Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (31)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2012-2013
TRƯỜNG THPT THANH KHÊ
PHẦN I: ĐẠI SỐ – GIẢI TÍCH
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
Kiến thức trọng tâm
1. Giới hạn của dãy số:
- Các giới hạn đặc biệt:
1
1
+ lim = 0;lim k = 0
n
n
k
+ lim n = +∞, k ∈ Z +
+ lim q n = 0, khi q < 1
+ lim q n = +∞, khi q > 1
+ lim c = c

- Các định lý về giới hạn dãy
số, các phương pháp tính giới
hạn của dãy số.

Bài tập
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
6n 3 − 2n + 1
n 3 − 2n
− 2n 2 + n + 2
lim
3n 4 + 5
n5 + n4 − n − 2

lim
4 n 3 + 6n 2 + 9

1) lim

1 − n + 2n 2
5n 2 + n
n 2 + 4n − 5
4) lim 3 2
3n + n + 7
3
3n + 2n − 1
6) lim
2n 2 − n

 2n 3
1 − 5n 2

7) lim 2n 2 + 3 + 5n + 1


2) lim





2
3
(

2n − 3) ( 4n + 7 )
8) lim
( 3n − 4) 2 ( 5n 2 + 1)

10) lim

2
2
(
n − 1) ( 7n + 2 )
lim
12) lim
( 2n + 1) 4

(3n + 1)( 5n + 3)
( 2n − 1)( n + 1)
3

2n 2 − n
1 − 3n 2

n 6 − 7 n 3 − 5n + 8
n + 12

14) lim

2n 4 + 3n − 2
2n 2 − n + 3

n3 + n

n+2

16) lim

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

17) lim

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

n 2 + 1 − 2n
18) lim
2n + 1

19)

lim

4n
2.3 n + 4 n

20)

lim

21)

lim

3 n − 2.5 n
7 + 3.5 n

22)

lim 3 1 + 2n − n 3

3

lim

15) lim

3

5)

2

2n 2 − 3
9) lim 6
n + 5n 5

- Tổng cấp số nhân lùi vô
hạn.
13)

3)

1

3n + 1
2n − 1

11)


Kiến thức trọng tâm

Bài tập
23)

lim 3 n 9 + 8n 2 − 7

25) lim
27) lim

2n − n + n + 2
4

2

(−3) n + 5 n
(−3) n +1 + 5 n +1

(

29)

lim n 2 + n + 1 − n

31)

lim n n 2 + 5 − n

33)

lim 3 n 2 − n 3

(

(

)
+ n)

)

(

)

24)

lim 3n 3 − 7 n + 11

26)

lim

4n − 5n
2 n + 3.5 n

28) lim(

3n − 1 − 2n − 1

30) lim(

n2 + n + 2 − n + 1

32)

(

lim n + 3 1 − n 3

)

)

)

Bài 2: Tính tổng sau:
1) S= 1+0,9+(0,9)2+(0,9)3+...+(0,9)n-1+...
1
2

1

4

1
8

2) S= 1- + − + ...

2. Giới hạn của hàm số:
- Các giới hạn đặc biệt:

+ limx=x 0 ; limc=c
x → xo

x → xo

c
=c
x
x →±∞

+lim c =c; lim
x →±∞

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1)

2 x2 + x − 6
lim
x →−2 − x 2 − 3 x − 2

2x2 − 7 x + 3
4) lim
x →3 x 2 − 4 x + 3
x 6 − x + 15
7) xlim
→−∞ 2 x 6 + 5 x 2

2x − 3
x →1 x + 4

2)

lim

5)

lim
x →4

(
8) xlim
→ +∞

x − 3 −1
x − 3x − 4
5x 2 + 1 − x 5 )

x k = +∞, k ∈ Z +
+ lim
x→+∞

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

x k = +∞, k là số chẵn
+ lim
x→−∞

1)

x k = −∞, k là số lẻ
+ lim
x→−∞

3)

- Định lý về giới hạn hữu hạn
- Các quy tắc tính giới hạn

x →−3

lim
x →2

2x − 7
x+3

2)

x −3

( x − 2)

4)

2

lim−

x →−2

lim

x →−3

3x − 1
x+2
x−2

( x + 3)

2

Bài 4 : Tính các giới hạn sau:

2

lim
x→0

6)

