Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (49)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 1 MÔN TOÁN LỚP 11 (CB)
NĂM HỌC 2013-2014
TRƯƠNG THPT NGUYỄN HUỆ
PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nắm
 Tập xác định của hàm số lượng giác.
B. Bài tập mẫu
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số

(

)

a. y = cos ( 2 x + 1)

b. y = sin

c. y = tan 2 x

0
d. y = cot x + 15

(

x +1

)

Hướng dẫn

b. Hàm số xác định khi x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
Vậy TXĐ: D = −
 1; +∞ )

(

)

0
d. Hàm số y = cot x + 15 =

(

(
)
sin ( x + 15 )

cos x + 150
0

)

xác định khi

sin x + 150 ≠ 0 ⇔ x + 150 ≠ k.180 0 ⇔ x ≠ −150 + k.180 0 , k ∈ Z

{

0
0

Vậy TXĐ: D = R \ −15 + k .180 , k ∈ Z

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số

}


y=

cos ( 2 x + 1)


π
1 − sin  2 x + ÷
3

1 + sin 2 x
y=
π

2 − 2 cos  − x ÷
4


a.

b.

Hướng dẫn


a. Hàm số xác định khi 1 − sin  2 x +


⇔ 2x +


π
π
÷ ≠ 0 ⇔ sin  2 x + ÷ ≠ 1
3
3


π π
π
≠ + k.2π ⇔ x ≠
+ k .π , k ∈ Z
3 2
12

π

+ kπ , k ∈ Z 
12


Vậy TXĐ: D = R \ 

π


π

2
π
− x ÷ ≠ 0 ⇔ cos  − x ÷ ≠
= cos
4
4

4
 2

b. Hàm số xác định khi 2 − 2 cos 

π
π
 x ≠ k 2π
 4 − x ≠ 4 + k 2π

⇔
⇔
,k ∈ Z
π
π
π
x
≠
−
k

2
π
 − x ≠ − + k 2π

2
 4
4
π

Vậy TXĐ: D = R \  − k 2π , k 2π , k ∈ Z 
2



C. Bài tập luyện tập
Tập xác định của hàm số của các hàm số:
a. y =

c.

sin x
cos x + 1

3 + sin 2 x
y=
1 − cos 2 x

b.

d.

y=

y=

sin 3 x − 1
2 sin(2 x + 10 0 ) − 3

2013 x

π
2sin  3 x − ÷− 1
3



Vấn đề 2: Phương trình lượng giác
A. Kiến thức cần nắm
1) Phương trình lượng giác cơ bản:
Với m ≤ 1 thì
 x = arcsin m + k2π
sin x = m ⇔ 
( k∈¢
 x = π − arcsin m + k2π
 x = α + k2π
sin x = sin α ⇔ 
( k∈¢ )
 x = π − α + k2π

)

 x = arccos m + k2 π
cos x = m ⇔ 
( k ∈¢
 x = − arccos m + k2 π
 x = α + k2π
cos x = cos α ⇔ 
( k∈¢ )
 x = −α + k2π

)

Với ∀m thì
tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ ( k ∈ ¢
tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢

)

sin x = 0 ⇔ x = kπ
cos x = 0 ⇔ x =

Đặc biệt :

π
+ kπ
2

tan x = 0 ⇔ x = kπ
cotx = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2

)

cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ ( k ∈ ¢
cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢

sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k2π
2

)

)

sin x = −1 ⇔ x = −

π
+ k2π
2

cos x = 1 ⇔ x = k2 π

cos x = −1 ⇔ x = π + k2 π

π

+ kπ
4
π
cotx = 1 ⇔ x = + kπ
4

π
+ kπ
4
π
cotx = −1 ⇔ x = − + kπ
4

tan x = 1 ⇔ x =

tan x = −1 ⇔ x = −

*) Chú ý: Trong một công thức nghiệm của phương trình ta chỉ được dùng một
đơn vị đo là độ hoặc radian.
Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau
π
a. sin( x + ) = sin 2 x
3

b. sin3 x =

−1
2



π
c. cos  2 x − ÷ = 2
3


0
d. cot x + 15 = 1

e. cos 100 − x = 3

f. tan 2 x = cot 3 x

(

)

