Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG
QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH VỀ DỰ
GIỜ THAO GIẢNG HÔM NAY.

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


KIỂM TRA BÀI CŨ:
Câu 1: Em hãy nêu định nghĩa trục toạ độ?
Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?
Trả lời:
Câu1: Trục toạ độ là một đường thẳng trên đó đã xác định
r
một điểm O gọi là điểm gốc và một véc tơ đơn vị i.
r
Ký hiệu: (O; i )
x’

r
i

O I

uur r
Ta lấy điểm I sao cho OI = i .

x

r
Tia OI còn được ký hiệu là Ox,tia đối của Ox là Ox’. Khi đó trục (O; i ),

còn gọi là trục x’Ox hay trục Ox.


KIỂM TRA BÀI CŨ:
Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?
r r Trả lời:
r
r
O
;
i
,
j
Hệ trục toạ độ
gồm hai trục O; i và O; j vuông
góc với
r
nhau. Điểm gốc O của hai trục gọir là gốc toạ độ. Trục O; i gọi là
trục hoành, kí hiệu là Ox. Trục O; j gọi là trục tung, kí hiệu là Oy.

(

)

( ) ( )

( )

( )

r r
rr
Các vectơ i, j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i = j = 1
.
rr
Oy là trục tung
Hệ trục toạ độ O; i, j còn được kí hiệu là Oxy.

(

)

y

Chú ý: Mặt phẳng trên đó đã
cho một hệ trục toạ độ Oxy
được gọi là mặt phẳng Oxy
Điểm O là gốc
toạ độ

r
j r
i

o

x
Ox là trục
hoành

CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ toạ độ trong không gian
Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng

Trụ sở liên hợp quốc tại New
York


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
z’Oz là trục cao

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Hệ toạ độ : Định nghĩa (SGK)
Ký hiệu: Oxyz.
Điểm O là
+) Điểm O được gọi là gốc toạ độ . gốc toạ độ
+) Trục x’Ox được gọi là trục hoành.
+) Trục y’Oy được gọi là trục tung.
+) Trục z’Oz được gọi là trục cao.

rr r
+) i, j , k là ba véc tơ đơn vị đôi một
vuông góc, ta có:

r2 r 2 r 2
rr r r rr
i = j = k = 1 , i. j = j .k = k.i = 0

+) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
+) Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn
được gọi là không gian Oxyz.

z

r
k

y’

r
i

O

x’

r
j
z’

x

x’Ox là trục hoành

y’Oy là trục tung

y


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Hệ toạ độ
Hoạt động uuuu
1: rTrong không gian Oxyz cho một điểm
r Hãy phân
r r M.
tích vectơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i , j , k đã cho trên
các các trục Ox; Oy; Oz.
Lời giải
z
Gọi K, H, N lần lượt là hình chiếu của M
N z

lên các trục
uuuur Ox,
uuur Oy,
uuurOz.
Ta cã uuu
OM
OE + ON
r =uuur

uuur

r r uuu
r
uuur
OEr = OH
+ OK r uuu
uuu
r OM
uuur
uuu
r
Biểu
OK diễn
= x.i, OH theo
= y. j ,OE
ONvà
= zON
.k ?
Biểuuuu
diễn:
uuu
r
uuur
uuu
r
r
r
r
r

rdiễn
uuur
uuuuBiểu
r uuu
r uuur
uuu
r
OE
theoi,OK
và OH ?
+ )=OK
ir +?theo
j,
k
?
theo
OM
Biểu
diễn
Vậy OM
OK
+
OH
ON
uuur
r j ?r
+ ) OHr theo
=uuu
x.ri + y. j +r z.k
+ ) ON

theo k ?

M
k
O
i
K
x

x

H
y

j
E

y


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
2) Toạ độ của một điểm.
uuuur
r
r

r
OM = x.i + y. j + z.k

ĐN: Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn
gian
Oxyz
choz)
gọi là Trong
toạ độ không
của
điểm
với
hệcó
trục toạ độ Oxyz.
Với
bộ
3Msố
(x;
y;
rđối
r r
i, j , k M thoả
điểm M và
3 nhiêu
vectơ
Viết M(x;y;z)
hoặc
M=
(x;y;z).
z

bao
điểm
uuuur
r
r
r
không đồng
bao
OM =Có
x.i +
y. j + z.k ?
mãnphẳng.
N z
nhiêu bộr 3 sốr(x; y;r z) thoả
r
Nhận xét:uuuu
x; y; z là toạ độ tương
ứng của các
OM
=
x
.
i
+
y
.
j
+
z
.

k
?
mãn:
điểm K; H; N. Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz

O
i
K
x

x

M

k

H
y

j
E

y


1

H TO TRONG KHễNG GIAN

I- To ca im v ca vộc t.

