L11 hình học không gian

Hình Học Không Gian
Câu 1. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ⊥ (MBC).
b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
M

H
I

B

C

A

a) Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC =
BM ⊥ (ABC) ⇒ BM ⊥AI
Từ (1) và (2) ta có AI ⊥ (MBC)

a
⇒ AI ⊥ BC
2

(1)
(2)

b)BM ⊥ (ABC) ⇒ BI là hình chiếu của MI trên (ABC)
·
·

·
, tan MIB
=
⇒ ( MI ,( ABC ) ) = MIB

MB
=4
IB

c) AI ⊥(MBC) (cmt) nên (MAI) ⊥ (MBC)

MI = ( MAI ) ∩ ( MBC ) ⇒ BH ⊥ MI ⇒ BH ⊥ ( MAI )
⇒ d (B,( MAI )) = BH
1
1
1
1
4
17
2a 17
=
+ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ BH =
2
2
17
BH
MB
BI
4a a
4a

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B .
AB = BC = a, ·ADC = 450 , SA = a 2 .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
a) CM các mặt bên là các tam giác vuông.
SA ⊥ AB
•SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ 
SA ⊥ AD

⇒ ∆SAB và ∆SAD vuông tại A.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


•BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SB
⇒ ∆SBC vuông tại B
SB 2 = SA2 + AB 2 = 2a2 + a2 = 3a2
•
SC 2 = SB 2 + BC 2 = 3a2 + a2 = 4a2

• hạ CE ⊥ AD ⇒ ∆CDE vuông cân tại E nên
EC = ED = AB = a ⇒ CD = a 2
⇒ AD = AE + ED = BC + ED = 2a
⇒ SD 2 = SA2 + AD 2 = 6a2

• SC 2 + CD 2 = 4a2 + 2a2 = 6a2 = SD 2 nên tam giác SDC vuông tại C.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)

)

(

SA
= 2.
• (SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC , SB ⊥ BC , AB ⊥ BC ⇒ ·(SBC ),( ABCD ) = ·SBA ⇒ tan ·SBA =

c) Tính khoảng cách giữa AD và SC
• Ta có SC ⊂ (SBC ), BC P AD ⇒ d ( AD, SC ) = d ( A,(SBC ))
• Hạ AH ⊥ SB ⇒

1

=

1

AH 2 AB2
a 6
• Vậy d ( AD, SC ) =
3

+

1
SA2

⇔ AH 2 =

AB 2 .SA2

AB 2 + SA2

=

2a 4
3a2

AB

=

6a2
a 6
⇔ AH =
.
9
3

uuur r uuur r uuur r
Câu 3. Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a , AD = b , AE = c . Gọi I là trung điểm của đoạn
r r r
uur
BG. Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c .
uur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
AI = ( AB + AG ) = ( AB + AB + AD + AE )
2
2

r
r
r
r 1r 1r
1
= ( 2a + b + c ) = a + b + c
2
2
2

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy, SA = a 2 .
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD
⇒ Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.
• BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
• CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D.
2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).
3) • BC ⊥ (SAB) ⇒ (·SC ,(SAB) ) = ·BSC
• ∆SAB vuông tại A ⇒ SB 2 = SA2 + AB 2 = 3a2 ⇒ SB = a 3
·
• ∆SBC vuông tại B ⇒ tan BSC =

BC
1
=
⇒ ·BSC = 600

SB
3

4) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


( (SBD),( ABCD)) = ·SOA
• Ta có: (SBD) ∩ ( ABCD) = BD , SO ⊥ BD, AO ⊥ BD ⇒ ·
• ∆SAO vuông tại A ⇒ tan ·SOA =

SA
=2
AO

Câu 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là
trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
A

K

O

C

1) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1)
• ∆OBC cân tại O, I là trung điểm của BC ⇒ OI ⊥ BC
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI)
2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI)
3) • BC ⊥ (OAI) ⇒ (·AB,( AOI ) ) = ·BAI

I

• BI =

B

BC a 2
=
2
2

• ∆ABC đều ⇒ AI =

BC 3 a 2 3 a 6
=
=
2
2
2

(

)

AI
3 ·
=
⇒ BAI = 300 ⇒ ·AB,( AOI ) = 300
AB
2
4) Gọi K là trung điểm của OC ⇒ IK // OB ⇒ (·AI , OB ) = (·AI , IK ) = ·AIK

• ∆ABI vuông tại I ⇒ cos·BAI =

• ∆AOK vuông tại O ⇒ AK 2 = OA2 + OK 2 =
• AI 2 =

6 a2
4

• IK 2 =

a2
4

5a2
4

·
• ∆AIK vuông tại K ⇒ cos AIK =

IK
1

=
AI
6

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông tại A, góc µB = 600 , AB = a; hai mặt bên
(SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC).
1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC)
2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC.
3) Chứng minh: ∆BHK vuông .
4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
1)

S
K
H

( SAB ) ⊥ ( ABC ) 
( SBC ) ⊥ ( ABC )  ⇒ SB ⊥ ( ABC )
( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB 

2) CA ⊥ AB, CA ⊥ SB ⇒ CA ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ BH
Mặt khác: BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC
Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK)
3)
Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆BHK vuông tại
A
H.
4) Vì SC ⊥ (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)
B