2

(

)


Hướng dẫn


π
π
x
+

=
2
x
+
k
2
π
x
=
− k 2π


π
3
3
⇔
;k ∈ Z
a. sin( x + ) = sin 2 x ⇔ 
3
 x + π = π − 2 x + k 2π
 x = 2π + k 2π


3
9
3

−π

−π

2π
3x =
+ k 2π
x=
+k


 −π 
6
−1
18
3 ;k ∈ Z
⇔
b. sin3 x = = sin 
÷⇔ 
 −π 
2

 6 
 x = 7π + k 2π
3
x
=
π
−

÷+ k 2π


18

3
 6 


π
c. cos  2 x − ÷ = 2 . Vì 2 > 1 nên phương trình vô nghiệm.
3


(

)

0
0
0
0
0
0
d. cot x + 15 = 1 ⇔ x + 15 = 45 + k.180 ⇔ x = 30 + k.180 , k ∈ Z

3
= cos30 0 ⇔
e. cos 10 − x =
2

(

0

)

100 − x = 30 0 + k.360 0
⇔
 0
0
0
10
−
x
=
−
30
+
k
.360


 x = −20 0 − k.360 0
,k ∈ Z

0
0
x
=
40
−
k
.360


cos2 x ≠ 0

f. Điều kiện: 

sin3 x ≠ 0

π

π
π
π
tan 2 x = cot 3 x = tan  − 3 x ÷ ⇔ 2 x = − 3 x + kπ ⇔ x = + k , k ∈ Z
2
10
5
2


2) Một số phương trình lượng giác thường gặp
a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp: Chuyển về phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau
a. 2sin3 x + 1 = 0

π
c. tan  2 x − ÷− 3 = 0
3


b. 2 cos2 x − 3 = 0


Hướng dẫn

−π

3x =
+ k 2π

x =
 −π 
6
−1
⇔
a. 2sin3 x + 1 = 0 ⇔ sin3 x = = sin  ÷ ⇔ 


−
π
2
6



x =
3 x = π −  6 ÷ + k 2π






−π
2π
+k
18
3 ;k ∈ Z
7π
2π
+k
18
3

b. 2 cos2 x − 3 = 0 ⇔ cos2 x = 3 = cos π ⇔ x = ± π + kπ , k ∈ Z

(

2

6

(

)

12

)

0

c. Điều kiện cos 2 x − 10 ≠ 0

(

)

tan 2 x − 100 − 3 = 0 ⇔ tan 2 x − 10 0 = 3 = tan 60 0
⇔ 2 x − 100 = 60 0 + k .180 0 ⇔ x = 350 + k.90 0 , k ∈ Z

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t
Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau
a. sin 2 x + 3sin x − 4 = 0

b. 2 cos2 2 x − 3cos2 x + 1 = 0

c. tan 2 x − 2 tan x − 3 = 0

d. cot 2 3 x + 2cot 3 x − 2 = 0

Hướng dẫn
a. Đặt t = sinx, −1 ≤ t ≤ 1
 t = −1

2
Phương trình đã cho trở thành t − 3t − 4 = 0 ⇔ 

 t = 4(loai)

Với t = - 1 thì sin x = −1 ⇔ x =

−π
+ k 2π , k ∈ Z
2

Vậy phương trình có nghiệm x =
b. Đặt t = cos2x, −1 ≤ t ≤ 1

−π
+ k 2π , k ∈ Z
2


t = 1
Phương trình đã cho trở thành 2t − 3t + 1 = 0 ⇔  1
t=
 2
2

Với t = 1 thì cos2 x = 1 ⇔ 2 x = k 2π ⇔ x = kπ , k ∈ Z
Với t = 1/2 thì cos2 x =

1
π
π
π
= cos ⇔ 2 x = ± + k 2π ⇔ x = ± + kπ , k ∈ Z
2
3
3

6

Vậy phương trình có 3 nghiệm x = kπ , x = ±

π
+ kπ , k ∈ Z
6

c. Đặt t = tanx
t = −1

2
Phương trình đã cho trở thành t − 2t − 3 = 0 ⇔ 

t = 3

−π
+ kπ , k ∈ Z
4
Với t = 3 thì tan x = 3 ⇔ x = arctan3 + kπ , k ∈ Z

Với t = - 1 thì tan x = −1 ⇔ x =

Vậy phương trình có 2 nghiệm x =

−π
+ kπ , x = arctan3 + kπ , k ∈ Z
4

c) Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx :

Cách giải : Chia cả 2 vế pt cho
pt ⇔

ù

a2 + b 2
a
a2 + b 2

asin x + b cos x = c (a ≠ 0,b ≠ 0)

khi đó

sin x +

b
a2 + b 2

cos x =

c
a2 + b2

Ta có :
a
a +b
2

2

= cos ϕ,

b
a +b
2

2

= sin ϕ, pt ⇔ sin x cos ϕ + cos x sin ϕ =

c
a +b
2

2

⇔ sin ( x + ϕ ) =

Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau
a. sin x + 3cos x = 5

b. sin x + 3 cos x = −1

c
a + b2
2


Hướng dẫn
a. sin x + 3cos x = 5 ⇔

1
10

sin x +

3
10

cos x =

5
10

⇔ sin ( x + α ) =

1
2



π
π
 x + α = 6 + k 2π
 x = −α + 6 + k 2π
⇔
⇔
,k ∈ Z
π
5

π
 x + α = π − + k 2π
 x = −α +
+ k 2π


6
6

Với sin α =

3
10

,cos α =

1

 π
,α ∈  0; ÷
10
 2

1
2

b. sin x + 3 cos x = −1 ⇔ sin x +

3
1

π
π
1
cos x = − ⇔ cos sin x + sin cos x = −
2
2
3
3
2



π −π
−π
x
+
=
+
k
2
π
x=
+ k 2π



 −π 
π
3
6

2
⇔ sin  x + ÷ = sin 
⇔
,k ∈ Z
÷⇔ 
3
6
5
π
π
−
π




x + = π −
x =
+ k 2π
+ k 2π


6
3
6

B) BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Giải các phương trình :
1
2

a)

sin 2 x =

d)

2 cos( x +

g)

π
)− 3 =0
3

3 tan 2 x − 3 = 0 .

Bài 2: Giải các phương trình :

π
)+ 3 =0
6

b)

π
2
cos( x − ) = −
4
2

c)

2 sin(2 x −

e)

sin 2 x + cos 2 x = 1

f)

2cosx- 2 = 0


1)sin x = sin

π
3

π
π
2)sin( x + ) = sin
3
3

π
π
4)cos( x − ) = cos
4
6

π
2
7)cos( − x + ) =
3
2
10)sin x − cos x = 0
13)sin

x
x
= cos
3
2

π
6
π
1
6)sin( −2 x + ) =
5
2
3)cos x = cos

5)cos 2 x − cos x = 0
8)sin 9 x = − sin x

9)cos9 x = − cos x

π
π

11)sin( x − ) = sin(2 x + )
6
4
3
14)sin( x + 200 ) =
2

π
π
12)sin( x − ) = cos(2 x + )
6
4
3
15)cos( x − 700 ) = −
2

Bài 3: Giải các phương trình :
1)3cos2x-5cosx+2=0

2)2sin2x-sinx-1=0

3)3tan2x-2 3 tanx+3=0

4)2cos2x-3cosx+1=0

5) 3 cot2x-(1+ 3 )cotx+1=0

6)2 2 sin2x-(2+ 2 )sinx+1=0

7)

2 cos 2

x
x
+ 3cos + 1 = 0
2
2

8)

π
π


sin 2  2 x + ÷− 3sin  2 x + ÷+ 2 = 0
4
4



Bài 4: Giải các phương trình :
1. 3sinx + 4cosx = 5
3. 5cos2x – 12sin2x = 13

2. 2sinx – 2cosx =
4.

