tiếp tuyến cảu dồ thị hàm số

Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Kiến thức cơ bản: Cho (C) là đồ thị hàm số y  f ( x) và điểm M  x0 ; f ( x0 )   (C ) . Tiếp
tuyến với (C) tại điểm M có phương trình là: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) (1)
►Chú ý: 1) Cơ bản ở phương trình (1) là tiếp tuyến phụ thuộc vào x0 là hoành độ của
tiếp điểm vì: khi có x0 thì ta thay x0 vào f(x) và f’(x) để tính f(x0) và f’(x0)
2) Điểm M gọi là tiếp điểm.

Bài toán 1: Cho biết tiếp điểm (hoặc hoành dộ của tiếp điểm) của tiếp tuyến.
Cách giải:
+ Tìm các đại lượng theo x0 trong công thức (1) ở phần kiến thức cơ bản nêu trên.
+ Áp dụng công thức (1) nêu trên.
Ví dụ 1: Cho đồ thị (C) của hàm số y = x2 - 4x +3. Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại
các giao điểm của (C) với trục hoành.
Giải:
+ PTHĐGĐ của (C) với trục hoành ( y = 0): x2  4 x  3  0  x  1, x  3 (hoành độ tiếp
điểm).
Vậy có hai tiếp điểm là M(1; 0) và N(3; 0)
+ Ta có: y '  2 x  4  y '(1)  2; y '(3)  2 .
+ Tiếp tuyến với (C) tại điểm M(1; 0) có phương trình: y  0  2( x  1)  y  2 x  2
+ Tiếp tuyến với (C) tại điểm N(3; 0) có phương trình: y  0  2( x  3)  y  2 x  6
Vậy phương trình của hai tiếp tuyến cần tìm là: y  2 x  2; y  2 x  6
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y  x3  2 x2  2 x  4 .
a) Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
b) Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
Giải:
Ta có: y '  3x 2  4 x  2 . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:
y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 (1)
a) Khi M  (C ) Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:
x3  2 x2  2 x  4  0  x  2 ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương

trình tiếp tuyến: y  6( x  2)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

b) Khi M  (C ) Oy thì x0 = 0  y0  y(0)  4 và y '( x0 )  y '(0)  2 , thay các giá trị đã
biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y  2 x  4 .
c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4.
2
88
2
2 2
y” = 0  6 x  4  0  x   x0  y0  y    
; y '( x0 )  y '   
3
27
3
3 3
2
100
thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y  x 
3
27
Bài toán 2: Cho biết hệ số góc k của tiếp tuyến
Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k.
Cách giải 1: (Dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ tiếp điểm x0.
+ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; f ( x0 )  .
Cách giải 2: (Dùng biểu diễn hình học để diễn tả tiếp tuyến). (không cần tìm x0)

+ Tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: y  kx  b (T ) ;
(K đã biết; ta phải tìm b).
+ Lý luận (T) tiếp xúc với (C) để tìm b.
►Chú ý: Khi giải bài toán ta dùng cách 1 hoặc cách 2 là tùy theo kỷ năng của mỗi học
sinh. Thông thường khi giải cách 1 là phải giải phương trình f’(x) = k để tìm tìm hoành độ
tiếp điểm, nếu phương trình f’(x) = k khó giải hoặc giải được dễ dàng nhưng nghiệm xấu
thì ta nên dùng cách 2.

Ví dụ 3: Cho đồ thị (C): y 

2x 1
và đường thẳng (d): y  3x  2 . Viết phương trình tiếp
x 1

tuyến với (C) và song song với (d).
Giải:
+ Tiếp tuyến song song với (d) nên y’ = -3 (hai đường thẳng song song thì có cùng hệ số
góc và tung độ gốc khác nhau)
3
, ( x  1) .
( x  1)2
3
Vậy ta có: 
 3  ( x  1)2  1  x  0; x  2 .
2
( x  1)

+ Do y '  

+ Tại x = 0 thì y = -1 nên phương trình tiếp tuyến là: y  1  3( x  0)  y  3x 1

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

+ Tại x = 2 thì y = 5 nên phương trình tiếp tuyến là: y  5  3( x  2)  y  3x  11
Cả hai tiếp tuyến tìm được thỏa mãn điều kiện song song với (d).
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến với (C) cần tìm là: y  3x 1; y  3x  11
1
2

