Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (24)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 11 (NC)
NĂM HỌC 2013-2014
TRƯƠNG THPT NGUYỄN HUỆ

A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. CẤP SỐ CỘNG
đ/n

a) Định nghĩa: ( u n ) là cấp số cộng ⇔ u
= u n + d; ∀n ∈ N* với d là số không đổi.
n +1
b) Công thức số hạng tổng quát: u n = u1 + ( n − 1) d; ∀n ≥ 2 .
c) Tính chất các số hạng của CSC:

uk =

u k −1 + u k +1
;k ≥ 2
2

(trừ số hạng đầu và số hạng

cuối).
d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (u n ) là một CSC. Khi đó
Sn = u + u + ... + u =
1
2
n

(

) [

]

n u + un
n 2u + ( n − 1) d .
1
1
=
2
2

2. CẤP SỐ NHÂN
đ/n

a) Định nghĩa: ( u n ) là cấp số nhân ⇔ u
= u n q; ∀n ∈ N* với q là số không đổi.
n +1
b) Công thức số hạng tổng quát: u n = u1q n - 1; ∀n ≥ 2 .
c) Tính chất các số hạng của CSC: u k 2 = u k −1.u k +1; k ≥ 2 hay u k = u k − 1.u k + 1 (trừ
số hạng đầu và số hạng cuối).
d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (u n ) là một CSN. Khi đó

1


1− qn
Sn = u + u + ... + u n = u

;q ≠ 1
1
2
1 1− q
.
Sn = nu khi q = 1
1

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Dạng 1. Chứng minh một dãy số là một cấp số cộng, cấp số nhân
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSC:
Để chứng minh dãy số

(u n )

là một CSC ta xét hiệu

- Nếu

H

là hằng số thì

(u n )

là một CSC có công sai

- Nếu

H

phụ thuộc vào n thì

(u n )

H = u n +1 − u n
d=H

.

không là CSC.

Ví dụ: Chứng minh dãy số ( u n ) với u n = 20n − 9 là một CSC. Tìm số hạng đầu và công
sai của CSC đó.
Giải:
Ta có u n + 1 − u n = [ 20( n + 1) − 9] - ( 20n - 9) = 20 ⇒ u n + 1 = u n + 20 . Vậy ( u n ) là một CSC
với u1 = 11 và d = 20.
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSN:
Để chứng minh dãy số

(u n )

là một CSN ta xét thương

- Nếu

T

là hằng số thì

(u n )

là một CSN có công bội

- Nếu

T

phụ thuộc vào n thì

(u n )

T=

q =T

u n +1
, ∀n ≥ 1
un

.

không là CSN.

Ví dụ: Xét xem dãy số ( u n ) với u n = ( n + 1).5 n + 1 có là một CSN không? Nếu là CSN tìm
số hạng đầu và công bội.
Giải:
Ta có

u

n +1+1
n+2
n + 1 = ( n + 1 + 1).5
= 5.
phụ thuộc n nên ( u n ) không là CSN.
n +1
u
n +1
(
)
n
+
1
.
5
n

2. Dạng 2. Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN
* Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà

u1 và d

2

phải thỏa. Giải hệ này ta được

u1 và d .

Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công sai của CSC ( u n ) biết
Giải: Áp dụng công thức
(1)

u n = u1 + ( n − 1) d ,

u 2 − u 3 + u 5 = 10

u 4 + u 6 = 26

(1).

ta có

( u + d ) − ( u1 + 2d ) + ( u1 + 4d ) = 10
u + 3d = 10
u = 1
⇔ 1
⇔ 1
⇔ 1
.
( u1 + 3d ) + ( u1 + 5d ) = 26
2u1 + 8d = 26
d = 3

Vậy ( u n ) đã cho có

u1 = 1, d = 3.

* Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà

u1 và q

Ví dụ: Cho CSN ( u n ) có
sáu của CSN đó.

và công bội q < 0. Tìm số hạng đầu và số hạng thứ

u 2 = 4, u 4 = 16

phải thỏa. Giải hệ này ta được

u1 và q .

Giải: Ta có
4
4


u1 q = 4
u 2 = 4
 q = −2
u1 = q
u1 = q
⇔ 3
⇔
⇔
⇒


.
u 4 = 16
u1 q = 16
u q.q 2 = 16
q 2 = 4 u1 = −2

 1

Vậy ( u n ) đã cho có

u1 = −2; u 6 = u1 .q 5 = (−2).(−2) 5 = 64.

