Ly thuyet cuc tri ham trung phuong

Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ

Hs: Nguyễn Xuân Nam
Đà Nẵng, ngày 30/10/2012

CHƯƠNG 3: CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Hàm số: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐
Ta có: 𝑦 ′ = 𝑓 ′

= 4𝑎𝑥 3 + 2𝑏𝑥

𝑥

𝑥=0
𝑏
𝑦 = 0 <=> 2𝑥 2𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 <=> 2
𝑥 =−
(1)
2𝑎
′

2

A. Kiến thức cơ bản:
- Hàm số luôn nhận 𝑥 = 0 làm 1 điểm cực trị
- Hàm số có 1 điểm cực trị khi phương trình 𝑦 ′ = 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1)
có 2 nghiệm kép bằng 0, hoặc phương trình (1) vô nghiệm
𝑏

<=>
-

− 2𝑎 = 0 <=> 𝑏 = 0 (đã 𝑥é𝑡 𝑎 ≠ 0)
𝑏

− 2𝑎 < 0

𝑏

hay − 2𝑎 ≤ 0

Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình 𝑦 ′ = 0 có 3 nghiệm thì phương trình (1)
có 2 nghiệm phân biệt khác 0
𝑥=0
𝑏

′

<=> − 2𝑎 > 0 khi đó ta có 𝑦 = 0 <=>

𝑥=

𝑏

− 2𝑎
𝑏

𝑥 = − − 2𝑎
-

Luôn giả sử được tọa độ các điểm cực trị là 𝐴 0; 𝑐 , 𝐵 𝑥1 ; 𝑦1 , 𝐶(𝑥2 ; 𝑦2 )

hoặc 𝐴 0; 𝑐 , 𝐵

𝑏

𝑏

− 2𝑎 ; 𝑦𝑏 , 𝐶 − − 2𝑎 ; 𝑦𝑐 và tam giác ABC luôn cân tại A.

B. Một số câu hỏi thường gặp
1. Tìm đk để đồ thị hàm số có 1 cực trị.
B1: Tính 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑎𝑥 3 + 2𝑏𝑥
𝑥=0
B2: Giải pt: 𝑦 ′ = 0 <=> 2𝑥 2𝑎𝑥 2 + 𝑏 = 0 <=> 𝑥 2 = − 𝑏 (1)
2𝑎

B3: Để đồ thị hàm số có 1 cực trị thì 𝑦 ′ = 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1) có 2
nghiệm kép bằng 0, hoặc phương trình (1) vô nghiệm.
𝑏
<=> −
≤0
2𝑎
2. Tìm đk để đồ thị hàm số có 3 cực trị.
B1: Tính 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑎𝑥 3 + 2𝑏𝑥



1

Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246

Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ

Hs: Nguyễn Xuân Nam

𝑥=0
B2: Giải pt: 𝑦 ′ = 0 <=> 2𝑥 2𝑎𝑥 2 + 𝑏 = 0 <=> 𝑥 2 = − 𝑏 (1)
2𝑎

3.
4.
5.
6.
7.

B3: Để đồ thị hàm số có 1 cực trị thì 𝑦 ′ = 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1) có 2
nghiệm nghiệm phân biệt khác 0.
𝑏
<=> −
>0
2𝑎
Tìm đk để đồ thị hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại.
Bài toán quay trở về dạng B. 2 và cần thêm điều kiện 𝑎 < 0
Tìm đk để đồ thị hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại.
Bài toán quay trở về dạng B. 2 và cần thêm điều kiện 𝑎 > 0
Tìm đk để đồ thị hàm số có cực tiểu mà ko có cực đại.
Bài toán quay trở về dạng B. 1 và cần thêm điều kiện 𝑎 > 0
Tìm đk để đồ thị hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu.
Bài toán quay trở về dạng B. 1 và cần thêm điều kiện 𝑎 < 0
Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác vuông.

B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông tại đỉnh A
Khi đó ta có đk: 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 0
Trong đó: 𝐴𝐵 =

−

𝑏
2𝑎

; 𝑦𝑏 − 𝑐

và 𝐴𝐶 = − −
𝑏

Như vậy ta sẽ có: 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 0 <=> 2𝑎 + 𝑦𝑏 − 𝑐

2

𝑏
2𝑎

; 𝑦𝑐 − 𝑐

=0

Cách khác: Dùng định lý Pi-ta-go.
Ta có: 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 = 𝐵𝐶 2 <=> 2𝐴𝐵 2 = 𝐵𝐶 2
8. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác đều.

