Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (34)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2013-2014
TRƯỜNG THPT THANH KHÊ
A/ Kiến thức trọng tâm:
I/ Đại số:
- Giới hạn của dãy số.
- Giới hạn của hàm số (các dạng vô định).
- Hàm số liên tục: + Các bước xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên tục trên R.
+ Chứng minh sự có nghiệm của phương trình.
- Tính đạo hàm của hàm số, đạo hàm cấp cao.
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị và các bài toán liên quan đến đạo hàm.
II/ Hình học:
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
- Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhau:
- Tính góc giữa đt và mp, góc giữa hai mp.
-Khoảng cách từ một điểm đến một mp.
B/ Một số bài tập ôn tập:
I/ Đại số:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
6n 3 − 2n + 1
1) lim 3
n − 2n
n5 + n 4 − n − 2
lim
4n 3 + 6 n 2 + 9

9)

lim

1 − n + 2n 2
2) lim
5n 2 + n
3n 3 + 2n − 1
6) lim
2n 2 − n

− 2n 2 + n + 2
3) lim
3n 4 + 5
 2n 3
1 − 5n 2

lim
+
7)  2n 2 + 3 5n + 1


( 2n − 3) 2 ( 4n + 7 ) 3
(3n 2 + 1)( 5n + 3)
( n − 1) 2 ( 7n + 2) 2
lim
lim
10)
( 2n 3 − 1)( n + 1) 11)
( 3n − 4) 2 ( 5n 2 + 1)
( 2n + 1) 4

n 2 + 4n − 5
4) lim 3 2

3n + n + 7




2n 2 − 3
8) lim 6
n + 5n 5

12) lim

2n 2 − n
1 − 3n 2

5)


3

13)

lim

n 6 − 7 n 3 − 5n + 8
n + 12

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

lim

2n 4 + 3n − 2
2n 2 − n + 3

14) lim
n 2 + 1 − 2n
2n + 1

18) lim

19)

lim

15) lim

4n
2.3 n + 4 n

n3 + n
n+2

3

20)

16)

lim

3n + 1
2n − 1

17)

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

lim

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
2 x2 + x − 6
x →−2 − x 2 − 3 x − 2

1)

lim

6) lim
x →4

2)

x − 3 −1
2
x − 3x − 4

2x − 3
x →1 x + 4

3)

lim

7) xlim
→−∞

lim
x→0

x 6 − x + 15
2 x6 + 5x 2

x +1 −1
x

4)

2x2 − 7 x + 3
x →3 x 2 − 4 x + 3

5x 2 + 1 − x 5 )

(
8) xlim
→ +∞

(
5) xlim
→+∞

lim

9)

lim

x →−∞

4 x 2 − 1 − x)

x 2 + 3x − x
x+3

Bài 3: Tính các giới hạn sau:
1)

lim−

x →−3

2x − 7
x+3

2)

lim−

x →−2

3x − 1
x+2

3)

lim
x →2

x −3

( x − 2)

lim

4)

2

x →−3

x−2

( x + 3)

2

Bài 4 : Tính các giới hạn sau:
1)

x −1

3 
 1
lim
−


2) lim
3)
3
x →1
x →1 1 − x
1− x 
1− x

3
3
2
x −1
x + 3x − 9 x − 2
lim
lim
7)
x
→
2
x →1 x ( x + 5) − 6
x3 − x − 6

x 2 + 3x − 10
x →2 3 x 2 − 5 x − 2

lim

6)
10)

x 3 + 3x 2 + 2 x
x → −2
x2 − x − 6

13)

lim

16)

lim

11)

lim

x − 3 −1
2
x →4 x − 3x − 4

14)

lim

3x − 5 − 1
x−2

17)

lim

x→2

x →2

x →0

x 3 + 4x 2 + 4x
x → −2
x2 − x − 6

12)

lim

x2 + 5 − 3
.
x−2
x
1+ x −1

15)

x−3

1+ x + x2 −1
lim
19) lim
20)
x →3
2 x + 10 − 4
x →0
x
3
2 1+ x − 8 − x
5 − x3 − 3 x2 + 7
lim
lim
23) x → 0
24) x→1
x2 −1
x

Bài 5:
1) Cho h/số

 x + 1 −1

f(x)=  1 x

 2

, neáu x ≠ 0
, neáu x = 0

a/ Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

8)

x 2 + 3x − 4
x → −4
x 2 + 4x
lim

5)

x 2 + 2 x − 15
lim
x → −5
x+5

9)

x 2 − 5x + 6
x → −4 x 2 − 12 x + 20
lim

x2 − x + 6
x →2 x3 − 2 x 2 + 2 x − 4

lim

5− x

x →5

lim

x →3

x 2 + 2 x − 15
x −3

5− x

lim

18)

4) lim

x +1

x → −1

6 x + 3 + 3x

21)

2

x+4 −3
lim 2
x →5
x − 25

25)

lim
x →0

22)

x 3 + 3x + 1
lim
x →∞ 2 − 6 x 2 − 6 x 3

1 − 2 x + x 2 − (1 + x )
x


b/ Xét tính liên tục của hàm số trên R.
 x3 − 8

g(x)=  x − 2
5


2) Cho hàm số

, neáu x ≠ 2
, neáu x = 2

a/ Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2. Trong g(x) trên phải thay số 5 bởi số nào để
hàm số liên tục tại x = 2.

b/ Xét tính liên tục của hàm số trên R.
3) Cho hàm số f(x)=

 x2 − 4

 x+2
m


, neáu x > −2
, neáu x ≤ 2

Tìm tham số m để hàm số liên tục tại x = 2.
Bài 6: Chứng minh rằng: Phương trình
1) sinx – x +1 = 0 có nghiệm.
2)

x3
4

- sin πx +

2
3

= 0 có nghiệm trên đoạn [ − 2;2] .

