Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

Thế nào là hệ trục toạ độ trong mặt phẳng ?

r ur
: Hệ trục toạ độ (O; i, j ) hay Oxy gồm hai trục

y

toạ độ Ox, Oy vuông góc nhau

Trong đó: O là gốc
Ox là rtrục hoành,
Oy là trục tung
r
Các véc tơ
Ox và Oy và

i, vµ j

là các véc tơ đơn vị trên trục

r2
ìï r 2
ïï i = j = 1
í u
ïï r r
ïî i . j = 0

r
j
O

r
i

x


Nội dung chương gồm
1. Hệ toạ độ trong không gian
2. Phương trình mặt phẳng
3. Phương trình đường thẳng


Tiết 27


Một số hình ảnh hệ tọa độ trong không gian

z

O

y

x
Vịnh hạ long (di sản thiên nhiên thế giới)


z

y

O

x


z

1.Hệ trục toạ độ trong không gian

Cho 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với

nhau. Gọi i , j , k là các vectơ đơn vị tương
ứng trên các trục Ox, Oy, Oz.
Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz
đôi một vuông góc được gọi là hệ trục
toạ độ vuông góc trong không gian
Các thuật ngữ và ký hiệu:

k

O

rri r
*) HÖ to¹ ®é trong gian kÝ hiÖu lµ: Oxyz, hoÆc (O;i, j , k )
*) Trục Ox gọi là trục hoành.
x
Trục Oy gọi là trục tung.

j

y

Trục Oz gọi là trục cao.
Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ.
*) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy); (Oyz); (Oxz)
*) Khi không gian đã có hệ trục toạ độ Oxyz thì nó được gọi là không
gian hệ toạ độ Oxyz hay đơn giản là không gian Oxyz

Chú ý:

i

. j

=

2
i =

j

j

. k =

2

=

k

k . i

2

= 0

=
1


Hđ 1

Cho hình lập phương (hình 1) và hình hộp chữ nhật (hình 2) .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có được không?
z

z

A’

B’
D’

D’

C’

C’

A O

y

A’

D
B

x
C

D

B’

B
O
A

C
Hình 1

x
Hình 2

y

y

A2

r
j

r
Trong hệ trục toạ độ Oxy mọi u
r ur
đều biểu diễn theo các vectơ i, j

r
u

r
O i

A1

x

r uuur uuuur
r
r
u = OA1 + OA2 = xi + y j

r
Định nghĩa toạ độ của u =(x;y)

Nờu nh ngha to ca
vect trong mt phng?


z

2. Tor
vect
uuur uuuur uuuur

A3

Tacó u = OA = OA ' + A ' A
uuuur
uuuur gian
uuuur hệ
Trong
không
= OA1 + OA
r
2 + OA3
r r r
cho=véctơ
hãy biểu
xi + y j +u zk

trục toạ độ Oxyz
r
diển véc tơ u theo
r ur r

( x = OA
= OA2 ,đơn
z = OA
các1 , yvéctơ
vị3 vi,à bộ
j , kba?số (x;y;z) là

duy nhất)
r
r
r
Định nghĩa: Bộ ba số (x; y; z) sao cho u = xi + y j + zk
r
goị là toạ độ của véc tơ u đối với hệ trục Oxyz
r
r
Kí hiệu: u = ( x; y; z) hoặc u ( x; y; z)
x
r
r
r r r
Vậy: u = ( x; y; z) u( x; y; z) u = xi + y j + zk

T ú ta cú:
1)

i

r
u

A

k

O

j

A2
y

A1

i

A
r

Tỡm
ơ ca
Choto
vect
u ( x ; y; z )
vộctrn
r r v
r ?r ur

tính u .i; u . j ; u.k ?

= ( 1; 0 ; 0) ;

j

= ( 0; 1 ; 0) ;

k = (0; 0; 1)

r
urr
rr
rr
2) Nếu u = ( x; y; z)đối với hệ trục Oxyz thì x =u. i ; y = u. j ; z = u.k


Hđ 2

:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
có
uuuur uuuu
r cạnh bằng a. Chọn hệ tọa

độ như hình vẽ. Tìm tọa độ các véctơ sau.
AC ', DB '

z
A’

D’

B’

C’

A
D
B
x

C

y


z

Vớ d
Trong không gian hệ trục Oxyz cho
r uur r uur
các điểm I, J, K sao cho i = OI, j = OJ ,
r uuuur
k = OK , M là trung điểm của IJ,G là trọng
tâm tam giác IJK
uuuur
a)X ác định toạ độ của vectơ OM
uuuur
b)X ác định toạ độ của vectơ MG

