Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến


Trần Trọng Tiến

Đình Lập

I. Toạ độ của điểm và của véctơ
1. Hệ toạ độ
Trong không gian, cho ba trục x’Ox,
y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một.
Gọi i , j , k lần lượt là các véctơ đơn vị
trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz.

z

−>

k

−>

j
Hệ gồm ba trục như vậy được gọi là hệ
i
trục toạ độ Đề – Các vuông góc Oxyz
y
O
trong không gian, hay đơn giản hơn gọi là x
hệ toạ độ Oxyz.

Vì i , j , k đôi một vuông
Điểm O được gọi là gốc toạ độ.
góc nên:
−>

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi
một vuông góc với nhau được gọi là các
mặt phẳng toạ độ.
Không gian toạ độ Oxyz còn gọi là không
gian Oxyz.

−> −>

−> −>

−> −>

i . j = 0, j . k = 0, k . i = 0
−>

−>

−>

i = 1, j = 1, k = 1


Trần Trọng Tiến

Đình Lập

I. Toạ độ của điểm và của véctơ
1. Hệ toạ độ
z
Hoạt động 1. Trong không gian Oxyz cho
M3
điểm M. Hãy phân tích véctơ OM theo ba
M’’’
vectơ không đồng phẳng i , j , k đã cho
−>
trên các trục Ox, Oy, Oz.
k −>
−>
Giải
j
i
O
Dựng hình hộp OM1M’M2.M3M’’’MM’’ x
M
1

Khi đó OM1 , OM2, OM3 cùng phương
với các
vectơ− −−i >, j , k
. Khi đó ta có
− −−>
− −−>
OM = OM'+ OM 3
− −−>

− −−>

− −−>

= OM 1 + OM 2 + OM 3
−>

−>

−>

= x i + y j+ zk

M’’
M

M’

M2
y


Trần Trọng Tiến

Đình Lập

I. Toạ độ của điểm và của véctơ
2. Toạ độ của điểm
z
Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ

M3
ý. Vì ba vectơ i , j , k không đồng phẳng
M2
M’’’
nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao
M
−>
cho
− −−>
−>
−>
−>
k −>
−
>
OM = x i + y j + z k
j
M’’
i
y
O
Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có x
M1
M’
duy nhất một điểm M trong không
Từ định nghĩa ta suy ra toạ độ
gian thoả mãn hệ thức
hình chiếu của điểm M trên
− −−>
−>

−>
−>
các trục Ox, Oy, Oz và các mặt
OM = x i + y j + z k
phẳng toạ độ (0xy). (0yz), (0xz)
Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là toạ độ của
điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho và là các điểm M1(x; 0; 0), M2(0;
viết:
y; 0), M3(0; 0; z), M’(x;y;0) ,
M’’(0; y; z), M”’(x; 0; z).
M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).


Trần Trọng Tiến

Đình Lập

I. Toạ độ của điểm và của véctơ
2. Toạ độ của một điểm
− −−>

−>

−>

−>

OM = x i + y j + z k  M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).
3. Toạ độ của vectơ
Trong không gian Oxyz cho a . Khi đó

tồn tại duy nhất một bộ ba số (a1; a2; a3)
−>

−>

−>

−>

a = a1 i + a 2 j + a 3 k

Ta gọi bộ ba số (a1; a2; a3) đó là toạ độ
của vec tơ a đối với hệ toạ độ Oxyz cho
trước và viết a = (a1; a2; a3) hoặc
a(a1;a2;a3).
x
Nhận xét. Trong toạ độ Oxyz, toạ độ
điểm M chính là toạ độ của vec tơ OM.
Ta có M=(x; y; z)  OM = (x; y; z)

z

−>

a

M3

M’’’

M2
−>

a

−>
−>

k

i

M1

O

M

−>

j

M’

M’’
y


Trần Trọng Tiến

Đình Lập

I. Toạ độ của điểm và của véctơ
2. Toạ độ của một điểm
− −−>

−>

−>

−>

OM = x i + y j + z k  M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).
3.− >Toạ độ
của vectơ.
−>
−>
−>
−>
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )
z
Hoạt động 2. Trong toạ độ Oxyz, cho hình
hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A
trùng với gốc O, có AB, AD, AA’ theo thứ
tự cùng hướng với i , j , k có AB=a, AD =
b, AA’ = c. Hãy tính toạ độ các véctơ AB ,
AC, AC’ và AM với M là trung điểm cạnh
C’D’.

Giải

AB = a i ⇔ AB = (a; 0; 0)

− −−>

−>

− −−>

− −−>

− −−>

−>

− −−>

− −−>

− −−>

− −−>

M D’
C’

B’
c
x

− −−>

−>

A’

a
B

b
A
C

D
y

− −−>

AC = AB + AD = a i + b j ⇔ AC = (a; b; 0)
−>

−>

−>

− −−>

AC' = AB + AD+ AA' = a i + b j + c k ⇔ AC' = (a; b; c)
− −−>
−>
−>

−>
−>
− −−>
1 − −−> − −−>
1 −>
1
AM = ( AC'+ AD') = (a i + b j + c k + b j + c k ) ⇔ AM = ( a; 2b; 2c )
2
2
2


Trần Trọng Tiến

Đình Lập

I.−Toạ
độ
của
điểm
và
của
véctơ
−−>
−>
−>
−>

−>

−>
−>
 −>

k . a = k  a1 i + a 2 j + a 3 k 
 −>
− >
−>
= ka1 i + ka 2 j + ka 3 k

OM
= −x> i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z)
−>
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )

−>

II. BTTĐ của các phép toán vectơ.

⇔ k a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 )

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
−>

−>

a = (a1 ; a 2 ; a 3 ), b = (b 1 ; b 2 ; b 3 )
−>

−>

a ) a ± b = (a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ; a 3 ± b 3 )
−>

b ) k a = (ka1 ; ka 2 ; ka 3 ), k ∈ R
Chứng minh
−>

−>

−>

−>

a = a1 i + a 2 j + a 3 k
−>

−>

−>

−>

b = b1 i + b 2 j + b 3 k

−>

−>

−>

−>

−>

−>

−>

a ± b = (a 1 ± b 1 ) i + (a 2 ± b 2 ) j + (a 3 ± b 3 ) k

⇔ a ± b = (a 1 ± b 1 ; a 2 ± b 2 ; a 3 ± b 3 )


Trần Trọng Tiến

Đình Lập

I.−Toạ
độ
của
điểm
và
của
véctơ
−−>
−>
−>
−>

Ví dụ 1. Cho A(1; 3; 2), B(3;-2;1)

và C(4;-1;3). Tìm toạ độ điểm D
sao cho ABCD là hình bình hành.
Giải
II. BTTĐ của các phép toán vectơ. Do ABCD là hình bình hành khi
đó ta có:
B
C
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
OM
= −x> i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z)
−>
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )

−>

−>

a = (a1 ; a 2 ; a 3 ), b = (b 1 ; b 2 ; b 3 )

− −−>

− −−>

CD = BA

D
A
a 1 = b 1

x D − xC = x A − x B
−>
−>
−>

a ) a = b = a 2 = b 2 ; b ) 0 = ( 0; 0; 0) ⇔  y − y = y − y
 D
C
A
B
a = b
z − z = z − z
 3
3
 D
C
A
B
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi
x D = x A − x B + xC = 1 − 3 + 4 = 2
a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3
− −−>

⇔
y D − y C = y A − y B + y C = 3 + 2 − 1 = 4
d ) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A )
z − z = z − z + z = 2 − 1 + 3 = 4
 D C A B C
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
 x A + xB y A + y B z A + z B 

Vậy D = (2; 4; 4)
M=
;
;

2
2
2 



Trần Trọng Tiến

I.−Toạ
độ
của
điểm
và
của
véctơ
−−>
−>
−>
−>
OM
= −x> i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z)
−>
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )

Đình Lập

Ví dụ 2.

Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) và
C(7/4; 0; 5/4). Chứng minh A, B, C
thẳng hàng.
Giải
II. BTTĐ của các phép toán vectơ.
− −−>
7
2 

AB =  0 − 1; − 1; − 1 
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
3
3 

−>
−>
a = (a1 ; a 2 ; a 3 ), b = (b 1 ; b 2 ; b 3 )
4
1

=  − 1; ; − 
3
3

a 1 = b 1
−>
−>

−>

− −−>
a ) a = b = a 2 = b 2 ; b ) 0 = ( 0; 0; 0)
5 
7
AC
=
−
1
;
0
−
1
;
− 1

a = b
4 
4
 3
3
1
3
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi
=  ; −1; 
a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3
4
4
− −−>

− −−>
4 − −−>
d ) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A )
⇒ AB = − AC
3
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
=> AB , AC cùng phương hay A,
 x A + xB y A + y B z A + z B 
M=
;
;

B, C thẳng hàng.
2
2
2 



Trần Trọng Tiến

Đình Lập

I.−Toạ
độ
của
điểm
và
của
véctơ

Ví
dụ
3.
Cho A(1; 3; 2), M(3;−−>
−>
−>
−>
OM
= −x> i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z)
−>
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ⇔ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 )

2;1) . Tìm toạ độ điểm B sao cho A,
B đối xứng nhau qua điểm M.

II. BTTĐ của các phép toán vectơ.
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
−>

−>

a = (a1 ; a 2 ; a 3 ), b = (b 1 ; b 2 ; b 3 )

Giải
Do A và B đối xứng nhau qua M
nên M là trung điểm AB, nên ta
có

a 1 = b 1
−>

 x A + xB y A + y B z A + z B 

;
;

a ) a = b = a 2 = b 2 ; b ) 0 = ( 0; 0; 0) M = 
2
2
2 

a = b
 3
3
 x B = 2x M − x A = 2.3 − 1 = 5
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi

⇔  y B = 2y M − y A = 2.( −2) − 3 = −7
a1=kb1 , a2 = kb2 , a3 = ka3
− −−>
 z = 2z − z = 2.1 − 2 = 0
 B
d ) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A )
M
A
−>

−>

e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
 x A + xB y A + y B z A + z B 

M=
;
;

2
2
2 


Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0)


CỦNG CỐ
Qua bài học học sinh cần nắm được
1. Hệ toạ độ trong không gian.
2. Toạ độ của vectơ.
3. Toạ độ của điểm, toạ độ hình chiếu của một điểm
trên các trục toạ độ và các mặt phẳng toạ độ.
4. Các phép toán về vectơ.
5. Điều kiện ba điểm thẳng hàng, phương pháp tìm toạ
độ của một điểm qua phép đối xứng tâm.