hệ phương trình

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG

2

Tuy tài hẹn nhưng sức không mọn vì vậy hôm nay, tôi – Đặng
Ngọc Tuyên xin phép được tổng hợp lại một số bài hệ phương
trình mà trong quá trình học tập tôi đã từng làm qua, đã đọc qua ở
đâu đó :v và quan trọng là bản thân thấy hay hay . Vì kiến thức
còn hạn hẹp nên bài viết nhỏ này sẽ có những sai sót nhất định.
Vậy mong các bạn đọc, và nhận xét, góp ý cho bài viết này được
hoàn thiện hơn ..

PHƯƠNG PHÁP DÙNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ PHÂN TÍCH NHÂN TỬ
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


HỆ PHƯƠNG

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

3

( Bài viết được tôi tham khảo qua bài viết của tác giả nthoangcute ).
Ví dụ 1: Phân tích: A = x 2 + xy − 2 y 2 + 3 x + 36 y − 130
Cách làm: Nhận thấy x và y đồng bậc nên ta chọn cái nào cụng được cả
Bước 1: Cho y = 1000 ta được A = x 2 + 1003 x − 1964130
Bước 2: Dùng casio nhẩm nghiệm ta được A = ( x + 1990)( x − 987) (1)
Bước 3: Bước trên ta đã cho y = 1000 mà quy luật tất yếu là “ cho rồi trả”. Nhưng trả
thế nào ?
Chúng ta làm như sau:
Ta thấy:
1990 = 2000 – 10 mà y = 1000 => 1990 = 2y – 10
Tương tự:
987 = 1000 – 13 = y - 13
Bước 4: Ta tiến hành thay ngược trở lại vào phương trình (1), ta có:
A = ( x + 2 y − 10)( x − y + 13)

( để kiểm chứng thì ta có thể nhân ra để xem độ chính xác => độ chính xác 100 %.
hehe )
Vậy chỉ nhờ vài bước bấm máy tính ta đã có thể phân tích một biếu thức như trên
thành nhân tử một cách đơn giản. Để thấy ứng dụng của nó, ta tiếp tục đến với ví dụ
tiếp theo
Ví dụ 2: Phân tích B = 6 x 2 y − 13xy 2 + 2 y 3 − 18 x 2 + 10 xy − 3 y 2 + 87 x − 14 y + 15
Nhận thấy bậc cao nhất của x là 2, còn bậc cao nhất của y là 3. Vì vậy ta sẽ chọn y
( để biếu thức đơn giản hơn ).
Bước 1: Cho y = 1000 ta được B = 5982 − 12989913x + 1996986015
Bước 2: Dùng casio nhẩm nghiệm ta được B = 2991(2 x − 333)( x − 2005) (2)
Bước 3: Trả
- 2991 = 3000 – 9 = 3y – 9

-

333 =

1000 − 1 3 y − 1
=
3
3

- 2005 = 2000 + 5 = 2y + 5
Bước 4: Thế vào phương trình (2) ta được
B = (3 y − 9)(2 x −

3y −1
)( x − 2 y − 5)
3

Vậy phương trình đã được giải quyết!
Nhưng 2 phương trình trên các biến ta thực hiện mới có bậc 2, thế còn bậc 3, bậc 4 thì
ta làm thế nào!
Sau đây là cách thức giải quyết nhanh, gọn, lẹ!
Ví dụ 3: Phân tích C = x3 − 3xy 2 − 2 y 3 − 7 x 2 + 10 xy + 17 y 2 + 8 x − 40 y + 16
Nhận thấy bậc của x và y là như nhau nên ta chọn cái nào cũng được
Tương tự các bước ở trên.
- Cho y = 1000 ta được C = ( x − 1999)( x + 996) 2
- Tiến hành trả 1999 = 2y – 1
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


HỆ PHƯƠNG

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

4

996 = y – 4
- Thế vào => C = ( x − 2 y + 1)( x + y − 4) 2

NHỮNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI ĐẸP
 x 2 + y 2 = 1 + xy

Câu 1: Giải hệ phương trình ( x )2 + ( y )2 = 1
 y +1
x +1


Phân tích: - Nhìn vào bài toán ta thấy. Đây là một hệ phương trình nhìn khá là đơn
giản. Dễ thấy mỗi phương trình đều là phương trình đối xứng loại I. Nhiều bạn sẽ
nghĩ đến việc đặt S, P. Nhưng điều này lại nảy sinh ra vấn đề khi ở phương trình thứ 2
có bậc 4 ( quy đồng ) nên việc đặt S, P sẽ gây ra khó khăn. Vì vậy ta phải tìm được
một cách giải sao cho bài toán được xử lí “ngon, ngọt, đẹp nhất” .
- Khi xử lý S, P sẽ gây khó khăn thì ta sẽ nghĩ đến các phương án tiếp cận khác. Có
rất nhiều cách giải những bài như thế này như ẩn phụ, thế, cộng đại số, UCT,.. Nhưng
sau đây, tôi sẽ biểu diễn bài toán này dưới cách làm mà chúng ta thường cho là trâu
bò. “ THẾ ”.
- Nhưng khi thế lại nảy sinh ra vấn đề là thế như thế nào? Nhìn vào bài, chắc chắn ta
sẽ rút được một điều gì đó từ phương trình đơn giản hơn. Đó là phương trình 1.
Bài làm.
 x 2 + y 2 = 1 + xy


y 2
 x 2
( y + 1) + ( x + 1) = 1

 x ≠ −1
. Từ phương trình 1 ta có
 y ≠ −1

Điều kiện: 

pt1: * x 2 + y 2 = 1 + xy
<=> ( x − 1)( x + 1) = y ( x − y )
x −1

y

<=> x − y = x + 1

(1)
x

1− x

2
2
Lại có: x + y = 1 + xy <=> ( y − 1)( y + 1) = x( y − x) <=> y + 1 = x − y (2)
Từ (1) và (2) thế vào phương trình 2, ta có phương trình mới tương đương với

<=> (

x −1 2 1− y 2
) +(
) =1
x− y
x− y

<=> x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 2 = x 2 + y 2 − 2 xy
<=> (1 − x)( y − 1) = 0
x =1
<=> 
y =1

Đến đây giải đơn giản rồi
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG

5

Nhận xét: Đây là một bài khá đơn giản, nhưng vì tôi thấy cách giải đẹp nên đưa vào.
Vậy qua bài trên, ta cần phải khéo léo khi muốn thế một cách “đẹp nhất”.
Và sau đây cũng là một cách thế “khéo léo”.
 x 2 + y 2 + xy = 3
Câu 2: Giải hệ phương trình  5 5
 x + y + 15 xy ( x + y ) = 32

Phân tích: - Nhìn vào bài toán nhiều bạn sẽ nghĩ đến hệ phương trình đối xứng loại
I. Nhưng do có x5 + y 5 nên sẽ rất khó khăn để thực hiện.
- Chú ý: ở phương trình thứ 2 có: VT: x5 + y 5 .. và VP 32 = 25 nên chúng ta sẽ nghĩ
đến việc đưa về phương trình dạng A5 = 32 = 25
Nhưng làm thế nào để xuất hiện được biểu thức như vậy. Tinh ý ta thấy 15 = 3.5 nên
ta sẽ có ý tưởng thế 3 vào phương trình 2.
Vậy việc định hướng đã xong. Sau đây, ta sẽ giải quyết bài toán này.
Bài làm
 x 2 + y 2 + xy = 3
 5
5
 x + y + 15 xy ( x + y ) = 32

Thế x 2 + y 2 + xy = 3 vào phương trình 2 ta có
<=> x 5 + y 5 + ( x 2 + y 2 + xy )(5 x 2 y + 5 xy 2 ) = 32
<=> x 5 + 5 x 4 y + 5 xy 4 + 10 x3 y 2 + 10 x 2 y 3 + y 5 = 32
<=> ( x + y )5 = 32
<=> x + y = 2

Đến đây đơn giản rồi. :D..
 x 3 − y 3 = 35
Câu 3: Giải hệ phương trình  2
2
 2 x + 3 y = 4 x − 9 y

Phân tích: Cả 2 phương trình ta đều thấy các biến x,y độc lập với nhau ( không phụ
thuộc vào nhau ).
- Phương trình 1 xuất hiện x3 ; y 3 vì vậy ta sẽ nghĩ đến cách xử lý bài toán sao cho
phương trình cuối sẽ đưa về dạng A3 = B 3 .

Vậy việc định hướng đã xong, bây giờ ta sẽ trình bày.
Bài làm:
3
3
 x − y = 35
 2
2
 2 x + 3 y = 4 x − 9 y

PT(1) – 3.PT(2):
<=> x 3 − y 3 − 35 − 3(2 x 2 + 3 y 2 − 4 x + 9 y ) = 0
<=> x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = y 3 + 9 y 2 + 27 y + 27
<=> ( x − 2)3 = ( y + 3)3
<=> x − 2 = y + 3
<=> x = y + 5

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG

6

Đến đây đơn giản rồi!
 y 3 + 3xy − 17 x + 18 = x 3 − 3 x 2 + 13 y + 9
Câu 4: Giải hệ phương trình  2 2
 x + y + xy − 6 y − 5 x + 10 = 0

Phân tích: - Ban đầu, khi nhìn vào hệ này nhiều bạn sẽ thấy run. Run vì nó khủng
quá, 2 phương trình dài như dãy Trường Sơn :3.. Nhưng để ý kỹ thì ta thấy, ở phương
trình 1, và phương trình 2, có 2 biến x, y đa số là độc lập chỉ trừ nhân tử xy. Thử đặt
giả thiết là ta khử được xy thì ta nhận thấy rằng khi đó các biến độc lập và đồng bậc
cho nên ta có thể nghĩ ngay tới phương pháp hàm số. Vì vậy việc khử xy có thể giải
quyết được bài toán.
- Việc khử xy khá đơn giản khi thấy phương trình 1 có 3xy, phương trình 2 có xy vì
vậy ta nghĩ đến việc PT(1) – 3.PT(2).
Bài làm:
 y 3 + 3xy − 17 x + 18 = x 3 − 3 x 2 + 13 y − 9
 2
2
 x + y + xy − 6 y − 5 x + 10 = 0

Lấy PT(1) – 3.PT(2):
<=> y 3 + 3 xy − 17 x + 18 − x3 + 3x 2 − 13 y + 9 − (3x 2 + 3 y 2 + 3 xy − 18 y − 15 x + 30) = 0
<=> y 3 − 3 y 2 + 5 y = x 3 + 2 x + 3
<=> ( y − 1)3 + 2( y − 1) =) x 3 + 2 x

Xét hàm số: f (t ) = t 3 + 2t
f (t ) ' = 3t 2 + 2 > 0∀t ∈ R
=> y − 1 = x

Đến đây dễ rồi.!
14 x 2 − 21 y 2 − 6 x + 45 y − 14 = 0
Câu 5: Giải hệ phương trình:  2
2
35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = 0

Phân tích: - Đây là hệ phương trình gồm 2 phương trình bậc 2, có các biến độc lập
với nhau
- Nhiều bạn sẽ nghĩ tới sử dụng ∆ cho mỗi phương trình nhưng vô ích, cũng có một
số bạn sẽ nghĩ tới các phương pháp như nhân, chia các biến nhưng nó cũng rất khó để
làm. Nhưng sau đây sẽ là một cách giải quyết bài toán rất hữu hiệu khi ta sẽ kết hợp
giữa 2 phương trình để tìm được nhân tử chung.
Bài làm:
14 x 2 − 21 y 2 − 6 x + 45 y − 14 = 0

2
2
35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = 0

Lấy 49.PT(1) – 15.PT(2)
<=> 49.(14 x 2 − 21 y 2 − 6 x + 45 y − 14) − 15.(35 x 2 + 28 y 2 + 41x − 122 y + 56) = 0
<=> (161x − 483 y + 218)( x + 3 y − 7) = 0

Đến đây dễ rồi!
Nhận xét: Bài toán này có 2 mấu chốt.
- Thứ nhất: Làm thế nào để biết được hằng số k nhân vào mỗi phương trình
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG

7

- Thứ hai: Làm thế nào để khi nhân vào ta phân tích được thành nhân tử
Vấn đề thứ 2 thì ta khi ta sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử phía trên sẽ
dễ dàng giải quyết.
Nhưng vấn đề thứ nhất thì sao? Làm thế nào mà ta tìm được hằng số như vậy.
Xin mời các bạn đón đọc phương pháp UCT của tác giả Bùi Thế Việt trên các blog
hoặc trong cuốn tuyển tập các hệ phương trình của anh Nguyễn Minh Tuấn
 2 x 2 + y 2 − 3 xy + 3 x − 2 y + 1 = 0
Giải hệ phương trình  2 2
 4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y

Phân tích: - Với dạng hệ phương trình có 1 phương trình vô tỷ, 1 phương trình hữu
tỷ thì ta sẽ nghĩ đến cách xử lý phương trình hữu tỷ sao cho xuất hiện nhân tử chung
- Cách biết nhân tử chung: Áp dụng casio
+ Với bài này: phương trình 1: 2 x 2 + y 2 − 3xy + 3x − 2 y + 1 = 0
Nhận thấy x, y đồng bậc nên ta chọn cái nào cũng được
+ Cho y = 100 => PT(1) <=> 2 x 2 − 297 x + 9801 = 0
<=> ( x − 99)(

2 x − 99
)=0 *
2

+ Trả: 99 = 100 – 1 = y – 1
+ Thế vào * => PT1 <=> (x – y + 1).(2x – y + 1) = 0
Vậy phương trình 1 đã được giải quyết!
2 x + y ≥ 0
x + 4 y ≥ 0

Bài làm: Điều kiện: 

Ta có: Phương trình 1: 2 x 2 + y 2 − 3xy + 3x − 2 y + 1 = 0
<=> (x – y + 1).(2x – y + 1) = 0
 y = x +1

<=> 
 y = 2x + 1
TH1: y = x + 1. Thế vào phương trình 2
<=> 3 x 2 − x + 3 − 3 x + 1 − 5 x + 4 = 0
<=> ( x + 1) − 3x + 1 + ( x + 2) − 5 x + 4 + 3 x 2 − 3 x = 0
x2 − x
x2 − x
+
+ 3( x 2 − x) = 0
x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5x + 4
1
1
<=> ( x 2 − x)(
+
+ 3) = 0
x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4
 x = 0 => y = 1
<=> 
 x = 1 => y = 2
<=>

TH2: Thay y = 2x + 1

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu

HỆ PHƯƠNG

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

8

<=> 4 x + 1 − 1 + 9 x + 4 − 2 + 3 x = 0
4
9
<=> x(
+
+ 3) = 0
4x +1 +1
9x + 4 + 2
<=> x = 0 => y = 1
 x ( x + y ) + x + y = 2 y ( 2 y 3 + 1)
Giải hệ phương trình  2
2
 x y − 5 x + 7( x + y ) − 4 = 6 3 xy − x + 1

Phân tích: Nhìn vào bài toán ta thấy 2 phương trình đều rất dài :3.. khó phát hiện
được điều gì. Nhưng nói thì nói thế thôi, thật ra nhìn vào phương trình 2 ta thấy
không thể xơ múi được gì. Vậy phải chuyển hướng sang phương trình 1.
- Nhưng xử lý thế nào :3.. Đơn giản! Dùng máy tính cho y = 10 dễ dàng tim được x
= 10 ( hoặc tinh mắt thay x = y thì 2 vế của phương trình bằng nhau ) => nhân tử
chắc chắn sẽ là x – y = 0.
Vậy đơn giản rồi. Xác định được nhân tử, bây giờ chỉ cần liên hợp thôi :D
Bài làm

x + y ≥ 0
y ≥ 0

Điều kiện: 

Phương trình (1) tương đương với
<=> x 2 − y 2 + xy − y 2 + x + y − 2 y = 0
<=> ( x − y )(x + y + y +

1
)=0
x + y + 2y

<=> x = y ( kết hợp điều kiện ta có vế sau > 0 )

Thay x = y vào phương trình 2
<=> x 3 − 5 x 2 + 14 x − 4 = 6 3 x 2 − x + 1
<=> x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4 + 6( x − 3 x 2 − x + 1) = 0
<=> ( x − 1)( x − 2) + 6
2

<=> ( x − 1)[(x − 2) +
2

x3 − x 2 + x − 1
x 2 + x 3 x 2 − x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1) 2
6( x 2 + 1)

x 2 + x 3 x 2 − x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1) 2

=0

]=0

<=> x = 1 => y = 1
x = 1
=> 
y =1
 4 x 8 x − 4 − 12 y 2 − 5 = 4 y 3 + 13 y + 18 x − 9
Giải hệ phương trình:  2
3
2
 4 x − 8 x + 4 2 x − 1 + 2 y + 7 y + 2 y = 0

Phân tích: Để ý thấy phương trình 1 có các biến x, y độc lập và có các biến số của y
có thể thành lập thành một hàm số. Vì vậy, không ngần ngại, ta phân tích phương
trình 1 để đưa về dạng hàm số !

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
Bài làm

Điều kiện: x ≥

HỆ PHƯƠNG

9

1
2

Phương trình 1 tương đương với:
<=> 8 x 2 x − 1 − 3 2 x − 1 = 4(y + 1)3 + y + 1
<=> 4(2 x − 1) 2 x − 1 + 2 x − 1 = 4(y + 1)3 + y + 1
Xet : f (t ) = 4 t 3 + t
=> f (t ) ' = 12t 2 + 1 > 0∀t ∈ R
<=> 2 x − 1 = y + 1
 2 x − 1 = ( y + 1) 2
<=> 
 y ≥ −1

Phương trình 2 tương đương
<=> (2 x − 1) 2 − 2(2 x − 1) + 4 2 x − 1 + 2 y 3 + 7 y 2 + 2 y − 3 = 0
<=> ( y + 1) 4 − 2( y + 1) 2 + 4(y + 1) + 2 y 3 + 7 y 2 + 2 y − 3 = 0
<=> ( y + 1)[(y+ 1)3 − 2(y + 1) + 4 + (y + 3)(2 y− 1)] = 0
<=> (y + 1)(y3 + 5 y 2 + 6 y ) = 0
1

y
=
−
1
=>
x
=

2


y
=
0
=>
x
=
1
<=> 
 y = −2(L)

 y = −3(L)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

1
 x = 2

 y = −1
 x =1
 
  y = 0

( x − y )3 + (2 xy − 1)( x − y ) + 3 x 2 + 3 y 2 = 3
Giải hệ phương trình: 
2
2
2
 ( x + 1)(2 + 2 x − y ) + (1 − x) 1 − x = 1 + ( 2 − y − 2)

Phân tích: Nhìn vào bài toán này, cứ như mẹo tôi đã nêu trên, phương trình 2 dài và
không có gì đặc biệt, còn phương trình 1 là phương trình hữu tỷ nên có đến 80% là ta
sẽ khai thác phương trình thứ nhất. Nhưng làm thế nào để khai thác, tôi đã giới thiệu
cho các bạn cách tìm nhân tử của một phương trình vô tỷ. Nào, dùng casio và làm
thôi.
Bài làm:

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG 10

x ≤ 1

Điều kiện − 2 ≤ y ≤ 2
( x + 1)(2 + 2 x − y 2 ) ≥ 0


Phương trình 1 tương đương với:
<=> x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 − x + y + 3x 2 + 3 y 2 − 3 = 0
<=> x( x 2 + y 2 − 1) + 3( x 2 + y 2 − 1) − y ( x 2 + y 2 − 1) = 0
<=> ( x 2 + y 2 − 1)( x − y + 3) = 0
 x2 + y2 −1 = 0
<=> 
x − y + 3 = 0
TH1: x 2 + y 2 − 1 = 0 . Thay vào phương trình 2 ta có
( x + 1)3 − (1 − x)3 − 1 = ( 1 + x 2 − 2) 2

Để phương trình có nghĩa <=> −1 ≤ x ≤ 1
Bây giờ ta đi chứng minh VT ≥ VP khi −1 ≤ x ≤ 1 :
3x
+ 1 ( Chứng minh bằng biến đổi tương đương ) (+)
2
−3 x
(1 − x ) 1 − x ≥
+1
(++)
2
=> VT ≥ 1 (1)
Bây giờ ta chứng minh VP ≤ 1
( x + 1) x + 1 ≥

Hay : ( 1 + x 2 − 2) 2 ≤ 1 ( khai triển ra, chứng minh bằng biến đổi tương đương) (2)
Vậy từ (1) và (2) => VT ≥ VP

 Dấu “=” xảy ra <=> VT = VP <=> x = 1 (TMĐK )
 x = 1  x = −1
v
y = 0 y = 0

 Nghiệm 

TH2: x – y + 3 = 0. => x + 3 = y. Vì y 2 ≤ 2 => phương trình 2 có nghĩa khi
 x ≥ −3

<=> −3 − 2 ≤ x ≤ −3 + 2
2

2
( x + 3) = y ≤ 2

Thay vào phương trình 2
=> ( x + 1)(− x 2 − 4 x − 7) + (1 − x) 1 − x − 1 = ( − x 2 − 6 x − 7 − 2) 2
Xét VT = ( x + 1)(− x 2 − 4 x − 7) + (1 − x) 1 − x − 1
f ( x) = ( x + 1)(− x 2 − 4 x − 7) + (1 − x) 1 − x − 1 với −3 − 2 ≤ x ≤ −3 + 2

=> f ( x) ' < 0 => Hàm số nghịch biến => f min = f (−3 + 2) ≈ 4,52 (*)
Tương tự. Xét VP. f (x) = ( − x 2 − 6 x − 7 − 2) 2 => f max = 4 (**)
Từ (*) và (**) => vô nghiệm
Nhận xét: Bài này tôi đã sử dụng 3 phương pháp:
Phương pháp 1: Dùng casio phân tích phương trình 1 thành nhân tử
Phương pháp 2: Dùng tiếp tuyến ở (+) và (++)
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG 11

Phương pháp 3: Sử dụng đánh giá, dùng ở (*) và (**), đó là sử dụng hàm số để
đánh giá theo hướng: f min > f max
Vậy đó là 3 phương pháp tôi đã sử dụng khá nhiều, nó có lợi thế riêng của nó, về
phương pháp tiếp tuyến, tôi sẽ giới thiệu cho các bạn dùng phương pháp tiếp tuyến để
tìm nhân tử cho giải phương trình bằng phương pháp liên hợp
 2 6 x + y + 10 − 3 2 x + 3 = y + 1

3y + 6

Giải hệ phương trình: 3x − 5 + 4 3 − 2 x =

3 − 2x + 3 + y + 2


Phân tích: Nhìn vào bài này, ta thấy cả 2 phương trình đều chứa căn thức cồng
kềnh. Ta tiến hành tìm xem từng phương trình có điều gì đặc biệt hay không. Bắt đầu
từ phương trình đơn giản là phương trình 1. Tinh ý thấy 6x + y + 10 = 3.(2x + 3)+
(y+1). Vậy ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ.
Nào! Giải quyết bài toán thôi
3
 −3
 2 ≤x≤ 2

Bài làm: Điều kiện  y ≥ −1
6 x + y + 10 ≥ 0



Phương trình 1 tương đương với:
<=> 2 6 x + y + 10 − 3 2 x + 3 − y + 1 = 0
 2 x + 3 = a
DK : a, b ≥ 0 . Phương trình mới
Đặt 
 y + 1 = b
<=> 2 3a 2 + b 2 − 3a − b = 0
<=> a = b
<=> 2 x + 3 = y + 1
<=> y = 2 x + 2

Thay vào phương trình 2. Ta có
3x − 5 + 4 3 − 2 x =

3y + 6
3 − 2x + 3 + y + 2

<=> 3 x − 5 + 4 3 − 2 x =

6 x + 12
3 − 2x + 5 + 2x + 2

• Tiến hành đánh giá:
Áp dụng bđt BCS, ta có 3 − 2 x + 5 + 2 x ≤ 2.8 = 4 (*)

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


HỆ PHƯƠNG 12

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
=> 3x − 5 + 4 3 − 2 x =

6 x + 12
6 x + 12
≥
= x+2
6
3 − 2x + 5 + 2x + 2

<=> 3 x − 5 + 4 3 − 2 x ≥ x + 2
<=> 7 − 2 x − 4 3 − 2 x ≤ 0
<=> 3 − 2 x − 4 3 − 2 x + 4 ≤ 0
<=> ( 3 − 2 x − 2) 2 ≤ 0(**)

Kết hợp (*) và (**) => Dấu “=” xảy ra <=> x =

−1
2

−1
=> y = 1. Đối chiếu điều kiện => TMĐK
2
−1

x =
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
 y = 1

Với x =

( x + y ) x 2 + 5 y 2 = x 2 + x + xy

2
 2 3 y x + y = 3 y + 4 y

Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nhìn vào bài toán này, rất khó để định hướng cách làm. Một số bạn nhìn

thấy ta có thể chuyển hệ này về hệ đẳng cấp rồi nhân chéo để xuất hiện phương trình
đẳng cấp nhưng xử lí rất dài. Vì vậy, chỉ còn một cách có thể mang lại lời giải rất
đẹp là đánh giá sao cho xuất hiện được một bất ngờ :3.. Cũng may là từ điều kiện ta
có thể thấy x + y ≥ 0 nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức cô-si vào phương trình 1.
Nào!. Thử làm thôi.
Bài làm:

x + y ≥ 0
y ≥ 0

Điều kiện 

Phương trình 1 ta có:
<=> x + x + xy = ( x + y ) x + 5 y
2

2

2

AM −GM

≤

( x + y) 2 +( x 2 + 5 y 2 )
2

<=> 2 x 2 + 2 x + 2 xy ≤ 2 x 2 + 2 xy + 6 y 2
<=> x ≤ 3 y 2

(1)
Bây giờ ta cần đánh giá sao cho phương trình 2 có x ≥ 3 y 2
Ta có:
<=> 2 3 y x + y = 3 y 2 + 4 y
<=> x − 3 y 2 = (3 y − x + y ) 2

Vì (3 y − x + y )2 ≥ 0 => x − 3 y 2 ≥ 0 <=> x ≥ 3 y 2
Từ (1) và (2)
=> x = 3 y 2
Thay vào phương trình 2, ta có

(2)

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG 13

2 3 y x + y = 3 y 2 + 4 y <=> 2 3 y 3 y 2 + y = 3 y 2 + 4 y
<=> 2 y 9 y + 3 = 3 y 2 + 4 y
 y = 0
<=> 
3 y + 4 = 2 9 y + 3
TH 1: y = 0 => x = 0 ( TMĐK)
TH 2 : 3 y + 4 = 2 9 y + 3
<=> (3 y + 4) 2 = 4(9 y + 3)
2

4
<=> y = => x = (TMĐK)
3
3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
 x = 0

 y = 0

4
 x =
3
 

2
 y =
3


 x3 - 2 y 2 = 16
Giải hệ phương trình:  3
2
2
2
 y - (3x + 2) y + 3 x y = 2( x + 4)

Phân tích: Nhận thấy đây là một hệ phương trình hữu tỷ, ta có thể nghĩ tới phương
pháp UCT nhưng rất khó làm vì bậc của x và y cao không khả thi. Vậy, chỉ còn một
phương pháp hơi trâu.. là phương pháp thế. Để ý xuất hiện các số hạng

x 3 , y 3 ,3 xy 2 ,3x 2 y nên ta sẽ nghĩ về dạng A3 = B để đưa hệ về dạng đơn giản hơn.
Bài làm: Phương trình 1: x 3 -2y 2 =16
x 3 − 16
≥ 0 => x ≥ 3 16
<=> y =
2
2

Lấy pt2 – pt1, ta được:
<=> y 3 − 3 y 2 x + 3 x 2 y − x3 = 2 x 2 − 8

<=> (y − x)3 = 2 x 2 − 8
<=> y = x + 3 2 x 2 − 8 (**)
Thay (*) vào (**), ta có:

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


HỆ PHƯƠNG 14

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
<=>

x3 − 16
= x + 3 2x2 − 8
2

x3 − 16 5 x 2 x 3 2
− +

− 2x − 8 = 0
2
3
3
9 x 2 + 4 x + 24
8 x 2 − 6 x + 36
<=> ( x − 6)(
+
)=0
2
x3 − 16 5 x 27( 4 x + 2 x . 3 2 x 2 − 8 + 3 (2 x 2 − 8) 2
18(
+ )
9
3
2
3
<=> x = 6 => y = 10
<=>

Cách liên hợp 2:
<=>

x 3 − 16
= x + 3 2 x2 − 8
2

x 3 − 16
<=> (2 x − 2) −
= x − 2 − 3 2x2 − 8

2

Cách 3: Thế, bình phương, đưa về phương trình bậc cao
Cách 4: Dự đoán y = x + 4 hoặc y = 2x – 2, rồi sử dụng UCT
1
1
2

 x +1 +1 + y +1 +1 = 3

Giải hệ phương trình: 
 1 +1 + 1 +1 − 2 =2
 x2 y
y2 x
xy 3


Phân tích: Đây là một hệ phương trình đẹp! Các biến đối xứng với nhau. Để xử lí
bài toán các biến đối xứng nhau thế này, ta thường có các phương pháp sau: phương
pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, hoặc sử dụng S, P. Và đặc biệt, phương pháp rất
hay được sử dụng đó là phương pháp đánh giá – một phương pháp khó, đòi hỏi sự tư
duy cao! Sau đây, tôi sẽ xử lí bài toán này bằng phương pháp đánh giá :D
 x ≥ −1

Bài làm: Điều kiện  y ≥ −1
 xy > 0


Để sử dụng được bđt AM-GM thì ta cần điều kiện là x,y > 0. Ta sẽ thực hiện đánh
giá:

Nhìn vào phương trình 1:

1
+
x +1 +1

1
2
=
y +1 +1 3

Với −1 ≤ x, y < 0
1
1
>
x +1 +1 2
1
1 =>
y + 1 + 1 < 1 + 1 = 2 =>
>
y +1 +1 2
=> Với −1 ≤ x, y < 0 => loại
x + 1 + 1 < 1 + 1 = 2 =>

1
+
x +1 +1

1
1 1

2
> + = 1 > (KTM)
3
y +1 +1 2 2

Vậy: x,y > 0
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


HỆ PHƯƠNG 15

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
Với x,y > 0, ta có:
1 1
+ +
x2 y

1 1
2
2
+ −
= =
2
y
x
xy 3

Thực hiện đánh giá:

1
+
x +1 +1

1 1
+ +
x2 y

1
y +1 +1

1 1
2
+ −
≥
2
y
x
xy

1
+
x +1 +1

y +1 −1
1
1
x +1 −1
+
=

+
=
x
y
x +1 +1
y +1 +1
2 AM −GM 1 1
*−
≥ − − ( Đẳng thức xảy ra <=> x = y )
x y
xy

Ta có VP =

Cần chứng minh:

1 1
+ +
x2 y

1 1
+ ≥
y2 x

1 1
+ +
x2 x

1
y +1 +1

1 1
+ +
x2 x

1 1 1 1
+ − −
y2 y x y

1 1
+
y2 y

1 1 1 1
1 1 1 1
+ )( 2 + ) ≥ ( 2 + )( 2 + )
2
x
y y
x
x
x y
y
1 1
1
1
<=> x3 + y 3 ≥ x 2 y + xy 2
<=> x 3 + y 3 ≥ x 2 y + xy 2 ( Đúng theo AM-GM ) (Đẳng thức xảy ra <=> x = y ).

<=> (

Vậy

1 1
+ +
x2 y

1 1
2
+ −
≥
2
y
x
xy

1
+
x +1 +1

1
2
= <=> x = y
y +1 +1 3

:3.. Việc còn lại là thế x = y vào và xử đẹp thoai :v
8
 3
 y y ( x + y + y( x + y ) =
3

Giải hệ phương trình: 
( x + 2 y ) x + y + 2 y y = 2


 x + y = a
x + y ≥ 0
Điều kiện: 
Đặt: 
a,b ≥ 0
y ≥ 0
 y = b
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
8
 7 2
b (a + ab) =
<=> 
3
2
2
(a + b )a + 2b3 = 2


<=> 3b 7 (a 2 + ab) = ((a 2 + b 2 )a + 2b3 )3
<=> 3a 2b 7 + 3ab8 = (a 3 + ab 2 + 2b3 )3 (*)
Với b = 0 => y = 0, thay vào phương trình 1 => vô nghiệm
Với b ≠ 0 , chia cả 2 vế của (*) cho b9
Phương trình tương đương với:
a2 a
a3 a
<=> 3( 2 + ) = ( 3 + + 2)3

b b
b b
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG 16

2
a a
a
a
3 a
<=> 3 ( + 1) = ( + 1) ( 2 − + 2)3
b b
b
b
b
2
 a a
3a
3 a
2
( b 2 − b + 2) ( b + 1) − b = 0
<=> 
 a + 1 => (l )
 b
a2 a

a
3a
<=> ( 2 − + 2)3 ( + 1) 2 −
=0
b b
b
b
Ta có:
a2 a
a
−
+
2
≥
+1
b2 b
b
a2 a
a
=> ( 2 − + 2)3 ≥ + 1
b b
b
2
a a
a
a
=> ( 2 − + 2)3 ( + 1) 2 ≥ ( + 1)3
b b
b
b

a
b

Mà ( + 1)3 >

3a
b

a2 a
a
3a
=> ( 2 − + 2)3 ( + 1) 2 >
=> Hệ phương trình đã cho vô nghiệm
b b
b
b
4
4
3
3
24 3

( x + y ) + y ( x + y ) = 4 xy x y
Giải hệ phương trình: 
3
2
2

 x − 3 x + (4 y − 2 3 y + 2) x + 1 = 0

Bài làm:
Điều kiện: x3 y ≥ 0
Làm chặt khoảng nghiệm của hệ:
Từ phương trình 2, Vì
(4 y 2 − 2 3 y + 2) x2 + 1 > 0

 để hệ phương trình có nghiệm

<=> x3 − 3x ≤ 0
x ≤ − 3

<=> 

 0 ≤ x ≤ 3

TH1: Với: x ≤ − 3 => x 3 < 0
 để hệ phương trình có lí <=> y ≤ 0 , khi đó:
VT1 > 0 > VP => hệ phương trình vô nghiệm
TH2: Với 0 ≤ x ≤ 3
 để hệ phương trình có lí <=> y ≥ 0
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG 17

Khi đó, phương trình 1:
<=> x 4 + x3 y + y 4 + y 4 = 4 xy 2 4 x3 y

Áp dụng BĐT AM – GM:
VT = x 4 + x3 y + y 4 + y 4 ≥ 4 4 x 4 .x3 y. y 4 . y 4 = 4 xy 2 4 x3 y = VP
Đẳng thức xảy ra <=> x = y
Thay vào phương trình 2, ta có:
<=> x3 − 3x + (4 x2 − 2 3x + 2) x2 + 1 = 0
x
3
<=> (4 x 2 − 2 3 x + 2)( x2 + 1 − ( + )) + 3 x3 + 3x 2 − 5 y + 3 = 0
2 2
1
( 3 x − 1) 2
.(4 x 2 − 2 3x + 2).
+ ( x + 3)( 3x − 1)2 = 0
<=> 4
x
3
x2 + 1 + ( + )
2 2
1
.(4 x 2 − 2 3 x + 2)
2 4
+ x + 3) = 0
<=> ( 3 x − 1) (
x
3
2
x +1 + ( + )
2 2

<=> x =

3
3

3 3
; )
3 3
Nhận xét: Thực ra, bài này cái đoạn làm chặt miền nghiệm của hệ phương trình là
không cần thiết, tôi chỉ đưa ra vì để cần cho những bạn nào thực hiện phương pháp
đánh giá hoặc đặt lượng giác.. để giải phương trình 2. Còn về cách liên hợp xử lí
nghiệm bội thì chắc nhiều bạn đã biết :D
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y) = (

 x + 2 − y =1

1
1
Giải hệ phương trình:  1
=
x −
y2 + 4x 6

Giải:
Phân tích: Đây là một bài toán rất chặt :3.. nên việc ta nghĩ tới là đánh giá vì các
cách khác không khả thi :v.. Mà muốn đánh giá là phải nhẩm được nghiệm, nhẩm
nghiệm ta được x = 2, y = 1.
Điều kiện: tự bịa
Cách 1: Đánh giá qua biểu thức trung gian y = x – 1
( Vì nghiệm x = 2, y = 1 => y = x – 1 ).
Ta có: Vì y ≥ 0 => Phương trình 2 ta có

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
1
=
x

1
y2 + 4x

+

HỆ PHƯƠNG 18

1 1
1
1 1
1
3(7 − 33)
≤ +
≤ +
=>
<=>
x
≥
6 6
4x
x 6

4x
2

Phương trình 1:
<=> x + 2 − y = 1
<=> x + 3 − 2 x + 2 = y (*)
Ta có các trường hợp sau
TH1: y > x − 1 , thay vào (*) => x < 2, ta có
 3(7 − 33)
 3(7 − 33)
≤x<2

≤x<2
2


2
<=> 
(VN )
<=>  1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 =

 <
+ <
+ =
+
+
 x
 x x + 1 6
y2 + 4x 6
(x − 1) 2 + 4 x 6 x + 1 6
TH2: y < x − 1 , thay vào (*) => x > 2, ta có
x > 2
x > 2


1
1
1
1
1
1 <=>  1
<=>  1 =
1
1 (VN )
+ >
+ =
+
>
+
x
 x x + 1 6

y2 + 4x 6
(x − 1) 2 + 4 x 6 x + 1 6

Vậy => y = x – 1
Thay vào (*) => nghiệm (x;y) = (2;1)
Cách 2: Dùng UCT
 y 2 + 4 x = a
a, b ≥ 0
Đặt 
 x + 2 = b
Vì nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;1)
a = 3
=> 
b = 2
a = 3
* Hướng 1 dùng UCT, Vì 
=> ta có thể thế 1 trong 2 giá trị này vào các hệ
b = 2
phương trình mới thu được => nhân tử...

a = 3
* Hướng 2 dùng UCT, Vì 
=> b = a – 1 => ta thay vào hệ phương trình =>
b = 2
biểu thức cần nhân...

Cách 3: Thế, đánh giá qua nghiệm
Như ta đã nhẩm được nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;1)
:3.. Thế (*) vào phương trình 2
1

1
1
1
1
= −
=
=> x −
y2 + 4x x
( x + 3 − 2 x + 2) 2 + 4 x 6
Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


HỆ PHƯƠNG 19

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
:v.. giải phương trình này thôi
Đặt x + 2 = t => x = t 2 − 2
 phương trình tương đương với
1

1

1

= (*)
<=> t 2 − 2 − 2
(t + 1 − 2t ) 2 + 4t 2 − 8 6
Hướng giải quyết (*)
Xét hàm đuê :v

Cách 4: Đánh giá qua 2 nghiệm x và y

Giải phương trình:

x 2 -1 + x 3 - 2 = 3 x - 2

3

Điều kiện: x ≥ 3 2
Phương trình đã cho tương đương với:
<=> 3 x 2 -1 − 2 + x 3 - 2 − 5 = 3x - 9
<=> ( x − 3)(

x+3
3

( x 2 -1) 2 + 2 3 x 2 -1 + 4

+

x 2 + 3x + 9
x3 - 2 + 5

− 3) = 0

x = 3

x+3
x 2 + 3x + 9

<=> 
+
− 3 = 0(1)
 3 ( x 2 -1) 2 + 2 3 x 2 -1 + 4
x3 - 2 + 5


Ta sẽ chứng minh phương trình (1) vô nghiệm bằng việc chứng minh
x+3
3

( x 2 -1) 2 + 2 3 x 2 -1 + 4

+

x 2 + 3x + 9
x3 - 2 + 5

>3

Ta có: * 2 3 x 2 -1 ≤ x + 1 (2)
<=> ( x + 1)( x − 3) 2 ≥ 0 ( đúng )
* 3 ( x 2 -1) 2 = 1. 3 ( x 2 -1).( x 2 -1) ≤
Kết hợp (2),(3)
=>
=> 3

x+3

3

( x -1) + 2 x -1 + 4
2

2

3

2

x+3
( x 2 -1) 2 + 2 3 x 2 -1 + 4

≥

+

2 x2 −1
(3)
3

3( x + 3)
2 x 2 + 3 x + 14

x 2 + 3x + 9
x3 - 2 + 5

≥

3( x + 3)

x 2 + 3x + 9
+
2 x 2 + 3x + 14
x3 - 2 + 5

Vậy, ta chỉ cần chứng minh

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG 20

3( x + 3)
x 2 + 3x + 9
+
>3
2 x 2 + 3 x + 14
x3 - 2 + 5
<=> 3( x + 3)( x3 - 2 + 5) + ( x 2 + 3 x + 9)(2 x 2 + 3x + 14) > 3(2 x 2 + 3 x + 14)( x 3 - 2 + 5)
<=> 2 x 4 + 9 x3 + 11x 2 + 39 x − 39 > (6 x 2 + 6 x + 33) x 3 - 2($)

Việc chứng minh ($) sẽ có 2 cách sau
Cách 1: Bình phương thần chưởng :v..chắc chắn sẽ giải quyết được nhưng hơi trâu :3
Cách 2: Ta lần lượt chia các khoảng
+ Với x ∈  3 2; 2  ..
+ Với x ∈ (2; +∞) , ta có
2 x 4 + 9 x 3 + 11x 2 +

39 x
> 39 , ta chỉ cần chứng minh
2

39 x
> (6 x 2 + 6 x + 33) x 3 - 2 ( giải quyết bằng bình phương thần chưởng )
2

:v.. định viết rõ ra nhưng hết mất trang giấy :v
Cách 3: :v.. chưa nghĩ ra

Giải hệ:
 2 y 2 − 7 y + 10 − x( y + 3) + y + 1 = x + 1


3
= x + 2y
 y +1 +
x +1

pt1 <=> 2 y 2 − 7 y + 10 − x( y + 3) = x + 1 − y + 1
<=> 2 y 2 − 7 y + 10 − x( y + 3) = x 2 + 2 x + 1 + y + 1 − 2( x + 1) y + 1
<=> 2 y 2 − 8 y + 8 − xy − 5 x − x 2 = −2( x + 1) y + 1(*)
pt 2 <=> ( x + 1) y + 1 = x 2 + 2 xy + x + 2 y − 3
(*) <=> 2 y 2 − 8 y + 8 − xy − 5 x − x 2 + 2 x 2 + 4 xy + 2 x + 4 y − 6 = 0
<=> x 2 + 2 y 2 + 3 xy − 3 x − 4 y + 2 = 0
<=> ( x + y − 1)( x + 2 y − 2) = 0

Giải phương trình

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


HỆ PHƯƠNG 21

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
x + 1− x + 4 x + 4 1− x = 2 + 4 8
DK : 0 ≤ x ≤ 1
BCS

* x + 1− x ≤
1
<=> x =
2

BCS

*4 x + 4 1 − x ≤

2.(1)

BCS

2.( x + 1 − x ) ≤

2 2 = 4 8.(2)

1

2
(1) + (2) => VT ≤ VP
1
<=> x = (TM )
2
<=> x =

Giải phương trình
GPT : 1 + 1 − x 2 [ (1 + x)3 − (1 − x)3 ] = 2 + 1 − x 2
DK − 1 ≤ x ≤ 1
<=> 1 + 1 − x 2 .( 1 + x − 1 − x ).(2 + 1 − x 2 ) = 2 + 1 − x 2
<=> (2 + 1 − x 2 )( 1 + 1 − x 2 .( 1 + x − 1 − x ) − 1) = 0
<=> 1 + 1 − x 2 .( 1 + x − 1 − x ) − 1 = 0(1)
Dat : t = 1 + x + 1 − x
=> t 2 = 2 + 2 1 − x 2
*t 2 = ( 1 + x + 1 − x ) 2 = ( 1 + x − 1 − x ) 2 + 4 1 − x 2
=> 1 + x − 1 − x = 4 − t 2
t2
(1) <=>
. 4 − t2 =1
2

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


HỆ PHƯƠNG 22

Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
2

1
2
+
=
2
3x + 1 + 2
x + 3 x +1
−1
DK : x ≥
3
2
1
1
1
<=>
−
+
−
=0
2
3x + 1 + 2 x + 1
x + 3 x +1

GPT :

2 x − 3x + 1
x + 1 − x2 + 3
<=>
+
=0

( 3 x + 1 + 2)( x + 1) ( x 2 + 3)( x + 1)
4x +1
2
<=> ( x − 1)(
+
)=0
2
( 3x + 1 + 2)( x + 1)(2 x + 3x + 1) ( x + 3)( x + 1)( x + 1 + x 2 + 3)
*Ta − co :
2
−1
≤ 1 <=> x =
3
3x + 1 + 2
1
1
≤
<=> x = 0
2
3
x +3
2
1
1
=>
+
< 1+
2
3x + 1 + 2
3

x +3
2
1
<=>
< 1+
x +1
3
4x +1
2
<=> x > 2 − 3 > 0 =>
+
>0
( 3 x + 1 + 2)( x + 1)(2 x + 3 x + 1) ( x 2 + 3)( x + 1)( x + 1 + x 2 + 3)
Vay : x = 1

Câu 10: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn
của biểu thức

M=

abc
= 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
a+b+c

3
5
3
+ 2
+ 2
a +3 b +3 c +3

Giải:
2

Giả thiết tương đương với

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH
3(a + b + c) = abc <=>

HỆ PHƯƠNG 23

3
3
3
+ +
=1
ab bc ca

A
1
2
=

a
3 
B
tan 

1
2  => tan A .tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1
=

b
2
2
2
2
2
2
3 
C
tan 
1
2 
=
c
3 


tan

 thỏa mãn 3 góc trong 1 tam giác
Khi đó

3
5
3
+ 2

+ 2
a +3 b +3 c +3
A
5 2B
C
tan 2
tan
tan 2
2 + 3
2 +
2 = sin 2 A + 5 sin 2 B + sin 2 C
<=> M =
A
B
C
2 3
2
2
1 + tan 2
1 + tan 2
1 + tan 2
2
2
2
cos A + cos C 5 2 B
A+C
A −C 5 2 B
<=> M = 1 − (
) + sin
= 1 − cos

.cos
+ sin
2
3
2
2
2
3
2
A+C 5 2 B
B 5
B
<=> M ≥ 1 − cos
+ sin
= 1 − sin + sin 2
2
3
2
2 3
2
5
B 1 3 2 17 17
<=> M ≥ (
sin −
) +
≥
3
2 2 5
20 20
Đẳng thức xảy ra ....

M=

2

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG 24

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu


Đặng Ngọc Tuyên - AK37
TRÌNH

HỆ PHƯƠNG 25

Thành công sẽ đến nếu có hi vọng và ước mơ bắt đầu