2

( c là hằng số)

lim−

3)

9)

lim

x →−∞

x +1 −1
x
lim 4 x 2 − 1 − x

x →+∞

x 2 + 3x − x
x+3


Kiến thức trọng tâm
vô cực
- Các phương pháp tính giới
hạn các dạng vô định

Bài tập
x 2 + 3x − 10
x →2 3 x 2 − 5 x − 2

1)

lim

lim

x 2 + 2 x − 15
x −3

7)

x 3 + 3x 2 − 9 x − 2
lim
x →2
x3 − x − 6

x →3

2)
5)

10)

x 3 + 3x 2 + 2 x
x → −2
x2 − x − 6

12)

lim

14)

lim

16)

lim

18)

lim

3 
 1
lim
−

x →1 1 − x
1 − x3 


x 2 + 2 x − 15
lim
x → −5
x+5

8)

x 2 + 3x − 4
lim
x → −4
x 2 + 4x

11)

lim

x2 − x + 6
x →2 x3 − 2 x 2 + 2 x − 4
x →2

x→2

x → −1

20)

lim

22)

lim

24)

lim

15)

lim

3x − 5 − 1
x−2

17)

lim

2 x + 10 − 4

x 3 + 3x + 1
x →∞ 2 − 6 x 2 − 6 x 3

lim

5 − x3 − 3 x2 + 7
x2 −1

30) xlim
→ −∞
32
3. Hàm số liên tục:

(

5− x
5− x

x →5

x
1+ x −1

x →0

21)

lim

23)

lim

25)

lim

( 2 x − 3) 20 ( 3x + 2) 30
26) x→∞
( 2 x + 1) 50
x → +∞

2

1+ x + x2 −1

19) lim
x →0
x

lim

28)

x − 3 −1
x →4 x − 3x − 4

x2 + 5 − 3
.
x−2

x−3

x →1

x+4 −3
x 2 − 25

x →5

2 1+ x − 3 8 − x
x→0
x

x →0

27)

1 − 2 x + x 2 − (1 + x )
x

(

lim x x 2 + 1 − x 2 − 2

x → +∞

x 2 − 7 x + 1 − x 2 − 3x + 2

) 29) lim (

3 x 4 + 11x 2 − 1
2x + 5

lim

1− 3 x +1
) lim
x →0
3x

Bài 5:
3

9)

x 2 − 5x + 6
lim
x → −4 x 2 − 12 x + 20

4)

1− x
x3 −1
lim
x →1 x ( x + 5) − 6
x →1

x 3 + 4x 2 + 4x
x → −2
x2 − x − 6

lim

6 x 2 + 3 + 3x

x →3

lim

lim

13)

x +1

6)

x −1

3)

31)
33)

x → +∞

3
x →1

x 2 − 4x + 1 − x 2 − 9x

)

3x − 2 − 3 4 x 2 − x − 2
x 2 − 3x + 2

1 + 4x − 1
lim
x →0
x
3

)

34)

3

lim
x→2

4x − 2
x−2


Kiến thức trọng tâm

Bài tập

- Các bước xét tính liên tục
của hàm số tại một điểm, liên
 x +1 −1
, neáu x ≠ 0

tục trên R
1) Cho h/số f(x)=  1 x

, neáu x = 0
- Dựa vào tính liên tục của
 2
hàm số chứng minh sự có Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.Xét tính liên tục của
nghiệm của phương trình
hàm số trên R.
2) Cho hàm số

 x3 − 8

g(x)=  x − 2
5


, neáu x ≠ 2
, neáu x = 2

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.Xét tính liên tục của
hàm số trên R. Trong g(x) trên phải thay số 5 bởi số nào
để hàm số liên tục tại x = 2.
3) Cho hàm số f(x)=

 x2 − 4

 x+2
m


, neáu x > −2
, neáu x ≤ 2

Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x = 2.Xét tính liên tục
của hàm số trên R
4) Cho hàm số f(x)=

3
 1
- 3

, neáu x > 1

 x -1 x −1



mx +2 , neáu x ≤ 1

Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x = 1.Xét tính liên tục
của hàm số trên R
Bài 6: Chứng minh rằng: Phương trình
1) sinx – x +1 = 0 có nghiệm.
2)

x3
4

- sin πx +

2
3

= 0 có nghiệm trên đoạn [ − 2;2] .

3) 3x3 + 2x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
4) 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên
khoảng (-1;1)

4

Kiến thức trọng tâm

Bài tập
5) 2x3 – 6x +1 = 0 có 3 nghiệm trên khoảng(-2 ; 2)
Bài 7: Cho phương trình bậc hai f(x)= ax2+ bx + c =0 (a ≠
0). Biết 3a + 3b + 5c = 0. Chứng minh rằng pt luôn có
nghiệm thuộc [0;1]
Bài 8: Chứng minh rằng pt (1– m2)x5 – 3x –1 = 0 luôn có
nghiệm với mọi tham số m.

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
Kiến thức trọng tâm

Bài tập

1. Tính đạo hàm bằng định Bài 1: Tìm đạo hàm của các hs sau bằng định nghĩa.
nghĩa
1) y = f(x)= x3 − 2x +1 tại x0 = 1.
2) y = f(x)= x2 − 2x tại x0 = − 2.
3) y = f(x)=
4) y =f(x)

=

x+3
x+2
x−3

tại x0 = 6.

tại x0 = 4

2. Tính đạo hàm bằng công Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
thức:
x2 − 2 x − 3
1) y = x + 5
2) y = x4 − 3x 2 + 7
- Công thức tính đạo hàm
sin x + cos x

4) y = sin x − cos x

3) y = cos3x.sin3x
- Các quy tắc tính đạo hàm

12

5) y = 3 x

- Đạo hàm của hàm số lượng 7) y = x.cotx
giác
9) y = sin 1 + x 2
- Đạo hàm cấp cao

x +1
6) y = tan
2
sin x
x
8) y = x +

sin x

- Chứng minh đẳng thức 11) y = 1 + 2 tan x
chứa đạo hàm
5


13) y =  7 +


5
÷
x3 

5

10) y =sin(sin(2x
12) y = cot 3 1 + x 2
14) y =

1 + x3
1− x2

−

7))


Kiến thức trọng tâm

Bài tập
x+2
x −1
15) y = (1 − x2 )(1 + x)3 16) y = 2 x + 1
2 x −1
18) y = x − 2
2

17) y = cos(sinx)
19) y = cos

x
20) y = sin 3x
23) y = 1 + 2 tan x

24) y = sin(sinx)

sin x + cos x
26) y = sin x − cos x

x
27) y = 1 + cos2 2

1 − 2 x2

22) y = x x 2 +1
x2 − 2 x + 3
2x +1

25) y =

1
28) y = ( x 2 + 1) 2

21) y =

 2 x2 + 1 
y = 2 ÷
 x −3 

31) y = sin(cos(x3

3
34) y = ( 2 x + 5 ) 2

−

5x2 + 4x

33) y = ( x + 1)

32) y = (x + 1)8(2x – 3)

36) y = (

x
2

29) y = x 2 + 2 x
4

30)

1 + cos 2

− 10))

x2 + x + 1

35) y= tan4x − cosx

x2 +1 + x

)

10

Bài 3: Cho hàm số f(x) = x3 – 2x2 + mx – 3. Tìm m để
1) f’(x) ≥ 0 với mọi x.
Bài 4: Cho y = x3

−

2) f’(x) > 0 với mọi x > 0

3x2 + 2.

Tìm x để: a/ y’ > 0

b/ y’< 3

Bài 5: CMR mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã cho
tương ứng
1) y =

1 − x2

2) y =

2x − x2

3)

y=

4) y =

x −3
x+4

ta có (1 − x2)y” − xy’ + y=0

,
,

ta có

y3.y” + 1 =0

ta có: 2y’2 = (y

,

x2 + 2x + 2
.
2

6

−

1)y”

Cm rằng: 2y.y’’ – 1 = y’2


Kiến thức trọng tâm

Bài tập
Bài 6: Giải phương trình f’(x) = 0, biết rằng
1) f ( x) = 3x +
f ( x) =

60 64
+ +5
x x3

2)

sin 3x

cos3 x 

+ cos x − 3  sin x +
3
3 ÷


3) f(x) = 3sin2x + 4cos2x + 10x
Bài 7: Tính đạo hàm cấp 4 của các hàm số sau
1) y =

1
x

2) y =

1
x +1

3) y = sinx

4) y = cosx

Bài 1: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 + 2, viết phương trình
tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
1) Biết hoành độ tiếp điểm là x0 = 0.

3.Phương trình tiếp tuyến.
-Tiếp tuyến của đồ thị
điểm M thuộc (C).

- Biết tiếp tuyến có hệ số góc 2) Biết tung độ tiếp điểm là y0 = 0
k.
3) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 9
Bài 2: Cho hàm số y = – x3 + 3x2 – 4x + 2 viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1) Tại điểm x0 = 2
2) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =

1
x+3
4

3) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y + 3 = 0.
PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG III. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC .
Kiến thức trọng tâm

Bài tập

1. Véctơ trong không Bài 1: Cho hình chóp S.ABCB có đáy ABCD là hình thoi tâm
gian: (nắm phương pháp O.
chứng minh 3 điểm thẳng
7


hàng,
3 véctơ đồng
phẳng, đường thẳng song
song đường thẳng, đường

thẳng song song mp).
2. Quan hệ vuông góc

Biết SA = SC và SB = SD.
a) Chứng minh

SO ⊥ ( ABCD )

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng
minh IJ ⊥ ( SBD )

Dạng 1: Tính góc giữa Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác
hai đường thẳng chéo đều, gọi I là trung điểm BC.
nhau a và b, tính góc giữa
a) Chứng minh BC ⊥ ( ADI )
đt và mp, góc giữa hai
b) Vẽ đường cao AH của tam giác ADI. Chứng minh
mp.
AH ⊥ ( BCD )
Dạng 2: Chứng minh hai
đường thẳng a và b vuông Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông tâm O cạnh a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm
góc nhau
AD.
Dạng 3: Chứng minh
đường thẳng vuông góc a)Cm AD vuông góc với mp (SOI) , DB vuông góc với
mp(SAC)
với mặt phẳng:
Dạng 4: Chứng minh hai b) Tính tan của góc giữa SA và mặt đáy (ABCD)
mặt phẳng vuông góc c)Tính tang của góc giữa (SAD) và mặt đáy (ABCD)

nhau:
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AD=CA=DB = a
Dạng 5: Khoảng cách
và CD = 2a.

2

-Khoảng cách từ một
a) Chứng minh: AB vuông góc với CD.
điểm đến một đt, khoảng
b) Tính d(AB,CD)
cách từ một điểm đến một
Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là
mp.
tam giác đều cạnh a, các cạnh bên bằng a.
-Khoảng cách từ một đt
a) Gọi I trung điểm BC chứng minh AI vuông góc với
đến một mp song song,
BC’.
khoảng cách giữa hai mp
song song.
b) Gọi M là trung điểm BB’. Chứng minh BC’ vuông góc
AM
-Khoảng cách giữa 2
đường thẳng chéo nhau.
c) Tính góc giữa MI và mp(ABC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D biết AB = 2a, AD =DC=a, SA vuông góc
(ABCD) và SA = a.
8

a)CMR : mp (SAD) vuông góc với mp(SDC), mp(SAC)
vuông góc với mp(SCD)
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
c)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SD vuông góc với
mp(SAC). Xác định mp(P). Tính diện tích thiết diện của hình
chóp cắt bởi mp(P)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm
O và SB=SD.
a) Chứng minh mp(SAC) là mặt trung trực đoạn BD.
b)Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các
cạnh SB và SD. Chứng minh SH=SK,OH=OK và HK // BD
b) c) CM mp(SAC) là mặt trung trực đoạn HK.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
a, SA ⊥ (ABCD). Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với
SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại E, K, H.
a) Chứng minh AE

⊥

SB và AH

⊥

SD.

b) Chứng minh rằng EH // BD. Từ đó nêu cách xác định
thiết diện.
c) Tính diện tích thiết diện khi SA = a

2.

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
tâm O. Cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a.

Chứng minh BC

b.

Chứng minh (AEF)

c.

Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).

d.

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

⊥

(SAB), CD
⊥

⊥

(SAD);

(SAC);

Bài 10: Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O, cạnh
a, góc A=60o và đường cao SO = a
a) Chứng minh: (SBC) ⊥ (SOI).
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
9


c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
HỌC SINH ÔN LẠI CÁC BÀI TẬP GV ĐÃ SỬA Ở SGK
11 CHUẨN

10