Ví dụ 4: Cho đồ thị (C): y  x 2  2 x và (d ) : y   x  1 . Viết phương trình tiếp tuyến với
(C) và vuông góc với (d).
Giải:
+ Tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có phương trình dạng: y  2 x  b (T ) ;  b  1 .
 x2  2 x  2 x  b

+ (T) tiếp xúc với (C) nên:  x  1
2
 2
 x  2x

(1)
(2)

; x 0, x  2

x  1
x 1  0
x  1

1

(2)  x  1  2 x  2 x   2
 2
 1
 x  3 2 3
2
3
4( x  2 x)  ( x  1)
3x  6 x  1  0  x  3  2 3
 3
2

(1)  b  x 2  2 x  2 x 
b













1
3x 2  6 x  2 x

3

1
 2 
.1  2 1 
3
3
 3 

 b  2  3 (vì : 3 x 2  6 x  1)

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  2 x  2  3 .
Bài toán 3: Cho biết tiếp tuyến đi qua điểm A( ;  ) cho trước. (hoặc A là điểm phải tìm)
Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm
A( ;  ) .
Cách giải 1:
+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) , (với x0 là hoành độ
tiếp điểm).
+ Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên   f ( x0 )  f '( x0 )(  x0 ) (*)
+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.
Cách giải 2:
+ Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên có phương trình dạng: y    k ( x   ) (T ) ; (tìm k).
+ Lý luận (T) tiếp xúc với (C) để tìm k rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Ví dụ 5: Cho đồ thị (C): y  x3  3x  1 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến

đi qua điểm A(-2; -1).
Giải cách 1:
Ta có: y '  3x 2  3

Gọi M  x0 ; x03  3x0  1 là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 )  3x02  3 .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  : y   x03  3x0  1  (3x02  3)( x  x0 )

 qua A(-2;-1) nên ta có: 1   x03  3x0  1  (3x02  3)(2  x0 )  x03  3x02  4  0

 x0  1  y0  1
 ( x0  1)( x02  4 x0  4)  0  
 x0  2  y0  1

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1;  : y  9 x  17
Giải cách 2:
Gọi  là tiếp tuyến của (C) thỏa mãn đi qua A(-2;-1) và có hệ số góc k thì  có phương
trình dạng: y  1  k ( x  2)  y  kx  2k  1

 x3  3x  1  kx  2k  1 (1)

 là tiếp tuyến của (C) nên hệ sau có nghiệm:  2

3x  3  k (2)
Thay k ở (2) vào (1) được:
x  1  k  0
x3  3x  1  (3x 2  3) x  2(3x 2  3)  1  x3  3x 2  4  0  
 x  2  k  9
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1;  : y  9 x  17

Ví dụ 6: Cho đồ thị (C): y  x 2  2 x  2 và đường thẳng (d): x = 1. Tìm điểm A thuộc (d)

sao cho từ A kẽ được hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
►Chú ý: Đây là ví dụ về tiếp tuyến đi qua điểm A nhưng A là điểm cần tìm
Giải:
+ Vì điểm A  (d ) : x  1 nên ta đặt A(1; a); y’ = 2x – 2
+ Tiếp tuyến với (C) có phương trình dạng: y  ( x02  2 x0  2)  (2 x0  2)( x  x0 ) , (x0 là hoành
độ tiếp điểm).
+ Vì (T) qua A(1; a) nên: a  ( x02  2 x0  2)  (2 x0  2)(1  x0 )  x02  2 x0  a  0
(*)
Theo Vi-ét thì (*) cho: x1  x2  2 và x1 , x2  a
+ Để qua A(1; a) có hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì (*)
phải có hai nghiệm phân biệt thỏa:
y '( x1 ). y '( x2 )  1   2 x1  2  2 x2  2   1  4 x1 x2  4( x1  x2 )  5  0  4a  8  5  0  a 

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4

3
4


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

3
4

+ Điều kiện (*) có hai nghiệm phân biệt là:  '  1  a  0  1   0 : đúng
 3



Vậy điểm A cần tìm là A 1; 

4

2x 1
và điểm I (1;2) . Tìm những điểm M trên
x 1
đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Ví dụ 7: Cho đồ thị (C) của hàm số y 