2) To ca mt im.
Vớ d1: Trong khụng gian vi h to Oxyz

uuuur r r r uuur r r
a ) Cho OM = 2i + 5 j k , ON = 2k j
Xỏc nh to ca cỏc im M, N?

b) Cho điểm M(-2; 0; 0), N(0; -2; 1), P(-3; 2; 1)
uuuur uuur uuur
Hãy biểu thị OM, ON và OP theo các vectơ đơn vị?
Gii:
a) M(2;5;-1);
uuur
r r
r
r
r
ON = 2.k j = 0. i 1. j + 2.k

Vy N(0;-1;2)

uuuur
r uuur
r ur uuur
r r r
b) OM = 2 i , ON = 2 j + k , OP = 3 i + 2 j + k .


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
Em hãy nêu định lý về
biểu diễn một vectơ theo
3 vectơ không đồng
phẳng?

r r r
§.¸n: Trong kh«ng gian cho 3 vect¬ a, b, c kh«ng ®ång ph¼ng.
r
Khi ®ã víi mäi vect¬ x ta ®Òu ®­îc bé 3 sè m, n, p sao cho
r
r r r
x =ma+nb+pc. Ngoµi ra bé 3 sè m, n, p lµ duy nhÊt.


1

H TO TRONG KHễNG GIAN

I- To ca im v ca vộc t.
3. To ca vộc t

r
Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho vectơ a, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ 3 số (a1 ; a 2 ;a 3 )
r r
r
ur
r

sao cho a= a1 i + a 2 j + a 3 k. Ta gọi bộ 3 số (a1 ; a 2 ;a 3 ) là toạ độ của vectơ a đối với
r
r
hệ toạ độ Oxyz. Viết a=(a1 ; a 2 ;a 3 ) hoặc a(a1 ; a 2 ;a 3 )
Nhận xét:

uuuur
+)Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M là toạ độ của vectơ OM.
uuuur
Ta có: M= (x;y;z) OM = (x;y;z).
r
r
r
+ ) i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)
r
+) 0 = (0;0;0).


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
3. Toạ độ của véc tơ
Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình
chữ nhật
uuur hộp
uuur uuur
ABCD.A’B’C’D’
có rđỉnh A trùng với gốc O, cóAB , AD, AA ' theo thứ

rr
i, j , k
tự cùng hướng
với
và có AB = a, AD =b, AA’ = c. Hãy tính toạ
uuur uuur uuuur uuur
độ các vectơAB, AC, AC ', AM
với M là trung điểm của C’D’.
Giải: Ta có:

uuur r uuur r uuur r uuur
+ ) AB = ai, AD = b j , AA ' = c k ⇒ AB = ( a;0;0 ) .
uuur uuur uuur r r uuur
+ ) AC = AB + AD = ai + b j ⇒ AC = ( a; b;0 ) .

A’

z

uuuur uuur uuur uuur r r r uuuur
+ ) AC ' = AB + AD + AA ' = ai + b j + c k ⇒ AC ' = ( a; b; c ) .
B’
uuur uuuur uuuuur uuur uuur uuuuur
+ ) AM = AD ' + D ' M = AD + AA ' + D ' M
c
uuur uuur 1 uuur r r 1 r
A
= AD + AA ' + AB = b j + c k + ai.
a O
2

2
uuur  1

⇒ AM =  a; b; c ÷.
2


B

x

D’
C’

M

D

b

y
C


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Kiến thức cũ
r

r
a = (a1; a 2 ), b = (b1; b 2 )
Trong mặtrphẳng
r với hệ trục toạ độ Oxy cho
Ta có: 1) ar+ br= (a1 + b1; a 2 + b 2 )
2) a − b = (a1 − b1; a 2 − b 2 )
r
3) k.a = (ka1; ka 2 ), k ∈ ¡
r r a1 = b1
4) a = b ⇔ 
a 2 = b 2
r r r
r
5) Víi b ≠ 0, a cïng ph­¬ng b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a 1 = kb1 ,a 2 = kb 2 .
6) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) th×
uuur uuuur uuur
∗ AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ).

xA + xB yA + yB
∗ To¹ ®é trung ®iÓm M cña AB: M(
;
)
2
2


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai
r r
vectơ
Ta có: 1) a + b = (a1 + b1; a 2 + b 2 ;a 3 + b 3 ).
r r
2) a − b = (a1 − b1; a 2 − b 2 ;a 3 − b 3 ).
r
3) ka = (ka1; ka 2 ;ka 3 ), k ∈ ¡
Hệ quả:
a =b

r
r
a = (a1; a 2 ;a 3 ), b = (b1;b 2 ;b 3 )


1
r r  1
1) a = b ⇔ a 2 = b 2
a = b
3
r r r3
r
2) Víi b ≠ 0, a cïng ph­¬ng b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a 1 = kb1,a 2 = kb 2 ,a 3 = kb 3.
3)Trong k/g víi hÖ Oxyz cho A(x A ; y A ;z A ), B(x B ; y B ;z B ) th×
uuur uuuur uuur
+ ) AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ).

+)

Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là : M(

x A + x B yA + yB z A + z B
;
;
)
2
2
2


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Củng cố: Qua bài học cần nắm được các kiến thức trọng tâm sau:
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

1) Định nghĩa hệ toạ độ
2)Toạ độ của một điểm.
Bộ
ba
uuuu
r số thực
r (x;y;z)
r
rthoả mãn
OM = x.i + y. j + z.k
gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ

trục toạ độ Oxyz. Viết M(x;y;z) hoặc
M = (x;y;z).
3) Toạ độ của véc tơ

r
r
a = (a1 ; a2 ; a3 ) Û a(a1 ; a2 ; a3 )
r
r
r
r
Û a = a1 i + a2 j + a3 k

II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Định lý:rTrong không gian
r Oxyz cho hai vectơ

a = (a1; a 2 ;a 3 ), b = (b1;b 2 ;b 3 )

r
Ta có:1) ar + b
r r = (a1 + b1 ; a 2 + b 2 ;a 3 + b 3 ).
2) a − b = (a1 − b1 ; a 2 − b 2 ; a 3 − b 3 ).

r
3) ka = (ka1; ka 2 ; ka 3 ), k ∈ ¡
Hệ quả:
a = b1
r r  1
1) a = b ⇔ a 2 = b 2

a = b
3
 3

r r r
r
2) Víi b ≠ 0, a cïng ph­¬ng b ⇔∃k ∈ ¡
sao cho a1 = kb1 , a 2 = kb 2 , a 3 = kb 3.

3)Cho A(x A ; y A ;z A ), B(x B ; y B ;z B )
uuur
∗ AB = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ).
∗ To¹ ®é trung ®iÓm M cña AB:
x + xB y A + y B z A +z B
M( A
;
;
).
2
2
2


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu hỏi thảo luận

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz

Cho A(1; 2; −3), B( −1;3; −4),C(5;0; −1).
uuur uuur r
uuur 1 uuur
Nhóm 1, 2: a) Tìm toạ độ của các véc tơ: AB, AC, v = 3AB − AC.
2
Nhóm 3, 4: b)Xác định toạ độ trung điểm của đoạn thẳng BC
CMR :Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
uuur
uuur
Đáp án: a) AB = ( −2;1; −1), AC = (4; −2; 2)
uuur
r uuur 1 uuur
1 uuur
3AB = ( −6;3; −3), AC = (2; −1;1), v = 3AB − AC = ( −8; 4; −4).
2
2
3 5
b) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng BC là: M(2; ; − )
uuur uuur
uuur
uuur 2 2
Hai véc tơ AB, AC cùng phương vì AC = −2.AB

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Công việc về nhà:

Ôn tập lý thuyết
Làm bài tập 1, 2, 3 SGK trang 68
Nghiên cứu phần III, IV SGK.


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ trục tọa độ như ta đã học còn được gọi là hệ trục tọa độ Đêcac
vuông góc, đó là tên của nhà toán học phát minh ra nó.
Một vài nét về nhà toán học Đêcac
Đêcac (Descartes) sinh ngày 31/03/1596 tại
Pháp và mất ngày 11/02/1650 tại Thuỵ Điển.
Đêcac đã có rất nhiều đóng góp cho toán học.
Ông đã sáng lập ra môn hình học giải tích .Cơ sở
của môn này là phương pháp toạ độ do ông phát
minh .Nó cho phép nghiên cứu hình học bằng
ngôn ngữ và phương pháp của đại số.
Các phương pháp toán học của ông đã có ảnh hưởng
sâu sắc đến sự phát triển của toán học và cơ học sau
này.


1

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Một vài nét về nhà toán học Đêcac
17 năm sau ngày mất ,ông được đưa về Pháp và

chôn cất tại nhà thờ mà sau này trở thành điện
Păngtêông(Panthéon), nơi yên nghỉ của các danh
nhân nước Pháp.
Tên của Đêcác được đặt tên cho một miệng núi
lửa trên phần trông thấy của mặt trăng.


XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN CÁC
THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINH

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN CÁC THẦY (CÔ) VÀ CÁC EM
HỌC SINH

Xin chào và hẹn gặp lại !