- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
600 Bài tập nguyên hàm tích phân đủ dạng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (297.54 KB, 22 trang )
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x +
1
x
2x 4 3
x2
x 1
. f(x) = 2
x
( x 2 1) 2
4. f(x) =
x2
2. f(x) =
x 3 3x 2
ln x C
3
2
2x3 3
ĐS. F(x) =
C
3
x
1
ĐS. F(x) = lnx + + C
x
3
x
1
ĐS. F(x) =
2x C
3
x
ĐS. F(x) =
3
2
5. f(x) =
6. f(x) =
x 3 x 4 x
1
3
2
3
2x
3x
4x
C
3
4
5
ĐS. F(x) = x 4 x ln x C
5
3
2
3
ĐS. F(x) = x x C
x
9. f(x) = 2 sin 2
5
4
ĐS. F(x) = 2 x 33 x 2 C
x
x
( x 1) 2
7. f(x) =
x
x 1
8. f(x) =
ĐS. F(x) =
4
3
x
2
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2x
ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x
ĐS. F(x) =
12. f(x) = (tanx – cotx)2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
1
sin x. cos 2 x
cos 2 x
14. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
13. f(x) =
2
15. f(x) = sin3x
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
1
3
1
ĐS. F(x) = cos 5 x cos x C
5
1
ĐS. F(x) = e 2 x e x C
2
ĐS. F(x) = cos 3x C
16. f(x) = 2sin3xcos2x
17. f(x) = ex(ex – 1)
18. f(x) = ex(2 +
1
1
x sin 2 x C
2
4
ex
)
cos 2 x
19. f(x) = 2ax + 3x
20. f(x) = e3x+1
ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
2a x 3 x
C
ln a ln 3
1
ĐS. F(x) = e 3 x 1 C
3
ĐS. F(x) =
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
ĐS. f(x) = 2 x
x3
1
3
8 x x x 2 40
3
2
3
2
x
1
3
ĐS. f(x) =
2x
2 x
2
3. f’(x) = 4 x x và f(4) = 0
4. f’(x) = x -
ĐS. f(x) =
1
2 và f(1) = 2
x2
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1) 0, f (1) 4, f (1) 2
x
x2 1 5
ĐS. f(x) =
2 x 2
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u ' ( x)dx
I = f [u ( x)].u ' ( x)dx f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. (5 x 1)dx
5.
(2 x
2
1) 7 xdx
3x 2
dx
2.
(3 2 x )
6.
(x
3
3.
5
5) 4 x 2 dx
dx
5 2x3
x (1 x ) 2
sin x
13. sin 4 x cos xdx 14. 5 dx
cos x
dx
dx
17.
18.
sin x
cos x
x
e tgx
e dx
21. x
22. 2 dx
cos x
e 3
dx
25. x 2 1 x 2 .dx
26.
1 x2
9.
29.
cos
3
dx
7.
10.
x sin 2 xdx
30.
x
11.
15.
ln 3 x
x dx
12.
16.
cot gxdx
19.
tgxdx
23.
x.e
x 2 1
dx
tgxdx
2
x
cos
20.
1 x 2 .dx
24.
e
x
x
dx
dx
4 x2
dx
28. 2
x x 1
x 2 dx
1 x2
dx
31. x
e 1
dx
2x 1
x
8. 2
dx
x 5
x 2 1.xdx
27.
x 1.dx
4.
5 2 x dx
32.
x
3
x 2 1.dx
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u ( x).v' ( x)dx u( x).v( x) v( x).u' ( x)dx
Hay
udv uv vdu
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx
2. x cos xdx
3.
5.
9.
x sin 2 xdx
x ln xdx
6.
x cos 2 xdx
10. ln xdx
2
(x
2
5) sin xdx
7.
x
x.e dx
ln xdx
11.
x
4 ( x 2 2 x 3) cos xdx
8.
ln xdx
12. e dx
x
13.
x
cos
x
x
17. e . cos xdx
21.
xtg
2
18.
x e
14.
dx
2
22.
x lg xdx
15.
xdx
3
x2
sin
16.
x dx
2
19.
x ln(1 x )dx
ln(1 x )
2 x ln(1 x)dx 23. x dx
TÍCH PHÂN
dx
2
ln( x
20.