Giải:
Điểm M cần tìm thuộc (C) nên tọa độ có dạng M  x0 ; y0  với y0 

2 x0  1
; x0  1 .
x0  1


3
3 
,  y' 

2
( x0  1) 
( x  1) 2 

2x 1  
3 
Đường thẳng IM có VTCP IM   x0  1; 0
 2    x0  1;
 , suy ra đường thẳng
x0  1

x0  1 

 
Tiếp tuyến với (C) tại điểm M có hệ số góc k  y '( x0 ) 

3
( x0  1) 2
Tiếp tuyến với (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM khi và chỉ khi: k.k’ = -1
 x0  1  3  y0  2  3
3
3
4

.


1

(
x

1)

9

x

1



3


0
0
( x0  1)2 ( x0  1) 2
 x0  1  3  y0  2  3
IM có hệ số góc k’ = 



 

Vậy có hai điểm M trên (C) cần tìm có tọa độ là: M 1  3;2  3 ; M 1  3;2  3



Ví dụ 8: Cho đồ thị (C): y  x3  x2  2 x  1 .
a) Chứng minh trên đồ thị (C) không có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
b) Chứng minh rẳng trong các tiếp tuyến với (C) thì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
x0 có hệ số góc nhỏ nhất, trong đó x0 là nghiệm phương trình y” = 0.
►Chú ý: Có thể chứng minh trên (C) không có hai tiếp tuyến hoặc có hai tiếp tuyến nhưng
hai tiếp tuyến đó không vuông góc với nhau.
Giải:
a) Ta có y '  3x2  2 x  2  0, x (vì :  '  1  6  0)
Suy ra không tồn tại x1; x2 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0 để thỏa mãn:
y '( x1 ). y '( x2 )  1.
Chứng tỏ trên đồ thị (C) không có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5

Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1
 x0
3
1
1 5
Vậy tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0  là y '   
3
 3 3
+ Tiếp tuyến với (C) tại điểm bất kỳ có hoành độ x là y '( x)  3x2  2 x  2 .
Đặt g ( x)  3x2  2 x  2 . Hàm số g(x) xác định với mọi x thuộc R
b) + Ta có: y "  6 x  2 ; y "  0  6 x  2  0  x 

Ta có: g '( x)  6 x  2; g '( x)  0  x 
Bảng biến thiên:

x
g’(x)

1
3

1
3

-
-

+

0

g(x)

+
+

+

5
3

Từ bảng biến thiên ta thấy tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 (Với x0 là nghiệm
phương trình y” = 0) có hệ số góc nhỏ nhất.
Ví dụ 9: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y  x3  3x  2 sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
Giải:
+ Gọi A(a; a3  3a  2) , B(b; b3  3b  2) , a  b là hai điểm phân biệt trên (C).
+ Ta có: y '  3x 2  3 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:
y '(a)  3a 2  3 và y '(b)  3b2  3 .
+ Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:
y '(a)  y '(b)  3a 2  3  3b2  3  (a  b)(a  b)  0  a  b (vì a  b  a  b  0)
2

+ AB  4 2  AB 2  32  (a  b)2  (a3  3a  2)  (b3  3b  2)   32
2

2

 (a  b)2  (a3  b3 )  3(a  b)   32  (a  b)2  (a  b)(a 2  ab  b 2 )  3(a  b)   32
2

 (a  b)2  (a  b)2 (a 2  ab  b 2 )  3  32 , thay a = -b ta được:
4b2  4b2  b2  3  32  b2  b2  b2  3  8  0  b6  6b4  10b2  8  0
2

2

b  2  a  2
 (b2  4)(b4  2b2  2)  0  b2  4  0  
b  2  a  2
- Với a  2 và b  2  A(2;0) , B(2;4)
- Với a  2 và b  2  A(2;4) , B(2;0)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (2; 0) và (2; 4)

2x 1
sao cho tiếp tuyến
x 1
của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10 .
Ví dụ 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y 

Giải:

3
x 1
3  
3 

Gọi A  a;2 
 , B  b;2 
 là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a 1 
b 1

Với điều kiện: a  b, a  1, b  1 .
3
Ta có: y ' 
nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là:
( x  1) 2
3
3
y '(a) 
và y '(b) 
2
(a  1)
(b  1) 2
3
3
Tiếp tuyến tại A và B song song khi: y '(a)  y '(b) 

