Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (48)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 1 NĂM HỌC 2013-2014
TRƯỜNG THPT PHAN CHU TRINH
MÔN: TOÁN LỚP 11
Ma trận đề:
Chủ đề

1

2

3

1

1

1

Giới hạn

1,
,0

,0

1

2

1

Tổng
bài

vuông

toàn

1,

1,

1,

0

5

0

2

1

1

1,7

1,

0,

5

0

75

4

4

3

3,7
5

3,
5

Cộng

1

0
Đạo hàm

Qh
góc

1

4

2,
75

Mô tả chi tiết:
Câu 1: Tính giới hạn của dãy số, của hàm số
Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, tại một điểm
Câu 3: Tính đạo hàm cấp 1, cấp 2 của hàm số.
Câu 4: Ứng dụng đạo hàm: gỉai phương trình, giải bất phương trình và viết phương trình
tiếp tuyến.
Câu 5: Cho hình chóp , hình lăng trụ
a) Chứng minh quan hệ vuông góc


b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa mặt phẳng và mặt
phẳng
c) Xác định và tính khoảng từ điểm tới mặt phẳng, từ đường thẳng tới mặt phẳng, từ
mặt phẳng tới mặt phẳng
I. GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1. Tính các giới hạn sau:

(

2
1/ lim n + n +1 - n

)

2/

lim

6n3 + n 2 − 5
(n + 2)3

3/ lim

−2n 2 + 5n
4n 2 + 5n

lim( n − 2n − 2)

5/

n 4 − 3n
7/ lim 3
n
2x + 3
10/ lim+
x→4 x − 4

(2n + 1) 2 (2 − 3n)3
8/ lim
(n − 1) 4

4

13/

2

lim

x →−∞

16/ lim

x ®- ¥

18.

lim

x →+ ∞

(

lim

6/

x − 4x + 3
3− x

x →3

x2 + x + 1
3 − 2x

lim ( x +1 14/ x ®+¥

(

17.

x 2 +1 + x - 1)
4 x2 + 4x + 3 − 2 x + 5

)

lim

x →− ∞

9/ lim+
x ®1

(

x2 + 3 + x

x( x +
19. xlim
→− ∞

2 − 3n 2 − 4n3
(n + 2)3 (1 − n)

2x - 3
x- 1

12/ limx ®3

x)

4/

2 - 3n 3

lim

2

11/. lim+

2n 3 + n 2 + 4

15/ lim

x ®+¥

(

x +3
x- 3

x 2 + x +1 - x )

)

x 2 + 2)

Bài 2. Tính các giới hạn sau:
1.

x 2 − 7 x + 12
lim
;
x →3
x −3

4. lim

x ®3 x 2

x- 3
+ 2x - 15

x +3 - 2
7. lim
x ®1
x- 1

10. lim

x®2

13.

x +2 - 2
2

x - 4

x +1 − 3 x +1
lim
.
x→0
x

2.

6 − x −1
;
lim
x →5 2 x − 10

5. lim
x →2

x− x+2
.
4x +1 − 3

8. lim

x ®1

3x 2 - 2x - 1
x3 - 1

2x 3 + 3x 2 - 1
11. lim
x ®- 1
x +1
(x - 2)3 + 8
14. lim
x ®0
x

3.

lim
x →2

x 2 − 3x + 2
3 − x3 + 1

6. lim

x®2

;

x 2 - 3x + 2
x 3 - 2x - 4

x 2 - 4x + 3

9. lim
x ®3
x- 3

12.

lim
x →2

15.

x− x+2
;
4x +1 − 3

12 
 1
lim 
− 3
÷
x →2 x − 2
x −8



Bài 3. Cho hàm số





f ( x) = 



x2 + 1 − 2
x− 3
3
2

neáu x ≠ 3

. Xét tính liên tục của hàm số trên tại
neáu x = 3

x0 = 3.

Bài 4. Cho hàm số

 −2 x 2 + 5 x − 2

f ( x) = 
x−2
ax − 3


Bài 5. Cho hàm số

3x − 15

f ( x) =  x 2 − 9

 2
 x − 6x + 9

x0 = 3 .

