Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Bài 1 :

HỆ TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Click


I. Tọa độ của điểm và của vectơ
1) Hệ tọa độ :
z

Trong không gian cho 3 trục x’Ox ; y’Oy
r ;rz’Oz.
r
vuông góc với nhau từng đôi một . Gọi i ; j ; k
là các véc tơ đơn vị trên các trục đã cho
Hệ trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề
các vuông góc Oxyz trong không gian
Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz
Điểm O gọi là gốc tọa độ

x’

O
y’

Các mặt phẳng (Oxy) ; (Oyz) ; (Ozx) ;
Đôi một vuông góc được gọi là các mặt
x

phẳng tọa độ
Không gian với hệ trục Oxyz còn được gọi
là không gian Oxyz
r r r
Vì i ; j ; k là các véc tơ đơn vị và đôi một vuông góc nên
r 2 r2 r2
r r r r rr
i = j = k = 1 và
i . j = k . j = k .i = 0

r
k
r
j

r
i

y

z’

Click


Trong không gian Oxyz , cho một điểm M . Hãy phân tích véc tơ
r r r
không đồng phẳng i ; j ; k đã cho trên các trục Ox ; Oy : Oz

2. Tọa độ của một điểm :

z

theo 3 véc tơ

z

M (x ; y ; z )

Trongr không
r r gian Oxyz , cho 1 điểm M tùy ý .
Vì i ; j ; k không đồng phẳng nên có 1 bộ
ba số ( x ; y ; z) duy nhất sao cho
uuuu
r
r
r
OM = x.i + y. j + z.k

r O
i

Ngược lại với bộ ba số ( x ; y ; z) ta có một
điểm M duy nhất trong không gian thỏa :
uuuu
r
r
r
OM = x.i + y. j + z.k

uuuu
r
OM

r
k
r
j

y

y

x

x

Ta gọi bộ 3 số ( x ; y ; z) đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho và viết :
M = ( x ; y ; z)

hay M(x ; y ; z)

3. Tọa độ của một véctơ :

r
Trong không gian Oxyz , cho 1 vectơ a Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1;a2;a3)
r
r
r
r

sao cho : a = a1.i + a2 . j + a3 .k Vậy : tọa độ của véctơ a = ( a1 ; a2 ; a3 )
uuuu
r
Click
Do đó M(x ; y ;z) ⇔ OM = ( x; y; z )


Ví dụ minh họa : Trong không
Oxyz
,u
cho
uuu
rgianuu
ur u
ur hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
r r r có
điểm A trùng với gốc O , có AB ; AD ; AA ' theo thứ tự cùnguu
hướng
với
u
r uuu
r uiu;uu
rj ; kuuuu
r
và có AB = a ; AD = b ; AA’ = c . Hãy tính tọa độ các véc tơ : AB ; AC ; AC ' ; AM
trong đó M là trung điểm của C’D’ .
uuu
r
AB = ( a; 0; 0)
uuur

AC = (a; b ; 0)
uuuu
r
AC ' = ( a; b ; c )
uuuu
r
AM = (?; ?;?)

z

A’
B’

uuuu
r
a
AM = ( ; b ; c)
2

c

Or= A
i
B

a

M

D’

C’

r
k
r
j

Dy

b

C
x

Thầy trò cùng đi tìm ….?

Click


II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Định lí :

r
r
Trong không gian cho 2 vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 )
r
r
a ) a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 )
r

r
b) a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 )
r
c) k .a = k ( a1 ; a2 ; a3 ) = ( ka1 ; ka2 ; ka3 )

Trong đó k là một số thực

Chứng minh :

r
r
r
r
r
r
r
r
b = b1 i + b2 j + b3 k
Theo giả thiết : a = a1 i + a2 j + a3 k
r r
r
r
r
⇒ a + b = ( a1 + b1 ) i + ( a2 + b2 ) j + ( a3 + b3 ) k
r r
Vậy : a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 )

Chứng minh tương tự cho b) và c)

Click

Hệ quả :
a) Cho 2 vectơ

r
r
a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 )

Ta có :

a1 = b1
r r

a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3

r
b) Vectơ 0 = ( 0;0;0 )
r r
r r
c) Vectơ b ≠ 0 thì hai vectơ a & b cùng phương khi và chỉ khi có số k
sao cho : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 .

d) Trong không gian Oxyz , nếu cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB)
uuu
r uuu
r uuu
r

Thì :
∗ AB = OB − OA = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
∗ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là :
 x + x y + yB z A + z B 
M A B; A
;
÷
2
2 
 2

Bài tập thêm :
Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(xA ; yA ; zA) ; B(xB ; yB ; zB) ; C(xC ; yC ;zC)
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là :
 x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC 
G A B C ; A
;
÷
3
3
3



Click


III. Tích vô hướng .
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng .
Định lí : Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của 2 vectơ

r
r
a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; b2 ; b3 ) được xác định bởi :
r r
a. b = a1b1 + a 2b 2 + a 3b 3

Chứng minh :

Áp dụng :

r r
r
r
r
r
r
r
a b = a1 i + a2 j + a3 k b1 i + b2 j + b3 k
r2
= a1b1 i + ... +???
r 2 r2 r2
r r r r rr
i = j = k = 1 và
i . j = k . j = k .i = 0 Có đpcm

(

2. Ứng dụng .
a) Độ dài của một vectơ

)(

r
a = ( a2 ; a2 ; a3 )

)

r
⇒ a =

a12 + a 22 + a 23

b) Khoảng cách giữa 2 điểm :

Cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB)
uuu
r
2
2
2
AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A )

Click


r
r
c) Góc giữa 2 vectơ : Cho 2 vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) & b = ( b1 ; br2 ;rb3 )
ab

cos ϕ = r r
và góc ϕ giữa 2 vectơ
a.b
là :
r r
a1b1 + a 2b 2 + a 3b 3
Ta có : cosϕ = cos a;b =
a12 + a 22 + a 32 . b12 + b 22 + b 32
r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3
Qua đó suy ra

(

)

Bài tập cùng làm tại lớp :
r
r
r
Vơi hệ Oxyz cho a = ( 3;0;1) ; b = ( 1; −1; −2 ) ; c = ( 2;1; −1)
r r r
r r
Hãy tính :
a. b + c & a + b
r r
r r r
a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 )
a b + c = 3.3 + 0.0 + 1. ( −3) = 6
r r

rr
b + c = ( 3;0; −3)
ab = a1b1 + a2b2 + a3b3
r r
r
2
2
2
4
+
−
1
+
−
1
=
18
(
)
(
)
a+b =
a = a12 + a22 + a32
r r
b + a = ( 4; −1; −1)

(

(
(

(

)

)

)

)

Click


IV. Phương trình mặt cầu .
Định lí : Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (a ; b ; c) ,
bán kính r có phương trình :
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

Chứng minh :
Giả sử điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r
uuur
Nên có M ∈(S) ⇔ IM = r

( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r
2
2
2
⇔ ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2
2

⇔

2

M(x ; y ; z)
r

2

I(a ; b ; c)

Bài tập cùng làm tại lớp :
Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) có bán kính r = 5
⇒ ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 52
2

Chú ý :

2

2

Phương trình mặt cầu có thể viết :

(S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 trong đó d = a2 + b2 + c2 – r2
Cũng chứng minh được pt mặt cầu : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0
Trong đó
r2 = A2 + B2 + C2 - D > 0 ; tâm I(-A;-B;-C)

Click


Ví dụ :
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :
x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0

Giải :
Ta có :

(S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
−2a = 4

−2b = −2
−2c = 6


d = a2 + b2 + c2 – r2

 a = −2

⇔ b = 1
Vậy tâm
 c = −3


I ( -2 ; 1 ; -3)

Nên r2 = (-2)2 +12 +(-3)2 – 5 = 9 ⇒ r = 3

Bài tập trắc nghiệm :

r
r
r
I - Trong kg Oxyz cho 3 véc tơ : a = ( −1;1;0 ) ; b = ( 1;1; 0 ) ; c = ( 1;1;1)
Hãy trả lời các câu hỏi sau :

1. Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ?
r
a
A: = 2

r
c
B: = 3

r r
C : a⊥b

r r
D : b⊥c

Click


2) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

rr
AA

a.c = 1
rr
2
CC cos b.c =
6

( )

r r
BB a & c cung phuong
r r r r
DD a + b + c = 0

uuu
r r uuu
r r
3) Cho hình bình hành OADB có OA = a ; OB = b

(O là gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là :

A

(0 ; 1 ; 0)

C

(1 ; 0 ; 1)

B

D

(1 ; 0 ; 0)

(1 ; 1 ; 0)

Click


II - Trong kg Oxyz cho 4 điểm : A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) và D(1;1;1)
1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Tọa độ điểm G là trung điểm
của MN là :
A

1 1 1
G ; ; ÷
3 3 3

C

2 2 2
G ; ; ÷
3 3 3

B

1 1 1
G ; ; ÷
4 4 4

D

1 1 1
G ; ; ÷
2 2 2

2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là :

A

2

C

3

B

3
4

D

3
2

Click


V. Bài tập :

Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 trang 68 sgk hh12 - 2008