Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (32)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG 4
MÔN: TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ&GIẢI TÍCH LỚP 11
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, ∀n và lim vn = 0 thì limun = 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0:

lim

1
n

= 0 , lim

1
1
= 0 , lim 3 = 0 , lim q n = 0 với
n
n

|q| < 1
2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = +∞ thì

lim

1

un

=0

limv
limun=L
n
L >0
L>0
L<0
L<0

0

Dấu
của
vn
+
+
-

lim

un
vn

+∞
−∞
−∞
+∞

- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+) Nếu

lim f ( x ) = +∞ thì lim

x → x0

x → x0

1

f ( x)

=0

lim f ( x )

x→ x 0

lim g ( x)

x→ x 0

L>0
0
L<0

- Chú ý khi gặp các dạng vô định:

∞ 0
; ; ∞ − ∞;0.∞
∞ 0

Dấu
của
g(x)
+
+
-

lim

x→ x 0

f ( x)
g ( x)

+∞
-∞
-∞
+∞

ta phải khử các dạng vô định đó

bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu
thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1


1.

lim C = C

x → x0

(C = const)

2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì
3.

lim

x → x0

1
=0
xn

lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0

(với n > 0)
0 ∞
; ; ∞−∞;
0 ∞

- Khử dạng vô định

0x∞

Ghi chú:
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1. a − b là a + b
2. a + b là a − b
3. 3 a − b là 3 a 2 + 3 a .b + b2
4. 3 a + b là 3 a 2 − 3 a .b + b 2
Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
2
1/ lim 8n −2 3n
n
3

2/

lim

2n 2 − 3n − 1
−n 2 + 2

3/

Giải:
1/

8n 2 − 3n
3
lim

= lim 3 8 − = 3 8 = 2
2
n
n

3/

3

(

lim n − 1 − n 2 + 1

)

)

(

lim n − 1 − n 2 + 1 = lim

4/

 3n − 4n + 1 
lim 
n
n ÷
 2.4 + 2 
−2n

n −1 + n + 1
2

1−

n

2/

3 1
2− − 2
2n 2 − 3n − 1
n
n = 2 = −2
lim
= lim
2
2
−n + 2
−1
−1 + 2
n

 3n − 4n + 1 
lim
4/  2.4n + 2n ÷=lim



−2

= lim

1
1
+ 1+ 2
n
n

= −1

.

n

3
1
  −1+  
4
4 = − 1
n
2
1
2+ 
2

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

S=

u1
,| q |< 1
1− q

Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1 1
1
Ví dụ: Tính tổng S = 1 + 2 + 2 + ... + 2 + ....
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
2

S=

n

q=

1
<1
2

và

u1
1
=
=2
1− q 1− 1

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
a ) un =

( −1)

n

2n 2 + 1

b) un =

sin 2n
n +1

c ) un =

n + cos 3n
n2 + n

2

d ) un =

cos n
n n +1

u1 = 1 .

Vậy:


e ) un

( −1)
=

n

2n
f ) un = n
3 +1

n +1

3

g ) un

( −1)
=

n +1

3

n

1

+

h) un = n + 1 − n

5n +1

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1) Lim

2n3 − 5n + 3
n 2 − 3n3

2) lim

5) lim(n – 2n3)

(1 + 2n)(2 − 3n)
(4n − 5) 2

6) lim (

2n − 4n + 3n + 3
n 3 − 5n + 7
(1 − n) 3 (3 + 2n)
8) lim (3n 2 + 1) 2
3

3) lim

n 3 − 2n
1 − 3n 2

4) lim

n 2 − 3n 3
2n 3 + 5n − 2

7) lim

n +1 − n)

2

9)

10) lim

lim( 3n − 1 − 2n − 1)

4 n − 5n
2 n + 3.5n

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
−3n + 2
n3 + 3n − 2
c) lim 3
2
n + 2n − 1