2
(a  1)

(b  1)2
a  1  b  1
a  b


 a  b  2 (1) (do a  b )
 a  1  b  1  a  b  2
Hàm số được viết lại: y  2 

2

3 
 3
AB  2 10  AB  40  (a  b)  

  40
 b 1 a 1
2
2
3 
 3
 6 
2
2
 (2b  2)  

  40  4(b  1)  
  40 ( do thay a ở (1) )
 b  1 b  1 
 b 1

(b  1)2  1
b  1  1  b  1  1
 (b  1)4  10(b  1) 2  9  0  

b  1  3  b  1  3
2

(b  1)  9
2

2

b  0  a  2
b  2  a  0

b  2  a  4

b  4  a  2
Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: (2;5) và (0; 1) ; (2;1) và (4;3)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Cho đồ thị (C) của hàm số: y  x2  4 x  1 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẽ từ
điểm A(2; -6).
Giải:
+ Tiếp tuyến (T) qua A(2; -6) có phương trình dạng: y  6  k ( x  2)  y  kx  2k  6 .
 x 2  4 x  1  kx  k  6 (1)

+ (T) tiếp xúc với đồ thị (C) nên: 

(2)
2 x  4  k
+ Thay (2) vào (1) ta có: x  4 x  1  (2 x  4) x  2(2 x  4)  6  x2  4 x  1  0  x  2  3
2

Với x  2  3 thì k  2(2  3)  4  2 3 nên tiếp tuyến cần tìm có phương
trình là: y  2 3x  4 3  6
- Với x  2  3 thì k  2(2  3)  4  2 3 nên tiếp tuyến cần tìm có phương
trình là: y  2 3x  4 3  6
Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  2 3x  4 3  6 ; y  2 3x  4 3  6 .
-

x  2
và đường thẳng (d) đi qua điểm I(1; -1), có hệ
x 1
số góc m. Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
Khi đó chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau.
Bài 2: Cho (C) là đồ thị hàm số: y 

Giải:
* Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B:
+ (d) đi qua I(1; -1) và có hệ số góc m nên (d): y  1  m( x  1) hay y  mx  m  1 .
x  2
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
 mx  m  1
x 1
  x  2  (mx  m  1)( x  1) , (x = 1 không phải là nghiệm của phương trình)

 mx2  2mx  m  3  0 (1)
+ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt. Vậy ta phải có:
m  0
a  0
m  0
 2

m0

  0
3m  0
m  m(m  3)  0
Vậy m  0 thì (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
* Chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau:
+ Gọi xA , xB là hoành độ các điểm A, B thì xA , xB là nghiệm của phương trình (1).
2m
 2  x A  2  xB
+ Theo Viets ta có: xA  xB 
m
3
3
3
3
 y '( xA )  y '(2  xB ) 


 y '( xB )
+ Ta có: y ' 
2
2

2
( x  1)
(2  xB  1)
(1  xB )
( xB  1)2
Từ y '( xA )  y '( xB ) chứng tỏ các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y 
đường thẳng (d): y  3x  2 .

x2
tại các giao điểm của (C) với
x 1

Giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x2
 3x  2  x  2  (3x  2)( x  1) (x = 1 không phải là nghiệm phương trình)
x 1
 3x2  6 x  0  x  0 ( y  2)  x  2 ( y  4)
Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4)
3
+ Ta có: y ' 
.
( x  1) 2

+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x  2
+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x  10
Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y  3x  2 và y  3x  10 .
Bài 4: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y  x3  3x  1 , biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng (d): y  9 x  17 .
Giải:
Tiếp tuyến  của (C) song song với (d) nên có phương trình dạng: y  9 x  b , b  17
Vì  là tiếp tuyến của (C) nên hệ sau có nghiệm:
3
3


 x  3x  1  9 x  b
b  x  12 x  1  x  2  b  15
 2

 2
3
x

3

9
x

4


 x  2  b  17



Vì điều kiện b  17 nên ta nhận kết quả: x  2  b  15
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  9 x  15 .
Bài 5: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 
tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x  5 y  2010  0 .

1 4
x  2 x 2 , biết tiếp
4

Giải:

1
1
(d) có phương trình: y   x  402 nên (d) có hệ số góc là - .
5
5
1
Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì  .k  1  k  5 (do   (d )) .
5
3
Ta có: y '  x  4 x nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: x3  4 x  5
9
 x3  4 x  5  0  ( x  1)( x 2  x  5)  0  x  1  0  x  1  y 
4
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 9
Vậy tiếp điểm M có tọa độ là M 1; 
 4
9
11
Tiếp tuyến có phương trình: y   5( x  1)  y  5 x 
4
4
11
Tóm lại: Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  5 x  .
4
Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 

2x  2
, biết rằng
x 1

khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải:

 2a  2 
Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M  a;
 ,  M  (C )  .
 a 1 
4
4
Ta có: y ' 
 y '(a) 
,  a  1
2

( x  1)
(a  1)2
2a  2
4
Vậy  : y 

( x  a)  4 x  (a  1) 2 y  2a 2  4a  2  0 (*)
2
a  1 (a  1)
4(1)  (a  1) 2 .2  2a 2  4a  2
8 a 1
d  I;  

.
4  (a  1) 4
4  (a  1) 4
2

Ta có: 4  (a  1)4  22  (a  1)2   2.2(a  1)2  4  (a  1)4  2.2(a  1)2  2 a  1

 d  I; 

8 a 1
 4 . Vậy d  I ;   lớn nhất khi d  I ;   = 4
2 a 1

a  1  2
a  1
 22  (a  1)2  


. Cả hai giá trị đều thỏa mãn a  1
 a  1  2
 a  3
+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 x  4 y  4  0  x  y  1  0
+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4x  4 y  28  0  x  y  7  0
Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y  1  0 ; x  y  7  0

x 1
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp
2x  1
tuyến đó cắt trục hoành , trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn  OAB vuông
cân tại gốc tọa độ O.
Bài 7: Cho (C) là đồ thị hàm số: y 

Giải:
Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các
đường thẳng y = x hoặc y = -x.
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1
1
nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: y '( x0 )  
0
2
(2 x  1)
(2 x0  1)2
Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x

1
1
Do đó: 
 1  (2 x0  1)2  1 ; ( x0   không là nghiệm phương trình)
2
(2 x0  1)
2
 2 x0  1  1
 x0  0  y0  1
. Vậy có hai tiếp điểm là: M1 (0;1) , M 2 (1;0) .


 2 x0  1  1  x0  1  y0  0
+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d
+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y   x  1; y   x  1
Ta có: y '  

2x  2
, sao cho tiếp
x 1
tuyến cắt trục hoành , trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn 4.OA = OB.
Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 

Giải:
Gọi  là tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm M  x0 ; y0  , ( x0  1)

OB
 4 . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc là 4 hoặc -4
OA

4
4
Ta có: y ' 
nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: y '( x0 ) 
0
2
( x  1)
( x0  1)2
 x0  0  y0  2
4
Do đó:
: Thỏa mãn x0  1
 4  ( x0  1) 2  1  
2
x


2

y

6
( x0  1)
0
 0
Vậy có hai tiếp điểm là: M (0; 2) , M (2;6) .
+ Tại điểm M(0; -2) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x – 2
+ Tại điểm M(-2; 6) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x + 14
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  4 x  2 ; y  4 x  14
Vì  OAB vuông tại O nên t anA 

Bài 9: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 

2x
, biết khoảng
x2

cách từ điểm I(-2; 2) đến tiếp tuyến đó bằng 2 2 .
Giải:

2a 

Gọi M  a;
 là tiếp điểm, a  2 và gọi  là tiếp tuyến với (C) tại M.
 a2
4
4
 y '(a) 
Ta có: y ' 
.
2
( x  2)
(a  2) 2
4
2a
: y 
( x  a) 
 4 x  (a  2)2 y  2a 2  0
2
(a  2)

a2
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

8 a2

d  I;  

2

 2 2  8(a  2) 2  16  (a  2) 4  (a  2) 2  4   0

16  (a  2)4
 a  2  2  a  2  2  a  0  a  4 : thỏa mãn a  2
Thay các giá trị của a vào (1) và thu gọn ta được các tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:
x  y  0; x  y 8  0
Bài 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y   x3  3x 2 sao cho tiếp tuyến
của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
Giải:
+ Gọi A(a; a3  3a 2 ) , B(b; b3  3b2 ) , a  b là hai điểm phân biệt trên (C).
+ Ta có: y '  3x 2  6 x nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:
y '(a)  3a 2  6a và y '(b)  3b2  6b .
+ Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:
y '(a)  y '(b)  3a 2  6a  3b2  6b  3(a  b)(a  b)  6(a  b)  0
 a  b  2  0  a  2  b (vì a  b  a  b  0)
2