24.
x
2
2
2
1)dx
x
xdx
cos 2 xdx
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
e
1
1. ( x 3 x 1)dx
2. ( x
1
0
3
2.
1 1
2 x 2 )dx
x x
2
x 2 dx
1
2
3.
x 1dx
1
1
4. (2sin x 3cosx x)dx
3
1
5. (e x x )dx
0
2
6. ( x 3 x x )dx
7. ( x 1)( x x 1)dx
1
0
2
1
8. (3sin x 2cosx )dx
x
1
9. (e x x 2 1)dx
0
3
2
2
10. ( x 2 x x 3 x )dx
11. ( x 1)( x x 1)dx
1
1
3
2
3
12. (x 1).dx
13.
1
-1
e2
5
7x 2 x 5
14.
dx
x
1
2
( x 1).dx
16. 2
x x ln x
1
15.
x.dx
2
2
x
2
2
dx
x2 x2
cos3 x.dx
17. 3
sin x
6
4
18.
tgx .dx
cos2 x
0
1
20.
e x .dx
ex e x
0
ln 3
22.
0
.dx
e e x
x
1
24. (2 x 2 x 1)dx
1
1
19.
ex e x
0 ex ex dx
2
21.
1
2
22.
dx
4x 2 8x
dx
1 sin x
0
2
2
3
25. (2 x 3 x )dx
0
2
26.
4
x( x 3)dx
27. ( x 2 4)dx
2
3
2
1
1
28. 2 3 dx
x
1 x
2
29.
x 2 2x
1 x 3 dx
1
e
30.
1
e
16
dx
x
31.
1
e2
32.
x .dx
2 x 5 7x
dx
1
x
8
1
33. 4 x 3 2 dx
1
3 x
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2
2
1. sin 3 xcos 2 xdx
3
2
3.
sin x
1 3cosx dx
0
2. sin 2 xcos 3 xdx
3
4
3. tgxdx
0
6
4
4. cot gxdx
5.
6
1
6.
0
1
x
2
x 1dx
7.
0
1
8.
0
9.
x3 1
0
2
3
2
x 1 x dx
0
1
0
2
dx
dx
x 1
2
4
1
2
2
xdx
0
2
20. esin x cosxdx
4
1
dx
x3 1
1
13. 2
dx
x
2
x
2
1
15.
1
(1 3x
0
2 2
)
dx
2
16. esin x cosxdx
18. e x
x
1
1
2
11.
dx
1
1
1
1 x
0
1
14.
x2
1
12.
1 x 2 dx
x
0
1
3
2
x x 1dx
10.
1 4sin xcosxdx
17. e cosx sin xdx
4
2
19. sin 3 xcos 2 xdx
3
2
21. e cosx sin xdx
4
2
1
22. e x
2
2
23. sin 3 xcos 2 xdx
xdx
3
2
0
2
24. sin 2 xcos 3 xdx
25.
3
4
0
4
26. tgxdx
27. cot gxdx
6
0
6
28.
1
1 4sin xcosxdx
29.
0
1
30.
1 x 2 dx
x
x
31.
dx
33.
x 1
2
dx
3
x 1
sin(ln x)
36.
dx
x
1
38.
e
35.
42.
1
e cos 2 (1 ln x) dx
41.
x
0
1
44.
0
3
46.
1
e
47.
49.
1
1
dx
x 1 x
45.
x 1
dx
x
46.
cos
e
1
x
x 1dx
1
dx
x 1 x
0
e
1
e
48.
x
dx
x 1
1
1 ln x
dx
x
1 3ln x ln x
dx
x
e2
dx
50.
1 ln 2 x
e x ln x dx
1
e2
51.
1 ln 2 x
e x ln x dx
0
1
2ln x 1
x
1 3ln x ln x
dx
x
1
1
43.
sin(ln x)
dx
x
1
e
2
x
dx
2x 1
e
1 x 2 dx
1 ln x
dx
x
1
2
1
3
e2
39.
e
40.
37.
2ln x 1
1
x 2 1dx
1
e
dx
3
0
1
e
e
x
e
1
x
x
0
1
2
3
0
34.
x 2 1dx
x
0
1
0
1
32.
sin x
1 3cosx dx
2
1
dx
(1 ln x )
52.
0
x 2 x 3 5dx
2
53.
4
sin
4
x 1 cos xdx
54.
0
4
55.
0
1
4 x 2 dx
56.
0
0
57. e
1
1
59.
dx
1 x2
0
1
2 x 3
58. e x dx
dx
0
1
x
(2x 1) dx
3
60.
0
1
61. x 1 xdx
x
dx
2x 1
x
2
0
1
62.
0
0
1
63.
2x 5
0 x2 4x 4dx
x3
0 x2 2x 1dx
2
65. (sin6 x cos6 x)dx
0
4sin3 x
dx
1 cos x
0
66.
4
1 sin 2x
dx
2
cos
x
0
67.
2
68. cos4 2xdx
0
2
1 sin 2x cos 2x
sin x cos x dx
6
4
71. (cos 4 x sin 4 x)dx
1
1
dx .
e 1
0
70.
sin 3 x
73.
dx
0 2 cos 3 x 1
0
2x 2
75. 2
dx
x 2x 3
2
x
4
cos 2 x
dx
0 1 2 sin 2 x
72.
0
2
2
cos x
dx
0 5 2 sin x
1
dx
76. 2
1 x 2x 5
74.
2
2
77. cos3 x sin2 xdx
78.
0
4
sin 4x
79.
dx
1 cos2 x
0
cos
80. x3 1 x 2 dx
0
82.
1
0
cos
e
4
1
1 ln x
dx
x
xdx
1
4
81. sin 2x(1 sin 2 x)3dx
5
0
2
83.
4x 11
dx
5x 6
3
64.
6
69.
4 x 2 dx
0
84.
1
4
x
dx
cos xdx
0
e
1
1 ln 2 x
85.
dx
x
1
86. x5 (1 x3 )6dx
0
6
87.
cos x
0 6 5sin x sin 2 xdx
3
88.
0
4
cos x sin x
89.
dx
3 sin 2 x
0
dx
91. x
x
3
ln 3 e 2e
ln 5
tg4 x
dx
cos 2x
2
sin 2 x
90.
cos 2 x 4 sin 2 x
0
dx
2
sin 2 x
dx
2
0 ( 2 sin x )
92.
4
3
ln( tgx)
93.
dx
sin 2 x
94. (1 tg 8 x )dx
0
4
2
95.
sin x cos x
1 sin 2 x
4
2
dx
sin 2 x cos x
97.
dx
0 1 cos x
2
x
dx
99.
11
x 1
4
1 2 sin 2 x
101.
dx
0 1 sin 2 x
98. (e sin x cos x ) cos xdx
0
1
x
0
2
1
1
102.
104.
dx
4 x2
1
x
106. 4 2 dx
x x 1
0
1
dx
x 1
2
2
1
0 1 cos x sin x dx
108.
x2
1 x2
0
2
3
2
110.
3
1
2
2
3
1
9 3x 2
dx
x2
1
2
x x 1
dx
dx
2
1 x 2x 2
0
1
112.
0
2
1 x4
115.
dx
1 x6
0
117.
x
2
1
113.
1
0
109. x2 4 x2 dx
101.
1 x 2 dx
0
2
107.
1 3 ln x ln x
dx
x
e
100.
1
1
0 1 x2 dx
dx
2
1
105.
1 3 cos x
0
2
103.
sin 2 x sin x
96.
114.
0
116.
0
1
118.
0
dx
1
x2 1
1 x
(1 x )5
dx
dx
cos x
dx
7 cos 2 x
cos x
1 cos2 x
dx
1 1 3x
dx
8
x x 1
dx
1 x5
2
119.
7
121.
0
1 x
ln 2
123.
0
2
2
3 x x 1
dx
3
x3
3
1
120.
2
1
ex 2
dx
122.
x
5
1 x 2 dx
0
7
3
124.
dx
3
0
x 1
dx
3x 1
dx
2 3
125. x 2 x 3 1dx
126.
5
0
x x2 4
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
b
b
b
Công thức tích phân từng phần : u( x)v'(x)dx u ( x)v( x ) a v( x )u '( x )dx
a
a
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
sin ax
@ Dạng 1
f ( x) cosax dx
eax
u f ( x)
du f '( x)dx
sin ax
sin ax
dv cos ax dx v cosax dx
e ax
eax
@ Dạng 2:
f ( x) ln(ax)dx
dx
u ln(ax)
du x
Đặt
dv f ( x )dx v f ( x)dx
sin ax
@ Dạng 3: e ax .
dx
cosax
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
u x5
u x 2 e x
1
3
2 x
8
xe
x dx
a/
dx đặt
b/ 4
đặt
dx
x 3 dx
2
3
dv
(
x
1)
(
x
1)
dv
0
2
( x 1) 2
( x 4 1)3
1
1
1
1
dx
1 x 2 x2
dx
x 2 dx
c/
dx
I1 I 2
2 2
2 2
2
2 2
(1
x
)
(1
x
)
1
x
(1
x
)
0
0
0
0
1
dx
bằng phương pháp đổi biến số
1 x2
0
Tính I1
1
x 2 dx
Tính I2 =
bằng phương pháp từng phần : đặt
(1 x 2 ) 2
0
u x
x
dv
dx
(1 x 2 )2
Bài tập
e
e
ln 3 x
1. 3 dx
x
1
2.
x ln xdx
1
e
1
x ln( x
3.
0
e
2
1)dx
4.
ln x
dx
x3
1
6.
x ln( x
2
1
e
1)dx
8.
0
x
2
ln xdx
1
2
e
9. ( x cosx) s inxdx
10.
0
ln( x
2
x)dx
12.
2
1
14.
xdx
xe x dx
16.
x cos xdx
0
2
1
15.
2
2
ln x
dx
x5
x tan
4
1
13.
1
(
x
1 x ) ln xdx
3
2
11.
ln xdx
x ln xdx
1
7.
2
1
e
3
5.
x
e x cos xdx
0
0
Tính các tích phân sau
1) x.e 3 x dx
2)
( x 1) cos xdx
e
x ln xdx
6)
1
2
). ln x.dx
7)
1
1).e x .dx
10)
0
x. cos x.dx
0
1
4 x. ln x.dx
8)
1
11)
x
0
x. ln( 3 x
2
).dx
0
2
2
4) x. sin 2 xdx
(2 x) sin 3xdx
3
(1 x
2
(x
2
0
e
1
9)
3)
0
0
5)
6
2
1
2
2
. cos x.dx
12)
(x
0
2
2 x). sin x.dx
2
2
ln x
13) 5 dx
1 x
14) x cos xdx
0
3
e
17) x ln2 xdx
18)
0
1
x sin x
dx
cos2 x
2
21)
x
15) e sin xdx
16) sin xdx
0
0
4
2
e
1
0
1
26) xtg2 xdx
0
0
22) (x 1)2 e2x dx 23) (x ln x)2 dx
ln x
1 ( x 1)2 dx
20) x(2 cos2 x 1)dx
19) x sin x cos2 xdx
1
ln(1 x)
1 x 2 dx
e
25)
2
1
2
24) cos x.ln(1 cos x)dx
1
1
27) ( x 2)e 2 x dx
0
0
28) x ln(1 x 2 )dx
0
0
e
e
ln x
1
x
29)
2
dx 30) ( x cos 3 x) sin xdx
2
3
0
2
31) (2 x 7) ln( x 1)dx 32) ln( x 2 x)dx
0
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5
2x 1
1. 2
dx
x 3x 2
3
1
3.
b
2.
a
1
3
x x 1
0 x 1 dx
4.
1
x2
5.
dx
(3x 1) 3
0
2
7.
x3 x 1
0 x 2 1 dx
1
6.
( x 2)
0
8.
2x3 6x 2 9x 9
1 x 2 3x 2 dx
3
9.
x4
2 ( x 2 1) 2 dx
1
10.
2
11.
x2 3
1 x( x 4 3x 2 2) dx
2
13.
1
4 x
2
12.
1
1
14.
1
1
2 x 3 2 x 2 x dx
1 x2
19.
dx
4
1 1 x
16.
2 3
)
dx
3x 2 3x 3
2 x 3 3x 2 dx
1
20.
1
1 x
3
dx
0
1
22.
4
1 x
0 1 x 6 dx
dx
3
18.
2 x4
0 1 x 2 dx
1
1
dx
)
x
(1 x
0
1
x6 x5 x4 2
dx
0
x6 1
4
4
0
2
23.
x
2
4
21.
1
x(1 x
0
dx
1
15. 2
dx
x 2x 2
0
17.
x 2 n 3
0 (1 x 2 ) n dx
1 x
2
1
dx
( x 3) 2
2
0
2008
1 x
1 x(1 x 2008 ) dx
1
( x a)( x b) dx
24.
0
4 x 11
dx
x2 5x 6
1
25.
0
dx
x2 x 1
3
26.
2
0
1
x2
28.
2 x 1dx
2x 2
27.
3 dx
x 1
0
1
2
x2
0
2
30.
1
x
2
0
x 2 2x 3
0 x 3 dx
1
2x2 x 2
32.
x 1dx
x 1
0
x x 1
31.
2 x 1dx
x 1
1
33.
2x 1
1
3x 1
29.
x 1dx
0
x2
x 1 dx
dx
4x 3
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
2
2
1. sin 2 x cos 4 xdx
0
2
2. sin 2 x cos 3 xdx
0
2
3. sin 4 x cos 5 xdx
4. (sin 3 x cos 3 )dx
0
0
2
2
5. cos 2 x(sin 4 x cos 4 x)dx 6. (2 sin 2 x sin x cos x cos 2 x )dx
7.
0
0
2
2
1
dx
sin x
8. (sin 10 x cos10 x cos 4 x sin 4 x )dx
0
3
2
9.
2
dx
2 cos x
10.
0
0
3
2
sin 3 x
11.
dx
1 cos 2 x
0
1
2 sin x dx
12.
sin
4
dx
x. cos x
6
4
13.
sin
0
2
15.
17.
2
2
dx
x 2 sin x cos x cos 2 x
cos x
2 cos x dx
14.
0
2
sin x
0
2 sin x dx
2
2
cos 3 x
0 1 cos x dx
16.
cos x
1 cos x dx
0
18.
1
sin x cos x 1 dx
0
2
19.
2
cos xdx
(1 cos x)
20.
2
3
21. tg 3 xdx
22.
0
cot g
3
6
4
23. tg 4 xdx
4
4
24.
xdx
1
1 tgx dx
2
dx
0 cos x cos( x
)
4
3
0
26.
4
28.
1 sin x dx
sin x 7 cos x 6
4 sin x 5 cos x 5 dx
0
2
27.
2
4
4
25.
sin x cos x 1
sin x 2 cos x 3 dx
dx
2 sin x 3 cos x
2
4 sin 3 x
29.
dx
1 cos 4 x
0
2
31.
33.
1 cos 2 x sin 2 x
dx
sin x cos x
0
30.
2
sin 3 x
1 cos x dx
32.
0
4
4
2
sin 3 x
0 cos 2 x dx
34. sin 2 x(1 sin 2 x ) 3 dx
0
3 3
cos x sin xdx
36.
4
2
0
2
37.
dx
1 sin x cos x
dx
0
2
4
4
2
43.
38.
sin 3 x sin x
dx
sin 3 xtgx
2 sin x 1
39. cos 3 x sin 5 xdx
41.
dx
sin 2 x sin x
35.
13
0
0
4
0
40.
sin 4 xdx
2
x
1 cos
0
6
dx
2.
5 sin x 3
0
sin
3
6
3
6
dx
sin x sin( x
)
6
4.
4
4
dx
x cos x
dx
sin x cos( x
)
4
3
45.
3
2
46. tgxtg ( x )dx
6
sin xdx
cos 6 x
4
3
47.
6
0
4 sin xdx
0 (sin x cos x) 3
48.
2
2
2
2
49. sin 3 x dx
50.
x
0
0
2
2
51. sin 2 x.e 2 x 1dx
53.
sin 2 x
(2 sin x)
2
cos xdx
1 sin x
0
1 cos x e
4
2
52.
x
dx
0
sin 3x sin 4 x
dx
tgx cot g 2 x
54.
sin
2
0
sin 2 xdx
x 5 sin x 6
6
2
55. cos(ln x )dx
56.
1
58.
0
xdx
60. e 2 x sin 2 xdx
0
0
2
4
2
62.
ln(1 tgx)dx
0
0
4
2
dx
(sin x 2 cos x)
64.
(1 sin x) cos x
0
(1 sin x)(2 cos
2
2
2
sin 2 x sin 7 xdx
0
66.
2
2
4 sin 3 x
dx
1
cos
x
0
2
69.
2
2
xtg xdx
61. e sin x sin x cos 3 xdx
67.
x sin x cos
0
4
65.
ln(sin x)
dx
cos 2 x
57. (2 x 1) cos 2 xdx
63.
6
2
59.
3
sin 7 x. sin 2 xdx
2
2
cos 5x. cos 3xdx
4
2
x
2
70. sin cos xdx
0
x)
dx
cos x(sin 4 x cos 4 x)dx
0
68.
2
4
71. sin 2 xdx
0
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
R( x, f ( x))dx
a
ax
) Đặt x = a cos2t, t [0; ]
ax
2
+) R(x,
+) R(x, a 2 x 2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x,
n
ax b
) Đặt t =
cx d
ax b
cx d
n
1
+) R(x, f(x)) =
Với ( x 2 x )’ = k(ax+b)
2
(ax b) x x
Khi đó đặt t = x 2 x , hoặc đặt t =
1
ax b
2 2
+) R(x, a 2 x 2 ) Đặt x = a tgt , t [ ; ]
+) R(x,
+) R
n1
x 2 a 2 ) Đặt x =
n
n
a
cos x
x ; 2 x ;...; i x Gọi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)
Đặt x = tk
2 3
1.
5
2
dx
2.
x x2 4
2
dx
x x2 1
3
1
2
3.
dx
(2 x 3)
4 x 2 12 x 5
1
2
2
4.
6.
1
x 2 2008
1
2
2
7. x 1 x dx
0
8.
(1 x 2 ) 3 dx
0
3
x
1
1
0
2
2
2
x 1
2
dx
2
10.
x 1
0
0
2
2
dx
2 3
12.
(1 x )
0
2
2
1
13.
dx
1
1
11.
x3 1
2
x 2 2008dx
9.
dx
x
1
2
5.
1 x 2 dx
2
, t [0; ] \ { }
14.
0
1 x
dx
1 x
dx
(1 x 2 ) 3
x 2 dx
1 x2
2
15.
cos xdx
7 cos 2 x
0
2
17.
18.
3
0
1 x
20. x 3 10 x 2 dx
2
0
1
xdx
22.
2x 1
0
7
1
0
2
25.
ln 3
6
3
5
1 cos x sin x cos xdx
26.
0
0
1
27.
ln 2
dx
1 x
28.
x2 1
1
e
2
12 x 4 x 8dx
5
4
x5 x3
1 x
0
2
32.
dx
cos 2 x
2 3tgx
cos 2 x
dx
cos 2 x
0
3
34.
0
7
39.
0
x2
3
x3
ln 2
ln 2
36.
0
2
cos xdx
2 cos 2 x
e 2 x dx
ex 1
x 3 2 x 2 x dx
0
1
37.
ln 3
33. x(e 2 x 3 x 1)dx
35.
ex 1
4
0
3
dx
1 3 ln x ln x
dx
x
30.
1
3
31.
0
1
29.
x2 1
24. x 15 1 3 x 8 dx
2x 1 1
2
x
x 3 dx
0
dx
sin 2 x sin x
dx
1 3 cos x
0
3
x 3 dx
1
23.
0
2
2 cos 2 x
7
21.
16. sin x cos x cos 2 x dx
cos xdx
0
19.
2
38.
0
ln 2 x
x ln x 1
dx
e x dx
(e x 1) 3
cos xdx
1 cos 2 x
2a
40.
dx
x 2 a 2 dx
0
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
a
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
a
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [3
2
Tính:
f ( x)dx
3
2
a
f ( x )dx [ f ( x) f ( x)]dx
0
3 3
;
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
2 2
2 2 cos 2 x ,
1
x 4 sin x
dx
2
1 1 x
+) Tính
a
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
= 0.
f ( x)dx
a
2
1
Ví dụ: Tính: ln( x 1 x 2 )dx
1
cos x ln( x
1 x 2 )dx
2
a
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
f ( x)dx
= 2 f ( x )dx
a
2
1
Ví dụ: Tính
x
x dx
4
1
2
x 1
2
0
x cos x
dx
4 sin 2 x
a
a
f ( x)
a1 b x dx 0 f ( x)dx
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
(1 b>0, a)
3
Ví dụ: Tính:
2
2
x 1
1 2
x
dx
3
sin x sin 3 x cos 5 x
dx
1 ex
2
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
], thì
2
2
2
f (sin x) f (cos x)dx
0
0
2
Ví dụ: Tính
2
sin 2009 x
0 sin 2009 x cos 2009 x dx
0
sin x
dx
sin x cos x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: xf (sin x)dx
0
Ví dụ: Tính
b
Bài toán 6:
x
0 1 sin x dx
a
0
b
a
Ví dụ: Tính
2
0
4
x sin x
0
b
f (b x)dx f ( x)dx
0
1 cos
x sin x
2 cos x dx
b
f (a b x)dx f ( x )dx
f (sin x )dx
2 0
x
dx
sin 4 x ln(1 tgx)dx
0
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a T
T
nT
f ( x)dx f ( x)dx
a
0
0
Các bài tập áp dụng:
0
2008
Ví dụ: Tính
1 cos 2 x dx
T
f ( x)dx n f ( x )dx
0
1
1.
1 x
dx
1 2x
1
1
3.
(1 e
1
x
cos 2 x ln(
1
2
2
7.
1 cos x
1 x
)dx
1 x
sin 5 x
2
2.
dx
)(1 x 2 )
1
2
5.
4
2
4
2
4.
x7 x5 x3 x 1
dx
cos 4 x
x cos x
dx
2
x
4 sin
2
2
6. sin(sin x nx)dx
0
tga
dx
8.
xdx
1 1 x 2
cot ga
1
e
e
dx
1 (tga>0)
x (1 x 2 )
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
3
1.
2
x 2 1dx
2.
x
3
0
1
2
3. x x m dx
4.
0
4 x 3 dx
sin x dx
2
3
5.
2
1 sin x dx
6.
tg 2 x cot g 2 x 2dx
6
3
4
7.
2
sin 2 x dx
8.
4
1 cos x dx
0
5
3
9. ( x 2 x 2 )dx
10.
2
2
x
4 dx
0
3
11.
4
3
cos x cos x cos x dx
12.
2)
2
2
14.
3
x
4dx
0
2
17.
0
16.
1
2dx
x2
x2
1 cos 2xdx
0
1 sin xdx
3x 2dx
1
2
3
2
2
1
5
13. ( x 2 x 2 )dx
15.
x
2
18. x 2 x dx
0
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
=4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
2
BÀI 1: Cho (p) : y = x + 1 và đường thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện
tích ở phía trên 0x và phía dưới 0x bằng nhau
x x 3
BÀI 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y o x 1
y 0
Có hai phần diện tích bằng nhau
2
2
2
BÀI 4: (p): y =2x chia hình phẳng giới bởi x +y = 8 thành hai phần.Tính diện tích
mỗi phần
x 2 2ax 3a 2
y
1 a4
BÀI 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Tìm a để
2
a
ax
y
1 a4
diện tích lớn nhất
BÀI 6: Tớnh diện tớch của cỏc hỡnh phẳng sau:
x2
y 4
4
1) (H1):
2
y x
4 2
4)
2
y x
(H4):
2
x y
y x 2 4x 3
2) (H2) :
y x 3
y x
5) (H5):
y 2 x
2
3x 1
y
x 1
3) (H3): y 0
x 0
y2 x 5 0
6) (H6):
x y 3 0
7)
ln x
y 2 x
(H7): y 0
x e
x 1
y x 2 2x
8) (H8) :
2
y x 4x
(C ) : y x
y 2y x 0
10) (H10):
11) (d ) : y 2 x
x y 0
(Ox )
2
y 2 2x 1
13)
y x 1
y 4 x 2
14) 2
x 3 y 0
3
3
2
y x x
9) (H9):
2
2
y x
(C ) : y e x
12) (d ) : y 2
() : x 1
15)
y x
x y 2 0
y 0
x2
y ln x, y 0
y
y 2 2x
2
16
17
18) 1
y x, y 0, y 3
y 1
x e , x e
2
1 x
1
1
y sin 2 x ; y cos 2 x
19.
20): y = 4x – x2 ; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)
x ; x
6
3
y x
2
2
y x 6x 5
y x 4x 5
y 1
2
21) y 2 x 4
22) y x 4 x 3
23)
x
y 4 x 11
y 3 x 15
y 0
x e
y / x 2 1/
24)
y / x / 5
2
y x 2
27)
y 4 x
y x3
30) y 0
x 2; x 1
y x 3
25) 2
y x
y x 2 2x 2
28) y x 2 4 x 5
y 1
y sin x 2 cos x
31) y 3
x 0; x
y x 2x
33)
y x 2
y 2x 2 2x
34) y x 2 3 x 6
x 0; x 4
y 2x2
36) y x 2 2 x 1
y 2
37)
2
y / x 2 3x 2 /
y 2
y 3x 2 / x / 2
26)
y 0
y / x 2 1 /
29)
y x 2 7
2
y x 3
32)
x
y 0
y / x 2 5x 6 /
35)
y 6
y / x 2 5x 6 /
38)
y x 1
y eÏ
41) y e x
x 1
y 2x 2
44) y x 2 4 x 4
y 8
y ( x 1) 2
47)
x sin y
y / x 2 3x 2 /
y x 2
y / x 2 4x 3 /
39)
40)
x2
y
42)
x2 x6
x 0; x 1
43)
y 2 2x
45) 2 x 2 y 1 0
y 0
y 2 x 2 (a 2 x 2 )
46)
a 0
y 2 / x 1/
48)
y 3
y sin/ x /
y / x /
x / y 2 1/
49)
32)
x 2
x 2
2
2
x
x 0;
x ( y 1)
y 4
1
4
34)
y sin x 33)
x
2
2
x 0
y x
x
4 2
;y 0
y
1 x4
2
y x
x2
y 5
y 2 6 x
x2
35) y 0
36) 2
37)
38)
y
27
x y 2 16
x 0; y 3 x
27
y x
y / log x /
y 2 (4 x ) 3
39) y 0
2
y 4 x
1
x , x 10
10
y x
ax y 2
y 2 2 x
2
40)
(a>0)
41)
y
sin
x
x
42)
43) x2/25+y2/9 = 1 và hai
2
2
2
ay x
27 y 8( x 1)
0 x
tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đường thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k .Xác
định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
y x3 2x 2 4x 3
45)
y 0
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức:
O
y
xa
a
xb
(C ) : y f ( x)
y0
b
y
b
x0
a
x
yb
(C ) : x f ( y)
ya
x
b
O
2
b
2
V f ( y ) dy
V f ( x ) dx
a
a
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x; y 2 x; y 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x 2 ; y x 2 2 .
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y
1
x2
;
y
x2 1
2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1
2
x
2
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x .e ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1 x 3 ) ; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
y ( x 2) 2
1)
y 4
y x 2 , y 4x 2
2)
y 4
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
1
y 2
3)
x 1
y 0, x 0, x 1
y 2x x2
4)
y 0
y x. ln x
5) y 0
x 1; x e
y x 2 ( x 0)
6) (D) y 3 x 10
y 1
y x 2
7)
y x
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
quay quanh trục a) 0x;
quay quanh trục a) 0x;
( H) nằm ngoài y = x2
quay quanh trục a) 0x;
8) Miền trong hình tròn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y
9) Miền trong (E):
y xe Ï
10) y 0
x 1, ;0 x 1
x2 y2
1
9
4
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
quay quanh trục 0x;
y cos 4 x sin 4 x
11) y 0
quay quanh trục 0x;
x ; x
2
y x2
12)
quay quanh trục 0x;
y
10
3
x
13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y
4
14) y
x4
x 0; x 2
y x 1
15) y 2
x 0; y 0
quay quanh trục 0x;
quay quanh trục a) 0x; b) 0y
