 1
1
−30 1
1
−25 1
1
.( − ) +
.( − ) +
.( − ) +
( − )
8 31 39
7 39 46
6 46 52
5 52 57
1 1
1
1
1
= −5.( − + − ... + − )

31 39 39
52 57
26
= −5.
31.57
1 1 1
13
N = .( − ) =
.
2 31 57 31.57
M −5.26 13
=
:
= −10 .
Vậy
N 31.57 31.57
M=

Bài 4
(6
điểm)

a) Vẽ hình và lập luận tính được góc CBx=1000.
Từ đó tính được xBy=500.

2(điểm)

A

t

A2

2(điểm)

A1

B

C

x
y

b) Lập luận tính được góc yBt =900.
Do đó góc kề bù với góc yBt cũng bằng 900.
c) Vì A1 là trung điểm của AC nên AA1 = 1/2 .AC.
1
1
A2 là trung điểm của AA1 nên AA2 = .AA1 = 2 . AC
2
2
A
AA
..... 20 là trung điểm của
19 nên
1
1
AA20 = 20 . AC = 20 .410 = 1 cm.
Vậy độ dài AA20 =1cm.
2

2
Bài 5
(3
điểm)

2(điểm)

2(điểm)

a) Gọi số phải tìm là ab . ( a, b là các chữ số, a khác 0) theo đề bài ta có:
ab + ba = n 2 (n ∈ N )
⇒ 11a + 11b = n 2 ⇒ 11.(a + b) = n 2
⇒ a + bM
11 ⇒ a + b = 11

Có 8 số cần tìm là 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92.

1,5(điểm)


b, Xét 2A =

22016 − 4 22016 + 1 − 5
5
=
= 1 − 2016
2016
2016
2 +1
2 +1

2 +1

Tương tự: 2B = 1 −

5
22017 + 1

1,5(điểm)
. Lập luận có 2A < 2B ⇒ A< B.

Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.