3) 3x3 + 2x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
4) 4x4 + 2x2 – x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1;1)
5) 2x3 – 6x +1 = 0 có 3 nghiệm trên khoảng(-2 ; 2)

Bài 7: Cho phương trình bậc hai f(x)= ax2+ bx + c =0 (a ≠ 0). Biết 3a + 3b + 5c = 0.
Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm thuộc [0;1]
Bài 8: Chứng minh rằng pt (1– m2)x5 – 3x –1 = 0 luôn có nghiệm với mọi tham số m.
Bài 9: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
1) y = x −x +2 x5− 3

2) y = x 4 − 3x2 + 7
x +1
6) y = tan
2

12

5) y = 3 x
9) y = sin 1 + x 2
5

13)


5
y = 7 + 3 ÷
x 


3
sin x + cos x
3) y = ( 2 x + 5 ) 2 4) y = sin x − cos x

10) y = x 2 + 2 x 11) y = 1 + 2 tan x

14) y =

1 + x3
1− x2

sin x
x
8) y = x +
sin x

7) y = x.cotx

12) y = cot 3 1 + x 2

x+2
15) y = (1 − x2 )(1 + x)3

x −1
16) y = 2 x +1


2 x 2 −1
y
=
17) y = x x +1 18)
19) y = cos
x−2
2

sin x + cos x
22) y = sin x − cos x

x
2

21) y =

1 + cos 2

25) y =

x2 − 2 x + 3
2x +1

26) y = (

1

28) y =

(x

2

)

+1

x
20) y = sin 3x

23) y = 1 + 2 tan x

x2 +1 + x

)

10

24) y = ( x + 1)

x2 + x +1

x
27) y = 1 + cos2 2

8

29) y = (x + 1) (2x – 3)

2

1 − 2 x2

4

 2 x2 + 1 
÷

2
 x −3 

30) y = 

Bài 10: Cho hàm số f(x) = x3 – 2x2 + mx – 3. Tìm m để
a/ f’(x) ≥ 0 với mọi x.
b/ f’(x) > 0 với mọi x > 0
Bài 11: Cho y = x3

−

Tìm x để: a/ y’ > 0

3x2 + 2.
b/ y’< 3

Bài 12: CMR mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã cho tương ứng
1) y =

1 − x2

2) y =

2x − x2

3)

y=

x −3
x+4

x
4) y =

2

ta có (1 − x2)y” − xy’ + y=0

,
,

ta có

y3.y” + 1 =0

ta có: 2y’2 = (y

,

+ 2x + 2
.
2

−

1)y”

Cm rằng: 2y.y’’ – 1 = y’2

Bài 13: Giải phương trình f’(x) = 0, biết rằng
1) f ( x) = 3x +

60 64
+ +5
x x3

sin 3x
cos3 x 

2) f ( x) = 3 + cos x − 3  sin x + 3 ÷



3) f(x) = 3sin2x + 4cos2x + 10x
Bài 14: Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
1) Biết hoành độ tiếp điểm là x0 = 0.
2) Biết tung độ tiếp điểm là y0 = 0
3) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 9
Bài 15: Cho hàm số y = – x3 + 3x2 – 4x + 2 viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số.


1) Tại điểm x0 = 2
2) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =

1
x+3
4

3) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + y + 3 = 0.
II/ Hình học:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCB có đáy ABCD là hình thoi tâm O.
Biết SA = SC và SB = SD.
a) Chứng minh

SO ⊥ ( ABCD )

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng minh

IJ ⊥ ( SBD )

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh

BC ⊥ ( ADI )

b) Vẽ đường cao AH của tam giác ADI. Chứng minh

AH ⊥ ( BCD )

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên
bằng 2a. Gọi I là trung điểm AD.
a)Cm AD vuông góc với mp (SOI) , DB vuông góc với mp(SAC)
b) Tính tang của góc giữa SA và mặt đáy (ABCD)
c)Tính tang của góc giữa (SAD) và mặt đáy (ABCD)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AD=CA=DB = a

2

và CD = 2a.

a) Chứng minh: AB vuông góc với CD.
b) Tính d(AB,CD)
Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh
bên bằng a.
a) Gọi I trung điểm BC chứng minh AI vuông góc với BC’.
b) Gọi M là trung điểm BB’. Chứng minh BC’ vuông góc AM
c) Tính góc giữa MI và mp(ABC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D biết AB =
2a, AD =DC=a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a.
a)CMR : mp (SAD) vuông góc với mp(SDC), mp(SAC) vuông góc với mp(SCD)


b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
c)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SD vuông góc với mp(SAC). Xác định mp(P). Tính diện
tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(P)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SB=SD.
a)

Chứng minh mp(SAC) là mặt trung trực đoạn BD.

b)Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD. Chứng minh
SH=SK,OH=OK và HK // BD
b)

c) CM mp(SAC) là mặt trung trực đoạn HK.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Qua A

dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại E, K, H.
a) Chứng minh AE

⊥

SB và AH

⊥

SD.

b) Chứng minh rằng EH // BD. Từ đó nêu cách xác định thiết diện.
c) Tính diện tích thiết diện khi SA = a

2.

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và SA
⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a/ Chứng minh BC

⊥

b/ Chứng minh (AEF)

(SAB), CD
⊥

⊥

(SAD);

(SAC);

c/ Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
d/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
Bài 10: Hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A=60o và đường cao
SO = a
a/ Chứng minh: (SBC) ⊥ (SOI).
b/ Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
c/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.