3. Dạng 3. Dùng công thức

un

và

Sn

của CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng

* Phương pháp dùng công thức

un

và

Sn

của CSC để chứng minh hay tính tổng

Ta thường dùng linh hoạt các công thức:
- Nếu

(u n )

là một CSC có công sai d thì

d = u n +1 − u n
u n = u1 + ( n − 1) d
Sn =

n( u1 + u n ) n[ 2u1 + ( n − 1) d ]
=
2
2

để biến đổi, rút gọn và tính toán.
⇔ a + c = 2b .

- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC

Ví dụ: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC. Chứng minh:
(2).
Giải: Ta có VT(2) =
Vậy

(

a 2 + 2bc = c 2 + 2ab

)

a 2 + ( a + c ).c = a 2 + ac + c 2 = c 2 + a 2 + ac = c 2 + a ( a + c ) = c 2 + 2ab = VP( 2) .

a 2 + 2bc = c 2 + 2ab .

* Phương pháp dùng công thức

un

và

Sn

của CSN để chứng minh hay tính tổng
3


Ta thường dùng linh hoạt các công thức:
- Nếu

(u n )

q=

là một CSN có công bội q thì

u n +1
,n ≥1
un

u n = u1 q n −1 ; n ≥ 2
1− qn
;q ≠ 1
1− q
S n = nu1 khi q = 1
S n = u1

để biến đổi, rút gọn và tính toán.
- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSN
Ví dụ: Tính tổng

A = 9 + 99 + 999 + ... + 99
 ...
9
n

⇔ ac = b 2 .

.

Giải: Ta có
A = 9 + 99 + 999 + ... + 99
 ...
9

(

) (

n

)

(

)

= (10 - 1) + 10 − 1 + 10 3 − 1 + ... + 10 n − 1

(

2

)

= 10 + 10 + ... + 10 - n
2

n

n

1 - 10
-n
1 - 10
10 n +1 − 10 − 9n

=
9
= 10.

II. BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Tìm

u1 ,

d, tính S50 của cấp số cộng biết:

 u 2 + u 5 = 27
;
 u 3 + u 6 = 33

a) 

u6 = 8
 u1 + u 5 − u 3 = 10
 u1 + 2u 5 = 0
; c) 
; d)  2 2
S4 = 14
 u1 + u 6 = 7
 u 2 + u 4 = 16

b) 

2. Định x để 3 số sau lập thành một cấp số cộng: 10 − 3x; 2x 2 + 3; 7 − 4x .
3.Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh: a 2 + 2bc = c 2 + 2ab

4. Tìm

u1 ,

q của cấp số nhân biết:
 u1 + u 3 + u 5 = −21
 u 2 + u 4 = 10

a) u4 = 64, và u6 = 1024; b) 

5. Cho ba số 2, 14, 50. Phải cộng thêm mỗi số cùng một số nào để ba số mới lập thành
cấp số nhân.
4


6. Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh:
(a + b + c)(a − b + c) = a 2 + b 2 + c 2

7. Cho ba số

2 1 2
, ,
b−a b b−c

lập thành một CSC. Chứng minh a, b, c lập thành một CSN.

8. Ba số a, b, c lập thành một CSC và b, c, a lập thành một CSN. Tính a, b, c biết:
a)

a + b + c = 18

b)

abc = 125

9. Tìm 4 số hạng của một CSN biết rằng tổng của ba số hạng đầu bằng

148
,
9

đồng thời

theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một CSC.
10. Tính các tổng
a)

A = 9 + 99 + 999 + ... + 99
 ...
9

c)

C =100 2 − 99 2 + 98 2 − 97 2 + ... + 2 2 −12

n

11. Định m để phương trình
CSC.

b)

B = 6 + 66 + 666 + ... + 66
 ...
6
n

x 4 − 2( m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0

có 4 nghiệm phân biệt lập thành một

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
a) Giả sử

lim f ( x) = L, lim g ( x) = M .

x → x0

x → x0

Khi đó

lim [ f ( x) ± g ( x)] = L ± M ,

x → x0

lim [ f ( x).g ( x)] = L.M ,

x → x0

lim

x → x0

f ( x) L
=
, ( M ≠ 0)
g ( x) M

f ( x) = L thì
b) Nếu f ( x) ≥ 0 và xlim
→x
đang tìm giới hạn, với x ≠ x0 .
0

L ≥ 0, lim

x → x0

f ( x) = L

Chú ý: Định lý trên vẫn đúng cho trường hợp
2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN
5

+

(dấu của f(x) được xét trên khoảng

−

x → x0 , x → x0 , x → +∞, x → −∞.


lim f ( x) = L ⇔ lim_ f ( x) = lim+ f ( x ) = L

x → x0

x → x0

x → x0

3. CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
+) Nếu

lim f ( x ) = +∞ thì lim

x → x0

x → x0

1

f ( x)