2

π
π


sin  2 x + ÷− 3cos  2 x + ÷+ 2 = 0
3
3



Chương II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Vấn đề 1: TỔ HỢP
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Nắm vững các quy tắc đếm; các định nghĩa về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và các
công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.


2. Nắm được công thức nhị thức Niu-Tơn và các tính chất trong biểu thức khai triển.
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Trên giá sách có 5 quyển sách Toán khác nhau và 9 quyển sách Văn khác nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một quyển sách trong các quyển sách đó?
Bài giải
Có 5 cách chọn sách Toán và 9 cách chọn sách Văn. Khi chọn sách Toán thì không chọn
sách Văn và ngược lại
Vậy số cách chọn một quyển sách trong các quyến sách là: 5 + 9 = 14 (cách)
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5 nếu:
a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau
b) Các chữ số của nó khác nhau
c) Số tự nhiên đó là số chẵn
Bài giải

a)Gọi số cần tìm có dạng: a = a1a2 a3
Số a1 có 5 cách chọn
Số a2 có 5 cách chọn
Số a3 có 5 cách chọn
Vậy số các số cần tìm là : 5.5.5= 125 (số)
b)Gọi số cần tìm có dạng: b = b1b2b3
Số b1 có 5 cách chọn
Số b2 có 4 cách chọn
Số b3 có 3 cách chọn
Vậy số các số cần tìm là : 5.4.3= 60 (số)
c) Gọi số cần tìm có dạng: c = c1c2c3
Số c3 có 2 cách chọn
Số c1 có 5 cách chọn
Số c2 có 5 cách chọn
Vậy số các số cần tìm là : 2.5.5= 50 số


Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh vào một hàng.
Bài giải: Mỗi cách sắp xếp thỏa đề cho ta một hoán vị của 10 phần tử (10 học sinh)
Do đó, số cách sắp xếp 10 học sinh vào một hàng là: 10!= 3628800
Bài 4: Một tổ có 12 người gồm 7 nam và 5 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một ban đại diện
gồm:
a) 3 người không phân biệt nam nữ
b) 3 người, trong đó một nhóm trưởng, một thủ quỹ và một thư kí
c) 3 người, trong đó có đúng 2 nữ
Bài giải
a) Mỗi cách chọn 3 người không phân biệt nam nữ là một tổ hợp chập 3 của 12 phần tử
Vậy số cách chọn ban đại diện là: C123 =220 (cách)
b) Mỗi cách chọn 3 người, trong đó một nhóm trưởng, một thủ quỹ và một thư kí là một
chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử.

Vậy số cách chọn ban đại diện là:
c) Số cách chọn 2 nữ trong 5 nữ là:

C52 =

Số cách chọn 1 nam trong 7 nam là:

A123

= 1320 (cách)

10 (cách)
C71 =

7 (cách)

Vậy số cách chọn ban đại diện là: C52 . C71 = 10.7 = 70 (cách)
Bài 5: Giải phương trình sau : 2Cx2+1 + 3 Ax2 = 30
Bài giải
Đk:

2 ≤ x∈ N

Ta có: 2Cx+1 + 3 Ax
2

2

= 30 ⇔ 2

( x + 1)!
x!
+3
= 30 ⇔ x( x + 1) + 3x( x − 1) = 30
2!( x − 1)! ( x − 2)!

5

x=−

⇔ 2 x − x − 15 = 0 ⇔
2 (loại)

x = 3
2

Vậy pt có nghiệm x = 3
III. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải các phương trình


a,

n!
= (n − 2)!
20n

b, P2 x − P3 x = 8
2

c,

n!
n!
−
=3
(n − 2)! ( n − 1)!

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 2 Ax + 50 = A2 x
2

c) Cx + Cx + Cx =
1

b) An + 5 An = 2(n + 15)

2

2

3

3

7x
2

2

d) Cx +8 = 5 Ax + 6
x +3

3

Bài 3: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ
số đôi một khác nhau và :
a) Là số chẵn.
b) Là số chia hết cho 5.
c) Là số không chia hết cho 10.
d) Là số lớn hơn 3200.
Bài 4: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn:
a) Có ba chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau
b) Có ba chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn số 235.
c) Có ba chữ số khác nhau và là số chia hết cho 3.
Bài 5. Một lớp học có 43 học sinh cần cử ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp
phó và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách thành lập ban cán sự ?
Bài 6. Một học sinh gồm 10 nam và 6 nữ, cần chọn một tổ gồm 8 người. Có bao nhiêu
cách chọn để được nhiều nhất 5 nữ?
Bài 7. Một lớp có 46 học sinh gồm 30 nữ và 16 nam. GVCN muốn chọn ra 4 học sinh để
tham gia diễn văn nghệ của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Số học sinh được chọn là tùy ý.
b) Phải có 2 nam và 2 nữ.
c) Phải có ít nhất là 1 nữ.
d) Mỗi học sinh tham gia vào một vai diễn riêng biệt.
5

10

Bài 8. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển biểu thức

Bài 9. Xác định hệ số của x3 trong khai triển biểu thức (2x-3)6.

 3 2
 3x − 2 ÷
x 


.


Bài 10: Tìm hệ số của x6 trong khai triển biểu thức

1 

 − 2x + 2 
x 


Bài 11: Tìm số hạng thứ 3 trong khai triển của biểu thức

12

.

 x 4
 − 
2 x

5

.

Bài 12: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức (x 2 +

1 12
) .
x


Bài 13. Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển nhị thức  x +


n

1
 , biết rằng
x

Cnn + C nn−1 + Cnn− 2 = 79

Vấn đề 2 : XÁC SUẤT
I. Kiến thức cần nhớ
1. Hiểu được thế nào là phép thử ngẫu nhiên? Mô tả được không gian mẫu và xác định
được các biến cố liên quan đến phép thử.
2. Nắm được định nghĩa và các tính chất của xác suất.
* Xác suất của biến cố
Muốn tính xác suất của biến cố A cần thực hiện ba bước :
+ Tính số phần tử của không gian mẫu

Ω.

+ Tính số phần tử của biến cố A.
+ Tính xác suất

P ( A) =

n( A)
.
n (Ω )

II. Bài tập mẫu
Bài 1:Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất
a) Mô tả không gian mẫu
b) Tính xác suất của các biến cố sau
A: “Mặt chẳn xuất hiện”
B: “ Xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”
C: “Xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn 2”
Bài giải:


a)

Ω = { 1, 2,3, 4,5, 6}

b) * A = { 2, 4, 6}

⇒ n(Ω) = 6
⇒ n( A) = 3

Vậy xác suất của biến cố A là:

*

B = { 2,3,5}

n( A) 3 1
= = .
n (Ω ) 6 2

P( B) =

n( B ) 3 1
= = .
n (Ω ) 6 2

⇒ n( B ) = 3

Vậy xác suất của biến cố B là:
*

P ( A) =

C = { 2,3, 4,5, 6}

⇒ n(C ) = 5

Vậy xác suất của biến cố C là:

P (C ) =

n(C ) 5

= .
n (Ω ) 6

Bài 2: Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả cầu từ 1
đến 6 sơn màu đỏ, các quả cầu từ 7 đến 10 sơn màu xanh. Lấy ngẫu nhiên một quả.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố
A: “Quả cầu lấy ra màu đỏ”
B: “Quả cầu lấy ra màu xanh”
C: “Quả cầu lấy ra ghi số chẵn”
c) Hãy xét xem hai biến cố A va C có độc lâp hay không?
Bài giải
a)

