Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (50)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII MÔN TOÁN LỚP 11
TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN KỶ
I. Đại số và giải tích
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

6n 3 − 2n + 1
n 3 − 2n
3

e)

lim

h) lim(
l) lim n

(

b)

n 6 − 7 n 3 − 5n + 8
n + 12

3n − 1 − 2n − 1
n2 + 5 − n

)

)

lim

f)

1 − n + 2n 2
5n 2 + n

lim

(
(

c)

n2 + 1 − n + 1
3n + 2

i) lim n 2 + n + 1 − n
m) lim n + 3 1 − n 3

)

g)

)

n3 + n
n+2
(−3) n + 5 n
lim

(−3) n +1 + 5 n +1
3

d)

lim

k) lim(

lim

n2 + n + 2 − n + 1

2n 4 + 3n − 2
2n 2 − n + 3

)

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
x − x3
x →1 (2 x − 1)( x 4 − 3)

a)

lim

e)

x3 + 2 x
x →−∞ x 5 − 2 x 2 + 1

b)
f)

lim

5x2 + 2x
x →+∞
x2 + 1

lim−

x→2

lim

5x + 1
x−2

c)

5x2 + 2x
x →−∞
x2 + 1

d)

x4 − x2 + 1
x →+∞ 2 x 4 + x 2 + 3

g)

lim+

5x + 1
x−2

h)

lim−

x2 + x − 3
x −3

c)

lim

x3 − x 2 + x − 1
x −1

d)

lim

x2 + 2 x − 3
2 x2 − x −1

g)

lim

x− x−2
4x +1 − 3

h)

4 x3 − 3x 2 + 1
x →+∞
x3 + x − 3

lim

x→2

lim

x →3

Bài 3 Tính các giới hạn sau
a)

lim

x2 − 4x + 3
x−3

b)

2 x 2 + 3x + 1

x →−1
x2 −1

e)

lim

4 − x2
x+7 −3

f)

lim

x →3

x →2

lim

x →0

x + 1 − x2 + x + 1
x

x →1

x →2

x →1

lim

Bài 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)
d)

− x3 + 5 x − 1
lim
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1

−3x 3 + 2
b) xlim
→−∞ 2 x + 1

x5 + 2 x3 − 4 x
x →+∞ 1 − 3 x 2 − 2 x 3

c)

5x2 −1
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1

lim

e) lim

5 x3 − x 2 + 1
lim
x →−∞

3x 2 + x

f) xlim
→−∞

x2 + 2 x − 4 x2 + 1
2 − 5x

c) xlim
→+∞

4 x2 + x + 2

(

2x2 + x + x

Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)

lim (−2 x 3 + x 2 − 3 x + 1)

x →−∞

d) xlim
→−∞

x 2 − 3x + 2

b)

lim (− x 4 + x3 + 5 x − 3)

x →+∞

e) xlim
→+∞

(

3x2 + x − 2 x

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

)

f) xlim
→−∞

)


x +1
x −3

a) xlim
→3

−

b)

lim
x →4

1− x

( x − 4)

c)

2

lim+

x →3

2x −1
x −3

d)

lim+

x →−2

−2 x + 1
x+2

e)

lim−

x →0

2 x +x
x2 − x

f)

lim−

x →−1

3x − 1
x +1

Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a/ lim
x →3
f)

x2 − 9
x −3
2− x
x +7 −3

lim
x →2

b/

lim

x 2 − 3x + 2
x −1

g)

lim

x2 − 9
x +1 − 2

x →1

x →3

c)

x+3
x →−3 x 2 + 2 x − 3

h)

2x +1 − 3
lim
x →4
x −2

d)

lim

i)

lim
x →1

x3 − 1
x2 −1

lim

x →−1

lim

x2 + 2 x − 3
2x2 − x −1

lim−

x 2 − 3x + 2
2− x

e)

x + 2 −1
x+5 −2

k)

x →1

x →2

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau:


− 1÷
a) xlim

→0 x  x + 1

1

1

b)

−

lim+ ( x − 1)

x →1

2x + 3
x2 −1

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)

lim

x →+∞

(

x2 +1 − x

)

b)

lim

x →+∞

(

x2 + 2x − x2 + 1

c)

)

c) xlim
→−∞

(

lim+ x 2 − 9.

2x +1
x −3

4 x2 − x + 2 x

)

x →3

d/

d) xlim
→−∞

(

lim x3 − 8

x → 2−

(

)

x
2 − x2

x2 − x − x2 −1

)

Bài 10: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)

 x2 − 4

f ( x) =  x + 2
 −4


c)

 2 x 2 + 3x − 5

f ( x) = 
x −1

7


e/

 x2 − 2

f ( x) =  x − 2
2 2



khi x ≠ -2
khi x = -2

tại x0 = -2
khi x ≠ 1
khi x = 1

khi x ≠ 2

tại x0 = 1

tại x0 =

2

b)

 x2 − 4 x + 3

f ( x) =  x − 3

5


d)

 2 − x +1


f ( x) =  3 − x

3


f)

 x−2

f ( x) =  x − 1 − 1
 3x − 4


khi x = 2

khi x ≠ 3
khi x = 3

khi x ≠ 3
khi x = 3
khi x > 2
khi x ≤ 2

Bài 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)

c)

 x 2 − 3x + 2


f ( x) =  x − 2

1

 x2 − x − 2

f ( x) =  x − 2
 5− x


khi x ≠ 2

b)

khi x = 2
khi x > 2
khi x ≤ 2

Bài 12: Tính đạo hàm các hàm số sau:

d)

 1− x
2

f ( x) =  ( x − 2 )
 3


khi x ≠ 2

khi x = 2

x
khi x < 0


2
f ( x) = 
x
khi 0 ≤ x < 1
− x 2 − 2 x + 1 khi x ≥ 1


tại x0 = 3

tại x0 = 3

tại x0 = 2


1) y =

x3 x2
− + x −5
3 2

y = 2x5 −

2)

x
+3
2

3)

y=

2 4
5
6
− 2+ 3− 4
x x
x 7x

4) y = 5x 2 (3x − 1)

5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)

y = ( x 2 + 1)(5 − 3x 2 )

8) y = x (2 x − 1)(3x + 2)

9) y = ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 3



10) y =  x + 3x ÷( x − 1)



11) y =

12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5

13) y =

3x 4 + x 2

14)

y = ( 2 x 2 + 1) ( x − 2 ) ( 3 x + 7 )

1
2
2 x + 3x − 5

17)

y=

2

16)

y=

19) y =

(

)

y = 2x2 + 3 x −1

x3 − 2 x
x2 + x + 1

22) y =

x 2 − 2x + 3
2x + 1

y=

2x2 − 5
x+2

18)

y=

− x 2 + 7x + 5
x 2 − 3x

7)

21)

23) y =

1+ x
1− x

24)

3

Bài 13: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx
2) y = cos (x3)
y = (1 + cot x ) 2
y=

15)

20) y = x − 1 + x + 2

x 2 + 6x + 7

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

2x3

6) y = ( x 2 + 5) 3

sin x + cos x
sin x − cos x

5) y = cos x. sin 2 x

6)

π

9) y = cot 3 (2x + 4 )

3) y = x.cotx
1
y = cos x − cos 3 x
3

10) y = sin 2 (cos 3x)

7) y = sin 4
11)

4)
x
2

y = cot 3 1 + x 2

8)
12)

y = 3 sin 2 x. sin 3 x

13)

y = 2 + tan 2 x

1

17) y = (1 + sin 2 2 x ) 2

14)

y=−

18)

cos x
4
+ cot x
3
3sin x 3

y=

x sin x
1 + tan x

15) y = sin(2sin x)
19)

y=

sin x
x

+
x
sin x

16) y = sin 4 p - 3x
20) y = 1 + 2 tan x

Bài 14: Cho hàm số y= x3 -3x+1,Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số taị điểm
x=2;
Bài 15: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y = x3 − 5 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
thẳng y = -3x + 1.

b) Biết tiếp tuyến song song với đường


1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 7 x – 4.
II. Hình học:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB,
SC, SD.
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với ( SAB); CD vuông góc với (SAD); BD vuông góc
với (SAC).
b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra AH, AI, AK cùng
chứa trong một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc
với AI
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, AB, AC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O ta lấy một điểm S
khác O. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC);
b) Mặt phẳng (SOI) vuông góc với (SAB);
c) Mặt phẳng (SOI) vuông góc với mặt phẳng (SOJ).
Bài 3: Cho tứ diện SABC có SA = SC và mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng
(ABC).
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi BE, DF là hai
đường cao của tam giác BCD; DK là đường cao của tam giác ACD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng (ADC);
b) Gọi O và H lần lượt là trực trâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh OH
vuông góc với mp(ADC).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt SAB là tam giác cân
tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I là trung điểm của
đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng:


a) BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b) SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
·
Bài 6: Hình chóp S.ABCD có dáy là hình thoi ABCD tâm O cạnh a, góc BAD
= 600 .

Đường cao SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO =

3a
4

. Gọi E là trung điểm

của BC, F là trung điểm của BE.
a) Chứng minh (SOS) vuông góc với (SBC)
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Gọi ( α ) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Xác định thiết diện
của hình chóp với mp ( α ). Tính diện tích thiết diện này.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA ⊥(ABCD)
tan của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng

3 2
4

.

a) Chứng minh tam giác SBC vuông
b) Chứng minh BD ⊥ SC và (SCD)⊥(SAD)
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCB)
Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy băng 3a, cạnh bên bằng
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy của hình chóp
b) Tính góc hợp bởi SB với mặt đáy của hình chóp.
c) Tính tan của góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Hết

2a 3
.
3