600

Toán Tuyển Sinh Group

C

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


⇒ (·SA,(BHK ) ) = (·SA, KH ) = ·SHK
Trong ∆ABC, có: AC = AB tan µB = a 3; BC 2 = AB 2 + AC 2 = a2 + 3a2 = 4a2
Trong ∆SBC, có: SC 2 = SB 2 + BC 2 = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ SC = a 5 ; SK =
Trong ∆SAB, có: SH =

SB 2 a 5
=
SC
5

SB 2 a 2
=
SA
2

3a2
a 30
⇒ HK =
10
10
HK

60
15
⇒ cos ·SA,( BHK ) = cos·BHK =
=
=
SH
10
5

Trong ∆BHK, có: HK 2 = SH 2 − SK 2 =

(

)

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD)
và SA = 2a.
1) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD) ⊥ (SAD)
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥
(SAC)
• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥
(SAD)
2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)
( SD,( ABCD)) = ·SDA
SA ⊥ (ABCD) ⇒ ·

S
H

A

B
O

D

tan ·SDA =

C

SA 2a
=
=2
AD a

• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)

AB ⊥ (ABCD) ⇒ (·SB,(SAD ) ) = ·BSA
tan ·BSA =

AB a 1
=
=
SA 2a 2

• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
BO ⊥(SAC) ⇒ (·SB,(SAC ) ) = ·BSO .
OB =

OB 1
a 2
3a 2
, SO =
⇒ tan·BSO =
=
OS 3
2
2

3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,
(SCD)) = AH.
1
AH

2

=

1
SA

2

+

1
AD

2

=

1
4a

2

+

1
a

2

⇒ AH =

2a 5
2a 5
⇒ d ( A,(SCD )) =
5
5

• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO =

a 2
2

Câu 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·BAD = 600 và SA = SB
= SD = a.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).

S

A

H
O

B

D
C

a) Vẽ SH ⊥ (ABCD). Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB
= HD ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABD
Mặt khác ∆ABD có AB = AD và ·BAD = 600 nên ∆ABD
đều.
Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên
H ∈ AO ⇒ H ∈ AC

 SH ⊂ (SAC )
Như vậy, SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ (SAC ) ⊥ ( ABCD )


b) Ta có ∆ABD đều cạnh a nên có AO =

a 3
⇒ AC = a 3
2

Tam giác SAC có SA = a, AC = a 3
2
1
a 3
a2
AO = AC =
⇒ AH 2 =
3
3
3
3
a 2 2 a2
Tam giác SHA vuông tại H có SH 2 = SA2 − AH 2 = a2 − =
3
3
2
2
2
2a 3
4a

4a
2 a2
HC = AC =
⇒ HC 2 =
⇒ SC 2 = HC 2 + SH 2 =
+
= 2a 2
3
3
3
3
3

Trong ∆ABC, ta có: AH =

SA2 + SC 2 = a2 + 2a2 = 3a2 = AC 2 ⇒ tam giác SCA vuông tại S.

c) SH ⊥ ( ABCD) ⇒ d (S,( ABCD )) = SH =

a 6
3

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM
là đường cao của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm
S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
a) • AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB.
• SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC)

b) SI ⊥ (ABC) ⇒ (·SB,( ABC ) ) = ·SBI

S
M
A

I

C

B

AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒ ·SBI = 450
( SC,( AMC )) = ·SCM
c) SB ⊥ (AMC) ⇒ ·
Tính được SB = SC = a 2 = BC ⇒ ∆SBC đều ⇒ M là trung
điểm của
SB ⇒ ·SCM = 300

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 600 ,
đường cao SO = a.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
a) • AB = AD = a, ·BAD = 600 ⇒ ∆BAD đều ⇒ BD = a

• BC ⊥ OK, BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOK).
b) Tính góc của SK và mp(ABCD)
( SK ,( ABCD)) = ·SKO
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ ·

S

H
D
60 0

A

F
C

O
B

K

a 3
2
1
1
1
a 3
SO 4 3
=
+

⇒ OK =
⇒ tan·SKO =
=
2
2
2
4
OK
3
OK
OB
OC
a
2

• ∆BOC có OB = , OC =

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
• AD // BC ⇒ AD // (SBC) ⇒ d ( AD, SB) = d ( A,(SBC ))
• Vẽ OF ⊥ SK ⇒ OF ⊥ (SBC)
• Vẽ AH // OF, H ∈ CF ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( AD, SB) = d ( A,(SBC )) = AH .
• ∆CAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF
• ∆SOK có OK =

1
1
1
a 57
a 3
⇒ AH = 2OF = 2a 57

=
+
⇒ OF =
, OS = a ⇒
2
2
2
19
4
19
OF
OS
OK

Câu 11. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC), SA= a.
M là một điểm trên cạnh AB, ·ACM = ϕ , hạ SH ⊥ CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK ⊥ SH. Tính SK và AH theo a và ϕ .
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB
• SA ⊥ (ABC) ⇒ AH là hình chiều của SH trên (ABC).
Mà CH ⊥ SH nên CH ⊥ AH.
• AC cố định, ·AHC = 900 ⇒ H nằm trên đường tròn
đường kính AC nằm trong mp(ABC).
K
Mặt khác: + Khi M → A thì H ≡ A
A
ϕ
C
+ Khi M → B thì H ≡ E (E là trung điểm của
BC).