2n + 1
n
n
2
3 − 2.5
3n − 4n + 1
4n + n + 1
f ) lim n
g
)
lim
e) lim
3.5 − 4n
2.4n + 2n
1 − 2n
1
1
1
1
+
+
+ ... +
i ) lim un với un =
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1)
2n − 3n3 + 1
n3 + n 2

a ) lim

ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0 d) -3/25
a ) lim(3n 2 + n − 1)

(

i ) lim

(

3n 2 − 6n + 1 − 7 n

k ) lim n

ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) +∞
-1/2 l) -3/2 m) 1/3

(

n −1 − n

d) +∞

4n 2 + 1 − 9n 2 + 2
2−n

h) 1 i) 1

(

)

(
l ) lim ( n − 3n − n ) m) lim (

f ) lim 3n 2 + 1 − 2n

)

1 + 2n − 3n5
(n − 2)3 (5n − 1) 2

c) lim 3n 2 + n sin 2n d ) lim 3n 2 + n − 1

b) lim(−2n 4 + n 2 − n + 3)

)

h) lim

e) -1 f) -2/3 g) -1/2

Bài 4 : Tính các giới hạn sau:
e) lim 2.3n − 5.4n

d ) lim

b) lim

)

n2 − n + n

h) lim

g ) lim n 2 + 1 − n
2

e) - ∞ f) - ∞ g) 0

3

n3 + n 2 − n

h) +∞ i) -∞

Bài 5: Tính tổng

( −1)
1
1
− 2 + ... + n −1 + ...
10 10
10
n

1/

S = −1 +

3/

( −1)
1 1 1
, − , ,...,
3 9 27
3n

2

,...

Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
n−1

a)

2

2/ S = 1 + 100 + 1002 + ... + 100n + ...

n +1

1 1 1
 1
1, − , , − ,...,  − ÷ ,...
2 4 8
 2

2

n−1

b)

1 1 1
1
1, , , ,...,  ÷ ,...
3 9 27
3

ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 7: Tính các giới hạn sau:

3

)

)
k)


x →−2

5,

x →−∞

9,

lim

lim

)

(

1,

x +1
x →3 x − 2
x2 + 2x − 3
6, lim
x →1 2 x 2 − x − 1
1 1

− 1÷
10, xlim

−
→0 x  x + 1

x+3
13, xlim
→−1 x 2 + 2 x − 3
x+2 −2
16, lim
x →2
x +7 −3

x2 + 5 −1

2,

lim (− x 3 + x 2 − x + 1)

x →−∞

12,
15,

lim

x →±∞

(

x2 − x − 4x2 + 1
2x + 3
x2 − x − x2 + 1

)

( x + 3)3 − 27
lim
x→0
x

lim−

3,
7,

− x3 + 5 x − 1
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1
x5 + 2 x 3 − 4 x
d) xlim
→+∞ 1 − 3 x 2 − 2 x 3

b) xlim
→−∞

lim

ĐS: a) -1/2

−3 x 3 + 2
2x +1

x →−∞

14,

lim

17,
∞
):
∞

c)

5x2 − 1
e) lim 3
x →+∞ 2 x + 3 x 2 + 1

c) - ∞ d) -∞

b) -∞

x 2 − 3x + 2

e) xlim
→+∞

(

8,

2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
x →3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3
2− x −3
lim 2
x →7
x − 49

5 x3 − x 2 + 1
x →−∞
3x 2 + x
x2 + 2 x − 4 x2 + 1

f) xlim
→−∞
2 − 5x
lim

e) 0 f) -1/5

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
(−2 x 3 + x 2 − 3 x + 1)
(− x 4 + x 3 + 5 x − 3)
a) xlim
b) xlim
→−∞
→+∞
d) xlim
→−∞

1− x
x → 4 ( x − 4) 2
2 x3 + 3x − 4
lim
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1

lim

4,

lim ( 4 x 2 − x + 2 x)

11,

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
a)