B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần cạnh bên bằng cạnh đáy, hay 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶
−𝑏
−2𝑏
=> 𝐴𝐵 2 = 𝐵𝐶 2 <=>
+ 𝑦𝑏 − 𝑐 2 =
2𝑎
𝑎
Trong đó:
𝐴𝐵 =

và 𝐵𝐶 =

𝑏

2

− 2𝑎

+ 𝑦𝑏 − 𝑐
𝑏

𝑏

− − 2𝑎 − − 2𝑎

2

2

+ 𝑦𝑐 − 𝑦𝑏

2

=2

𝑏

2

− 2𝑎

Cách khác:
Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần có thêm góc 𝐵𝐴𝐶 = 600


2

Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ

Hs: Nguyễn Xuân Nam

Ta sẽ có:
cos 𝐵𝐴𝐶 =

𝐴𝐵 .𝐴𝐶

𝑏
+
2𝑎

1

𝐴𝐵 𝐴𝐶

<=> 2 =

𝑦 𝑏 −𝑐 2

2

𝑏
2𝑎

𝑏

1
<=> =
2

+ 𝑦 𝑐 −𝑐 2

−

2

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

2𝑎

2

𝑏
2𝑎

+ 𝑦 𝑏 −𝑐 2 .

−

2

𝑏

− 2𝑎

2

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

9. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có 1 góc bằng
1200 .
B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần có thêm góc 𝐵𝐴𝐶 = 1200
Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏 ) là trung điểm của 𝐵𝐶.
𝐴𝐻

Ta có: cos 𝐻𝐴𝐵 =

𝐴𝐵

<=> 𝑐𝑜𝑠600 =

𝐴𝐻
𝐴𝐵

<=> 𝐴𝐵 = 2𝐴𝐻 <=> 𝐴𝐵 2 = 4𝐴𝐻 2

Trong đó:
2

𝑏
2𝑎

𝐴𝐵 =

−

𝐴𝐻 =

0−0

Như vậy ta có:

2

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

2

2

=

+ 𝑦𝑏 − 𝑐
𝑏

− 2𝑎

2

𝑦𝑏 − 𝑐

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

2

2

= 4 𝑦𝑏 − 𝑐

2

Cách khác:
Do tam giác ABC đã cân nên chỉ có thể góc 𝐵𝐴𝐶 = 1200
Ta sẽ có:

cos 𝐵𝐴𝐶 =

𝐴𝐵 .𝐴𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶

𝑏
+
2𝑎

1

<=> − 2 =

𝑏
2𝑎

−

2

+ 𝑦 𝑏 −𝑐 2 .
𝑏

1
<=> − =
2

𝑦 𝑏 −𝑐 2

2𝑎

+ 𝑦𝑏 − 𝑐
𝑏

− 2𝑎

𝑏
2𝑎

2

−

+ 𝑦 𝑐 −𝑐 2

2

2

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

2

10. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc
𝜑 < 900 .
B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Xét 2 trường hợp xảy ra
+ TH1: 𝐵𝐴𝐶 = 𝜑

3

Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ
𝐴𝐵 .𝐴𝐶

Ta có: cos 𝐵𝐴𝐶 =

𝐴𝐵 𝐴𝐶

Hs: Nguyễn Xuân Nam

= 𝑐𝑜𝑠𝜑

+ TH2: 𝐵𝐴𝐶 ≠ 𝜑, tức là 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶𝐵 = 𝜑
Ta sẽ tính được 𝐵𝐴𝐶 như sau: 𝐵𝐴𝐶 = 1800 − 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶𝐵 = 1800 − 2𝜑
Khi đó: cos 𝐵𝐴𝐶 =

𝐴𝐵 .𝐴𝐶
𝐴𝐵 𝐴𝐶

= 𝑐𝑜𝑠 1800 − 2𝜑

Lưu ý: Các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc 𝜑 ≥ 900 thì có ngay
𝐵𝐴𝐶 = 𝜑.
11. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích 𝑆0 cho
trước.

