Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ
1- Hệ tọa độ Đề-các vng góc trong khơng gian
Trongr khơng
r r gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc tại gốc O.
Gọi i, j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.
z

k
O
i

j

x

y

r trục
r Ox, Oy, Oz như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề - các vng
Hệ gồmrba
Vì Oxyz
i, j, ktrong
là cá
c vectơ
đơn
đôtrục
i mộ
t vuô
g gógian

c nê
n:
góc
khơng
gian, gọi
tắt vò
là hệ
Oxyz
hay n
khơng
Oxyz.
r2 r 2 r 2
rr r r rr
i = j = k = 1 và i. j = j.k = k .i = 0


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
2- Tọa độ của một điểm

uuuu
r
OM

Δ1.
Trong
cho r
một điểm
theo
uuuu
r rkhơngrgian Oxyz,

r r
r M. Hãy phân tích vectơ
ba
vectơ
khơng
phẳng
choy;
trên
trục
Ox,i Oy,
OM
= x.i
+ y.đồng
j + z.k
⇔ ibộ
sốđã(x;
z)các
đượ
c gọ
là Oz
, jba
,k
z

tọa độ của điểm M. Ta viết M(x; y; z) hay M=(x; y; z)
x: hoành độ; y: tung
Mđo
3 ä; z: cao độ
M
k

i

M1 uuuu
r

M2

O

j

uuuuu
r uuuuuur uuM'
uuu
r uuuuu
r uuuuu
r
x Ta có OM = OM ' + M ' M = OM 1 + OM 2 + OM 3
r
r
r
= x.i + y. j + z.k

y


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
z
3-Tọa độ của vectơ:
r

?2. Trong
khôkhô
ng gian
Oxyz,Oxyz
cho hình
p ABCD.A'B'C'D'
đỉnh
vớitgốc O,
Trong
ng gian
cho hộ
vectơ
a , khi đó luôcó
n tồ
n tạAi trù
duyngnhấ
A'
Gi
a
û
i
uuu
uruuruuur u
r r r uuur
rrr r r
r
r
ruuu
có AB,
thứ

tựAB
cù
ng(a;
hướ
n0).
g =vớai i,.i +
j, ka và
cóa AB
= a, AD = b, AA' = c. D'
bộAD,
số
;
a
)
sao
cho:
a
.
j
+
.k.
• AB
=ba
a.iAA'
+ 0(a
.theo
j 1+; 0a.k
⇒
=
0;

3
u1uuur 2
M
uuur uuur uuur 2 r 3uuu
rr uuurr uuuur
r
C'
Hãy•tín
h to
độ+cá
c vectơ
AC
= ïaAB
AD
= a.i + AB,
b. j +AC,
0.k AC' và AMB' với M là trung điểm cạnh C'D'.

Ta
uuurgọi bộ ba số (a1; a 2 ; a3 ) là tọa độ của vectơ a.
r 0)
r
⇒ AC = (a; b;
k
u
uur viế
uutu
ra u
uu
u

ra ; ar ; a r); hoặ
r c a(a ; a ; a ).
Ta
:
=
(
1
2
3
• AC' = AC + AA' 1= a.i2 + b.3 j + c.k
A
r
r
r
r r
uuur
⇒Như
AC' =vậ
(a;y:b;•c)a = a1 .i + a 2 . j + a3 .k ⇔ a = (a1; a 2 ; a3 )
i
u
r
uuuu
r uuuu
r uuuuur uuuu
r uuur uuu
u
u
u
r

1
• AM = AD' +•D'M(x;
M = AA'
+
AD
+
AB
. y; z)B
y; z) ⇔ OM
=
(x;
x
2
r 1 r
r
r
1 uuur uuur uuuu
=
AB + AD + AA' = a.i + b. j + c.k
2
2
uuuu
r
1
⇒ AM = ( a; b, c)
2

D
y

j

C


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ
1- Định lí:
r
r
 x = x'
r
r
r
r
Trong
không gian
cho
hai
vectơ
a(x;= y;
(x;z)y;vàz)bvà
b =y';
(x',z')y';
z').
Ta
có
:  y = y'
r
r

r
Ví
dụ:
a)
Cho
hai
vectơ
a
=
=
(x';
ta
có
a
=
b
⇔
2Hệ
quả:
r minh: Các em về nhà xem SGKr vàr tự chứng minh hai trường 
rChứng

Trong
ng gian
Oxyz,
cho a = (2;• -3;
1);
b(x=-(1;
3;
-2)

và
c = (-2;0;z =1).
z'
•hợp
a + còn
bkhô
= r(x+x';
y+y';
z+z')
a
−
b
=
x';
y
y';
z
z')

lại r r
r
r
r
r
r
b)
0
Tính:
b −z)=(
c ;=k(0;

2) 2a − b − 3c
• k .a =1)k.a(x;+ y;
x; k0;y;0)k z), k ∈ ¡
 x = k.x'
r r
r
r

c) Với b ≠ 0 , thì a cùng phương b ⇔  y = k.y' ; (k ∈ ¡ )
 z = k.z'

d) Nếu A(x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ) thì
uuur
• AB = (x B - x A ; y B - y A ; z B -z A )

xA + xB

x
=
 M
2

y + yB

• M(x M ; y M ; z M ) là trung điểm của AB thì:  yM = A
2

zA + zB

z

=
 M
2



§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CÁC CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ

 Ví dụ:

r điểm A(1; 5;r 2), B(3; -4;r 7), C(0; 2; -1)
2) Trong không gian Oxyz, cho ba
1) Trong không gian Oxyz, cho a = (2; -4; 1), b = ( x; 5; 2), c = (3; y; z)
a) Chứng minh
r rằr ngr3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Tính
x, y, tọ
z để
bm
+ cD để ABCD là một hình bình hành.
b) Tìm
a độa =
điể

Giai
û

r r
Ta có : b + c = ( x + 3; 5 + y; z + 2)

r
a = (2; − 4; 1)
x + 3 = 2
 x = −1
r
r r


Vậy a = b + c ⇔ 5 + y = −4 ⇔  y = −9
z + 2 = 1
 z = −1




CỦNG CỐ: Về nhà các em cần học kỷ các mục sau:
- Hệ tọa đọ Đề - các,
-Tọa độ của điểm, tọa độ của vêctơ
-Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, điều kiện để hai vectơ bằng
nhau, cùng phương.
HƯỚNG DẪN:
Bài tập 3/ T68

uuur uuu
r
DC = AB → C
uuuu
r uuur
CC' = BB' → B'
uuuu

r uuuu
r
DD' = CC' → D'
uuur uuuu
r
AA' = DD' → A'

A'

B'

C'(4; 5; -5)
D(1; -1; 1)

A( 1; 0; 1)

B( 2; 1; 2)

Bài tập VN: 1, 2, 3/ T68

D'

C