=0

+ Bảng quy tắc

lim f ( x )

x→ x 0

lim g ( x)

x→ x 0

L>0
0
L<0
4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:

S=

Dấu
của
g(x)

lim

x→ x 0

+

+∞

-

-∞

+

-∞

-

+∞

f ( x)
g ( x)

u1
,| q |< 1
1− q

CHÚ Ý:Các giới hạn cơ bản:
1.

lim C = C

x → x0

(C = const)

2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì
3.

lim

x → x0

1
=0
xn

lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0

(với n > 0)

5. HÀM SỐ LIÊN TỤC
a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại

x0 ∈ K .

f ( x) = f ( x0 ) .
x0 nếu xlim
→x
0

b) Một số định lý cơ bản:
ĐL 1: - Hàm số đa thức liên tục trên R.
- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập
xác định của chúng.
6

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại
x0 (trường hợp thương thì mẫu phải khác 0 tại x0 ).

x0

là những hàm số liên tục tại

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [ a; b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c ∈ ( a; b ) sao cho f(c) = 0.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số.
Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc đã học để tính.
- Nếu giới hạn của hàm số cần tính có một trong bốn dạng

0 ∞
; ; ∞−∞;
0 ∞

0.∞ thì ta phải khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước
hoặc nhân lượng liên hợp hoặc chia cả tử và mẫu cho x k với k là mũ cao nhất của tử
hoặc mẫu...Cụ thể:
0

* Dạng 0 :
- Nếu tử, mẫu là những đa thức thì ta đặt thừa số ( x − x0 ) làm nhân tử chung và rút gọn
nhân tử này ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.
- Nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc
mẫu và cũng rút gọn thừa số ( x − x0 ) ở tử và mẫu ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.
Cần chú ý các công thức biến đổi sau:
a2 − b2

a3 ± b3
a±b =
;a ± b = 2
a b
a ab + b 2

+ Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
+ Liên hợp của biểu thức:
1.
3.

a− b

là

a −b

là

3

2.

a+ b
3

a+ b

4.

a 2 + 3 a .b + b 2
lim

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: a)

x →2

3

a +b

là
là

a− b
3

a 2 − 3 a .b + b 2

x 4 − 16
x3 − 2x 2

b)

Giải: a)
lim
x →2

(

)

(

)

(

)

x 4 − 16
x − 2 ( x + 2) x 2 + 4
( x + 2) x 2 + 4 = 4.8 = 8
=
lim
=
lim
x→2
4
x 3 − 2 x 2 x→ 2
x2
x 2 ( x − 2)

7

2 − 3x + 1
x →1
x2 −1

lim

Vậy

Vậy

lim

x 4 − 16
= 8.
x3 − 2x 2

b)

lim

x →2

2 − 3x + 1
4 − ( 3 x + 1)
−3
−3
3
= lim 2
= lim
=
=−
2
x →1
x →1

x →1 (
8
x −1
x − 1 2 + 3x + 1
x + 1) 2 + 3 x + 1 (1 + 1) 2 + 3.1 + 1

(

)(

)

(

)

(

)

2 − 3x + 1
3
=− .
2
x →1
8
x −1

lim

* Dạng

∞
:
∞

- Chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.
- Sau đó dùng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương cùng giới hạn
1
=0
x → ±∞ x k
lim

với k nguyên dương.

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: a)

Giải: a)

Vậy

16
3− 3 +
3 x 4 − 16 x + 2
x
lim
= lim
x → +∞ x 4 − 2 x 2 + 4
x → +∞
2

1− 2 +
x

b)

x 2 − 5x + 1
x → −∞ 10 − 2 x 3
lim

2
x4 = 3 − 0 + 0 = 3
4
1− 0 + 0
4
x

3 x 4 − 16 x + 2
= 3.
x → +∞ x 4 − 2 x 2 + 4
lim

1 5
1
− 2 + 3
x 2 − 5x + 1
x = 0−0+0 = 0
lim
= lim x x
3
x → −∞ 10 − 2 x

x → −∞
10
0−2
−2
3
x

a)

Vậy

3 x 4 − 16 x + 2
x → +∞ x 4 − 2 x 2 + 4
lim

x 2 − 5x + 1
=0
x → −∞ 10 − 2 x 3
lim

* Dạng

∞−∞:

- Nếu

x → x0

- Nếu

x → ±∞

thì ta quy đồng mẫu số để đưa về dạng

0
.
0

thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng

8

∞
.
∞


Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: a)

3 
 1
lim
−

x →1 1 − x
1 − x3 


lim

b)

x → +∞

(

4 x 2 + 3x + 1 − 2 x

)

Giải: a) Ta có
1+ x + x2 − 3 
 x2 + x − 2 
3 
( x − 1)( x + 2) = lim − x − 2 = −1
 1



 = lim
lim
−
=
lim
=
lim

3
3
3

2


x →1 1 − x
x →1 1 + x + x 2
1 − x  x →1 
1− x

 x →1  1 − x
 x →1 (1 − x ) 1 + x + x

(

Vậy

)

3 
 1
lim
−
 = −1
x →1 1 − x
1 − x3 


b) Ta có
lim

x → +∞

(

Vậy

)

4 x 2 + 3x + 1 − 2 x = lim

lim

x → +∞

(

(4x

2

+ 3x + 1) − 4 x

2

4 x 2 + 3x + 1 + 2 x

x → +∞

)

4 x 2 + 3x + 1 − 2 x =

3x + 1

= lim

4 x 2 + 3x + 1 + 2 x

x → +∞

= lim

x → +∞

1
3
3
x
=
=
2+ 2 4
3 1
4+ + 2 + 2
x x
3+

3
4.

* Dạng 0.∞
- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu

căn, quy đồng mẫu số,...ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc.
Ví dụ: Tìm giới hạn sau:

(

)

lim+ x 3 − 1

x →1

x
.
x −1
2

Giải: Ta có

(

)

(

x→1

Vậy

(

)

lim+ x 3 − 1

x →1

)

x
= lim+ x 2 + x + 1 ( x − 1)
2
x − 1 x→1

lim+ x 3 − 1

x

( x − 1)( x + 1)

) ( xx−( x1)(−x1)+ 1) = lim ( x
2

(

= lim+ x 2 + x + 1
x→ 1

x
=0.
x −1

2

2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vô hạn
- Sử dụng công thức

S=

u1
,| q |< 1 .
1− q

( −1)
1
1
S = −1 + − 2 + ... + n −1 + ...
10 10
10
n

Ví dụ: Tính tổng

9

x → 1+

2

) x( (xx+−11) ) = 3.0 = 0

+ x+1

Giải: Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với

u1 = −1

và q =

1
− .
10

Vậy

S=

−1
10
=−
11 .
 1
1− − 
 10 

3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số
3.1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
 f1 ( x)
f ( x) = 
 f 2 ( x)

– Dạng I: Cho h/s

khi x ≠ x0
khi x = x0

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0);
B3 :

lim f ( x)

x→ x0

lim f ( x)

x→ x0

= f(x0)

⇒

KL liên tục tại x0

Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số

x2 − 4
khi x ≠ 2


f ( x) =  2 − x
− 4 khi x = 2


tại x0 = 2

ĐS: liên tục
– Dạng II: Cho h/s

 f1 ( x)
f ( x) = 
 f 2 ( x)

khi x ≥ x0
khi x < x0

Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0?

 x−2

f ( x) =  x − 1 − 1
 3x − 4


khi x > 2
khi x ≤ 2

tại x0 = 2

ĐS: liên tục
3.2 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số

 x 2 − 3x + 2

f ( x) =  x − 2

1


10

khi x ≠ 2
khi x = 2

trên TXĐ của nó.


ĐS: hsliên tục trên R
3.3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số liên tục tại x0
Ví dụ: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số

 x2 − x − 2


f ( x) =  x +1

a


khi

x ≠ −1

khi

x = −1

liên tục tại x0 = -1.
ĐS: a = -3
3.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên [ a; b] :
B1: Tính f(a), f(b) ⇒ f(a).f(b) < 0
B2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên [ a; b]
B3: Kết luận về số nghiệm của PT trên [ a; b]
Ví dụ: CMR phương trình
Xét hàm số
Và

x7 + 3x5 − 2 = 0

f ( x ) = x 7 + 3x5 − 2

có ít nhất một nghiệm

liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]

f ( 0 ) = −2 < 0 
 ⇒ f ( 0 ) . f ( 1) < 0
f ( 1) = 2 > 0 

Nên phương trình

f ( x) = 0

có ít nhất một nghiệm

x0 ∈ ( 0;1)

.

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
a)
d)

− x3 + 5 x − 1
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1
lim

x5 + 2 x 3 − 4 x
x →+∞ 1 − 3 x 2 − 2 x 3
lim

ĐS: a) -1/2

b) -∞

b) xlim
→−∞

−3 x 3 + 2
2x +1

∞
):
∞

c)

5 x3 − x 2 + 1
x →−∞
3x 2 + x
lim

5x2 − 1
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1

e) lim

c) - ∞ d) -∞

f) xlim
→−∞

x2 + 2 x − 4 x2 + 1
2 − 5x

e) 0 f) -1/5

Bài 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
a)

lim (−2 x 3 + x 2 − 3 x + 1)

x →−∞

b)

lim (− x 4 + x 3 + 5 x − 3)

x →+∞

11

c) xlim
→+∞

4 x2 + x + 2


x 2 − 3x + 2

d) xlim
→−∞

e) xlim
→+∞

ĐS: a) +∞ b) - ∞

(

3x 2 + x − 2 x

)

f) xlim
→−∞

c) + ∞ d) +∞ e) - ∞

(

2x2 + x + x

)

f) + ∞

Bài 3: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a) xlim
→3

−

x +1
x−3

b)

lim
x →4

1− x

( x − 4)

c)

2

ĐS: a) - ∞ b) - ∞

lim

x →3+

2x −1
x −3

c) + ∞

d)

lim

x →−2+

d) + ∞

f)

x2 − 9
x −3
2− x
x+7 −3

lim
x →2

ĐS: a) 6

e)

lim

x 2 − 3x + 2
x −1

c)

x+3
2
x →−3 x + 2 x − 3

d)

lim

g)

lim

x2 − 9
x +1 − 2

h)

lim

2x +1 − 3
x −2

i)

lim

b) -1

x →3

c) -4

lim

x →4

2 x +x

f)

x −x
2

x →0

lim

x →−1−

3x − 1
x +1

0
):
0

b/

x →1

lim−

f) + ∞

e) 1

Bài 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
a/ lim
x →3

−2 x + 1
x+2

d) 3/2 e) 4/3 f) -6

x3 − 1
x2 − 1

x →1

x + 2 −1
x+5 −2

x →−1

g) 24

e)

h) 4/3

k)
i) 2

lim

x2 + 2x − 3
2x2 − x −1

lim−

x 2 − 3x + 2
2− x

x →1

x →2

k) 0

Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞):
a)

lim+ ( x − 1)

x →1

ĐS: a)0

2x + 3
x2 − 1

b)

b) +∞

lim+ x 2 − 9.

x →3

2x +1
x −3

c/

(

lim x 3 − 8

x → 2−

c) 0

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a)

lim

x →+∞

(

x2 + 1 − x

ĐS: a) 1/2

)

x
2 − x2

)

b)

b) 1

lim

x →+∞

(

x2 + 2x − x2 + 1

c) 1/4

)

c) xlim
→−∞

(

4x2 − x + 2x

)

d) xlim
→−∞

(

x2 − x − x2 −1

d) 1/2

Bài 7: Tính các giới hạn sau:
1,

x →−2

5,

lim

8,

lim

(

x →±∞

2,

x2 − x − 4x2 + 1
2x + 3

x →−∞

lim

)

x2 + 5 −1

(

x2 − x − x2 + 1

)

lim−

x +1
x−2

6,

1 1

lim− 

− 1÷
x →0 x  x + 1


9,

x+3
2
x →−1 x + 2 x − 3

x →3

lim (− x 3 + x 2 − x + 1)

3, x→−∞

lim

12

7,

2 x3 + 3x − 4
4, xlim
→+∞ − x 3 − x 2 + 1

lim ( 4 x 2 − x + 2 x)

x →−∞

10,

2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
lim 3
x →3 4 x − 13 x 2 + 4 x − 3

)


( x + 3)3 − 27
x→0
x

11,

ĐS: 1)2
8)

lim

x → +∞

12,

lim

(

2)4

lim
x →2

3)+∞

)

x+2 −2
x +7 −3

4)-2

)

(

lim

5)1/2

6)-1

7) -2

1
1
x 2 − x − x 2 + 1 = − ; lim x 2 − x − x 2 + 1 =
2 x →−∞
2

9) -1/2

10) 11/17

11)27

12)3/2

13) -1/56

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng
a)

2− x −3
x →7
x 2 − 49

13,

sin 3 x
x →0
x

sin x sin 2 x
x →0
3x 2

lim

b)

ĐS: a) 3

b) 2/3

c)

lim

c) 1

1 − cos 2 x
lim
x →0
x sin x

d)

sin x
=1)
x →0
x

lim
lim
x →0

sin x.sin 2 x....sin nx
xn

d) n!

Bài 9: Tính tổng
1/

( −1)
1
1
S = −1 + − 2 + ... + n −1 + ...
10 10
10

3/

( −1)
1 1 1
, − , ,...,
3 9 27
3n

n

2

2

2

2/ S = 1 + 100 + 1002 + ... + 100n + ...

n +1

,...

Bài 10: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
n−1

a)

1 1 1
 1
1, − , , − ,...,  − ÷ ,...
2 4 8
 2

n−1

b)

1 1 1
1
1, , , ,...,  ÷ ,...
3 9 27
3

ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)

x2 − 4

khi x ≠ 2

f ( x) =  2 − x
− 4 khi x = 2


c)

 2 x 2 + 3x − 5

f ( x) = 
x −1

7


e/

 x2 − 2

f ( x) =  x − 2
2 2


tại x0 = 2
khi x > 1
khi x ≤ 1

khi x ≠ 2

b)

 x2 − 4 x + 3

f ( x) =  x − 3

5


tại x0 = 1

tại x0 =

2

d)

f)

khi x = 2
13

khi x<3
khi x ≥ 3

 2 − x +1

f ( x) =  3 − x

3



 x−2

f ( x) =  x − 1 − 1
 3x − 4


tại x0 = 3

khi x ≠ 3
khi x = 3

khi x > 2
khi x ≤ 2

tại x0 = 3

tại x0 = 2


ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên
tục
Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)

c)

 x 2 − 3x + 2


f ( x) =  x − 2

1

 x2 − x − 2

f ( x) =  x − 2
 5− x


khi x ≠ 2

b)

khi x = 2
khi x > 2

d)

khi x ≤ 2

 1− x
2

f ( x) =  ( x − 2 )
 3


khi x ≠ 2
khi x = 2

x
khi x < 0


f ( x) = 
x2
khi 0 ≤ x < 1
− x 2 − 2 x + 1 khi x ≥ 1


ĐS:
a) hsliên tục trên R ;
b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R ;
d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 13: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
a)

c)

 x2 − x − 2

f ( x) =  x +1

a


 x+7 −3


f ( x) =  x − 2
 a −1


ĐS: a) a = -3

khi

x ≠ −1

khi

x = −1

b)

 x2
f ( x) = 
 2ax − 3

khi x < 1
khi x ≥ 1

với x0 = 1

với x0 = 2 d)

 3x 2 − 1
f ( x) = 
 2a + 1

khi x < 1
khi x ≥ 1

với x0 = 1

với x0 = -1

khi x ≠ 2
khi x = 2

b) a = 2

c) a = 7/6

d) a = 1/2

Bài 14:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:

2 x 3 − 10 x − 7 = 0

b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:

x 3 + 1000 x + 0,1 = 0

c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình
e) Chứng minh ptrình

m ( x − 1)

x 2 sin x + x cos x + 1 = 0
3

có ít nhất một nghiệm

x0 ∈ ( 0; π )

.

( x − 2 ) + 2 x − 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bài 15: CM:
14


a)

x4 − 5x + 2 = 0

có ít nhất một nghiệm.

b)

x5 − 3x − 7 = 0

có ít nhất một nghiệm.

c)

2 x3 − 3x 2 + 5 = 0

có ít nhất một nghiệm

d) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
e)

x3 + 3x 2 − 1 = 0

có đúng 3 nghiệm phân biệt.

g)

( 1 − m ) ( x + 1)

+ x2 − x − 3 = 0

h)

m ( x − 1)

2

3

luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; -1) với mọi

m.
3

(x

2

)

− 4 + x4 − 3 = 0

luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. BẢNG ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

( C ) ′ =0

Đạo hàm của hàm số hợp

(C là hằng số)

( x ) ′ =1
(kx)’=k (k là hằng số )

( x )′ =n.xn-1

(n∈ N, n ≥ 2)

′

1
1
 ÷ =− 2
x
x

(x ≠ 0)

′
U′
1
 ÷ =− 2
U
U

1
( x )′ =
2 x

(x>0)

( U)

n

15

(U )′ =n.Un-1.U ′
n

′

=

U′
2 U

(U ≠ 0)

(U > 0)


( sin x ) ' = cos x
( cos x ) ' = − sin x
1
= 1 + tan 2 x
cos 2 x
( cot x ) ' = − 12 = − 1 + cot 2 x
sin x

( sin U ) ' = U ' cos U
( cos U ) ' = −U ' sin U

( tan x ) ' =

(

U'
cos 2 U
( cot U ) ' = − U2 '

sin U

.( tan U ) ' =

)

2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( U ± V)

′

( U.V ) ' = U'.V + V'.U

= U′ ± V ′

(k.U)′ = k.U′ (k

′
U'.V − V'.U
U
  =
V2
V

là hằng số)

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: g(x) = f[U(x)] ,

g' x

=

f 'u . U x′

4. ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ
′

Đạo hàm cấp 2 :

f ′′( x) = [ f ′( x)]

Đạo hàm cấp n :

f ( n ) ( x) = f ( n −1) ( x)

[

]′

5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
Lưu ý:
f’( x0 ) = hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) tại điểm M ( x0 , f ( x0 ) )
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao của các hàm số Sử dụng các quy tắc và
bảng đạo hàm để tính.
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)

y = x3

b) y = 3x 2 + 1

c)

d)

y = x +1

16

y=

1
1− x


ĐS: a) y’=3x2

b) y’= 6x

c) y’ =

1
2 x +1

d)

y' =

1

(1 − x ) 2

2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 , f ( x0 ) )
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*)
* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước:
Phương pháp:
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên

kd ' = kd

B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)=

kd′

(3)

B3: Giải (3) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước
Phương pháp:
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên

kd' = −

1
kd

B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)=

kd′

(4)

B3: Giải (4) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.
* Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
Phương pháp:
B1: Gọi d là tiếp tuyến cần viết và M ( x0 , y 0 ) là tiếp điểm. Khi đó d có pt dạng
y − y 0 = f ' ( x 0 )( x − x 0 )

17


B2: Cho d đi qua A ta được
B3: Giải (5) tìm

x0 ⇒ y 0 ? .

y A − y 0 = f ' ( x0 )( x A − x 0 )

(5)

Suy ra pt tiếp tuyến cần viết.

Ví dụ: Gọi (C) là đồ thị hàm số: y =

f ( x) =

1
.
x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C )

a) Tại điểm có hoành độ bằng -2
b) Tại điểm có tung độ bằng 3
1

c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y = - 9 x + 2014.
d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

∆' :

1

y = 4 x – 4.

e) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-8;0).
1
4

ĐS: a) y = - x -1 ; b) y = -9x+6;
d) y = -4x+4, y = -4x-4 ;

1
9

c) y = - x +
1
x
16

e) y = -

2
,
3

-

1
9

y=- x-

2
3

1
.
2

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

x
+3
2

1. y = x 3 − 2 x + 1

2. y = 2 x 5 −

5. y = 5x 2 (3x − 1)

6. y = ( x 2 + 5) 3

9. y = ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 3

3. y = 10 x 4
7. y = ( x 2
10. y =

+

2
x2

+ 1)(5 − 3x 2 )

2x
x −1
2

5x − 3

x + x +1

11. y =

2x 2 − 6x + 5
2x + 4

12. y =

13. y =

x 2 + 6x + 7

14. y =

x −1 + x + 2

16. y =

x 2 − 2x + 3
2x + 1

18) y =

3x - 2
x - x +2

15.

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

17. y =

19)

3x 2 − 2 x + 1
2x − 3

y=

a
3

x

2

−

b
x x
3

2

2

20) y = 3 a + bx3

18

4. y = ( x 3 + 2)( x + 1)
8. y = x (2 x − 1)(3x + 2)


21)

2
3

22)

y = (a − b )
y=

23)
25)

2 3
3 2

(x + 2)2
(x + 1)3 (x + 3)4

24) y = (x 7 + x)2

29/ y=

1+ x
1− x

26) y =

y = x2 − 3x + 2

27) y =

y = x2 3 x2

1

28/ y= x

x x
x (x2- x +1)

30/ y=

31/ y= (2x+3)10

1+ x2

1+ x
1− x

32/ y= (x2+3x-2)20

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = 3 sin 2 x. sin 3x

2) y = (1 + cot x ) 2

sin x + cos x

π

7) y = cot 3 (2x + 4 )

6) y = sin x − cos x
10) y

= 1 + cos 2

11) y = (1 + sin 2 2 x ) 2

14) y= 5sinx-3cosx
y = sin 2 (cos3x)

22)

y = 1 + 2 tan x

8)

1

x
2

18)

3) y = cos x. sin 2 x

y=

9)

y = 2 + tan 2 x

1 + sin x
x
y = sin 4
5)
2 − sin x
2
cos x 4
y=−
+ cot x
3sin 3 x 3
=

12) y = sin 4 p- 3x 13) y = cos ( x3 )

15) y = x.cotx
19)

4) y

16)

x sin x
1 + tan x

20)

y=

17) y= sin(sinx)

y = cot 3 1 + x 2
sin x
x
+
x
sin x

21)

y = tan

x +1
2

Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
1
;
x

a) y = x2 + x ; x0 = 2

b) y =

d) y =

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1

x

- x; x0 = 2

g) y = x.sinx; x0 = π3

x0 = 2

c) y =

x −1
;
x +1

x0 = 0

f) y =

2x −1
;
x −1

h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = π3

i)

x0 = 3

Cho

f ( x) = 3x + 1 ,

tính f ’’(1) k)Cho y = xcos2x . Tính f”(x)
l) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) . TÝnh f '' ( 2 )
6