Ω = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10}

b) *

A = { 1, 2,3, 4,5, 6}

⇒ n(Ω) = 10

⇒ n( A) = 6

Vậy xác suất của biến cố A là:
*

B = { 7,8,9,10}

n( A) 6 3

= =
n(Ω) 10 5

P ( B) =

n( B ) 4 2
= =
n(Ω) 10 5

⇒ n( B ) = 4

Vậy xác suất của biến cố B là:
(Hoặc, ta có

P ( A) =

B=A

* C = { 2, 4, 6,8,10}

3 2
⇒ P ( B ) = 1 − p ( A) = 1 − = )
5 5
⇒ n(C ) = 5


Vậy xác suất của biến cố C là:
A.C = { 2, 4, 6}

c) Ta có

n(C ) 5 1
= =
n(Ω) 10 2

n( A.C ) = 3

⇒ P ( A.C ) =

n( A.C ) 3
=
n(Ω) 10

Mặt khác,

3 1 3
P ( A).P (C ) = . = .
5 2 10

Suy ra

P (C ) =

P(A.C)=P(A).P(C)

Vậy A và C độc lập.
III. Bài tập áp dụng
Bài 1: Gieo hai con súc sắc cân đối, đồng chất như nhau và quan sát số chấm xuất hiện
trên mặt hai con súc sắc đó. Tìm xác suất để :
a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 8.

b) Số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc bằng nhau.
c) Số chấm trên hai mặt là số lẻ
d) Ít nhất một mặt xuất hiện số chẳn
Bài 2 Một hộp đựng 9 chiếc thẻ đánh số từ 1 đến 9 trên đó
a) Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và thu được một số có 3 chữ số. Tìm xác suất để :
• Thu được một số chẵn.
• Thu được một số chia hết cho 5.
b) Rút ngẫu nhiêu 2 thẻ . Tìm xác suất để:
• Tổng số ghi trên hai thẻ là số lẻ.
• Tích số ghi trên hai thẻ là số chẵn
• Hai thẻ đều ghi số lẻ
• Có ít nhất một thẻ ghi số chẳn
Bài 3. Một tổ có 9 học sinh gồm 5 nam và 4 nữ.
a/ Có bao nhiêu cách xếp 9 học sinh đó vào một dãy bàn có 9 ghế sao cho các học
sinh nữ luôn ngồi gần nhau.


b/ Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để trong hai học sinh được chọn có một
nam và một nữ.
Bài 4. Trên một kệ sách có 8 quyển sách Anh và 5 quyển sách Toán. Lấy ngẫu nhiên 5
quyển. Tính xác suất để trong 5 quyển lấy ra có:
a/ Ít nhất 3 quyển sách Toán.

b/ Ít nhất 1 quyển sách Anh.

Bài 5: Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên trong tổ 4 người. Tính xác
suất:
a) Trong 4 người được chọn chỉ có 1 nữ.
b) Trong 4 người được chọn có không quá 3 nam.
Bài 6: Một hộp đựng 8 bi xanh, 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất lấy được 4 bi

cùng màu.
Bài 7: Một hộp đựng 10 bi xanh, 6 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 bi. Tính xác suất lấy được 2
bi màu xanh, 3 bi màu đỏ .
Bài 8: Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 8 học sinh giỏi, 14 học sinh khá và 18 học
sinh trung bình. Người ta chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để:
a) Cả 3 học sinh đều giỏi.
b) Có ít nhất một học sinh giỏi.
c) Không có học sinh trung bình.
Bài 9: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán khác nhau, 3 quyển sách lí khác nhau và 2
quyển sách hóa khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách.
a) Tính số phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố
A: “Ba quyển sách thuộc 3 môn khác nhau”
B: “ Cả 3 quyển sách đều là sách Toán”
C: “Ít nhất lấy được một quyển sách Toán”
Bài 10: Túi số 1 có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Túi số 2 có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi
túi một cách ngẫu nhiên.
a) Tính số phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố
A: “Hai bi lấy ra cùng màu’


B: “Hai bi lấy ra khác màu”.
Bài 11: Một tổ học sinh gồm 10 bạn, trong đó có bạn Lan và Điệp, được xếp ngẫu nhiên
thành hàng dọc. Tính xác suất sao cho:
a. Hai bạn Lan và Điệp đứng liền nhau;
b. Hai bạn Lan và Điệp không đứng liền nhau.

Chương III: CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN.
A. Kiến thức cơ bản cần nhớ:

* Phương pháp chứng minh qui nạp.
B. Bài tập mẫu: CMR với

∀n ∈ N * ,tacó

đẳng thức: 12 + 2 2 + 32 + ... + n 2

Giải:
Khi n=1: VT = 1 và VP =

1.2.3
= 1.
6

Vậy đẳng thức đúng với n=1
Giả sử đẳng thức đúng với n = k (k ≥ 1), tức là
12 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 =

k ( k + 1)( 2k + 1)
6

.

Ta phải chứng minh
12 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 + (k + 1) 2 =

( k + 1) (k + 2)( 2k + 3)
6

Ta có:

12 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 + (k + 1) 2 =

( k + 1) (k + 2)( 2k + 3) + (k + 1) 2

6
( k + 1)[ k ( 2k + 1) + 6( k + 1) ] = ( k + 1) 2k 2 + 7k + 6 = ( k + 1)( k + 2)( 2k + 3)
=
6
6
6

(

C. Bài tập luyện tập:

)

=

n( n + 1)( 2n + 1)
6

.


Bài 1: 1) CMR với

∀n ∈ N * ,

3

ta có đẳng thức: 1 + 5 + 9 + ... + ( 4n − 3) = n( 2n − 1) . a) (3n + 15n)M9

b)(13n − 1)M6

2)Chứng minh rằng: ∀n ∈ N *
Bài 2: CMR với

∀n ∈ N * ,

ta có đẳng thức

Bài 3: CMR với

∀n ∈ N * , n ≥ 3

Bài 4: CMR với

∀n ∈ N * ,

2 + 5 + 8 + ... + ( 3n − 1) =

thì 3n > 8n .

ta có 1.4 + 2.7 + ... + n ( 3n + 1) = n(n + 1) .
2

n ( 3n + 1)
2

.

PHẦN HÌNH HỌC
Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
I . PHÉP TỊNH TIẾN
1. Định nghĩa:
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
tiến theo v .
Kí hiệu:

MM ' = v

được gọi là phép tịnh

Tv ( M ) = M '

2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng Oxy cho

v = ( a; b )

và điểm M(x;y). Khi đó:

Tv ( M ) = M ' ( x' ; y ')

thì

 x' = x + a

 y' = y + b

Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Trong mp Oxy,cho đường thẳng d: 2x-y+1=0 và đường tròn (C): x 2 + y2 - 4x +
2y – 1 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d’, và phương trình đường tròn (C’) lần lượt là
ảnh của đường thẳng d và đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo v = ( − 1;2) .
Bài giải: Tìm phương trình đường thẳng d’.
Cách 1. ptđt d’ có dạng: 2x-y+c=0. Ta có M(0;1) ∈ d =>
 x' = 0 − 1

 y' = 1 + 2

Tv ( M ) = M ' (x’;y’)

khi đó:

=>M’(-1;3) ∈ d ’=>2(-1)-3+c=0=> c=5. Vậy ptđt d’ là: 2x-y+5=0.

Cách 2. Từ biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

v = ( − 1;2 )

ta có:

 x' = x − 1
 x = x'+1
⇒

 y ' = y + 2  y = y '−2

thay vào ptđt d ta được 2(x’+1)-(y’-2)+1=0 <=> 2x’-y’+5=0. Vậy ptđt d’ là: 2xy+5=0.

*Tìm phương trình đường tròn (C’).
Cách 1: Từ biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

v = ( − 1;2 )

ta có:

 x' = x − 1
 x = x'+1
⇒

 y ' = y + 2  y = y '−2

ta thay vào pt đtròn (C) ta được: (x’+1) 2+(y’-2)2-4(x’+1)+2(y’-2)1=0
<=> x’2+y’2-2x’-2y’-4=0 <=> (x’-1)2+(y’-1)2-2=0. Vậy pt đtròn (C’) là: (x-1)2+(y-1)2=6


Cách 2: (C) có tâm I(2;-1) bán kính R= 6 . Qua phép tịnh tiến
là: I’(1;1), bán kính R’=R= 6 .Vậy (C) có pt là: (x-1)2+(y-1)2=6.

v = ( − 1;2 )

(C’) có tâm

II. PHÉP VỊ TỰ.
Định nghĩa: phép vị tự V(O,k)(M)=M’<=>

OM ' = k OM

Bài tập:

Bài 1: Trong mp Oxy cho M(2;-3), đường thẳng d có phương trình: 2x+3y-1=0 và đường
tròn (C) có phương trình: x2+y2-4x+6y-2=0. Tìm ảnh của điểm M, đt d và đtròn (C) qua:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ

v = ( − 2;1)

b) phép vị tự tâm O tỉ số k=3.
Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG.
I. Kiến thức cơ bản cần nhớ
Học Sinh cần nắm vững:
+ Phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt.
+ Phương pháp tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
+ Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui.
+ Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song với mặt phẳng.
II. Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên mặt phẳng (P). Gọi
M, N, P lần lượt là giao điểm giữa các đường thẳng AB, BC, CA với (P). CMR: ba điểm
M, N, P thẳng hàng.
HD: Theo đề ta có M, N, P nằm trên mp (ABC) và M, N, P cũng nằm trên mp (P) . Mà
hai mp (ABC) và mp(P) là hai mặt phẳng phân biệt nên ba điểm M, N, P nằm trên giao


tuyến hai mp. Do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng.
A

C

B

P
M

N

P

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung
điểm SO.
a) Xác định giao tuyến giữa các cặp mp: (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD).
b) Xác định giao điểm giữa đường thẳng SD và mp(ABE).
HD: a) (SAC) ∩ (SBD)=SO. (SAB)

∩ (SCD)

là đường thẳng đi qua S và song với AB.

b)Trong mp(SBD) , gọi P =SD ∩ BE. Ta có P∈ SD, P∈ BE ⊂ ( ABE ) ⇒ P ∈ ( ABE ) .
Vậy P là giao điểm giữa đường thẳng SD và mp (ABE).
S

P
E

A

B

O
D

C


III.
Bài tập :
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD (AB không song song với CD). Gọi M là một điểm nằm
trên cạnh SC.
a) Tìm giao tuyến giữa các cặp mp (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm N giữa đường thẳng SD và mp(MAB).
c) Gọi O là giao điểm giữa AC và BD. CMR ba đthẳng SO, AM, BN đồng quy.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên Cạnh
AD lấy điểm P sao cho AP=2PD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BD và mp(MNP).
b) Tìm giao tuyến giữa hai mp(MNP) và (BCD).
c) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mp(MNP).
Bài 3. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm
tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (Q) qua
BC cắt SD và SA lần lượt tại H và K.
a) Gọi I là giao điểm của AM và DN, J là giao điểm của BH và EK. CMR bốn
điểm S, I, J, G thẳng hàng.
b) Giả sử AN và DM cắt nhau tại F, BK cắt EH tại L.CMR ba điểm S, F, L thẳng
hàng.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD=2BC.
Gọi O là giao điểm AC và BD, G là trọng tâm tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến các cặp mp sau: (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD) và
(SBC).
b) CMR: OG//(SBC).
c) Gọi M là trung điểm của SD. CMR: CM//(SAB).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam

giác SAB và I là trung điểm AB. Gọi M là một điểm nằm trong đoạn AD sao cho
AD=3AM.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mp sau: (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD)
và (SBC).
b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. CMR: NG//(SCD).


c) CMR: MG//(SCD).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song với CD, Gọi M là trung điểm SB.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mp: (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm giữa đường thẳng SA và mp(MCD).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi P, Q lần lượt là
trung điểm SA, SB.
a) CMR: PQ//(SCD).
b) Gọi R là một điểm trên SC. Tìm giao điểm giữa SD và mp(PQR).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang( đáy lớn AB). Gọi H, K lần
lượt là trung điểm của SA, SB; M là điểm tùy ý trên BC.
a) CMR: HK//CD.
b) Tìm giao tuyến của các cặp mp: (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của 2
đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
a/ Tìm giao điểm của SO với mp (MNB).
b/ Tìm giao điểm E, F của AD, CD với mp(MNB).
c/ Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng.
--------------------------------Hết------------------------------------