E
H
Vậy quĩ tích các điểm H là cung ¼
AHE của đường tròn
M
đường kính AC nằm trong mp(ABC).
B
b) Tính SK và AH theo a và ϕ
• ∆AHC vuông tại H nên AH = AC.sin·ACM = a sin ϕ
S

• SH 2 = SA2 + AH 2 = a2 + a2 sin2 ϕ ⇒ SH = a 1 + sin2 ϕ
SA2
a
2
SA
=
SK
.
SH
⇔
SK
=
⇔ SK =
∆
SAH
•
vuông tại A có
SH
1 + sin 2 ϕ

Câu 12. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với
BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung
điểm BC, I là trung điểm AH.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
D

K

A

B

I

H
C

1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥
BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).

• AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân tại D, mặt khác I là
trung điểm
AH nên DI ⊥ AH
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD
(1)
Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK
(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra d ( AD , BC ) = HK
• Xét ∆DIA vuông tại I ta có:
2

a 3
a2 a
DI = AD − AI = a − 
=
÷ =
 2 ÷
4 2


2

2

2

• Xét ∆DAH ta có: S =

a 3 a
1
1
.
AH .DI = AD.HK ⇒
AH .DI
2
2=a 3
d ( AD, BC ) = HK =
=
2
2
AD
a
4

·
·
Câu 13. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, ·AOB = AOC
= 60 0 , BOC
= 900 .
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Chứng minh OA vuông góc BC.
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và
BC.

a) CMR: ∆ABC vuông.
• OA = OB = OC = a, ·AOB = ·AOC = 600 nên ∆AOB và

∆AOC
đều cạnh a (1)
• Có ·BOC = 900 ⇒ ∆BOC vuông tại O và BC = a 2
(2)

O
I

A

C
J
B

2

• ∆ABC có AB2 + AC 2 = a2 + a2 = 2a2 = ( a 2 ) = BC 2
⇒ tam giác ABC vuông tại A
b) CM: OA vuông góc BC.
• J là trung điểm BC, ∆ABC vuông cân tại A nên
AJ ⊥ BC .

∆OBC vuông cân tại O nên OJ ⊥ BC ⇒ BC ⊥ OAJ ⇒ OA ⊥ BC
c) Từ câu b) ta có IJ ⊥ BC
∆ ABC = ∆OBC (c.c.c) ⇒ AJ = OJ
(3)
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh

Từ (3) ta có tam giác JOA cân tại J, IA = IO (gt) nên IJ ⊥ OA
Từ (3) và (4) ta có IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC.

(4)

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥
(ABCD).
a) Chứng minh BD ⊥ SC.
b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).
c) Cho SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
3

S

B
A
O
D

C

a) ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD
Từ (1) và (2) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC

(1)

(2)

b) BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông)
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC
Từ (3) và (4) ⇒ BC ⊥ (SAB)
⇒ (SAB) ⊥ (SBC)

(3)
(4)

c) SA ⊥ (ABCD) ⇒ hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC
·
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là SCA
a 6
SA
3
·
⇒ tan ( SC ,( ABCD ) ) = tan SCA
=
= 3 =
AC a 2
3
·
⇒ SCA
= 30 0

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 6 .
1) Chứng minh : BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) .
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
a) Chứng minh : BD ⊥ SC ,(SBD ) ⊥ (SAC ) .
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


• ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD
⊥SC
• (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC)
b) Tính d(A,(SBD))
• Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD)
• AO =

S

a 2
, SA = a 6 ( gt ) và ∆SAO vuông
2

tại A
nên

1

=

1

+

1

=

1

AH 2 SA2 AO 2 6a2
6a2
a 78
2
⇒ AH =
⇒ AH =
13
13

H

O
C

D

2
a2

=

13
6a2

c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
• Dế thấy do SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu
của SC
trên (ABCD) là AC ⇒ góc giữa SC và
(ABCD) là ·SCA . Vậy ta có:

B

A

+

tan ·SCA =

SA a 6
=
= 3 ⇒ ·SCA = 600
AC a 2

uuur uuur

Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .
F

uuur ur uuur uur uuur uur
Đặt AB = e1 , AD = e2 , AE = e3
uuur uuur ur uuur uuur ur ur uur

G

E

ur ur ur uur
⇒ AB.EG = e1. EF + EH = e1 e1 + e2 = e1 .e1 + e1.e2 = a2

(

H

) (

)

Cách khác:
uuur uuur uuur uuur

uuur uuur
uuur uuur
AB.EG = EF .EG = EF . EG .cos ( EF , EG ) = a.a 2.cos 450 = a 2

B

C

Câu
A 17. Cho hình
D chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông
góc với (ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.

b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
S

I
K

H
B
A
O

D

Toán Tuyển Sinh Group

C

a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác
vuông.
• SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt)
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
• SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt)
⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D
• SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD
⇒ các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A.
b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
• SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC)
• ∆SAB và ∆SAD vuông cân tại A, AK ⊥ SA và AI ⊥ SB