 π
π
m) f ( x ) = sin 3x . Tính f ''  − ÷; f '' ( 0 ) ; f ''  ÷
2
18


Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
19








ax + b

y=
cx + d

ax 2 + bx + c
y=
dx + e
y=

Áp dụng:
Bài 5:

ax 2 + bx + c
mx 2 + nx + p

− x2 + x − 2
y=
2x − 1

Cho hai hàm số :

f '( x) = g '( x)

x 2 − 3x + 4
y= 2
2x + x + 3

f ( x) = sin 4 x + cos 4 x

và

g ( x) =

(∀ x ∈ ℜ ) .

y = x 3 − 3x 2 + 2

Bài 6: Cho
ĐS: a)

3x + 4
− 2x + 1

y=

x < 0
x > 2


. Tìm x để:

b) 1 −

a) y’ > 0

1
cos 4 x .
4

Chứng minh:

b) y’ < 3

2 < x < 1+ 2

Bài 7: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.

b) f(x) =

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x

d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

Bài 8: Cho hàm số

f(x) = 1 + x. Tính :

f(3) + (x − 3)f '(3)

Bài 9:
a) Cho y =
b) Cho y =
c) Cho

2x − x 2
x−3
x+4

; chứng minh

; chứng minh2(y’)2=(y -1)y’’

cos 2 x
f(x)=
1 + sin 2 x

d) Cho hàm số:

y 3 y ′′ + 1 = 0

y=

; c/m

π
π
f ( ) − 3f ' ( ) = 3
4
4

x2 + 2x + 2
.
2

Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

e) Cho hàm số y = cos22x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
Bài 10: Chứng minh rằng

a/

f ( x) =

f '( x ) > 0

2 9
x − x 6 + 2 x3 − 3x 2 + 6 x − 1
3

∀x ∈ ℜ ,

biết:

b/

f ( x ) = 2 x + sin x

20

3 sin x − cos x + x


Bài 11: Cho hàm số

y=

x2 + x
x−2

(C)

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phtrình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y =
- x + 2.
Bài 13: Gọi ( C) là đồ thị hàm số :

y = x3 − 5 x 2 + 2 .

Viết phương trình tiếp tuyến của (C )

a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 7 x – 4.
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;0).
Bài 14: Cho đường cong (C): y =

x+2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x−2

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là −4
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2).
Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x +1
x−2

1)

y=

5)

y = x 2 sin x

2)
6)

y=

2x +1
x + x−2

3) y =

2

y = (1 − x 2 ) cos x

x
x −1
2

7) y = x.cos2x

21

4)

y = x x2 + 1

8) y = sin5x.cos2x


y '' =

ĐS: 1)
y '' =

5)

(x

6

( x − 2)

2)

3

y '' =

4 x 3 − 10 x 2 + 30 x + 14

(x

2

+ x−2

)

3)

3

y '' =

(

2 x x2 + 3

(x

2

)

−1

3

)

4)

2 x3 + 3x

)

+1

2

(

x2 + 1

)

y '' = 2 − x 2 sin x + 4 x cos x

6)

y '' = 4 x sin x + ( x 2 − 3) cos x

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
ĐS: a)

y ( n ) = ( −1)

n

n!

( x + 1)

n +1

b)

π

y ( n ) = sin  x + n ÷
2


22

a)

y=

1

x +1

b) y = sinx


B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 .
r r

rr
• Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
• Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b hoặc b ⊥ ( β ) ⊃ a

• Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc (
chiếu của đt b lên mp chứa đt a).

a ⊥ b ⇔ a ⊥ b'

với b’ là hình

* LƯU Ý: Trong các phương pháp trên thì phương pháp 3 là thông dụng nhất.
 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q).
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).
 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).

• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp:
- Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900.
23


+) Nếu d không vuông góc với (P):
- Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH

• Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm
thuộc ∆).
• Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
24


- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 3:
- Dựng mp (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK ⊥ b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA ⊥ (ABCD)

và

SA = a 2 .

1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) .
3. Tính góc
ĐS:

α

giữa SC và mp (ABCD), góc

giữa SC và mp (SAB).

α = 450 , β = 300

4. Tính tang của góc
ĐS:

β

ϕ

giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

tan ϕ = 2

5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
ĐS:

a 6/3

6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách
giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS:

a/ 2

Hướng dẫn:

25