Bài 6. Cho hàm số
điểm

x0 = 5 .

neáu x > 2
neáu x ≤ 2

. Định a để hàm số f(x) liên tục trên

neáu x < 3

. Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại

 x−5
neáu x > 5

f ( x) =  2x − 1 − 3
.
 x 2 − 10 x + 28 neáu x ≤ 5


Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại

Bài 8. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:

ìï x 3 - 1
ïï
khi x <1
f (x) = í x - 1
ïï
ïïî mx + 2 khi x ³ 1

Bài 9. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
khi x ¹ - 1
khi x = 1

Bài 10. Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0:
ìï x + 2a
khi x < 0
f (x) = ïí 2
ïï x + x +1 khi x ³ 0
î

.

neáu x ≥ 3

 x2 − 1
neáu x ≥ 0 vaø x ≠ 1

Bài 7. Định m để hàm số y = f ( x ) =  x − 1
liên tục tại điểm x0 = 1 .
m
neáu x = 1


ìï x 2 - x - 2
ïï
f (x) = í x +1
ïï
ïïî a +1

¡


Bài 11. : Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 = 2 :
ìï 2x 2 - 3x - 2
ïï
khi x ¹ 2
ïï
2x
4
f (x) = í
ïï 3
ïï
khi x = 2
ïî 2

Bài 12.
a. Chứng minh rằng phương trình

cos x + m cos 2 x = 0

b. Chứng minh rằng phương trình
(0;1) .

ax 2 + bx + c = 0

luôn có nghiệm với mọi tham số m.

với

2a + 3b + 6c = 0

có nghiệm thuộc khoảng

II. ĐẠO HÀM
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
2
2. y = ( x + 2)( 5 - 3x )

1. y = x.( x - 1)
3. y =

x3
2

a - x

2

(a hằng số)

4. y = sin 1 + x 2

5. y = (4x 2 + 2x)(3x - 7x 5 )

6. y = (2 + sin 2 2x)3

7. y = 2x 2 + 3x + 7

8. y = tan2(2x – 1)

2x - 3
x- 2

10. y = (1 + cot x)2

9. y =

11. y = ( 2x - 1) x 2 +1
13.

y=

2x + 1
x +3
2

;

12. y = cos3(3x – 1)
14.

y = sin3 2 x ;

16. y = (x 3 + 2)(x +1)

17. y = 3sin 2 x.sin 3x

3
19. y =- 2x 3 + x 2 - 5x +1
4

20. y =

22. y = 3sin ( 3x +1) - tan 2 x

x- 1
2x +1

15.

y=

cot x

18. y =

x

.

3 - 2x

x 2 +1

x2 + x - 2
21. y =
2x +1

2
3
23. y = ( 3x + 2)( 2x - x )


24. y =

2x 2 - 1
x- 2

3
2
26. y = sin ( 3x + 2x - 5)

25. y = cos 1- 2x 2
27. y =-

2 6 3 4
3
x + x - 2x 2 +
3
2
x

28. y = (x 2 + x)(5 - 3x 2 )

29. y = sin x + 2x

Bài 2. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:
1. y =
3.

2x +1
x- 2

2. y = 3cos ( x +1) - 2sin 2x

y = (3 − x 2 )5 ;

5. y =-

4.

4 6 3 4
3
x + x - 2x 2 +
3
2
x

y = tan( x 2 + 1)

6. y =-

2
x

4

+

3
x

3

- 2 x2 +

3
x

Bài 3.
a. Cho hàm số

f (x) = cos2x − 2 3.cos x .

b. Cho hàm số

f (x) = x − 2 x 2 + 12 .

c. Cho hàm số

f (x) = 3x 3 + 4x 2 − 6x + 5 .

d. Cho hàm số

f (x) = −1 x 3 + 3x 2 + 5x + 3 .
3

Bài 4. Cho hàm số

Giải phương trình

Giải bất phương trình

f '(x) = 0 ;
f '(x) ≤ 0 .

Giải bất phương trình
Giải bất phương trình

y = f ( x) = x 3 − 3x + 1 ,

f '(x) ≤ −6 .
f '(x) > 5 .

có đồ thị là (C).

Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) trong các trường hợp sau:
a. d tiếp xúc với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung;
b. d song song với trục hoành;
c. d qua điểm
Bài 5. Cho hàm số

2

A  ; −1÷.
3

y=

2x +1
x−2

có đồ thị là (C).

Viết phương trình tiếp tuyến

∆

của (C) trong các trường hợp sau:

a.

∆

có hoành độ bằng -2;

b.

∆

song song với đường thẳng

c.

∆

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

d : 5x + y + 6 = 0 ;

2
;
5


Bài 6. Cho hàm số

f ( x) =

x+2
,
x −1

Viết phương trình tiếp tuyến

∆

có đồ thị là (C).
của (C) trong các trường hợp sau:

−3 ;

a.

∆

có hệ số góc bằng

b.

∆

vuông góc với đường thẳng

Bài 7. Cho hàm số y =

4 x − 3 y + 5 = 0.

3x +1
có đồ thị (C).
1- x

+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A (2; –7).
+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng 3.
+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đt
2x + 2y - 5 = 0 .
Bài 8. a. Cho hàm số

y = 2sin(3x + 1) + 3cos(3x + 1) .
cos x
,x ≠ 0.
x

b. Cho hàm số

y=

c. Cho hàm số

y = x.sin x .

d. Cho hàm số

y = f (x) =

Chứng minh rằng

Chứng minh rằng

Chứng minh rằng

2x −1
.
x +1

y "+ 9 y = 0.

y′′x + 2 y′ + cos x = 0 .

y '+ y '''+ 2sin x = 0 .

Chứng minh rằng

2 y '(2 − y) + 3 y" = 0 .

III. HÌNH HỌC
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi H là trung điểm của
AB.
a. Chứng minh rằng SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD);
b. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB);
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD);
d. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; hai mặt phẳng (SAB) và
·
(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = 2a , BAC
= 300 . Góc giữa SC và
mặt phẳng (ABC) bằng 600;
a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông;
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC);


c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC);
d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung
điểm của SB.
a. Chứng minh rằng mp(SAB) vuông góc với mp(MAC);
b. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD);
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC);
d. Gọi (α ) là mặt phẳng qua MD và vuông góc với mặt phẳng (SBD). Tính diện tích
của thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α ) .
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt đáy, SA = a.
a. Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC).
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
c. Tính góc tạo bởi mp(SBC) và mp(SCD).
SA ⊥ ( ABC )

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
Gọi M là trung điểm của BC.
a. Chứng minh

và

SA = a 3 .

BC ⊥ ( SAM );

b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC);
c. Tính sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAM).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C,
trung điểm của AB, SI ⊥ ( ABC) , SI = 6.
a. Chứng minh

AC = 2 6 .

Gọi I là

( SAB ) ⊥ ( SIC ) .

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
c. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).

Bài 7. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a. Gọi O và
hình vuông ABCD và A'B'C 'D' .
a. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng

( A ' BD)

O'

lần lượt là tâm của hai

và (ABCD);

b. Gọi M là điểm di động trên cạnh CC ' ; E là hình chiếu của điểm D' lên đường
thẳng OM. Chứng minh OM ⊥ (D'O'E) , từ đó suy ra điểm M luôn di động trên một đường
cố định;


c. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và
Bài 8. Cho lăng trụ tam giác đều
( A'BC) và ( ABC) bằng 450 .

ABC.A'B'C ' có

a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng

AA'

b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
c. Gọi E là trung điểm của
( ABC ') .

A'B' .

OA' .

cạnh đáy bằng a; góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng

(BCC 'B') ;

( A'BC) ;

Tính sin của góc giữa đường thẳng EA và mặt phẳng

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD) . Đặt
SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau một góc 600.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = BC = AC = a, AB = 2x và SH ⊥ (ABC), với H
là trung điểm của AB. Tìm x để hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) vuông góc nhau.
Bài 11. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC)
tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
a). Chứng minh rằng AI ⊥ (MBC).
b). Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c). Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥
(ABCD).
a). Chứng minh BD ⊥ SC.
b). Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).
c). Cho SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
3

Bài 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và
SC.
a). Chứng minh AC ⊥ SD.
b). Chứng minh MN ⊥ (SBD).
c). Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
Bài 14. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân
đường cao vẽ từ A của tam giác ACD.


a). Chứng minh: CD ⊥ BH.
b). Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ⊥ (BCD).
c). Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
đáy.
a). Chứng minh tam giác SBC vuông.
b). Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH).
c). Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC),
SA = a 3 .
a). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM).
b). Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 .
Gọi I là trung điểm của SO.
a). Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
b). Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).

c). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD),
SA = a 2 . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a). Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN).
b). Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường
chéo vuông góc.
c). Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD).