Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

Thầy – Trò lớp 12A1

Chào đón quý thầy cô đến dự


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.
2.
3.
4.

Hệ trục tọa độ trong không gian:
Tọa độ của vec tơ:
Tọa độ của điểm:
Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai
điểm mút:


Kiểm tra bài cũ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
1. Nêu định nghĩa tọa độ của vectơ.

r r r r
r
a = ( x; y; z ) ⇔ a = x.i + y. j + z.k

2. Nêu định nghĩa tọa độ của một điểm.
uuuur

r r r
M = ( x; y; z ) ⇔ OM = x.i + y. j + z.k

A ( xA ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , cho biết tọa độ
uuur
A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; zB ) ⇒ AB = ( xB − xA ; yB − yA ; zB − z A)
ur
uur
4. Cho u1 = ( x1 ; y1 ; z1 ) ; u2 = ( x2 ; y2 ; z2 ) , và k ∈ ¡ .
3. Với
uuurđiểm
của AB .

ur
ur uur
ku1 = ( kx?1;; k?y1 ; kz
? 1 ) ; u1.u2 = x?1 x2 + y1 y2 + z1 z2


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.
2.
3.
4.

Hệ trục tọa độ trong không gian:
Tọa độ của vec tơ:
Tọa độ của điểm:
Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ
của hai điểm mút:

5. Tích có hướng của hai vectơ:


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
5. Tích có hướng của hai vectơ:

Định nghĩa 2: Tích có hướng (hay tích vectơ) của

r
r
hai vectơ u = (a; b; c) và v = (a '; b '; c ') là một vec tơ ,

rr
 (hoặc u ∧ v ), được xác định bằng
u
,
v
kí hiệu là 


tọa độ như sau:
rr b c c a a b 
 u, v  = 
= bc '− b ' c; ca '− c ' a; ab '− a ' b )
  b' c' ; c' a' ; a' b' ÷ (



r
u = (a; b; c)

r
v = (a '; b '; c ')

b

c

b’

c’

= bc '− b ' c


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
5. Tích có hướng của hai vectơ:
Định nghĩa 2:
rr b c c a a b 
 u, v  = 
;
;
÷ = ( bc '− b ' c; ca '− c ' a; ab '− a ' b )
 
 b' c' c' a' a' b' 
r
r
Ví dụ 3: Cho u = ( 1;0; −1) ; v = ( 2; −1; −3) thì ta có:
r r  ?0 −?1 −?1 1? 1? 0? 
 u, v  = 

;
;
=
;
;
−
1
1
− ?1 )
(
?
?
÷
 
 −?1 −?3 −?3 2? 2? − 1? 
H .3

rr r
Đối với hệ tọa độ O; i; j; k , hãy chứng minh rằng:

(

rr r
i; j  = k , và từ đó tính:
 

)

rr r
i; j  .i

 


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
5. Tích có hướng của hai vectơ:
Định nghĩa 2:
rr b c c a a b 
 u, v  = 
;
;
÷ = ( bc '− b ' c; ca '− c ' a; ab '− a ' b )
 
 b' c' c' a' a' b' 
Tính chất của tích có hướng:
rr
1. Vectơ u , v  vuông góc với cả hai vectơ u và v , tức là:
rr r rr r
 u, v  .u =  u, v  .v = 0
rr
r r  r r  
2.  u, v  = u . v .sin u , v .
 
→

→

( )

r r
rr r

3.  u , v  = 0 Khi và chỉ khi hai vectơ u và v cùng phương.
 


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
5. Tích có hướng của hai vectơ:

Định nghĩa 2:
Tính chất của tích có hướng:
rr
1. Vectơ u , v  vuông góc với cả hai vectơ u và v .
rr
r r
rr
2.  u, v  = u . v .sin u , v .
 r r r
r r
3.  u , v  = 0 Khi và chỉ khi hai vectơ u và v cùng phương.
 
→

( )

rr
u , v 
 

r
v
r

u
A

O

B

→


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
rr
r r
r
r
5.

Tích có hướng của hai vectơ:
Định nghĩa 2:
Tính chất của tích có hướng:
Ứng dụng của tích có hướng:
a) Diện tích của hình bình hành:
Hình bình hành ABCD có diện tích:

1)
2)
3)

uuur uuur

S =  AB, AD 

b) Thể tích của khối hộp:
Thể tích của hình hộp ABCD.A’B’D’
uuur uuur uuur
là:
. AA '
V =
AB
,
AD



H .4

r r uur
Hãy chứng tỏ rằng ba vectơ u , v, w
r r uur
khi và chỉ khi u , v  .w = 0
 

u , v  ⊥ u; u , v  ⊥ v
 r r  r r
r r
u , v  = u . v .sin u, v .
 
rr r rr
u , v  = 0 ⇔ u , v
 

cùng phương
uuur uuur
 AB, AD 



( )

D’

C’

H

A’

B’

ϕ

A

D

C

B


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG

GIAN
rr
r r
r
r
5.