2x −1
x →3 x − 3
2− x
lim
x →2
x+7 −3
lim−

3x 2 + x − 2 x

)

c) xlim
→+∞

4 x2 + x + 2

f) xlim
→−∞

2x2 + x + x

(

)

ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) + ∞ d) +∞ e) - ∞
f) + ∞
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
x +1

a) xlim
→3 x − 3
−

b)

lim
x →4

1− x

( x − 4)

2

ĐS: a) - ∞ b) - ∞

c)

lim+

x →3

c) + ∞

2x −1
x −3

d)

d) + ∞

lim+

x →−2

lim−

x →2

b/

x 2 − 3x + 2
lim
x →1
x −1

g)

lim

x2 − 9
x +1 − 2

x →3

e)

lim−

2 x +x

x →0

x −x

lim−

x →−1

3x − 1
x +1

0
):
0

c)

x+3
2
x →−3 x + 2 x − 3

d)

x3 − 1
lim 2
x →1 x − 1

h)

lim

2x +1 − 3
x −2

i)

lim

lim

x →4

f)

2

f) + ∞

e) 1

Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
x2 − 9
a/ lim

x →3 x − 3
x2 + 2x − 3
lim 2
x →1 2 x − x − 1
2− x
f) lim
x →2
x+7 −3

−2 x + 1
x+2

x →−1

x + 2 −1
x+5 −2

e)

k)

x 2 − 3x + 2
2− x

ĐS: a) 6

b) -1

c) -4

d) 3/2 e) 4/3 f) -6

g) 24

Bài 12: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞):

4

h) 4/3

i) 2

k) 0


a)

2x + 3
x2 − 1

lim+ ( x − 1)

x →1

ĐS: a) -1

b)

b) 0

lim+ x 2 − 9.

x →3

c) +∞

2x +1
x −3

c/

(

lim− x 3 − 8

x →2

d) 0

Bài 13: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a)

lim

x →+∞

lim

x →−∞

(

(

x2 + 1 − x

)

b)

x2 − x − x2 −1

ĐS: a) 0

b) 1

)

lim

x →+∞

(

c) 1/4

x2 + 2x − x2 + 1

)

c) xlim
→−∞

(

4x2 − x + 2x

sin 3 x
x →0
x

sin x sin 2 x
x →0
3x 2

lim

b)

ĐS: a) 3

b) 2/3

lim

c) 1

)

d)

d) 1/2
sin x
=1)
x →0
x
sin x.sin 2 x....sin nx
lim
x →0
xn

Bài 14: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng
a)

x
2 − x2

)

c)

1 − cos 2 x
x →0
x sin x

lim

d)

lim

d) n!

4/ Xét tính liên tục của hàm số
* Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
– Dạng I: Cho h/s

 f1 ( x)
f ( x) = 
 f 2 ( x)

khi x ≠ x0

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

khi x = x0

Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
lim f ( x)
B2: Tính f(x0); x→
x
0

B3 :

lim f ( x)

x→ x0

= f(x0)

– Dạng II: Cho h/s

⇒

KL liên tục tại x0

 f1 ( x)
f ( x) = 
 f 2 ( x)

khi x ≥ x0

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

khi x < x0

* Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên [ a; b] :
B1: Tính f(a), f(b) ⇒ f(a).f(b) < 0
B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên [ a; b]
Ví dụ:CMR phương trình x7 + 3x5 − 2 = 0 có ít nhất một nghiệm
7
5

Xét hàm số f ( x ) = x + 3x − 2 liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]
Và

f ( 0 ) = −2 < 0 
 ⇒ f ( 0 ) . f ( 1) < 0
f ( 1) = 2 > 0 

5


Nên phương trình
được chứng minh.

f ( x) = 0

có ít nhất một nghiệm

x0 ∈ ( 0;1)