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


nên I và K là các trung điểm của AB và AD ⇒ IK//BD
mà BD ⊥ (SAC) nên IK ⊥ (SAC) ⇒ (AIK) ⊥ (SAC)
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
• CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu của SC trên
(SAB) là SB ⇒ ( SC ,(SAB) ) = ( SC , SB ) = ·CSB
• Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a ⇒ SB = a 2 ⇒ tan·CSB =

BC
= 2
SB

d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD do BD ⊥ (SAC) ⇒ AH ⊥ (SBD)
⇒

1

AH

2

=

1

SA

(

1

+

2

AO

)

⇒ d A, ( SBD ) =

2

=

1

a

2

+

2

a

2

=

3

a

2

a

⇒ AH =

3

a 3
3
3
2

Câu 18. Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA = a . Gọi I là trung
điểm BC.
a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Câu 6:
a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI).
S
• SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, AI ⊥BC ⇒ BC ⊥ (SAI)

⇒ (SBC) ⊥ (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
• Vẽ AH ⊥ SI (1) . BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH (2)
H
Từ (1) và (2) ⇒AH ⊥ (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH
•

B

A
I

1

AH 2

=

1

AI 2

+

1

SA2

=

4

9a 2

+

4

3a2

=

16

9a2

⇒ AH =

3a
4

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
• (SBC ) ∩ ( ABC ) = BC , AI ⊥ BC , SI ⊥ BC
⇒·( (SBC ),( ABC ) ) = ¶SIA

C

3
a
SA

¶
2
= 3 ⇒¶SIA = 60 0
• tan SIA = IA =
a 3
2
S

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 600 , SO
⊥ (ABCD),
SB = SD =

C'

a 13
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
4

a) Chứng minh: B'
(SOF) vuông góc (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Gọi
D ( α ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện của hình
H
C
chóp bị cắtK bởi ( α ). Tính
góc giữa
( α ) và (ABCD).
O

E
F

Toán Tuyển Sinh Group
A

B

a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
• ∆CBD đều, E là trung điểm BC nên DE ⊥ BC
www.facebook.com/groups/toantuyensinh


• ∆BED có OF là đường trung bình nên OF//DE,
DE ⊥ BC ⇒ OF ⊥ BC
(1)
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SOF)
Mà BC ⊂ (SBC) nên (SOF) ⊥(SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
• Vẽ OH ⊥ SF; (SOF) ⊥ (SBC),
(SOF ) ∩ (SBC ) = SF , OH ⊥ SF
⇒ OH ⊥ (SBC ) ⇒ d (O,(SBC )) = OH

3a
1 3
a 3
, SO 2 = SB 2 − OB2 ⇒ SO =
.
a=

4
2 2
4
1
1
1
3a
⇒
=
+
⇒ OH =
2
2
2
8
OH
SO
OF

• OF =

• Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K ∈ CH ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒
d ( A,(SBC )) = AK

3a
3a
⇒ d ( A,(SBC )) =
4
4
AD

⊂
(
α
),
(
α
)
⊥
(
SBC
)
⇒
(
α
)
≡
(
AKD
)
c) •
AK = 2OH ⇒ AK =

• Xác định thiết diện
Dễ thấy K ∈ (α ), K ∈ (SBC ) ⇒ K ∈ (α) ∩ (SBC).
Mặt khác AD // BC, AD ⊂ (SBC ) nên (α ) ∩ (SBC ) = ∆ ⇒ K ∈ ∆, ∆ P BC
Gọi B ' = ∆ ∩ SB, C ' = ∆ ∩ SC ⇒ B′C′ // BC ⇒ B′C′ // AD
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bời (α) là hình thang AB’C’D
• SO ⊥ (ABCD), OF là hình chiếu của SF trên (ABCD) nên SF ⊥ BC ⇒ SF ⊥ AD
(*)
• SF ⊥ OH , OH P AK ⇒ SF ⊥ AK

(**)
• Từ (*) và (**) ta có SF ⊥ (α)
• SF ⊥ (α), SO ⊥ (ABCD) ⇒·( (α ),( ABCD ) ) =·(SF , SO ) = ·OSF
a 3
OF
1
= 4 =
• tan ·OSF =
⇒·( (α ),( ABCD ) ) = 300
3a
SO
3
4

Câu 20. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với
BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung
điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
D

K

A

B

I

Toán Tuyển Sinh Group H
C

1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥
BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).
• AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân tại D, mặt khác I là
trung điểm
AH nên DI ⊥ AH
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
www.facebook.com/groups/toantuyensinh


⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD
Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK
(2)
d
(
AD
,
BC
)
=
HK
Từ (1) và (2) ta suy ra
• Xét ∆DIA vuông tại I ta có:

(1)

2

a 3
a2 a
DI = AD − AI = a − 
=
÷ =
 2 ÷
4
2


2

2

2

• Xét ∆DAH ta có: S =

a 3 a
1
1
.
AH .DI = AD.HK ⇒
AH .DI
2

2=a 3
d
(
AD
,
BC
)
=
HK
=
=
2
2
AD
a
4

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC),
tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a, SA = x.
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
• (SAB) ⊥ (ABC) và SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥(ABC) ⇒ AB là hình chiếu của SB trên
(ABC)
SA
x
·
·

⇒ ( SB,( ABC ) ) = ( SB, AB ) = ·SBA ⇒ tan ·SBA =
=
AB

a 2

• BC ⊥ AC, BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC) ⇒ SC là hình chiếu của SB trên (SAC)
BC
a
·
·
·
·
⇒ ( SB,(SAC ) ) = ( SB, SC ) = BSC ⇒ tan BSC = SC = 2 2
a +x

b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
• Theo chứng minh trên ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC)
• Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAC). Vậy AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( A,(SBC )) = AH .
•

1

AH 2

=

1

SA2

+

1

AC 2

=

1

x2

+

1

a2

⇒ AH =

ax

x 2 + a2

c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
Gọi K là trung điểm của BH ⇒ OK // AH ⇒ OK ⊥ (SBC) và OK =
⇒ d (O,(SBC ) = OK =

Toán Tuyển Sinh Group

ax
2 x 2 + a2

AH
2

.

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
• Dựng mặt phẳng (α) đi qua AC và vuông góc với SB tại P ⇒ CP⊥ SB và AP ⊥ SB.
• Trong tam giác PAC hạ PQ ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ SB vì SB ⊥ ( PAC).
Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, SA ⊥ ( ABCD ) ,
SA =

a 6
.
2

1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
Câu IV:
S
1) CMR: (SAB) ⊥ (SBC).
• SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, BC ⊥ AB

⇒ BC ⊥ (SAB), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SAB) ⊥(SBC)
2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
H
• Trong tam giác SAC có AH ⊥ SC
B
A
O
D

C

• d ( A, SC ) = AH ⇒
⇒ AH =

1
1
1
2
2
8
= 2+
= 2+ 2 = 2
2
2
AH
SA OA
3a a
3a

a 6

4

3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
• Vì ABCD là hình vuông nên AO ⊥ BD, SO ⊥ BD
·
• (SBD) ∩ ( ABCD ) = BD ⇒ ((SBD ),( ABCD )) = SOA
a 6
SA
·
= 2 = 3 ⇒ ( (SBD ),( ABCD ) ) = 60 0
• Tam giác SOA vuông tại A ⇒ tan SOA =
OA a 2
2

Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB =
SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuông góc với
SA.
a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD).
b) CMR: MN ⊥ AD.
c) Tính góc giữa SA
vàuur
mpuuuu
(ABCD).
uuur
r
d) CMR: 3 vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh

a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD).
• SO ⊥ AC, SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD).
• BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA
(1)
E
• OP ⊥ SA, OP ⊂ (PBD)
(2)
F
D N
Từ (1) và (2) ta suy ra SA ⊥ (PBD).
C
P
b) CMR: MN ⊥ AD.
• Đáy ABCD là hình vuông nên OB = OC, mà OB và
M
O
OC lần lượt là hình chiếu của NB và NC trên
(ABCD) ⇒ NB = NC
⇒ ∆NBC cân tại N, lại có M là trung điểm BC (gt)
B
A
⇒ MN ⊥ BC ⇒ MN ⊥ AD (vì AD // BC)
c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
• SO ⊥ (ABCD) nên AO là hình chiếu của SA trên (ABCD)
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là ·SAO .
S

a 2
AO

2
cos·SAO =
= 2 =
SA
2a uur 4uuuur
uuur
d) CMR: 3 vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng.

• Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là các
đường trung bình của các tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD,
FM// BD, FE // SC và cũng từ đó ta có M, M, E, F đồng
phẳng.
uuur uur
uuuur
• MN ⊂ (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) ⇒ BD, SC , MN đồng phẳng.
Câu 24. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân
đường cao vẽ từ A của tam giác ACD.
a) Chứng minh:
CD ⊥ BH.
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ⊥ (BCD).
c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).

a) AB ⊥ AC, AB ⊥ AD ⇒AB ⊥ (ACD) ⇒ AB ⊥ CD (1)
AH ⊥ CD
(2). Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (AHB) ⇒ CD ⊥ BH
b) AK⊥ BH, AK ⊥ CD (do CD ⊥ (AHB) (cmt)
⇒ AK⊥ (BCD)
c) Ta có AH ⊥ CD, BH ⊥ CD ⇒ ( (BCD ),( ACD ) ) = ·AHB
Khi AB = AC = AD = a thì AH =

Toán Tuyển Sinh Group

CD a 2
=
2
2
www.facebook.com/groups/toantuyensinh


BH =

AB 2 + AH 2 = a2 +

a2 a 6
=
2
2

AH
1
cos·AHB =
=
BH
3

Câu 25. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a,
CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông. Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈
AA′).
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK).

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK).
BC ⊥ AC , BC ⊥ AA′ ⇒ BC ⊥ (AA′C′C ) ⇒ BC ⊥ CK
AB′ ⊥ A′ B, KH P A ' B ⇒ KH ⊥ AB ', CH ⊥ AB ' ⇒ AB ' ⊥ (CHK )

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK).
CóAB ' ⊥ (CHK ), AB ' ⊂ ( AA ' B ' B) ⇒ ( AA ' B ' B) ⊥ (CHK )
(( AA ' B ' B),(CHK )) = 90 0

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).
Ta đãcóAB ' ⊥ (CHK )(cmt ) taị H nên d ( A,(CHK )) = AH

AC ⊥ BC (gt ), CC ' ⊥ AC (gt : lt ) ⇒ AC ⊥ (CC ' B ' B) ⇒ AC ⊥ CB '

AB = AC 2 + BC 2 = a2 + b 2 , AB ' = AB 2 = 2a 2 + 2b 2
Trong ∆ACB’ vuông taị C: CH ⊥ AB′ ⇒ AC 2 = AH . AB′
⇒ AH =

AC 2
a2
a2
=
=
AB '
AB 2
2(a2 + b2 )

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = BC = a, AC = a 2 .
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ AB′.