Tích có hướng của hai vectơ:
Định nghĩa 2:
Tính chất của tích có hướng:
Ứng dụng của tích có hướng:
a) Diện tích của hình bình hành:
uuur uuur

S=
AB
,
AD



1)
2)
3)

u , v  ⊥ u; u , v  ⊥ v
 r r  r r
r r
u , v  = u . v .sin u, v .
 

rr r rr
u , v  = 0 ⇔ u , v
 
cùng phương

( )

Ví dụ 4: A ( 0;1;1) , B ( − 1;0; 2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2;1; − 2 )

b) Thể tích của khối hộp: a. CMR 4 điểm đó không đồng phẳng.
uuur uuur uuur

V =
AB, AD . AA '

b. Tính độ dài đường cao của tam giác
ABC kẻ từ A và bán kính
Một số tính chất liên quan đến
đường tròn nội tiếp tam giác
tích vô hướng và tích có hướng
r
r
rr
đó.
u ⊥v ⇔u.v =0
r r
r r r c. Tính góc CBD và góc giữa
u , vcùng phương ⇔ u, v  = 0 hai đường thẳng AB, CD
d. Tính thể tích của tứ diện
r r uu

r
r r uur
u , v, wđồng phẳng ⇔  u, v  .w = 0 ABCD và độ dài đường cao
 
kẻ từ đỉnh D.


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

5. Tích có hướng của hai vectơ:
Ví dụ 4: A ( 0;1;1) , B ( − 1;0;2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2;1; −2 )
a) CMR 4 điểm đó không đồng phẳng.
b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A và bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác đó.
c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB, CD
d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D.
Lờiuuugiải:
uuur
uuur
r
a) Ta có: BA = ( 1;1; − 1) , BC = ( 0;1; − 2 ) , BD = ( 3;1; − 4 ) ,nên
uuur uuur  1
− 1 −1 1 1 1 
 BA, BC  = 
;
;
÷ = ( − 1;2;1)

 1
− 2 −2 0 0 1 


uuur uuur
Suy ra: BA, BC  = ( − 1) .3 + 2.1 + 1. ( − 4 ) = − 5 ≠ 0
uuur uuur uuur
Vậy ba vectơ BA, BC , BD không đồng phẳng, nên A,B,C,D

không đồng phẳng.


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

5. Tích có hướng của hai vectơ:
Ví dụ 4: A ( 0;1;1) , B ( − 1;0;2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2;1; −2 )
a) CMR 4 điểm đó không đồng phẳng.
b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A và bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác đó.
c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB, CD
d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D.
Lời giải:
1  uuur uuur 1
=  BA, BC  =
2
2

6
2
2S ABC
6
6
AH

=
=
=
Nếu gọi AH là đ.cao tam giác ABC thì
2
2
2
BC
5
0 + 1 + ( − 2)

b) Ta có: S ABC

( − 1) + 22 + 12 =
2

Nếu gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và
p là nửa chu vi tam giác đó thì S ABC = p.r .
Mà 2 p = AB + BC + CA = 3 + 5 + 2 , nên
S
6
r=

ABC

p

=

3 + 5+ 2

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

5. Tích có hướng của hai vectơ:
Ví dụ 4: A ( 0;1;1) , B ( − 1;0; 2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2;1; − 2 )
a) CMR 4 điểm đó không đồng phẳng.
b) Tính độ dài đường cao của tamuuu
giác
Arvà bán kính
r ABC kẻ từuuu
đường tròn nội tiếp tam giác đó. BC = ( 0;1; −2 ) , BD = ( 3;1; −4 )
c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB, CD
d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D.
Lời giải:
uuur uuur
uuur
uuur
c) Ta có: BC.BD = 0.3 + 1.1 + ( −2 ) . ( −4 ) , BC = 5, BD = 26 , nên
uuur uuur
uuu
9
uuur ·
uuurruuur
BC.BD
cos) , CD
BC , BD
= uuu
r2 ) uuur =
ABcos

= (CBD
−1; −=1;1
= ( 3;0;
−
130
BC . BD
Nếu gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD thì

(

)

uuur uuur
AB.CD
uuur uuur
5
cos α = cos AB, CD = uuur uuur =
39
AB . CD

(

)


§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

5. Tích có hướng của hai vectơ:
Ví dụ 4: A ( 0;1;1) , B ( − 1;0; 2 ) , C ( − 1;1;0 ) , D ( 2;1; − 2 )
d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D.

Lời giải:
d) Ta thấy, thể tích của tứ diện
1
ABCD bằng thể tích của khối hộp
6
D
có ba cạnh là Ba, BC, BD, nên:
VABCD

1  uuur uuur uuur 5
= .  BA, BC  .BD =
6
6

Nếu gọi DK là đường cao của tứ
diện kẻ từ D thì
5
3.
3VABCD
5
6
DK =
=
=
S ABC
6
6
2

C

B

A


TRONG TIẾT HỌC CẦN NẮM:
•Định nghĩa tích có hướng của hai vectơ.

rr b c c a a b 
u , v  = 
;
;
÷ = ( bc '− b ' c; ca '− c ' a; ab '− a ' b )
 
 b' c' c' a' a' b' 

•Các tính chất, ứng dụng của tích có hướng.

r r
rr
u ⊥ v ⇔ u.v = 0;

rr
u, v

rr
r
u , v  ⊥ u ,
 

rr
r
u , v  ⊥ v ;
 

rr r
cùng phương ⇔  u , v  = 0

r r uur
u , v, w đồng phẳng ⇔

rr
r r
rr
u , v  = u . v .sin u, v
 

r r uur
 u, v  .w = 0
 

uuur uuur
Diện tích hình bình hành ABCD là: S =  AB, AD 
uuur uuur uuur
Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V =  AB, AD  . AA '

HỌC Ở NHÀ
Xem lại bài học, các ví dụ và làm các
bài tập 9,10,11.

( )


Tiết học kết thúc.

Chúc quí thầy cô năm mới được
dồi dào sức khỏe và thành đạt!
Chúc các HS luôn tiến bộ.


Tiết học kết thúc.

Chúc quí thầy cô năm mới được
dồi dào sức khỏe và thành đạt!
Chúc các HS luôn tiến bộ.