B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏 ) là trung điểm của 𝐵𝐶.
Khi đó diện tích tam giác ABC sẽ là:
1
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐻. 𝐵𝐶 <=> 2𝑆0 = 𝐴𝐻. 𝐵𝐶 <=> 4𝑆0 2 = 𝐴𝐻 2 . 𝐵𝐶 2
2
Trong đó:
2

𝐵𝐶 =

− −

𝐴𝐻 = 0 − 0
Như vậy ta có:

𝑏
𝑏
− −
2𝑎
2𝑎
2

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

2

+ 𝑦𝑐 − 𝑦𝑏
2

=

𝑦𝑏 − 𝑐

2

=2

−

𝑏
2𝑎

2

−2𝑏
𝑎
12. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có bán kính đường
tròn ngoại tiếp R cho trước.
B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏 ) là trung điểm của 𝐵𝐶
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC:
𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐
𝐴𝐵. 𝐵𝐶. 𝐶𝐴 𝐴𝐵 2
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 =
<=> 𝑅 =
= 1

=
4𝑅
4𝑆∆𝐴𝐵𝐶 4. 𝐴𝐻. 𝐵𝐶 2𝐴𝐻
4𝑆0 2 = 𝑦𝑏 − 𝑐 2 .

2

Trong đó:
2

𝑏
2𝑎

𝐴𝐵 =

−

𝐴𝐻 =

0−0

2

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

2

2

=

+ 𝑦𝑏 − 𝑐



𝑦𝑏 − 𝑐

4

2

Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ

Hs: Nguyễn Xuân Nam

Như vậy:
2

𝑏

𝑅=

− 2𝑎

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

2

2 𝑦𝑏 − 𝑐 2
13. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có bán kính đường
tròn nội tiếp r cho trước.
B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Gọi 𝐻(0; 𝑦𝑏 ) là trung điểm của 𝐵𝐶
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC:
1

𝑆∆𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐻. 𝐵𝐶
𝑆∆𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐻. 𝐵𝐶
2
= 𝑝. 𝑟 <=> 𝑟 =
=1
=
𝑝
2𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴
2

Trong đó:
2

𝑏
2𝑎

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

2

2

=

𝐴𝐵 =

−

𝐴𝐻 =

0−0

𝐵𝐶 =

𝑏
𝑏
− −
− −
2𝑎
2𝑎

2

+ 𝑦𝑏 − 𝑐

𝑦𝑏 − 𝑐

2

2

2

+ 𝑦𝑐 − 𝑦𝑏

𝑦 𝑏 −𝑐 2 .

Như vậy ta có: 𝑟 =
𝑏
2𝑎

−

𝑏
2𝑎

2

=2

𝑏
−
2𝑎

2

−

2

+ 𝑦 𝑏 −𝑐 2 +

𝑏
2𝑎

2

−

14. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có trọng tâm
𝐺 0; 𝑦𝐺 cho trước.
B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Vì 𝐺 0; 𝑦𝐺 là trọng tâm tam giác ABC nên ta có
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 𝑐 + 2𝑦𝐵
𝑦𝐺 =
=
<=> 3𝑦𝐺 = 𝑐 + 2𝑦𝐵
3
3
15. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn
ngoại tiếp đi qua điểm 𝐷 𝑥𝐷 ; 𝑦𝐷 cho trước.
B1: Tính 𝑦 ′
B2: Giải pt 𝑦 ′ = 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Gọi 𝐼 𝑥𝐼 ; 𝐼𝑦 là tâm đường tròn ngoại tiếp

5

Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ

Hs: Nguyễn Xuân Nam

𝐼𝐴2 = 𝐼𝐷2
Ta có: 𝐼𝐵 2 = 𝐼𝐶 2
𝐼𝐵 2 = 𝐼𝐴2
Trong đó:
𝐼𝐴 =

0 − 𝑥𝐼

2

+ 𝑐−𝑦

2

2

𝐼𝐵 =

−

𝑏
− 𝑥𝐼
2𝑎

+ 𝑦𝑏 − 𝑦𝐼

2

2

𝐼𝐶 =

𝑏
− −
− 𝑥𝐼
2𝑎

𝐼𝐷 =

𝑥𝐷 − 𝑥𝐼

2

2

+ 𝑦𝑐 − 𝑦𝐼

+ 𝑦𝐷 − 𝑦𝐼

2

=

𝑏
−
+ 𝑥𝐼
2𝑎

+ 𝑦𝑐 − 𝑦𝐼

2

2

Tài liệu soạn gấp nên nếu có sai sót xin được các bạn góp ý thêm, thank!
Mình sẽ cố gắng cập nhật các dạng mới lạ cho các bạn, sẽ có bản cập nhật mới cho các bạn
khi có các dạng câu hỏi mới. Hẹn gặp lại!
Chúc các bạn học tập tốt!
…………………HẾT…………………



6

Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246