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′).
c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′.

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


a) Tam giác ABC có AB 2 + BC 2 = 2a 2 = (a 2)2 = AC 2 ⇒ ∆ABC vuông tại B
⇒ BC ⊥ AB, BC ⊥ BB '(gt ) ⇒ BC ⊥ (AA ' B ' B) ⇒ BC ⊥ AB '

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′).
*) Tam giác ABC cân tại B, MA = MC
⇒ BM ⊥ AC , BM ⊥ CC '(CC ' ⊥ ( ABC )) ⇒ BM ⊥ (AA ' C ' C )
BM ⊂ (BC ' M ) ⇒ ( BC ' M ) ⊥ ( ACC ' A ')

c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′.
BB′ // (AA′C′C) ⇒ d (BB′ , AC′ ) = d (BB′ ,( AA′C′C )) = d (B,( AA′C ′C ))
AC a 2
BM ⊥ ( AA′C′C ) ⇒ d (B,( AA′C′C )) = BM =
=
2
2

Câu 27. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh tam giác SAD vuông.
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC.
c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ⊥ (SFC). Tính khoảng cách từ I
đến (SFC).

a) Chứng minh tam giác SAD vuông.

(SAB) ⊥ ( ABCD ),(SAB) ∩ ( ABCD ) = AB, SI ⊥ AB ⇒ SI ⊥ ( ABCD )
 AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ ∆SAD vuông tại A

 AD ⊥ SI

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC.
*) BC P AD ⇒ BC P (SAD )
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


 MN , BQ P AD

*) Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, BC ⇒  MN = BQ = 1 AD

2
⇒ MNQB là hình bình hành ⇒ NQ P MB
AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ MB mà BC//AD, NQ//MB nên BC ⊥ NQ
AD ⊥ MB , MB ⊥ SA ⇒ MB ⊥ (SAD ) ⇒ MB ⊥ SD ⇒ NQ ⊥ SD

Vậy NQ là đoạn vuông góc chung của BC và SD
Tam giác SAB đều cạnh a (gt) nên MB =

a 3
a 3

⇒ d (BC , SD ) = NQ =
2
2

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC).
b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC).
c) Cho SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
3

a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC).
BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB)
BC ⊂ (SBC ) ⇒ (SBC ) ⊥ (SAB)

b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC)
BD ⊥ AC , BD ⊥ SA
⇒ BD ⊥ (SAC )

a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
3
Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
·
(·SC ,( ABCD) ) = (·SC, AC ) = SCA

c) Cho SA =

·
tan SCA
=

SA
a 6
1
·
·
=
=
⇒ ( SC ,( ABCD ) ) = SCA
= 300
AC 3a 2
3

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy, SA = a 2 .
a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) .
c) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
 SA ⊥ AB
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ 
⇒ các tam giác SAD và SAB đều vuông tại A

 SA ⊥ AD
CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SDC vuông tại D

CD ⊥ SA
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B

 BC ⊥ SA
b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) .
 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ (SAC )

 BD ⊥ SA
BD ⊂ (SBD ), BD ⊥ (SAC ) ⇒ (SAC ) ⊥ (SBD )

c) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC
·
⇒ ϕ = (·SC ,( ABCD )) = (·SC , AC ) = SCA
·
∆SAC vuông tại A nên , AC = a 2, SA = a 2 ( gt ) ⇒ ϕ = SCA
= 450

Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD=
a 7 và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
SA ⊥ AB
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ 
⇒ các tam giác SAB, SAD vuông tại A
SA ⊥ AD
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B

BC
⊥
SA

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SDC vuông tại D

CD ⊥ SA

b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
(SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD
AD ⊂ ( ABCD ), AD ⊥ CD , SD ⊂ (SCD ), SD ⊥ CD
· ;
( (SCD),( ABCD) ) = SDA

·
cos SDA

=

AD a 3
21
=
=
SD a 7
7

c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
 AB ⊥ SA
 AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ (SAD ), MN P AB ⇒ MN ⊥ (SAD )

⇒ ( MND ) ⊥ (SAD ), ( MND ) ∩ (SAD ) = DM , SH ⊥ DM ⇒ SH ⊥ ( MND )
⇒ d (S ,( MND )) = SH
SA2 = SD 2 − AD 2 = 7a2 − 3a2 = 4a2 ⇒ MA =
·
⇒ AMH
= 60 0

SA
AD a 3
·
= a ⇒ tan SMH
=
=
= 3
2
AM
a

a 3
·
·
∆SHM : SHM
= 90 0 ⇒ SH = SM .sin SMH
=
2

Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a
và SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và
SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD).
b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC).
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).

a) Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB)

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD , CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD )
b) SA ⊥ ( ABCD ), SA = a , các tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒ FE là đường trung bình tam
giác SBD ⇒ FE P BD
BD ⊥ AC ⇒ FE ⊥ AC , SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA ⇒ FE ⊥ SA
FE ⊥ (SAC ), FE ⊂ ( AEF ) ⇒ (SAC ) ⊥ ( AEF )
·
c) SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ ϕ = SCA
⇒ tan ϕ =

SA
a
1

=
=
⇒ ϕ = 450
AC a 2
2

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD),
SA = a 2 . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


SD.
a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN).
b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai
đường chéo vuông góc.
c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD).

SN

SM

=
⇒ MN P BD
a) ∆SAD = ∆SAB , AN ⊥ SD, AM ⊥ SB ⇒
SD SB
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuur uuur uuur uur uuur

SC. AN = ( AC − AS ) . AN = ( AD + AB − AS ) .AN = AD. AN + AB.AN − AS.AN

uuur uur uuur uuur uuur
= ( AD − AS ) . AN = SD. AN = 0 ⇒ SC ⊥ AN
uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuuur uuur uuur uur uuur
SC. AM = ( AC − AS ) . AM = ( AD + AB − AS ) .AM = AD. AM + AB. AM − AS. AM
uuur uur uuur uuur uuur
= ( AB − AS ) .AM = SD. AM = 0 ⇒ SB ⊥ AM
Vậy SC ⊥ ( AMN )
b) SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD , AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC ) ⇒ BD ⊥ AK ⊂ (SAC )
AK ⊂ ( AMN ) ,MN // BD ⇒ MN ⊥ AK
c) SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ ( SC ,( ABCD ) ) = ·SCA
tan ·SCA =

SA a 2
=
= 1 ⇒ ( SC ,( ABCD ) ) = 450
AC a 2

Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 .
Gọi I là trung điểm của SO.
a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.

a) Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB.
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SOM)
Vẽ OK ⊥ SM ⇒ OK ⊥ CD ⇒ OK ⊥(SCD)
(*)
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh

I là trung điểm SO, H là trung điểm SK ⇒ IH // OK ⇒ IH ⊥ (SCD)

(**)

OK
2
1
1
1
4
a 3
a 3
=
+
= 2 ⇒ OK =
⇒ d (I ,(SCD )) = IH =
2
2
2
2
4
OK
OM
SO
3a
b) ∆SMC = ∆SNC (c.c.c) ⇒ MQ ⊥ SC ⇒ NQ ⊥ SC
·
(SCD ) ∩ (SCB) = SC ⇒ ((SCD ),(SCB)) = MQN

Từ (*) và (**) ta suy ra IH =

SM 2 = OM 2 + SO 2 = a2 + 3a 2 = 4a 2
1
1
1
1
1
5
4a2
2
=
+
=
+
=
⇒
MQ
=
∆SMC :
5
MQ 2 MS 2 MC 2 4a 2 a2 4a 2
MQ 2 + NQ 2 − MN 2
1
·
·
⇒ cos MQN
=
= − ⇒ MQN

= 120 0
MQ.NQ
2

c) AC ⊥ BD, AC ⊥SO ⊂ (SBD) (do SO⊥(ABCD)) ⇒AC⊥(SBD).
Trong ∆SOD hạ OP ⊥ SD thì cũng có OP⊥ AC
1
1
1
1
1
5
a 30
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ d ( AC , BD ) = OP =
2
2
2
5
OP
SO OD
3a 2a
6a

Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC), SA
= a 3.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

a) Tam giác ABC đều, M ∈ BC , MB = MC ⇒ AM ⊥ BC (1)
∆SAC = ∆SAB ( c.g.c ) ⇒ ∆SBC cân tại S ⇒ SM ⊥ BC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAM)
b) (SBC) ∩ (ABC) = BC, SM ⊥ BC ( cmt ) , AM ⊥ BC
·
⇒ ((SBC ),( ABC )) = SMA

AM =

a 3
SA
·
, SA = a 3 ( gt ) ⇒ tan SMA
=
=2
2
AM

c) Vì BC ⊥ (SAM) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM)

(SBC ) ∩ (SAM ) = SM , AH ⊂ (SAM ), AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ (SBC )
⇒ d ( A,(SBC )) = AH ,

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh

3a 2
1
1
1
SA . AM
4 =a 3
= 2+
⇒ AH 2 = 2
⇒ AH =
2
2
2
5
AH
SA
AM
SA + AM
3a2
3a 2 +
4
2

2

3a2 .

Câu 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
đáy.

a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

a) SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB (gt)⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB
Vậy tam giác SBC vuông tại B
b) SA ⊥ (ABC) ⇒ BH ⊥ SA, mặt khác BH ⊥ AC (gt) nên BH ⊥ (SAC)
BH ⊂ (SBH) ⇒ (SBH) ⊥ (SAC)
c) Từ câu b) ta có BH ⊥ (SAC) ⇒ d (B,(SAC )) = BH
1
1
1
=
+
2
2
BH
AB
BC 2

AB 2 BC 2
2
10
BH =
= ⇒ BH =
2
2
5
5
AB + BC

2

Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB =
SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuông góc với
SA.
a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD).
b) CMR: MN ⊥ AD.
c) Tính góc giữa SA
vàuur
mpuuuu
(ABCD).
uuur
r
d) CMR: 3 vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng.
S

