Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (20)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG 3
MÔN: TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ&GIẢI TÍCH LỚP 11
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. CẤP SỐ CỘNG
đ/n

a) Định nghĩa: ( u n ) là cấp số cộng ⇔ u
= u n + d; ∀n ∈ N* với d là số không đổi.
n +1
b) Công thức số hạng tổng quát: u n = u1 + ( n − 1) d; ∀n ≥ 2 .
c) Tính chất các số hạng của CSC:

u k −1 + u k +1
;k ≥ 2
2

uk =

(trừ số hạng đầu và số hạng

cuối).
d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (u n ) là một CSC. Khi đó
Sn = u + u + ... + u =
1
2
n

2. CẤP SỐ NHÂN

(

) [

]

n u + un
n 2u + ( n − 1) d .
1
1
=
2
2

đ/n

a) Định nghĩa: ( u n ) là cấp số nhân ⇔ u
= u n q; ∀n ∈ N* với q là số không đổi.
n +1
b) Công thức số hạng tổng quát: u n = u1q n - 1; ∀n ≥ 2 .
c) Tính chất các số hạng của CSC: u k 2 = u k −1.u k +1; k ≥ 2 hay u k = u k − 1.u k + 1
(trừ số hạng đầu và số hạng cuối).
d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (u n ) là một CSN. Khi đó
Sn
Sn

1− qn
= u + u + ... + u n = u
;q ≠ 1
1
2
1 1− q

.
= nu khi q = 1
1

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Dạng 1. Chứng minh một dãy số là một cấp số cộng, cấp số nhân
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSC:
Để chứng minh dãy số (u n ) là một CSC ta xét hiệu H = u n +1 − u n
- Nếu H là hằng số thì (u n ) là một CSC có công sai d = H .
- Nếu H phụ thuộc vào n thì (u n ) không là CSC.
Ví dụ: Chứng minh dãy số ( u n ) với u n = 20n − 9 là một CSC. Tìm số hạng đầu và công
sai của CSC đó.
Giải:
Ta có u n + 1 − u n = [ 20( n + 1) − 9] - ( 20n - 9) = 20 ⇒ u n + 1 = u n + 20 . Vậy ( u n ) là một
CSC với u1 = 11 và d = 20.
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSN:

1


Để chứng minh dãy số

(u n )

là một CSN ta xét thương

T=

u n +1
, ∀n ≥ 1

un

- Nếu T là hằng số thì (u n ) là một CSN có công bội q = T .
- Nếu T phụ thuộc vào n thì (u n ) không là CSN.
Ví dụ: Xét xem dãy số ( u n ) với u n = ( n + 1).5 n + 1 có là một CSN không? Nếu là CSN
tìm số hạng đầu và công bội.
Giải:
Ta có

u

n +1+1
n+2
n + 1 = ( n + 1 + 1).5
= 5.
phụ thuộc n nên ( u n ) không là CSN.
n +1
u
n +1
(
)
n
+
1
.
5
n

2. Dạng 2. Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN
* Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC:

- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1 và d phải thỏa. Giải hệ này ta được
Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công sai của CSC ( u n ) biết
Giải: Áp dụng công thức

u n = u1 + ( n − 1) d ,

u 2 − u 3 + u 5 = 10

u 4 + u 6 = 26

u1 và d .

(1).

ta có

( u + d ) − ( u1 + 2d ) + ( u1 + 4d ) = 10
u + 3d = 10
u = 1
⇔ 1
⇔ 1
⇔ 1
.
( u1 + 3d ) + ( u1 + 5d ) = 26
2u1 + 8d = 26
d = 3
Vậy ( u n ) đã cho có u1 = 1, d = 3.

(1)

* Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1 và q phải thỏa. Giải hệ này ta được u1 và q .
Ví dụ: Cho CSN ( u n ) có u 2 = 4, u 4 = 16 và công bội q < 0. Tìm số hạng đầu và số hạng
thứ sáu của CSN đó.
Giải: Ta có
4
4


u1 q = 4
u 2 = 4
 q = −2
u1 = q
u1 = q
⇔ 3
⇔
⇔
⇒

.
u 4 = 16
u1 q = 16
u q.q 2 = 16
q 2 = 4 u1 = −2

 1

Vậy ( u n ) đã cho có u1 = −2; u 6 = u1 .q 5 = (−2).(−2) 5 = 64.
3. Dạng 3. Dùng công thức u n và S n của CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng
* Phương pháp dùng công thức u n và S n của CSC để chứng minh hay tính tổng

Ta thường dùng linh hoạt các công thức:
- Nếu (u n ) là một CSC có công sai d thì d = u n +1 − u n
u n = u1 + ( n − 1) d
n( u1 + u n ) n[ 2u1 + ( n − 1) d ]
Sn =
=
2
2

để biến đổi, rút gọn và tính toán.
- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC ⇔ a + c = 2b .
Ví dụ: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC. Chứng minh:
(2).
2

a 2 + 2bc = c 2 + 2ab


Giải: Ta có VT(2) = a 2 + ( a + c ).c = a 2 + ac + c 2 = c 2 + ( a 2 + ac ) = c 2 + a( a + c ) = c 2 + 2ab = VP(2) .
Vậy a 2 + 2bc = c 2 + 2ab .
* Phương pháp dùng công thức u n và S n của CSN để chứng minh hay tính tổng
Ta thường dùng linh hoạt các công thức:
- Nếu

(u n )

q=

là một CSN có công bội q thì

u n +1
,n ≥1
un

u n = u1 q n −1 ; n ≥ 2
1− qn
;q ≠ 1
1− q
S n = nu1 khi q = 1
S n = u1

để biến đổi, rút gọn và tính toán.
- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSN
 ...
9 .
Ví dụ: Tính tổng A = 9 + 99 + 999 + ... + 99
n
Giải: Ta có

⇔ ac = b 2 .

A = 9 + 99 + 999 + ... + 99
 ...
9

(

) (

n

)

(

)

= (10 - 1) + 10 − 1 + 10 3 − 1 + ... + 10 n − 1

(

2

)

= 10 + 10 2 + ... + 10 n - n
1 - 10 n
-n
1 - 10
10 n +1 − 10 − 9n
=
9
= 10.

II. BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Tìm u1 , d, tính S50 của cấp số cộng biết:

u6 = 8
 u1 + 2u 5 = 0
 u1 + u 5 − u 3 = 10

b) 
; c) 
; d)  2 2
S4 = 14
 u1 + u 6 = 7
 u 2 + u 4 = 16
2. Định x để 3 số sau lập thành một cấp số cộng: 10 − 3x; 2x 2 + 3; 7 − 4x .
3.Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh: a 2 + 2bc = c 2 + 2ab
 u 2 + u 5 = 27
a) 
;
 u 3 + u 6 = 33

4. Tìm

u1 ,

q của cấp số nhân biết:

 u1 + u 3 + u 5 = −21
 u 2 + u 4 = 10

a) u4 = 64, và u6 = 1024; b) 

5. Cho ba số 2, 14, 50. Phải cộng thêm mỗi số cùng một số nào để ba số mới lập thành
cấp số nhân.
6. Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh:
(a + b + c)(a − b + c) = a 2 + b 2 + c 2

7. Cho ba số

2 1 2
, ,
b−a b b−c

lập thành một CSC. Chứng minh a, b, c lập thành một CSN.

8. Ba số a, b, c lập thành một CSC và b, c, a lập thành một CSN. Tính a, b, c biết:

3


a)

a + b + c = 18

b)

abc = 125

9. Tìm 4 số hạng của một CSN biết rằng tổng của ba số hạng đầu bằng

148
,
9

đồng thời

theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một CSC.
10. Tính các tổng

 ...
9
 ...
6
a) A = 9 + 99 + 999 + ... + 99
b) B = 6 + 66 + 666 + ... + 66
n
n
c) C =100 2 − 99 2 + 98 2 − 97 2 + ... + 2 2 −12
11. Định m để phương trình x 4 − 2( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành
một CSC.

4