+ AB  4 2  AB 2  32  (a  b)2  (a3  3a 2 )  (b3  3b2 )   32

2

 (a  b)2  (a3  b3 )  3(a 2  b2 )   32
2

 (a  b)2  (a  b)(a 2  ab  b2 )  3(a  b)(a  b)   32
2

 (a  b)2  (a  b)2 (a 2  ab  b 2 )  3(a  b)   32
2

 (a  b)2  (a  b)2 (a 2  ab  b2 )  3(a  b)   32 ; thay a = 2 – b ta được:
2

(2  2b)2  (2  2b) 2 (2  b) 2  (2  b)b  b2  6   32
2

 (1  b)2  (1  b)2 (b2  2b  2)2  8  0  (1  b)2  (1  b)2 (1  b) 2  3  8  0 .
Đặt t  (1  b)2  0 , ta có phương trình theo t là: t  t (t  3)2  8  0
 t 3  6t 2  10t  8  0  (t  4)(t 2  2t  2)  0  t  4
b  1  a  3
Vậy 1  b  2  1  b  2  
b  3  a  1
-

Với a  3 và b  1  A(3;0) , B(1;4)
Với a  1 và b  3  A(1;4) , B(3;0)

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (3; 0) và (1; 4)
Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y 

x 1
sao cho tiếp tuyến của
x 1

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

(C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 5
Giải:

2
x 1
2  
2 

Gọi A  a;1 
 , B  b;1 
 là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a 1  
b 1 

Với điều kiện: a  b, a  1, b  1.
2
Ta có: y ' 
nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là:
( x  1) 2
2

2
y '(a) 
và y '(b) 
2
(a  1)
(b  1) 2
2
2
Tiếp tuyến tại A và B song song khi: y '(a)  y '(b) 

2
(a  1)
(b  1)2
a  1  b  1
a  b


 a  b  2 (1) (do a  b )
a

1


b

1
a


b


2


2
2 
 2
2
2
AB  2 5  AB  20  (a  b)  

  20
 a 1 b 1 
Hàm số được viết lại: y  1 

2 
 2
 2 
2
 (2b  2)  

  20  4(b  1)  
  20 ( do thay a ở (1) )
 b  1 b  1 
 b 1 
(b  1)2  1
b  1  1  b  1  1
4
2
 (b  1)  5(b  1)  4  0  


b  1  2  b  1  2
2

(b  1)  4
2

2

2

b  2  a  0
b  0  a  2

b  3  a  1

b  1  a  3
Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: (0; 1) và (2;3) ; (1;0) và (3;2)

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3x  3 tại điểm M(x0;y0)
thỏa mãn y’(x0) = 0.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13


Bài giảng: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1
3

1
2

4
3

Bài 2: Cho đường cong (C): y  x 3  x 2  2 x  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y  4 x  2 .
Bài 3: Cho đường cong (C): y  x 3  3x 2  4 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1).
Bài 4: Cho đường cong (C): y 

2x  5
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
x 2

tuyến đi qua điểm A(-2;0).
1
3

Bài 5: Cho hàm số y  x 3 

m 2 1
(Cm)
x 
2
3

Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M
song song với đường thẳng d : 5x  y  0 .

1
3

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) của hàm số y  x 3  2 x 2  3x tại
điểm có hoành độ x0 thỏa mãn f "( x0 ) và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của (C) có hệ
số góc nhỏ nhất.

2x
x 1
Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và
1
tam giác OAB có diện tích bằng .
4
Bài 7: Cho hàm số: y = y 

2x 1
có đồ thị (C) và điểm I(1; 2). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho
x 1
tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Bài 8: Cho hàm số y 

x 1
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
2x 1
những điểm thuộc (C) có tọa độ là số nguyên.
Bài 9: Cho (C) là đồ thị hàm số: y 

x 1
. Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi
x 1

điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C).
Bài 10: Cho (C) là đồ thị hàm số: y 

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14