E
P

D N

F

M

O

A

C

B

Toán Tuyển Sinh Group

a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD).
• SO ⊥ AC, SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD).
• BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SA
(1)
• OP ⊥ SA, OP ⊂ (PBD)
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra SA ⊥ (PBD).
b) CMR: MN ⊥ AD.
• Đáy ABCD là hình vuông nên OB = OC, mà OB và
OC lần lượt là hình chiếu của NB và NC trên
(ABCD) ⇒ NB = NC
www.facebook.com/groups/toantuyensinh


S

⇒ ∆NBC cân tại N, lại có M là trung điểm BC (gt)
⇒ MN ⊥ BC ⇒ MN ⊥ AD (vì AD // BC)
c) Tính gócHgiữa SA và mp (ABCD).
• SO ⊥ (ABCD) nên AO là hình chiếu của SA trên (ABCD)
B
Vậy
góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là ·SAO .
A
a 2

AO
2
cos·SAO = C = 2 =
SA
2a uur 4uuuur
uuur
d) CMR: 3 vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng.
O

D

• Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là các
đường trung bình của các tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD,
FM// BD, FE // SC và cũng từ đó ta có M, M, E, F đồng
phẳng.
uuur uur
uuuur
• MN ⊂ (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) ⇒ BD, SC , MN đồng phẳng.

Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, SA ⊥ ( ABCD ) ,
SA =

a 6
.
2

1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
1) CMR: (SAB) ⊥ (SBC).

• SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ (SAB), BC ⊂ (SBC) ⇒ (SAB) ⊥(SBC)
2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
• Trong tam giác SAC có AH ⊥ SC
• d ( A, SC ) = AH ⇒
⇒ AH =

1
1
1
2
2
8
= 2+
= 2+ 2 = 2
2
2
AH
SA OA
3a a
3a

a 6
4

3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
• Vì ABCD là hình vuông nên AO ⊥ BD, SO ⊥ BD
·
• (SBD) ∩ ( ABCD ) = BD ⇒ ((SBD ),( ABCD )) = SOA
a 6

SA
·
= 2 = 3 ⇒ ( (SBD ),( ABCD ) ) = 60 0
• Tam giác SOA vuông tại A ⇒ tan SOA =
OA a 2
2

Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC),
tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a, SA = x.
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
• (SAB) ⊥ (ABC) và SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥(ABC) ⇒ AB là hình chiếu của SB trên
(ABC)
SA
x
·
·
⇒ ( SB,( ABC ) ) = ( SB, AB ) = ·SBA ⇒ tan ·SBA =
=
AB

a 2

• BC ⊥ AC, BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC) ⇒ SC là hình chiếu của SB trên (SAC)
BC
a
·
·
·
·
⇒ ( SB,(SAC ) ) = ( SB, SC ) = BSC ⇒ tan BSC = SC = 2 2
a +x

b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
• Theo chứng minh trên ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC)
• Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAC). Vậy AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( A,(SBC )) = AH .
•

1

AH 2

=

1

SA2

+

1

AC 2

=

1

x2

+

1

a2

⇒ AH =

ax

x 2 + a2

c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
Gọi K là trung điểm của BH ⇒ OK // AH ⇒ OK ⊥ (SBC) và OK =
⇒ d (O,(SBC ) = OK =

ax
2 x 2 + a2

AH
2

.

d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
• Dựng mặt phẳng (α) đi qua AC và vuông góc với SB tại P ⇒ CP⊥ SB và AP ⊥ SB.
• Trong tam giác PAC hạ PQ ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ SB vì SB ⊥ ( PAC).
Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC.
Câu 39.
1) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3 − 10 x = 7 .
2) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 300.
Tính chiều cao hình chóp.
1) Xét hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 10 x − 7 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
• f (−1) = 1, f (0) = −7 ⇒ f (−1). f (0) < 0 nên PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈(–1; 0)
• f (3) = −10, f (4) = 17 ⇒ f (3). f (4) < 0 nên PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ ( 3; 4 )

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


• mà c1 ≠ c2 nên phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm thực
2)
•

S

•

Hình chóp S.ABCD là chóp tứ giác đều nên chân
đường cao SO của hình chóp là O = AC ∩ BD
Đáy là hình vuông cạnh bằng a nên AC =

a 2 ⇒ OC =

D

C

O

A

•

a 2
2

a 2 ·
, SCO = 30 0
2
a 2 3 a 6
⇒ SO = OC.tan·SCO =
.
=
2
3
6

∆SOC vuông tại O, có OC =

B

Câu 40. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với
BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung
điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
D

K

A

B

I

H
C

1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥
BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).
• AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân tại D, mặt khác I là
trung điểm
AH nên DI ⊥ AH
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.

• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD
(1)
Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK
(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra d ( AD , BC ) = HK
• Xét ∆DIA vuông tại I ta có:
2

a 3
a2 a
DI = AD − AI = a − 
=
÷ =
 2 ÷
4 2


2

2

2

a 3 a
1
1
.
AH .DI
• Xét ∆DAH ta có: S = AH .DI = AD.HK ⇒

2
2=a 3
d ( AD, BC ) = HK =
=
2
2
AD
a
4

Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 600 , SO
⊥ (ABCD),
SB = SD =

a 13
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
4

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh