L11 tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục

Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục
 x2 − x − 2

Câu 1. Cho hàm số f ( x ) =  x − 2
 m


khi x ≠ 2

.

khi x = 2

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
• Ta có tập xác định của hàm số là D = R
a) Khi m = 3 ta có
 ( x + 1)( x − 2)

, khi x ≠ 2 =  x + 1, khi x ≠ 2
f (x) = 
3 , khi x = 2 ⇒ f(x) liên tục tại mọi x ≠ 2.
x −2
3
, khi x = 2 
f ( x ) = lim ( x + 1) = 3 ⇒ f(x) liên tục tại x = 2.
Tại x = 2 ta có:f(2) = 3; xlim
→2
x →2

Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

 x2 − x − 2

b) f ( x ) =  x − 2
 m


khi x ≠ 2
khi x = 2

x +1
=
m

khi x ≠ 2
khi x = 2

lim f ( x ) = 3
x →2
f (x ) ⇔ m = 3
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 ⇔ f (2) = xlim
→2

Tại x = 2 ta có:f(2) = m ,

 x2 − x − 2

Câu 2. Cho f ( x ) =  x − 2
5a − 3 x


khi x ≠ 2
khi x = 2

. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.

x2 − x − 2
= lim ( x + 1) = 3 , f(2) = 5a – 6
x →2
x →2
x →2
x −2
9
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì 5a − 6 = 3 ⇔ a =
5
lim f ( x ) = lim

x2 + x
Câu 3. Cho hàm số f ( x ) = 
 ax + 1

• f (1) = a + 1

khi x < 1
. Hãy tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 1
khi x ≥ 1

f ( x ) = lim− ( x 2 + x ) = 2, lim+ f ( x) = a + 1 = f (1)
• xlim
−
→1

x →1
x →1

f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) ⇔ a + 1 = 2 ⇔ a = 1
• f ( x ) liên tục tại x = 1 ⇔ xlim
→1−
x →1
 x −1

khi x > 1
Câu 4. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 1
.
3ax
khi x ≤ 1


Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Ta có:

f ( x ) = lim− 3ax = 3a
• xlim
→1−
x →1

• f (1) = 3a

• lim+ f ( x ) = lim+
x →1

x →1

x −1
= lim
x − 1 x →1+

1
x +1

=

1
2

f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ 3a = 1 ⇔ a = 1
Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ f (1) = xlim
−
→1
x →1
2

 x 2 − 25

Câu 5. Cho hàm số f ( x ) =  x − 5
 A

6

khi x ≠ 5 . Tìm A để hàm số đã cho liên tục tại x = 5.
khi x = 5

• f(5) = A

x 2 − 25
= lim( x + 5) = 10 l
x →5
x →5 x − 5
x →5
• Hàm số liên tục tại x = 5 ⇔ lim f ( x ) = f (5)
• lim f ( x ) = lim

x →5

• A = 10
5 x 2 − 6 x + 7 khi x ≥ 2
f (x) =  2
khi x < 2
ax + 3a

Câu 6. Tìm a để hàm số:

liên tục tại x = 2.

2
• lim− f ( x ) = lim− (ax + 3a) = 7a

f ( x ) = 15 = f (2)
• xlim
→2 +

x →2

• f ( x ) liên tục tại x = 2 ⇔ 7a = 15 ⇔ a =

x →2

15
7

Câu 7. Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
 x2 − 1

f ( x ) =  x + 1 khi x < −1
 mx + 2 khi x ≥ −1
Ta có:

• f (−1) = −m + 2

• lim f ( x ) = lim
−
−
x →−1

x →−1

x2 − 1
= lim ( x − 1) = −2
x + 1 x →−1−

lim + f ( x ) = lim + (mx + 2) = − m + 2
• x →−
1
x →−1

Hàm số f ( x ) liên tục tại x = –1 ⇔ −m + 2 = −2 ⇔ m = 4
 3 3x + 2 − 2

Câu 8. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 2
 ax + 1

4

khi x >2
khi x ≤ 2

.

Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.
Ta có:

• f (2) = 2a +

1
4

Toán Tuyển Sinh Group




1
4

• lim− f ( x ) = lim−  ax + ÷ = 2a +
x →2

x →2

1
4

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


f ( x ) = lim+
• xlim
→2 +
x →2

3

3x + 2 − 2
= lim+
x −2
x →2

( x − 2)

(

3( x − 2)
3

(3 x − 2)2 + 2 3 (3 x − 2) + 4

)

=

1
4

f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ 2a + 1 = 1 ⇔ a = 0
Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ f (2) = xlim
→2 −
x →2
4

4

 2x + 1
1
khi x ≠ −
 2
2
Câu 9. Cho hàm số f ( x ) =  2 x + 3x + 1

1
A
khi x = −

2
1
Xét tính liên tục của hàm số tại x = −
2
 2x + 1
1
 1
1
khi x ≠ −
khi x ≠ −
 2


2
2
f ( x ) =  2 x + 3x + 1
=  x +1
1
1
A
A
khi x = −
khi x = −


2

2
1
 1
1
Tại x = − ta có: f  − ÷ = A , lim1 x + 1 = 2
x →−
2
 2
2
f ( x ) liên tục tại x = −

 1
1
1
f  − ÷ = lim
⇔ A=2
⇔  2
1 x +1
x
→−
2
2

Câu 10. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.
 x3 − x 2 + 2 x − 2

f (x) = 
3x + a
3 x + a

khi x ≠ 1
khi x = 1

x3 − x2 + 2 x − 2
( x − 1)( x 2 + 2)
= lim
x →1
x →1
x →1
3x + a
3x + a
2
( x − 1)( x + 2)
x2 + 2
= lim
= 1 > 0 và f (1) = 0 nên hàm số không
• Nếu a = –3 thì lim f ( x ) = lim
x →1
x →1
x →1
3( x − 1)
3
liên tục tại x = 1
• lim f ( x ) = lim

( x − 1)( x 2 + 2)
= 0 , nhưng f (1) = 3 + a ≠ 0 nên hàm só không
x →1
3x + a

• Nếu a ≠ –3 thì lim f ( x ) = lim
x →1

liên tục tại x = 1.
Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1.

Câu 11. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2:
 x 2 − 7 x + 10

khi x ≠ 2 .
f (x) = 
x −2
 4 − a
khi x = 2

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


x 2 − 7 x + 10
( x − 2)( x − 5)
lim f ( x ) = lim
= lim
= lim( x − 5) = −3
x →2
x →2
x
→
2

x →2
x −2
x−2
f(2) = 4 – a
f ( x ) liên tục tại x = 2 ⇔ lim f ( x ) = f (2) ⇔ 4 − a = −3 ⇔ a = 7
x →2

Kết luận với a = 7 thì hàm số liên tục tại x = 2.
Câu 12. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
 x2 + x − 2

khi x ≠ 1
f (x) =  x − 1
 m
khi x = 1
f (1) = m
x2 + x − 2
= lim( x + 2) = 3
x →1
x →1
x →1
x −1
f ( x ) liên tục tại x = 1 ⇔ f (1) = lim f ( x ) ⇔ m = 3

lim f ( x ) = lim

x →1

Câu 13. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
 x2 − x − 2


khi x ≠ −1
f (x) =  x + 1
 a + 1
khi x = −1
f(–1) = a +1
( x + 1)( x − 2)
= lim( x − 2) = −3
x →−1
x →−1
x →−1
x +1
f(x) liên tục tại x = –1 ⇔ lim f ( x ) = f (−1) ⇔ a + 1 = −3 ⇔ a = −4
lim f ( x ) = lim

x →−1

 x 2 + 3 x − 18

khi x ≠ 3 . Tìm a để hàm số liên tục tại x = 3 .
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) = 
x −3
a + x
khi x = 3
.
x 2 + 3 x − 18
( x − 3)( x + 6)
• f(3) = a+3
• lim f ( x ) = lim
= lim

= lim( x + 6) = 9
x →3
x →3
x →3
x →3
x −3
x −3
• f(x) liên tục tại x = 3 ⇔ a + 3 = 9 ⇔ a = 6
 3 x + 7 − 3x + 1

Câu 15. Cho hàm số f(x) = 
x −1
ax


Toán Tuyển Sinh Group

khi x ≠ 1

Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.

khi x = 1

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


lim f ( x) = lim
x →1

x →1

3

 3 x + 7 − 2 2 − 3x + 1 
x + 7 − 3x + 1

= lim
+
x →1
x −1
x − 1 
 x −1



x −1
3 − 3x
= lim
+
x →1
2
 ( x − 1)  3 ( x + 7 ) + 23 x + 7 + 4  ( x − 1) 2 + 3 x + 1




(

)









1
3
 =−2
= lim
−
2


x →1 3
3
3
 ( x + 7 ) + 2 x + 7 + 4 2 + 3x + 1 
2
Hàm số liên tục tại x0 = 1 ⇔ lim f ( x) = f (1) ⇔ a = − .
x →1
3
 2x + 1
1
khi x ≠ −
 2
2
Câu 16. Cho hàm số f ( x ) =  2 x + 3x + 1

1
A
khi x = −

2
1
Xét tính liên tục của hàm số tại x = −
2
 2x + 1
1
 1
1
khi x ≠ −
khi x ≠ −
 2


2
2
f ( x ) =  2 x + 3x + 1
=  x +1
1
1
A
A
khi x = −
khi x = −


2

2
1
 1
1
Tại x = − ta có: f  − ÷ = A , lim1 x + 1 = 2
x →−
2
 2
2
f ( x ) liên tục tại x = −

 1
1
1
f  − ÷ = lim
⇔ A=2
⇔  2
1 x +1
x
→−
2
2

Câu 17. Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0:
 x + 2a
khi x < 0
f (x) =  2
 x + x + 1 khi x ≥ 0
f ( x ) = f (0) = 1
• xlim

→ 0+
f ( x ) = lim− ( x + 2a) = 2 a
• xlim
→0−
x →0
• f(x) liên tục tại x = 0 ⇔ 2a = 1 ⇔ a =

Toán Tuyển Sinh Group

1
2

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


3 x + 6 − x + 2

Câu 18. Cho hàm số f(x) = 
x−2
ax


khi x ≠ 2
khi x = 2

Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 2.
lim f ( x) = lim
x →2

x →2

3

3 x+6 −2 2− x+2 
x+6 − x+2

= lim
+

x→ 2
x−2
x
−
2
x
−
2





x−2
2− x
= lim
+
x →2
 ( x − 2 )  3 ( x + 6 ) 2 + 23 x + 6 + 4  ( x − 2 ) 2 + x + 2






1
1
 = −1
= lim
−
2

x →2  3
3
6
 ( x + 6) + 2 x + 6 + 4 2 + x + 2 

(

)







1
6

f ( x ) = f (2) ⇔ 2a = − ⇒ a = −
Hàm số liên tục tại x0 = 2 ⇔ lim

x →2

1
.
12

Câu 19. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
 x2 − x

f ( x ) =  x − 1 khi x ≠ 1
 m
khi x = 1

f(1) = m
x ( x − 1)
= lim x = 1
x →1
x →1
x →1
x −1
f(x) liên tục tại x = 1 ⇔ lim f ( x ) = f (1) ⇔ m = 1

lim f ( x ) = lim

x →1

 x3 − 1

Câu 20. Cho hàm số f(x) = f ( x ) =  x − 1 khi x ≠ 1 .
2m + 1 khi x = 1

Xác định m để hàm số liên tục trên R.
x3 − 1
• Khi x ≠ 1 ta có f ( x ) =
= x 2 + x + 1 ⇒ f(x) liên tục ∀ x ≠ 1 .

• Khi x = 1, ta có:

x −1


f (1) = 2m + 1
f (1) = lim f ( x ) ⇔ 2m + 1 = 3 ⇔ m = 1
2
lim f ( x ) = lim( x + x + 1) = 3 ⇒ f(x) liên tục tại x = 1 ⇔
x →1

x →1
x →1

Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1.

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh