CÁC DẠNG TOÁN VỀ CON LẮC ĐƠN

CÁC DẠNG TOÁN VỀ CON LẮC ĐƠN
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình dao động :
Chiếu phương trình lên phương chuyển động ta được:
với a = s"

Do góc α nhỏ nên ta sử dụng công thức gần đúng

Đặt:
Vậy con lắc đơn dao động vơi góc lệch nhỏ là một dao động điều hòa với tần số góc
(rad/s).
2. Chu kỳ và tần số của con lắc đơn

Ta có:
* Chú ý : Cũng tương tự như con lắc lò xo, với con lắc đơn ta cũng có hệ thức liên hệ giữa li độ,
biên độ, tốc độ và tần số góc như sau:

Trong đó:
là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung.
3. Tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn
Khi xét đến tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn thì chúng ta xét trong trường hợp góc lệch
của con lắc có thể rất lớn mà không phải là nhỏ hơn 100. Lúc này con lắc đơn dao động là dao
động tuần hoàn chứ không phải là dao động điều hòa nữa.
a. Tốc độ của con lắc đơn
Xét tại một vị trí bất kỳ (góc lệch α), áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta được:

b. Lực căng dây (TL):


Từ phương trình:

, chiếu vào phương của T ta được quỹ đạo là hình tròn, và gia tốc a
v2
l
đóng vai trò là gia tốc hướng tâm. a = aht =
Ta được:

Vậy ta có công thức tính tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn như sau:

* Nhận xét:
Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng (α = 0) thì khi đó cả tốc độ và lực căng dây đều đạt giá trị lớn
nhất:

Khi con lắc đi qua vị trí biên (α = α0) thì khi đó cả tốc độ và lực căng dây đều đạt giá trị nhỏ
nhất:

4. Năng lượng của con lắc đơn
+Động năng của con lắc đơn:
Wđ = 1/2 mv2
+Thế năng của con lắc (Chọn gốc thế năng tại VTCB và con lắc có li độ góc α) :
+ Cơ năng của con lắc :
W = 1/2 mv2 +
= const
* Chú ý : Các công thức tính động năng, thế năng và cơ năng trên là những công thức tính chính
xác với mọi giá trị của góc lệch α. Khi α nhỏ (α < 100) thì chúng ta có các công thức tính gần
đúng giá trị của thế năng và cơ năng của con lắc như sau:
Vì:
Khi đó:
Động năng của con lắc đơn : Wđ =
Thế năng của con lắc đơn :

Do

nên ta có

Cơ năng của con lắc đơn :
- Đơn vị tính : W, Wd, Wt (J); α, α0 (rad); m (kg);

.

* Ví dụ điển hình:
+ Dạng 1: Chu kỳ và tần số dao động của con lắc đơn
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chu kỳ T = 2s. Nếu tăng chiều dài của con lắc thêm 20,5cm thì
chu kỳ dao động mới của con lắc là 2,2s. Tìm chiều dài và gia tốc trọng trường g.
Hướng dẫn giải:
Gọi T và T’ là chu kỳ dao động của con lắc trước và sau khi tăng chiều dài.
Ta có:

0,976 m
Thay

vào công thức tính T ta có

9,632m/s2.

Ví dụ 2 : Hai con lắc đơn có hiệu chiều dài là 14cm. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc
thứ nhất thực hiện được 15 dao động thì con lắc thứ hai thực hiện được 20 dao động. Tính chiều
dài và chu kỳ T của mỗi con lắc. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải :
Ta có số dao động N và khoảng thời gian Δt mà các con lắc thực hiện được liên hệ với nhau theo

phương trình: Δt = N.T
Theo bài ta có :

Mà:

Từ đó ta có:
Với:

1,13s


Với

0,85s

+ Dạng 2: Tính tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn
Ví dụ 1 : Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là 100cm, kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc
α0 với cosα0 = 0,892 rồi truyền cho nó vận tốc v = 30cm/s. Lấy g = 10m/s2.
a. Tính vmax
b. Vật có khối lượng m = 100g. Hãy tính lực căng dây khi dây treo hợp với phương thẳng đứng
góc α với cosα = 0,9
Hướng dẫn giải :
a. Áp dụng công thức tính tốc độ của con lắc đơn ta có:
b. Theo công thức tính lực căng dây treo ta có:
Ví dụ 2 : Một con lắc đơn có m = 100g, dao động điều hòa với biên độ góc α0 = 300. Lấy g =
10m/s2. Tính lực căng dây cực tiểu của con lắc trong quá trình dao động.
Hướng dẫn giải :
Ta có công thức tính lực căng dây:
Lực căng dây đạt giá trị cực tiểu khi:
Khi đó:

Ví dụ 3 : Một con lắc đơn có khối lượng m = 100g, chiều dài

dao động với biên độ góc

. Tính động năng và tốc độ của con lắc khi nó đi qua vị trí có góc lệch

, lấy g =

10m/s2.
Hướng dẫn giải :
Vận tốc của con lắc đơn được tính theo công thức:

Động năng của con lắc là:
+ Dạng 3: Lập phương trình dao động của con lắc đơn.
* Chú ý : Khi lập phương trình dao động của con lắc đơn có hai dạng phương trình:
- Phương trình dao động theo li độ dài:
- Phương trình dao động theo li độ góc
với
Ví dụ 1 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chu kỳ dao động T = 2s. Lấy g = 10m/s2, π2 =
10. Viết phương trình dao động của con lắc biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α =
0,05 (rad) và vận tốc v = -15,7 (cm/s).
Hướng dẫn giải : Gọi phương trình dao động theo li độ dài của con lắc là:
Trong đó:


Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được biên độ dài của con lắc đơn:

Khi đó tại t = 0 ta có:

Vậy phương trình dao động của con lắc là:

.
Ví dụ 2 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài
. Tại t = 0, từ vị trí cân bằng
truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g =
9,8m/s2, viết phương trình dao động của con lắc.
Hướng dẫn giải : Gọi phương trình dao động theo li độ dài của con lắc là:
Tần số góc dao động:
Vận tốc tại vị trí cân bằng là vận tốc cực đại nên ta có:
Khi đó tại t = 0 ta có:
Vậy phương trình dao động của con lắc là

.

+ Dạng 4 : Năng lượng dao động của con lắc đơn
Chú ý khi làm bài tập :
- Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch lớn (Dao động của con lắc khi này là dao động

tuần hoàn chứ không phải dao động điều hòa) :


- Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch nhỏ (lúc này dao động của con lắc là dao động

điều hòa, thường thì trong kỳ thi Đại học sẽ là trường hợp này):
- Khi đề cho mối quan hệ giữa động năng và thế năng (ví dụ Wd = k.Wt, với k là một hệ số tỉ lệ)
thì:
+ Tính li độ dài (s) hay li độ góc (α) chúng ta quy hết về theo Thế năng (Wt). Cụ thể như sau:
(1)
+ Tương tự để tính tốc độ v thì chúng ta quy hết theo động năng (Wd) :

Nhận xét :

- Nhìn biểu thức thì có vẻ phức tạp nhưng thực ra trong bài toán cụ thể chúng ta thực hiện phép
giản ước sẽ được biểu thức hay kết quả đẹp hơn nhiều.
- Trong các đề thi để cho việc tính toán đơn giản thì ở (1) thường cho các giá trị của k là k = 1
hoặc k = 3.
Ví dụ 1 : Một con lắc đơn có
, dao động điều hòa tại nơi có g = 10m/s2 và góc lệch cực
đại là 90. Chọn gốc thế tại vị trí cân bằng. Giá trị của vận tốc con lắc tại vị trí động năng bằng
thế năng là bao nhiêu ?
mglα 02
W=
2
Hướng dẫn giải : Năng lượng dao động của con lắc đơn là:
Khi động năng bằng thế năng (tính vận tốc nên nhớ quy về Động năng nhé) ta có:

Ví dụ 2 : Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lượng 500g treo vào một sợi dây mảnh, dài
60cm. Khi con lắc đang ở vị trí cân bằng thì cung cấp cho nó một năng lượng 0,015J, khi đó con
lắc dao động điều hòa. Tính biên độ dao động của con lắc. Lấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải : Biên độ góc dao động của con lắc được tính từ phương trình của năng lượng:

Ví dụ 3 : Một con lắc đơn có m = 200g, g = 9,86 m/s2; dao động với phương trình:
π
α = 0,05cos(2π t − ) rad
6
a. Tìm chiều dài và năng lượng dao động của con lắc.
b. Tại t = 0 vật có li độ và vận tốc bằng bao nhiêu?


α=

α0

3

c. Tính vận tốc của con lắc khi nó ở vị trí :
d. Tìm thời gian nhỏ nhất (tmin) để con lắc đi từ vị trí có Động năng cực đại đến vị trí mà Wđ =
3Wt
Hướng dẫn giải :
a. Ta có:
Biên độ dài của con lắc là A =
Năng lượng dao động của con lắc là:
b. Từ giả thiết ta có phương trình theo li độ dài của con lắc:

Từ đó phương trình vận tốc :

Tại t = 0 thì
c. Khi
Từ đó ta được:
.
Thay giá trị m = 0,2kg và W tính được ở câu a ta tìm được v.
d. Áp dụng công thức ở (1) ta có : Khi động năng cực đại vật ở Vị trí cân bằng (α = 0).
Khi động năng bằng 3 lần thế năng ta có :

Bài toán trở thành tìm tmin khi vật đi từ vị trí có α = 0 đến vị trí có

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Viết phương trình DĐĐH của con lắc đơn.
S = S0 Cos ( ω t+ϕ )
- Viết theo li độ dài:
cm

Ta có:

α = α 0 Cos ( ω t+ϕ )
- Viết theo li độ góc:

Bước 1: Xác định

ω

rad với

ω=
:

S0
Bước 2: Xác định

và

S = αl

g 2π
=
= 2π f
l
T

α0
, sử dụng công thức độc lập với thời gian.
v2

S =S + 2
ω
2
0

v2
α =α + 2 2
ωl

2

2
0

v2
α =α +
gl
2
0

2

∗

2

hoặc

Chú ý: Trong trường hợp trên đường thẳng đứng qua O có vật cản ( vd : đinh), khi vật
α 0'

DĐĐH qua vị trí cân bằng, dây sẽ bị vướng bởi vật cản. Thì biên độ góc
của con lắc nhỏ có
'
l
chiều dài được xác định như sau:
0
l Cosα 0 − OO '
'
'
Cosα 0 =
'
l − OO'

Oα
O
α

0

ϕ
Bước 3: Xác định

dựa vào các điều kiện ban đầu

{

S=S0 Cosϕ
v=-ωS0Sinϕ

Khi t = 0, ta có:

Trắc nghiệm:
S0
Câu 1: Con lắc đơn dao động điều hòa có
= 4cm, tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s2.
l
Biết chiều dài của dây là = 1m. Hãy viết phương trình dao động biết lúc t = 0 vật đi qua vị trí
cân bằng theo chiều dương?
π
π


S = 4Cos 10π t − ÷
S = 4Cos 10π t + ÷
2
2


A.
cm
B.
cm
π
π


S = 4Cos  π t − ÷
S = 4Cos  π t + ÷
2
2



C.
cm
D.
cm

l


α0
Câu 2: Một con lắc đơn dao động với biên độ góc
= 0,1 rad có chu kì dao động T = 1s. Chọn
gốc tọa độ là vị trí cân bằng, khi vật bắt đầu chuyển động vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều
dương. Phương trình dao động của con lắc là:
α = 0,1Cos ( 2π t + π )
α = 0,1Cos2π t
A.
rad
B.
rad
π
π




α = 0,1Cos  2π t + ÷
α = 0,1Cos  2π t − ÷
2

2


C.
rad
D.
rad
Câu 3: Con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm. Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân bằng con lắc được
truyền vận
tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8 m/s2. Phương trình dao động của con
lắc là:
π

S = 2Cos  7t − ÷
2

A.
cm
B. S = 2Cos 7t
cm
π
π




S = 10Cos  7t − ÷
S = 10Cos  7t + ÷
2
2



C.
cm
D.
cm
π
5
Câu 4: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = s. Biết rằng ở thời điểm ban đầu
con lắc ở vị trí
α0
Cosα 0
có biên độ góc
với
= 0,98. Lấy g = 10m/s2. Phương trình dao động của con lắc là:
π

α = 0, 2Cos 10t+ ÷
α = 0, 2Cos10t
2

A.
rad
B.
rad
π


α = 0,1Cos 10t+ ÷
α = 0,1Cos ( 10t )

2

C.
rad
D.
rad
Câu 5: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo l = 20cm treo tại một điểm cố định. Kéo con lắc
lệch khỏi
phương thẳng đứng một góc bằng 0,1 rad về phía bên phải, rồi truyền cho nó vận tốc bằng
14cm/s theo phương vuông góc với sợi dây về phía vị trí cân bằng thì con lắc sẽ dao động điều
hòa. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng từ vị trí cân bằng sang phía bên phải,
gốc thời gian là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất. Lấy g = 9,8 m/s2. Phương trình
dao động của con lắc là:
π
 π

S = 2 2Cos  7t- ÷
S = 2 2Cos  7t+ ÷
2
2


A.
cm
B.
cm


 π
S = 3Cos  7t- ÷

2


π

S = 3Cos  7t+ ÷
2


C.
cm
D.
cm
2
2
Câu 6 : Một con lắc đơn có chiều dài 1m dao động tại nơi có g = π m/s . Ban đầu kéo vật khỏi
phương thẳng đứng một góc α0 =0,1 rad rồi thả nhẹ, chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động
thì phương trình li độ dài của vật là :
π
2
A. S = 1Cos(πt) m.
B. S = 0,1Cos(πt+ ) m.

π

C. S = 0,1Cos(πt) m.

D. S = 0,1Cos(πt+ ) m.

Câu 7: Một con lắc đơn dao động điều hòa có chu kỳ dao động T = 2s. Lấy g = 10m/s2, π2 = 10.

Viết phương trình dao động của con lắc biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05
(rad) và vận tốc v = -15,7 (cm/s).

A.

C.

π

S = 5 2Cos  π t+ ÷
4

π

S = 5Cos  π t- ÷
4


cm

cm

B.

D.

π

S = 5 2Cos  π t- ÷
4


π

S = 5Cos  π t+ ÷
4


cm

cm

Câu 8: Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài
. Tại t = 0, từ vị trí cân bằng
truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g =
9,8m/s2. Viết phương trình dao động của con lắc.

A.

C.

 π
S = 2 2Cos  7t- ÷
2


cm

π

S = 2 2Cos  7t+ ÷

2

cm

B.

D.

 π
S = 2Cos  7t- ÷
2


π

S = 2Cos  7t+ ÷
4


cm

cm

l
Câu 9: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo = 62,5 cm đang đứng yên tại nơi có gia tốc trọng
trường g = 10 m/s2. Tại t = 0, truyền cho quả cầu một vận tốc bằng 30 cm/s theo phương ngang
α0
cho nó DĐĐH. Tính biên độ góc
?

A. 0,0322 rad

B. 0,0534 rad


C. 0,0144 rad

D. 0,0267 rad
2π 

S = 4Cos 10t −
÷
3 


Câu 10: Con lắc đơn DĐĐH theo phương trình:
quãng đường 2 cm ( kể từ t = 0) vật có vận tốc bằng bao nhiêu?

cm. Sau khi vật đi được

A. 20 cm/s

B. 30 cm/s

C. 10 cm/s

D. 40 cm/s

Câu 11: Con lắc đơn có chu kì T = 2 s. Trong quá trình dao động, góc lệch cực đại của dây treo
α 0 = 0, 04

là
rad. Cho rằng quỹ đạo chuyển động là thẳng, chọn gốc thời gian là lúc vật có li độ
α = 0, 02
rad và đang đi về phía vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động của vật?

A.

π

α = 0, 04Cos  π t + ÷
3


rad

π

α = 0, 02Cos  π t + ÷
3


B.

α = 0, 02Cos ( π t )

α = 0, 04Cos ( π t )

C.

rad

D.

rad

Dạng 2: Năng lượng của con lắc đơn
Wđ =

1. Động năng:

⇒

1
1
mv 2 = mω 2S02 .Sin 2 ( ω t + ϕ )
2
2

Wđ max =

Wt =

1
mω 2S02
2

(J)

(J)

1
1
mgl α 2 = mgl α 02 .Cos 2 ( ω t + ϕ )
2
2

2. Thế năng:
1
l2
Wt = mg α 02 .Cos 2 ( ω t + ϕ )
2
l

⇒

rad

Wt =

1
mω 2S02 .Cos 2 ( ω t + ϕ )
2

⇔

ω2 =
(J)

( Với

g
l

S20 = l 2α 02

và

)


⇒

Wt max =

1
1
mω 2S02 = mgl α 02
2
2

W = Wđ + Wt =

3. Cơ năng:

(J)

1
1
mω 2S02 = mgl α 02 = Wt max = Wđ max = hs
2

2

Wđ S20
α2
= 2 − 1 = 02 − 1 = n
Wt S
α
4. Tỉ số giữa Động năng và Thế năng:

⇒

Công thức xác định vị trí của vật khi biết trước tỉ số giữa Động năng và Thế năng là:
S0
n +1

S=±

α0
n +1

α =±
Hoặc

5. Công thức xác định vận tốc của vật tại vị trí mà Động năng bằng
Wđ 1
=
Wt n

Nếu ta có:

Wđ =

hay
v=±

Thế năng là:

1
Wt
n

ωS0
g
= ±S0
l ( n + 1)
n +1

thì:

1
n

v=±

ωα 0 l
= ±α 0
n +1

gl
( n + 1)

Hoặc

α0
Câu 1: Một con lắc đơn DĐĐH với biên độ góc
nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi
con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ
góc

α

của con lắc bằng?

α0
3
A.
α
− 0
2

−
B.

α0
2

α0
3
C.

D.


Câu 2: Con lắc đơn có dây dài l = 50cm, khối lượng m = 100g dao động tại nơi g = 9,8m/s2.
Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Tỷ số lực căng cực đại và cực tiểu của dây treo bằng 4 . Cơ
năng của con lắc là?
A. 1,225J
0,245J

B. 2,45J

C. 0,1225J

D.

Câu 3: Một con lắc đơn gồm sợi dây dây dài l và vật nặng khối lượng m. Khi con lắc dao động
α
với biên độ góc 0 nhỏ thì
A. Động năng của vật tỉ lệ với bình phương của biên độ góc.
B. Thời gian vật đi từ vị trí biên dương đến vị trí có li độ góc
động.

α

=

α

/2 bằng một nửa chu kì dao

0

C. Thế năng của vật tại một vị trí bất kì tỉ lệ thuận với li độ góc.
D. Lực căng của sợi dây biến thiên theo li độ góc và đạt giá trị cực đại khi vật nặng qua vị trí cân
bằng.

α0
Câu 4: Một con lắc đơn dây dài l = 1m dao động điều hoà với biên độ góc
= 40. Khi qua vị trí
cân bằng dây treo bị giữ lại ở một vị trí trên đường thẳng đứng. Sau đó con lắc dao động với dây
α/
/
dài l và biên độ góc
= 80. Cơ năng của dao động sẽ
A. Giảm 2 lần
Giảm 4 lần

B. Không đổi

C. Tăng 2 lần

D.

Câu 5: Một con lắc đơn dao động điều hoà với biên độ góc α0 = 50. Tại thời điểm động năng của
con lắc lớn gấp hai lần thế năng của nó thì li độ góc α xấp xỉ bằng
A. 2,980
2,890

B. 3,540.

C. 3,450

D.

Câu 6: Một con lắc đơn có dây treo dài 1m và vật có khối lượng m = 1kg dao động với biên độ
góc 0,1rad. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng của vật, lấy g = 10m/s2. Cơ năng của con lắc là:
A. 0,1J.
0,5J.

B. 0,01J.

C. 0,05J.

D.

Câu 7: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0. Con lắc có động năng bằng n lần
thế năng tại vị trí có li độ góc.


α=
A.

α =±

α0
n

α0
n +1

α=
.

B.

α0
n +1

α =±
.

C.

α0
n +1

.

D.

.
Câu 8: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0. Con lắc có động năng bằng thế
năng tại vị trí có li độ góc.
α
α
α
α =± 0
α= 0
α= 0
2 2

2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
α
α =± 0
2
.
Câu 9: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0 = 50. Với li độ góc α bằng bao
nhiêu thì động năng của con lắc gấp 2 lần thế năng?
α = ±3, 450
α = 2,890
α = ±2,890
A.
.
B.
.
C.
.
D.
0
α = 3, 45
.
Câu 10: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc
α0

nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều

α

dương tới vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc của con lắc bằng:
α
α
α
α= 0
α= 0
α =− 0
3
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
α
α =− 0
3
.
Câu 11: Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng, chiều dài dây treo lần lượt là l1 = 81cm, l2
= 64cm dao động với biên độ góc nhỏ tại cùng một nơi với cùng một năng lượng dao động. Biên
α 01 = 50
độ góc của con lắc thứ nhất là
. Biên độ góc của con lắc thứ hai là:

A. 5,6250.
B. 3,9510.
C. 6,3280.
D.
0
4,445 .
π

S = 4Cos  2π t − ÷
2

Câu 12: Một con lắc đơn chuyển động với phương trình:
cm. Tính li độ góc
2
α
π = 10
của con lắc lúc động năng bằng 3 lần thế năng. Lấy g = 10 m/s2 và
A. 0,08 rad
B. 0,02 rad
C. 0,01 rad
D. 0,06
rad


l
Câu 13: Con lắc đơn gồm vật nặng treo vào dây có chiều dài = 1 m dao động với biên độ
α 0 = 0,1
rad . Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng, lấy g = 10 m/s2. Tính vận tốc của vật nặng tại
vị trí Động năng bằng Thế năng?
v = 0,1 5

v= 3
v= 5
A.
B.
m/s
C.
m/s
D.
v= 2
m/s
l
Câu 14: Một con lắc đơn có dây treo dài = 50 cm và vật nặng khối lượng 1 kg, dao động với
α 0 = 0,1
biên độ góc
rad tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2. Tính năng lượng dao động
toàn phần của con lắc?
A. 0,012J
B. 0,023J
C. 0,025 J
D.
0,002 J
Câu 15: Khi qua vị trí cân bằng, vật nặng của con lắc đơn có vận tốc vmax = 1 m/s. Lấy g = 10
m/s2. Tính độ cao cực đại của vật nặng so với vị trí cân bằng?
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 5
cm
Câu 16: Con lắc đơn dao động với biên độ góc 20 có năng lượng dao động là 0,2 J. Để năng
lượng dao động là 0,8 J thì biên độ góc phải bằng bao nhiêu?

α 02 = 40
α 02 = 30
α 02 = 60
A.
B.
C.
D.
0
α 02 = 8

α 0 = 450
Câu 17: Cho một con lắc đơn, kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc
rồi thả không
vận tốc đầu. Tính góc lệch của dây treo khi Động năng bằng 3 lần thế năng?
A. 100
B. 22,50
C. 150
D. 120
Câu 18: Một con lắc đơn dài 0,5 m treo tại nơi có g = 9,8 m/s2. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân
α 0 = 300
Wđ = 2Wt
bằng góc
rồi thả không vận tốc đầu. Tính tốc độ vật khi
?
A. 0,22 m/s
B. 0,34 m/s
C. 0,95 m/s
D. 0,2
m/s
Câu 19: Một con lắc đơn có dây treo dài 1 m và vật có khối lượng 1 kg dao động với biên độ góc

0,1 rad. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng của vật, lấy g = 10 m/s2 . Tính cơ năng toàn phần
của con lắc?
A. 0,05 J
B. 0,02 J
C. 0,24 J
D. 0,64
J

Dạng 3: So sánh 2 con lắc đơn


3-1. Chu kì, Tần số dao động của con lắc đơn thay đổi khi thay đổi chiều dài của dây treo:
l
g
1 g
T = 2π
ω=
f=
g
l
2π l
Tần số:
rad;
Chu kì:
s;
Tần số:
Hz
2
l
l

1 g
1 4π
T = 2π
⇒ T 2 = 4π 2
f=
⇒ 2 =
l
g
g
2π l
f
g
Từ:
và
l = l 1 + l 2 +L
T 2 = T12 + T22 +L
⇒
l
Nhận xét: T2 tỉ lệ với :
Nếu
Thì
1
1 1
1
= 2 + 2L
2
l = l 1 + l 2 +L
f
f1 f 2
⇒

f2
l
tỉ lệ với :
Nếu
Thì
a.Các Ví dụ :
Ví dụ 1. Các con lắc đơn có chiều dài lần lượt ℓ 1, ℓ 2, ℓ3 = ℓ1 + ℓ2, ℓ 4 = ℓ 1 – ℓ2 dao động với
chu kỳ T 1, T2, T 3 = 2,4s, T 4 = 0,8s. Chiều dài ℓ 1 và ℓ2 nhận giá trị
A.
B.
l 1 = 0, 64m, l 2 = 0,8m
l 1 = 1,15m, l 2 = 1, 07m
C.

D.

l 1 = 1, 07m, l 2 = 1,15m

l 1 = 0,8m, l 2 = 0, 64m

T32 = T12 + T22 
T32 + T42
T2g
2
⇒
T
=
=
3,
2

⇒
l
=
= 0,8(m)

1
1
2
4 π2
T42 = T12 − T22 

⇒ ĐA: D

Ví dụ 2. Hai con lắc đơn chiều dài l 1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tương ứng là T 1; T2, tại nơi
có gia tốc trọng trường g = π2 m/s2. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài l 1 + l2 , chu kì
7
dao động 2s và con lắc đơn có chiều dài l1 - l2 có chu kì dao động 0,4
T2, l1, l2

(s) =1,058(s). Tính T1,

Lời giải

2π.

l1

T12

g

→ l1=

+ Con lắc chiều dài l1 có chu kì T1=

2 π.
+ Co lắc chiều dài l2có chu kì T2=

l2

4π2
T22

g
→ l1=

4π2

.g
(1)

.g
(2)


l1 + l 2
g
+ Con lắc chiều dài l1 + l2 có chu kì T3= 2Π.
(T ' ) 2 .g (2) 2 .π 2
=
=1

4π 2
4π 2
→ l1 + l2 =
(m) = 100 cm

(3)

l1 − l 2
g
+ Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2Π.
(T ' ) 2 .g (0,4. 7 ) 2 .π 2
=
= 0,28
4π 2
4π 2
→ l1 - l2 =
(m) = 28 cm
Từ (3) (4)

l1 = 64cm

Thay vào (1) (2) T1= 2Π

(4)

l2 = 36cm

0,64
= 1,6
π2

0,36
= 1,2
10
(s) Suy ra T2= 2Π

(s)

Ví dụ 3. Trong khoảng thời gian ∆t, con lắc đơn có chiều dài l1 thực hiện 40 dao động. Vẫn cho
con lắc dao động ở vị trí đó nhưng tăng chiều dài sợi dây thêm một đoạn bằng 7,9 (cm) thì trong
khoảng thời gian ∆t nó thực hiện được 39 dao động. Chiều dài của con lắc đơn sau khi tăng thêm
là
A. 152,1cm.
B. 160cm.
C. 144,2cm.
D.
167,9cm.
Lời giải: Chọn B

l1
l
7,9
= 22 =
= 0,1
2
39
40
79
⇒ l 2 = 160cm.

l 1 T1 f2 39
= = =
l 2 T2 f1 40
HD: Ta có:

⇒

Ví dụ 4. Có hai con lắc đơn mà độ dài của chúng khác nhau 22 cm, dao động ở cùng một nơi.
Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc thứ nhất thực hiện được 30 dao động toàn phần, con lắc
thứ hai thực hiện được 36 dao động toàn phần. Độ dài của các con lắc nhận giá trị nào sau đây :
A. l1= 88 cm ; l2 = 110 cm.
B. l1= 78 cm ; l2 = 110 cm.
C. l1= 72 cm ; l2 = 50 cm.
D. l1=50 cm ; l2 = 72 cm.
Lêi gi¶i: Chän C


t1 =

30 1
=
t
2π

HD: Ta cã:

g
36 1
t2 =
=

l1
t
2π

g
l2

,

30
l
l − 22
= 2 = 1
36
l1
l1
⇒

l 1 = 72(cm ) ⇒ l 2 = 50(cm)

Ví dụ 5. Trong cùng 1 khoảng thời gian,con lắc đơn có chiều dài l1 thực hiện đc 10 dao động
bộ.con lắc đơn có chiều dài l2 thực hiện đc 6 dao động bs. Hiệu chiều dài của 2 con lắc là 48
cm.tìm l1.l2.
Ta có l2 >l1

l 1 l 2 48 3
=
=
=
62 102 64 4

⇒ l 2 = 75cm; l 1 = 27cm.

l 1 T1 f2 6
= = =
l 2 T2 f1 10
HD: Ta cã:

⇒

Câu 2:Một con lắc đơn thực hiện dao động trong khoảng thời gian t con lắc thực hiện đc 120 dđ
toàn phần,con lắc đơn t2 thực hiện đc 100 dđ toàn phần.Tổng chiều dài của 2 con lắc 122cm.Tìm
l1,l2

l 1 T1 f2 100
= = =
l 2 T2 f1 120
Tượng tự câu trên: Ta cã:

l1
l
122 61
= 22 =
=
2
10 12
244 122
⇒

hay :144l 1 = 100l 2 => 144l 1 = 100(122 − l 1 )
244l 1 = 12200 => l 1 = 50cm; l 2 = 72cm

b. Bài tương tự:
Câu 1: Hai con lắc đơn dao động cùng một nơi,trong cùng một đơn vị thời gian,con lắc đơn thực
hiện 30 dao động,con lắc 2 thực hiện 40dao động.Hiệu số chiều dài của 2 con lắc là 28cm.Tìm
chiều dài mỗi con lắc.
A:l1=64cm,l2=36cm;
B: l1=36cm,l2=64cm;
C: l1=34cm,l2=16cm;
D:
l1=16cm,l2=34cm.
Câu2:Một con lắc đơn thực hiện dao động trong khoảng thời gian t con lắc thực hiện đc 120 dđ
toàn phần.Thay đổi độ dài con lắc 1 đoạn 22cm thì cùng trong khoảng thời gian t đó thì con lắc
thực hiện đc 100 dđ toàn phần.Tìm chiều dài ban đầu của con lắc?

l 1 T1 f2 100
= = =
l 2 T2 f1 120
Tượng tự câu trên: Ta cã:
....
c. Trắc nghiệm:
Câu 1: Con lắc đơn dao động điều hòa. Khi tăng chiều dài con lắc lên 9 lần , tần số dao động của
con lắc sẽ:


A. Tăng lên 3 lần.
B. Giảm đi 3 lần.
C. Tăng lên 4 lần.
D.
Giảm đi 4 lần.
Câu 2: Khi chiều dài dây treo con lắc đơn tăng 20% so với chiều dài ban đầu thì chu kì dao động
của con lắc đơn thay đổi như thế nào?

A. Giảm 20%.
B. Giảm 9,54%.
C. Tăng 20%.
D.Tăng 9,54%.
Câu 3: Hai con lắc đơn có chu kì T1 = 2s và T2 = 1,5s. Chu kì của con lắc đơn có dây treo dài
bằng tổng chiều dài dây treo của ai con lắc trên là:
A. 2,5s.
B. 0,5s.
C. 2,25s.
D.
3,5s.
Câu 4: Hai con lắc đơn có chu kì T1 = 2s và T2 = 2,5s. Chu kì của con lắc đơn có dây treo dài
bằng hiệu chiều dài dây treo của ai con lắc trên là:
A. 2,25s.
B. 1,5s.
C. 1,0s.
D.
0,5s.
Câu 5: Cho biết l3 = l1 + l2 và l4 = l1 – l2. Con lắc đơn (l3 ; g) có chu kì T3 = 0,4s. Con lắc đơn
(l4;g) có chu kì T4 = 0,3s. Con lắc đơn (l1 ; g) có chu kì là:
A. 0,1s.
B. 0,5s.
C. 0,7s.
D.
0,35s.
Câu 6: Cho biết l3 = l1 + l2 và l4 = l1 – l2. Con lắc đơn (l3 ; g) có tần số f3 = 6Hz. Con lắc đơn (l4;g)
có tần số f4 = 10Hz. Con lắc đơn (l2 ; g) có tần số là:
A. 4Hz.
B. 10,6s.
C. 16Hz.

D.
8Hz.
Câu 7: Một con lắc đơn có chiều dài l. Trong khoảng thời gian Δt nó thực hiện được 12 dao
động. Khi giảm chiều dài đi 32cm thì cũng trong khoảng thời gian Δt nói trên, con lắc thực hiện
được 20 dao động. Chiều dài ban đầu của con lắc là:
A. 30 cm.
B. 40cm.
C. 50cm.
D.
60cm.
Câu 8: Một con lắc đơn có chiều dài l. Trong khoảng thời gian Δt nó thực hiện được 12 dao
động. Khi giảm chiều dài đi 16cm thì cũng trong khoảng thời gian Δt nói trên, con lắc thực hiện
được 20 dao động. Chiều dài ban đầu của con lắc là:
A. 30 cm.
B. 25cm.
C. 40cm.
D.
35cm.
Câu 9: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1m, vật nặng là quả cầu bằng thép khối lượng m. Phía
dưới điểm treo I trên phương thẳng đứng tại điểm I' với II' = 75cm được đóng một cái đinh sao
cho con lắc vướng vào đinh khi dao động. Chu kì dao động của con lắc là (Lấy g = π2).
A. 1s.
B. 2s.
C. 3s.
D.
1,5s.
1
3, 7
Câu 10: Cho biết mặt trăng có bán kính bằng
bán kính Trái đất. Khối lượng mặt trăng bằng

1
81
khối lượng Trái Đất. Một con lắc đơn dao động trên Mặt Trăng có tần số thay đổi ra sao so
với lúc dao động trên Trái Đất.
A. Tăng 2,5 lần.
B. Giảm 2,43 lần.
C. Tăng 4 lần.
D.
Giảm 4 lần.


Câu 11: Gia tốc trọng trường trên mặt trăng nhỏ hơn gia tốc trọng trường trên Trái Đất 6 lần.
Kim phút của đồng hồ quả lắc chạy một vòng ở Mặt Đất hết 1 giờ. Nếu đưa đồng hồ trên lên Mặt
Trăng, chiều dài quả lắc không đổi, kim phút quay một vòng hết.
1
1
6
6
A. 6h.
B.
h.
C. 2h 27 ph.
D. h.
Câu 12: Dùng các chớp sáng tuần hoàn chu kỳ 2s để chiếu sáng một con lắc đơn đang dao động.
Ta thấy, con lắc dao động biểu kiến với chu kỳ 30 phút với chiều dao động biểu kiến cùng chiều
dao động thật. Chu kỳ dao động thật của con lắc là:
A. 2,005s
B. 1,978s
C. 2,001s
D. 1,998s

Giải: Chu kì dao đông biểu kiến chính là thời gian “trùng phùng” của hai dao động
t = nT = (n+1) Tthật Với n = 30.60/2 = 900---- Tthật = 1800/901 = 1,99778 ≈ 1,998(s)
Chọn D.
+Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có thêm lực lạ.
4.1/ Lực lạ là lực đẩy Acsimet.
4.2/ Lực là lực điện.
4.3/ Lực là là lực quán tính.
Sử dụng một số công thức gần đúng:
Nếu

ε

(1 + ε ) n ≈ 1 + nε ; (1 − ε ) n ≈ 1 − nε ;
rất nhỏ so với 1 thì:

(1 ± ε 1 )(1 ± ε 2 ) ≈ 1 ± ε 1 ± ε 2

* Phương pháp: Ngoài trọng lực

P

con lắc còn chịu thêm tác dụng của những lực
Phd

đổi thì coi như con lắc chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng
Phd

g hd
gây ra

g hd
=

Phd
m

Phd
với

=

F

không

P F
+

g hd
(ở VTCB nếu cắt dây vật sẽ rơi với gia tốc
T = 2π

này)
l
g hd

Chu kỳ mới của con lắc được xác định bởi:

4.1/ Lực lạ là lực đẩy Acsimet.
Ví dụ 1: Hãy so sánh chu kỳ của con lắc đơn trong không khí với chu kỳ của nó trong chân

không biết vật nặng có khối lượng riêng D, không khí có khối lượng riêng là d.
* Phương pháp:


T0 = 2π

l
g

Phd

Fa

Trong chân không:

P

Trong không khí:

2π

= +

; Phd = P - Fa
dVg
d
g hd = g −
=g− g
DV
D

l

T
=
T0

d

g 1 − 
 D

T=
4.2/ Lực lạ là lực điện

=>

Fa

1

P

d
1−
D

Ví dụ 1: Con lắc đơn có chiều dài l, vật nặng m tích điện +q đặt trong điện trường đều có cường

độ

E

ở nơi có gia tốc trọng trường g có chu kỳ dao động như thế nào?

*Phương pháp:
a) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng xuống dưới:
Phd P F
= + ;Phd = P+F
F
qE
g hd = g + = g +
m
m

T = 2π

l
g hd

= 2π

E

l
g+

qE
m

b) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng lên trên:
F
qE
g
=
g
−
=
g
−
hd
Phd P F
m
m
= + ; Phd = P- F;
l
l = 2π
qE
qE
T = 2π
g−
g>
g hd
m
m
(điều kiện:
)
l
T = 2π
qE

−g
m
Nếu F>P thì có hiện tượng như bóng bay và

F
P

E
F
P


c) Khi cường độ điện trường hướng sang phải:

* Vị trí cân bằng được xác định bởi
Phd P F
*
= +

Phd = P 2 + ( qE )
Theo hình vẽ:
T = 2π

θ

θ

θ

E

: tan =

g hd =

2

F qE
=
P mg

 qE 
g +

 m

2

F

2

;

P Phd

l
 qE 
g2 +


 m

2

4.3/ Lực lạ là lực quán tính
a) Khi điểm treo con lắc có gia tốc

hướng thẳng đứng lên trên.

a0
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng lên trên nhanh dần đều hoặc
chuyển động thẳng đứng xuống dưới chậm dần đều)
Phd P Fqt
Ở đây :
= +
Phd = P + ma0
Phd = P + Fqt;
; ghd=g+a0
l
T = 2π
g + a0
b) Khi điểm treo con lắc có gia tốc

a0

Fqt

P

hướng thẳng đứng xuống dưới.

a0
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng đi xuống nhanh dần đều hoặc
chuyển động thẳng đứng lên trên chậm dần đều)
Phd P Fqt
Ở đây :
= +
Phd = P − ma0
Phd = P - Fqt;
ghd=g - a0

a0
Fqt

P


T = 2π

l
g − a0
(điều kiện g>a0)

/

c) Khi điểm treo con lắc có gia tốc

hướng ngang sang phải.

a0

a0
θ

* Vị trí cân bằng được xác định bởi :
Fqt ma0 a o
=
=
mg
g Phd P Fqt
θ P
tan =
*
= +

Phd = P 2 + ( ma0 )
Theo hình vẽ:
T = 2π

g hd = g 2 + a 0

2

Fqt
2

;

Phd P

l
g 2 + a0

θ

2

Trắc nghiệm:
Dạng 4-1: Biến thiên chu kì của con lắc đơn chịu tác dụng của lực điện trường
Câu 1: Một con lắc đơn treo hòn bi kim loại khối lượng m = 0,01kg mang điện tích q = 2.10 -7
C. Đặt con lắc trong điện trường đều
có phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chu kỳ con
lắc khi E = 0 là T = 2s. Tìm chu kỳ dao động khi E = 104 V/m. Cho g = 10m/s2.
A. 1,98s
B. 0,99s
C. 2,02s
D. 1,01s
HD: Do q > 0 →

ur
uu
r
E ↑↑ F®

hay

uu
r
F®

hướng xuống dưới →

uur
ur
E® ↑↑ P


g' = g +
Gia tốc:

qE
m

T
g'
=
=
T'
g

gE
g
m ⇒ T '+ T.
qE
g
g+
m

g+

→

Thay số ta có: T =

1,98 (s)
Câu 2. Một con lắc đơn được treo vào trần của một xe ô tô đang chuyển động theo phương
ngang. Chu kỳ dao động của con lắc đơn trong trường hợp xe chuyển thẳng đều là T 1, khi xe
chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a là T 2 và khi xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc a
là T3. Biểu thức nào sau đây đúng? A. T2 = T3 < T1.
B. T2 = T1 = T3.
C.
T2 < T1 < T3.
D. T2 > T1 > T3.
HD: TH: Xe CĐ nhanh
TH: Xe CĐ chậm dần đều
r dần đều

r
a

a

u
r
g

uu
r
g'

g ' = g '' = g + a > g ⇒ T2 = T3
2

⇒

uu
r
g ''
T2
=
T2

2

g

u
r
g

< 1 ⇒ T2 = T3 < T1

g + a2
2

→

Câu 2: Chọn A

Câu 3. Một con lắc đơn có chiều dài l=1m treo ở trần một thang máy, khi thang máy đi xuống

a = g/2

nhanh dần đều với gia tốc
A. 4 (s).

(g = π2m/s2 ) thì chu kỳ dao động bé của con lắc là

B. 2,83 (s).

HD: Khi thang máy chuyển động nhanh dần đều thì

mà

uur
F®h

ngược chiều

Gia tốc hiệudụng
B

r
a

→

uur
F®h

hướng lên →

g π2
g' = g − a = =
2 2

D. 2 (s).

cùng chiều chuyển động (hướng xuống)

uur
ur
F®h ↓↑ P

T ' = 2π
⇒

C. 1,64 (s).

r
a

l
2
= 2π
= 2,83(s)
g'
π2
. Câu 3: Chọn

Câu 4. Cho một con lắc đơn có dây treo cách điện, quả cầu m tích điện q. Khi đặt con lắc trong
không khí thì nó dao động với chu kì T. Khi đặt nó vào trong một điện trường đều nằm ngang thì
chu kì dao động sẽ
A. tăng lên
B. không đổi
C. tăng hoặc giảm tuỳ thuộc vào chiều của điện trường
D. giảm xống
HD: Khi đặt con lắc trong điện trường đều

nằm ngang thì con lắc có gia tốc hiệu dụng :

2

 qE 
g' = g + a = g + 
÷ >g
m


2

2

2

r
g

r
a

ur
g'

T
g'
=
>1⇒ T > T'
T'
g
Ta cã:
⇒ T giảm. Câu 4: Chọn D
Câu 5. Một con lắc đơn có chu kỳ T=2s khi treo vào thang máy đứng yên. Khi thang máy đi lên
nhanh dần đều với gia tốc 0,1m.s-2 thì chu kỳ dao động của con lắc làA. 2,00s
B. 2,10s C.
1,99s D.1,87s

uur
r uur
Fqt ↑↓ a ⇒ Fqt

r
a

r
p

HD: Thang máy đi lên nhanh dần đều ⇒ hướng lên mà
Gia tốc hiệu dụng: g’ = g + a = 10,0 (m/s2)

T

g'
g
10
=
⇒ T ' = T.
= 2.
= 1,99 ( s )
T'
g
g'
10,1
→

Câu 5: Chọn C

Câu 6: Con lắc đơn có chu kỳ To khi đang dao đọng với biên độ nhỏ. Cho con lắc dao động trong
điện trường đều có phương thẳng đứng hướng xuống. Khi truyền cho con lắc điện tích q1 thì con
lắc dao động với chu kỳ T1 = 3To. Khi truyền cho con lắc điện tích q2 thì con lắc dao động với
chu kỳ T2 = 1/3 To . Tính tỉ số q1/ q2 ?
A. -1/9
B. 1/9
C. -9
D. 9
Câu 7: Một con lắc đơn dao động điều hoà trong điện trường đều, có véc tơ cường độ điện
trường có phương thẳng đưng, hướng xuống. Khi vật treo chưa tích điện thì chu kỳ dao động là
T0 = 2 s , khi vật treo lần lượt tích điện q1 và q2 thì chu kỳ dao động tương ứng là T1 = 2,4s ,

q1
T2 = 1,6 s . Tỉ số q 2 là
44

81
−
−
A. 81 .
B. 44 .

24
C. 57 .
−

57
D. 24 .
−