, vậy bài toán

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 x2 − 4

1, f ( x) =  x + 2
 −4


3,

voi x ≠ − 2
x = −2

voi

 x 2 voi x < 0
f ( x) = 
1 − x voi x ≥ 0

tại x = -2 2, f(x) =

tai x = 0

4,

2 − x +1

nÕu x ≠ 3
 3−x
4
nÕu x = 3

2 x − 1 , x < 1
f ( x) =  2
,x ≥1
 x

tại x = 3

tại x = 1

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,

3,
5,

 x2 − 2

f ( x) =  x − 2
2 2


voi

x≠ 2

voi

x= 2

2,

1 − 1 − x , x ≠ 0

x
f ( x) = 
1


,x = 0

2
1
f ( x) =
2− x

4,

 1− x

g ( x) =  ( x − 2) 2
3


voi

x≠2

voi

x=2

 x2 − x − 2

f ( x) =  x − 2
 5− x


6, f ( x ) =

khi x > 2
khi x ≤ 2

x − 3 +1

Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,

 x2
f ( x) = 
 2ax − 3

voi x < 1
voi x ≥ 1

2,

 x2 − x − 2

f ( x) =  x +1

a


khi x ≠ −1
khi x = -1

Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)

 x2 − 4

f ( x) =  x + 2
 −4


khi x ≠ -2
khi x = -2

tại x0 = -2

b)

 x2 − 4 x + 3

f ( x) =  x − 3

5


khi x<3
khi x ≥ 3

tại x0 =

3
c)

 2 x 2 + 3x − 5


f ( x) = 
x −1

7


khi x > 1
khi x ≤ 1

tại x0 = 1

d)

tại x0 = 3

6

 2 − x +1

f ( x) =  3 − x

3


khi x ≠ 3
khi x = 3


e/

 x2 − 2

f ( x) =  x − 2
2 2


khi x ≠ 2

tại x0 =

f)

2

khi x = 2

 x−2

f ( x) =  x − 1 − 1
 3x − 4


khi x > 2
khi x ≤ 2

tại x0 = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên
tục
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

a)

c)

 x 2 − 3x + 2

f ( x) =  x − 2

1

 x2 − x − 2

f ( x) =  x − 2
 5− x


khi x ≠ 2

b)

khi x = 2
khi x > 2

d)

khi x ≤ 2

ĐS: a) hsliên tục trên R ;
đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R ;

đọan tại x = 1.

 1− x
2

f ( x) =  ( x − 2 )
 3


khi x ≠ 2
khi x = 2

x
khi x < 0


2
f ( x) = 
x
khi 0 ≤ x < 1
− x 2 − 2 x + 1 khi x ≥ 1


b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián
d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián

Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
a)
c)

 x2 − x − 2
khi x ≠ −1

f ( x) =  x +1
với x0 = -1

a
khi
x
=
−
1

 x+7 −3
khi x ≠ 2

f ( x) =  x − 2
với x0 = 2
 a −1
khi x = 2


b)

 x2
f ( x) = 
 2ax − 3

khi x < 1
khi x ≥ 1

với x0 = 1

d)

 3x 2 − 1
f ( x) = 
 2a + 1

khi x < 1
khi x ≥ 1

với x0 = 1

ĐS: a) a = -3 b) a = 2
c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 7:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2 x3 − 10 x − 7 = 0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x3 + 1000 x + 0,1 = 0
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình x 2 sin x + x cos x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ ( 0; π ) .
3
e) Chứng minh phương trình m ( x − 1) ( x − 2 ) + 2 x − 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá
trị của m.
Bài 8:
a)

x4 − 5x + 2 = 0

có ít nhất một nghiệm.

7


b) x5 − 3x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm.
c) 2 x3 − 3x 2 + 5 = 0 có ít nhất một nghiệm
d) 2 x3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) x3 + 3x 2 − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
h) ( 1 − m2 ) ( x + 1) + x 2 − x − 3 = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với
mọi m.
3
i) m ( x − 1) ( x 2 − 4 ) + x 4 − 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.

8