Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển

A. Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển.
1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mp
a.
c⊥a
c⊥b




⇒ c ⊥ (α)
a ∩ b ≠ ∅ 
a, b ⊂ ( α ) 

c

b
a
α

( P1 ) ⊥ ( P ) 

b. ( p2 ) ⊥ ( P )  ⇒ a ⊥ ( P )

a = ( P1 ) ∩ ( P2 ) 

a
P1

P2

P

2. Phương Pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc
c ⊥ ( α ) 
⇒c⊥a
∀a ⊂ ( α ) 
3. Cho O ∉ (α ) , OH ⊥ (α ) , (H ∈ (α )) , A;B ∈ (α ) .Đoạn OH là đoạn vuông góc
cũng là đoạn ngắn nhất , OA;OB là các đường xiên, HA;HB là các hình chiếu
của các đường xiên.

O

A

OA = OB ⇔ HA = HB
OA > OB ⇔ HA > HB

B

H

α
4. Phương pháp chứng minh mp vng góc với mp
1


a
P1

P

a ⊥ ( P ) 
 ⇒ ( P ) ⊥ ( P1 )
a ⊂ ( P1 ) 

5.

α

(α ) ⊥ (β ) 
c = (α ) ∩ (β )
 ⇒ a ⊥ (β )
a ⊂ (α )


a



a⊥c

β

c

6. Góc của ñường thẳng và mp
Góc giữa ñường thẳng a và mp ( α ) là góc của a và hình chiếu a′ của a trên .
Kí hiệu ( a, ( α ) )
Khi ( a, ( α ) ) = 00 thì a ( α ) hay a ⊂ ( α ) .
Khi a ⊥ ( α ) th× ( a, ( α ) ) =

π
2

00 ≤

Chú ý:

(a , ( α )) ≤

π
2

O
a

α

H

a

7. Góc của hai mặt phẳng
Tìm giao tuyến c của hai mp .
Dựng ñoạn thẳng AB có hai ñầu mút ở trên hai mặt và vuông góc với
một mặt .
A
Tìm hình chiếu vuông góc H của A hay B trên c.
AHB là góc phẳng của hai mp .
c
β

π
H
B
00 ≤
α , β
≤

(( ) ( ))

2

α
2


Chú ý
Nếu đã có sẳn đường thẳng d cắt hai mặt tại A , B và vng góc với giao
tuyến c , khi đó ta tìm hình chiếu vng góc của A (hay B hay 1 điểm
nào đó trên AB) trên c thành H .Khi đó AHB là góc của hai mp .
A
c

β

B. Một số hình thường gặp
1. Hình Chóp

H

B

α
S

S
D

A
C

D

C

B

B
2. Hình Chóp đều
S

S

d

A

B

B

A
O

I

I

O
D

C

C

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau hay
hình chóp đều là chóp có đáy là đa giác đều và tâm của đáy trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Sxq bằng tổng diện các mặt bên.
1
Sxq = pd với p là chu vi đáy,d là độ dài trung đoạn ( hình chóp đều ).
2
1
V = Bh với B là diện tích đáy,h là chiều cao của hình chóp.
3

3. Hình lăng trụ.

Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là

3

hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.Hình lăng
trụ ABCD . A′B ′C ′D ′
ABCD , A′B ′C ′D ′ là hai đáy.
ABB ′A′, BCC ′B ′ : là các mặt bên.
AA′, BB ′......
là các cạnh bên.
ACC ′A′, BDD ′B ′ là các mặt chéo.
Trong hình lăng trụ:
Các cạnh bên song song và bằng nhau .
Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.
Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp
chữ nhật.
Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập
phương.
Trong hình hộp các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.Trong lăng trụ đúng các
cạnh là
đường cao,các mặt bên là hình chữ nhật.
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều,các mặt bên là các hình chữ
nhật bằng nhau.

A

A

B

C
B

C
D

A

B

D

C'

A'
B'

C

Hình hộp đứng là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với đáy.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.Ba độ dài của ba
cạnh xuất phát
từ một đỉnh gọi là ba kích thướt của hình hộp chữ nhật.
Đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng d 2 = a 2 + b 2 + c 2 với d là đường chéo
a,b,c là ba kích thước.
Với hình lập phương cạnh a: d = a 3 .
V= B.h với B là diện tích đáy, h là độ dài chiều cao ( Hình lăng trụ ).
V = a.b.c với a, b , c là ba kích thước (hình hộp chữ nhật ).