ỏp ỏn:
uuuur 1 uur uuur 1 r r

a) Tacó: OM = (OI + OJ ) = (i + j )
2
2

K

.G
O

J
M

uuuur 1 1
1r 1 r r
I
= i + j + 0 k OM ( ; ;0)
2 2 uuuur uuur uuuur 2 2
x
r uuur
r
1 uur uuu
1 uur uuu
b) Tacó:MG = OG OM = (OI +OJ +OK ) ( OI +OJ )
2
r 1 uuur3
r
r
r
1 uur 1 uuu
= OI OJ + OK = 1 i 1 j + 1 k

6
6
3
6 6
3
uuuur

1 1 1
MG = ( ; ; )
6 6 3

y


Ta có thể
ur suy ra kết
r luận tương tự đối với hệ Oxyz
ur
Trong mÆt ph¼ng Oxy cho u = (x1 ; y1 ), v = ( x 2 ; y2 ), Trong mÆt ph¼ng Oxyz cho u
= (x1 ; y 1 ; z 1 ),
r
kÎ R
v = ( x 2 ; y2 ; z2 ), k Î R
Ta cã:
Ta cã
ìï x1 = x2
ïï
ur r
1) u = v Û ïí y1 = y2
ïï

ur r
ïìï x1 = x2
ïïî z1 = y2
1) u = v Û í
ur r
ïïî y1 = y2
2) u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )
ur r
ur r
2) u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 )
3) u - v = ( x1 - x2 ; y1 - y2 ; z1 - z2 )
ur r
ur
3) u - v = ( x1 - x2 ; y1 - y2 )
ur
4) k u = ( kx1 ; ky1 ; kz1 )
4) k u = (kx1 ; ky1 )
ur r
ur r
5) u .v = x1 x 2 + y1 y2 + z1 z2
5) u .v = x1 x2 + y1 y2
r
r
6)
u
= x12 + y12 + z12
6) u = x12 + y12
ur r
7) cos ( u , v) =

ur r
7) cos( u , v) =

x1 x2 + y1 y2
2
1

2
1

2
2

2
2

x +y . x +y
ur r r r
(víi u ¹ 0, v ¹ 0)

ur r
ur r
8) u ^ v Û u .v = 0 Û x1 x2 + y1 y2 = 0

x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z2 2
ur r r r
(víi u ¹ 0, v ¹ 0)

ur r
ur r
8) u ^ v Û u .v = 0 Û x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0


3. Tính chất

ur
Trong mÆt ph¼ng Oxyz cho u = (x1 ; y1 ; z1 ),
r
v = ( x2 ; y2 ; z2 ), k Î R
Ta cã:
ur
r
1) u = v
2)
3)
4)
5)
6)

ïìï x1 = x2
ï
Û ïí y1 = y2
ïï
ïïî z1 = y2

ur r
u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )
ur r

u - v = ( x1 - x 2 ; y1 - y2 ; z1 - z2 )
ur
k u = ( kx1 ; ky1 ; kz1 )
ur r
u .v = x1 x 2 + y1 y2 + z1 z2
r
u = x12 + y12 + z12

ur r
7) cos ( u , v) =

x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z2 2
ur
r r
r
( víi u ¹ 0, v ¹ 0)
ur
r
ur r
8) u ^ v Û u .v = 0 Û x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0


4) Các ví dụ củng cố
Bài 1:Cho biết toạ độ của mỗi véc tơ sau:

r r r
a) u = 5i + 3 j − 4 k
r r

b) u = 5i − 7k
r r
c) u = j − 4 k
Bài 2

Kết quả

r
a) u = (5;3; − 4)
r
b) u = (5;0; −7)
r
c) u = (0;1; − 4)

r
r
r r
r
Cho c¸c vect¬ u = (3; −2;1), v = (9;0; −7). To¹ ®é cñavect¬ a =2u − 3v
lµ kÕt qu¶ nµo d­íi ®©y?
r
r
A) a = (−3;3; 2)
B ) a = (−3;3; 5)
r
r
C) a = (−21; −4;23)
D) a = ( −21; −4;2)

5. Củng cố bài học

Nội dung tiết học hôm nay các em cần nhớ:
1) Khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian, toạ
độ của vectơ trong không gian
2) Biểu thức toạ độ của phép toán véc tơ trong không gian
3) Về nhà ôn lại lý thuyết và làm bài tập 29 dến 33 SGK trang 80; 81
4) Đọc trước nội dung tiết học tiếp theo


Kính chúc quý thầy cô và các em
mạnh khỏe

04/10/16