Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

CHƯƠNG II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. Hệ toạ độ trong không gian
I. Toạ độ của điểm và của vectơ.
II. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.
III. Tích vô hướng.
IV. Phương trình mặt cầu.


Tiết 25

z

I - TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VÉC TƠ
1. HỆ

TOẠ ĐỘ

Hệ 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt chứa các véc tơ
đơn vị
i , j , k

r
k

O
r
i

và vuông góc với nhau từng đôi một gọi là

hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz
trong không gian, hay hệ toạ độ Oxyz.
( Hình vẽ)
* O-gọi là gốc toạ độ.

r
j

y

x

* Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz)(Oxz) đôi một vuông góc, được gọi là mặt mẳng toạ độ
* Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz*

Chú ý:

i

. j

=
2

i =

j

j

. k =

2

=k

k . i

2

= 0

=1


z

2.Toạ độ của một điểm
Trong không gian Oxyz cho điểm M bất kỳ .

M

Khi đó tồn tai duy nhất bộ số (x;y;z) thoả mãn
uuuu
r
r
r
r
OM = x.i + y. j + z.k
Ta gọi bộ ba số đó là toạ độ của điểm M.

Kí hiệu M(x;y;z) hay M=(x;y;z)

k

O

j

y
i

x

* Toạ độ điểm O ?

Vì

uuur
r
r
r
OO = 0.i + 0. j + 0.k

Nên O=(0;0;0)


r
Trong kh«ng gian Oxyz cho vÐct¬ u

3.Toạ độ của véc tơ

Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a;b;c) sao cho :
r
r
u
r
r
u = a.i + b. j + c.k
Ta gọi bộ số (a;b;c) là toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ Oxyz .
Kí hiệu r
u = ( a; b; c )

Hay

r
u ( a; b; c )

Nhận xét :Trong hệ toạ độ Oxyz toạ độ của điểm M là toạ độ
uuuu
r r
r
r
uuuu
r
của

OM

M = ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk

Ví dụ 1: Tìm toạ độ các véc tơ sau trong không gian Oxyz biết
r r r r
r
r
r
⇔ a = ( 7; −3;4 ) i = ? i = ( 1; 0; 0 )
a = 7i − 3 j + 4k
r
r
r
r
r r r
j =?
j = ( 0;1; 0 )
⇔ b = ( 2;5;1)
b = 2i + 5 j + k
r
r
r
r
r
r
c = ( 0; −8;5 ) k = ? k = ( 0;0;1)

c = 5k − 8 j

⇔

0 = ? 0 = (0;0;0).

II. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP

TOÁN
TƠ
1)
Định lýVÉC
:
Trong hệ trục Oxyz cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z 2 ),
a)

u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z 2 ),

b)

u − v = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z 2 ),

c)

k u = (kx1 ; ky1 ; kz1 )(k ∈ R ).

k∈R


2) Hệ quả
Trong hệ trục Oxyz cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z 2 ),k ∈ R
a)

 x1 = x2


u = v ⇔  y1 = y 2
z = z
2
 1

b) v ≠ 0; u , v cùng phương

⇔ ∃k ∈ R : x1 = kx2 ; y1 = ky2 ; z1 = kz2
hay

c) Nếu

x1 y1 z1
=
= ( x2 ; y 2 ; z 2 ≠ 0 )
x2 y2 z2

A = ( x A ; y A ; z A ) ; B = ( xB ; y B ; z B )
uuu
r uuu
r uuu
r
⇒ AB = OB − OA = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )

Toạ độ M là trung điểm của AB là:

 x A + xB y A + y B z A + z B 
M =
;
;

÷
2
2
2




Ví dụ 3 : Cho
Tìm toạ độ của

r
r
r
a = ( 2;1; −5 ) ; b = ( 1; −3;4 ) ; c = ( −3;0;1)

r
r
r
r
u = 2a − 5b + 7c

Giải
r
r
r
2a = ( 4;2; −10 ) ; −5b = ( −5;15; −20 ) ;7c = ( −21;0;7 )

Vậy

r
u = ( −22;17; −23)


Ví dụ 4
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A=(2;1;-3); B=(4;2;5);C=(5;1;7)
1) CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
2) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Giải
1) Ta có

uuu
r
uuur
AB = ( 2;1;8 ) ; AC = ( 3; −2;10 )
mà

2 1
8
≠
(≠ )
3 −2 10

uuuu
r uuur
⇒ AB; AC

không cùng phương

Suy ra A;B;C không thẳng hàng nên là 3 đỉnh của một tam

giác.


A

B

Giải
D

2) Ta gọi D=(x;y;z)

C

uuur
uuur
AD = ( x − 2; y − 1; z + 3) ; BC = ( 1; −3;2 )

Từ giả thiết ta có

⇔

uuur uuur
AD = BC
x-2=1
y-1=-3
z+3=2

hay

x=3
y=-2
z=-1

KL: Vậy toạ độ điểm D=(3;-2;-1)


Dặn dò
* Về nhà làm bài tập 1;2;3 trang 68 (SGK) và bài tập
sách bài tập.

* Ôn tập và đọc tiếp phần tiếp theo.