4


V = a3 vụựi a laứ caùnh ( hỡnh laọp phửụng ).

B

B

C
A

C
A

D

C

D

A

C

B

D

A

C

B
C.

D

B

C

B

D

A

D

A

Bi Tp rốn luyn

Bi 1:
Cho hỡnh chúp tam giỏc ủu S.ABC cú cnh ủỏy bng a, cnh bờn bng 2a. Gi I l
trung ủim ca cnh BC.
a) CMR SA vuụng gúc vi BC.
b) Tớnh th tớch khi chúp S.ABI theo a ?
Bi 2:

Cho hỡnh chúp S.ABC cú ủỏy l tam giỏc ABC vuụng ti B, ủng thng SA vuụng
gúc vi mt phng (ABC). Bit AB = a, BC = a 3 , SA = 3a. Tớnh th tớch khi chúp
S.ABC.
Bi 3:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú ủỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AB = a, BC = 2a, SA =
2a, SA vuụng gúc vi mt phng (ABC). Gi M l trung ủim ca SC.
a) CMR tam giỏc MAB cõn ti M.
b) Tớnh th tớch khi chúp SABC v th tớch khi chúp S.AMB

5


Bài 4:
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2a, góc CBA bằng
600, SA = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).K là hình chiếu của A trên SB.
a) CMR tam giác KAC là tam giác cân.
b) Tính thể tích khối chóp SABC và thể tích khối chóp S.AKC.
Bài 5:
Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có chiều cao SO =

a 6
,cạnh bên hợp với ñáy
3

một góc 450.
a) Tính góc giữa cạnh bên và cạnh ñáy.
b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, SA = a 3 , SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Gọi J là trọng tâm tam giác SBC. Tính thể tích khối chóp

J.ABC ?
Bài 7:
Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác cân tại A, SA ⊥ ( ABC ) .Gọi G
là trọng tâm tam giác SBC. Biết SA = 3a, AB = a , BC = 2a.
a. Chứnh minh AG ⊥ BC .
b. Tính thể tích khối tứ diện GABC theo a.
Bài 8:
Cho hình chóp ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a.
Tính thể tích của khối chóp theo a.
Bài 9:
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh B, AC = a 2 và
SB = a 3 . ðường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABC.
Bài 10:
Hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a , AC = a 3 , mặt bên
SBC là tam giác cân tại S (SB = SC = 2a) và vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính theo
a thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 11:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA = SB = 2a và hai
mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 12:
Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC).
ðáy ABC là tam giác cân tại ñỉnh A, ñộ dài ñường trung tuyến AM = a . Mặt bên
(SBC) tạo với ñáy góc 450 và SBA = 300 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 13:
Cho hình chóp ñều S.ABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a . Góc giữa cạnh bên và
ñáy bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Bài 14:
ðáy ABC của hình chóp SABC là tam giác vuông cân (BA=BC). Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng ñáy và có ñộ dài là a 3 . Cạnh bên SB tạo với một góc 600 .

Tính diện tích toàn phần của hình chóp
6


Bài 15:
Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc 600 , độ dài các cạnh
đáy là CB = 3,CA = 4, AB = 5 . Tính thể tích V của hình chóp
Bài 16:
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC = a,BAC = α . Các cạnh
bên nghiêng với đáy một góc α . Tính thể tích hình chóp
Bài 17:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA = SC =

a 5
, SB =
2

SD.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 18:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại A, BC = a, SA =SB = SC =

a 3
2

và mặt bên SAB hợp với đáy một góc bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 19:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA ⊥ (ABC),
ACB = 600 , BC = a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh (SAB) ⊥
(SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.
Bài 20:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại B, AB = a, BC = a 3 . Tam
giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
Bài 21:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên
AA’= a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’
Bài 22:
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ABC vng tại A, AC = a, góc ACB
bằng 600. ðường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 300.
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Bài 23:
ðáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên
hình lăng trụ và mặt đáy bằng 300 . Hình chiếu vng góc của đỉnh A' trên mặt phẳng
đáy (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình lăng trụ.
Bài 24:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và
mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vng tại C và BAC = 600. Hình chiếu
vng góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC.
Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
Bài 25:

7