Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (51)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG 5
MÔN: TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ&GIẢI TÍCH LỚP 11
1/ Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản
(C lµ h»ng sè)
( C ) ′ =0
(kx)’=k (k lµ
( x ) ′ =1
h»ng sè )
(n∈ N, n ≥ 2)
( x n )′ =n.xn-1
′
1
1
 ÷ =− 2
x
x
1
( x )′ =
2 x
/
( sin x ) = cos x

Đạo hàm của hàm số hợp

(U )′ =n.Un-1.U ′
n

(x ≠ 0)

′

U′
1
 ÷ =− 2
U
U

(x>0)

( U)

(

=

U′
2 U

(U > 0)

( sin U ) / = cos U .U /
( cos U ) / = − sin U .U /

( cos x ) /

= − sin x
( tgx ) / = 12 = 1 + tg 2 x
cos x
( cot gx ) / = − 12 = − 1 + cot g 2 x
sin x

′

(U ≠ 0)

1
U/
2
cos U
( cot gU ) / = − 12 U /
sin U

.( tgU ) =
/

)

- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( U ± V)

′

= U′ ± V ′

′
 U  U′.V − U.V′
 ÷=
V2
V

( UV )

′

(k.U)′ = k.U′

= U′V + UV′

′
1
1
 ÷ =− 2
V
V
 

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x =
- Đạo hàm cấp cao của hàm số
f "(x) = [ f(x)'] '
Đạo hàm cấp 2 :
n
n-1
Đạo hàm cấp n : f (x) = f(x)  '

(k là hằng số)

f 'u . U x′

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 có hoành độ x0
có dạng:

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm:

df ( x0 ) = f '( x0 ).∆x

1


- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0 + ∆x) ≈
- Vi phân của hàm số: df ( x) = f '( x)dx hay dy = y ' dx

f ( x0 ) + f '( x0 )∆x

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)

y = x3

b) y = 3x 2 + 1

c)

d)

y = x +1

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2

1
;
x

b) y =

x0 = 2

c) y =

y=

x −1
;
x +1

1
x −1

x0 = 0

d) y =

- x; x0 = 2

x

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y =

2x −1
;
x −1

h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = π3

π

x0 = 3

i) Cho

g) y = x.sinx; x0 = 3
f ( x) = 3 x + 1 ,

tính f ’’(1)

k) Cho y = x

cos2x . Tính f”(x)
π

π



 
l) f ( x ) = sin 3x . Tính f ''  − ÷; f '' ( 0 ) ; f ''  ÷
 2
 18 

m) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) . TÝnh f '' ( 2 )
6

Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1. y = x 3 − 2 x + 1
5. y = 5x 2 (3x − 1)

x
+3
2
6. y = ( x 2 + 5) 3

2. y = 2 x 5 −

9. y = ( x + 1)( x + 2) 2 ( x + 3) 3
12. y =

5x − 3
x + x +1
2

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

19)

y=

23)

y=

a
3

x

2

−

b
x x
3

13. y =
16. y =

2
x2
7. y = ( x 2 + 1)(5 − 3x 2 )
2x
10. y = 2
x −1

3. y = 10 x 4

14. y =

x 2 + 6x + 7

x 2 − 2x + 3
2x + 1

17. y =

20) y = 3 a + bx3

+

x −1 + x + 2
3x 2 − 2 x + 1
2x − 3
2

2 3

26) y =

1+ x
1− x

21)

y = (a 3 − b 3 ) 2

(x + 2)2
(x + 1)3 (x + 3)4

24) y = (x 7 + x)2

28/ y= x

1+ x2

25)

y = x2 − 3x + 2

30/ y=

1+ x

31/ y= (2x+3)10

1− x

(x2- x +1)
32/ y= (x2+3x-2)20
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

2

4. y = ( x 3 + 2)( x + 1)
8. y = x (2 x − 1)(3x + 2)
2x 2 − 6x + 5
11. y =
2x + 4

15.
18) y =

22)

3x - 2
x - x+ 2
2

y = x2 3 x2

27) y =

1
x x

29/ y=

x


1) y = 3 sin 2 x. sin 3x

2) y = (1 + cot x ) 2

x
2
sin x + cos x
6) y = sin x − cos x

7) y = cot 3 (2x + 4 )

1 + sin x

3) y = cos x. sin 2 x

4) y -= 2 − sin x

8)

9)

5)

y = sin 4

10) y -=

1 + cos 2

π

1

x
2

11) y = (1 + sin 2 2 x ) 2

14) y= 5sinx-3cosx
18)

y = 2 + tan 2 x

y = sin 2 (cos3x)

19)

y=

16)

x sin x
1 + tan x

20)

y=

cos x 4
+ cot x
3sin3 x 3

13) y = cos ( x3 )

12) y = sin 4 p - 3x

15) y = x.cotx

y=−

17) y= sin(sinx)

y = cot 3 1 + x 2

sin x
x
+
x
sin x

21)

y = tan

x +1
2

22)

y = 1 + 2 tan x

Bài 5: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
ax + b
cx + d

ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
y=
mx 2 + nx + p
dx + e
3x + 4
− x2 + x − 2

x 2 − 3x + 4
y
=
y=
y= 2
Áp dung:
− 2x + 1
2x − 1
2x + x + 3
1
Bài 6: Cho hai hàm số : f ( x) = sin 4 x + cos 4 x và g ( x) = cos 4 x Chứng minh
4
f '( x) = g '( x) (∀ x ∈ ℜ ) .

y=

Bài 7: Cho
ĐS: a)

y=

y = x 3 − 3x 2 + 2

x < 0
x > 2


. Tìm x để:

b) 1 −

a) y’ > 0

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
Bài 9: Cho hàm số f(x) = 1 + x. Tính :
Bài 10:
y=

x −3
;
x+4

-1)y’’
e) Cho y =

sin 3 x + cos 3 x
1 − sin x. cos x

b) f(x) =

f(3) + (x − 3)f '(3)

b)
; y’' = - y

1
− cot g 3 x + cot gx + x + 3 + 7
3

y = 2x − x 2 ;

d) Cho y =

; y’ = cotg4x

f)Chof(x)=

π
π
f ( ) − 3f ' ( ) = 3
4
4

g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
h) Cho hàm số:

y=

x2 + 2x + 2
.
2

3 sin x − cos x + x

d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

2y '2 = (y − 1)y"

c) Cho hàm số y =

b) y’ < 3

2 < x < 1+ 2

Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.

a)

rằng:

Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

i) Cho hàm số y = cos22x.
3

x−3
x+4

y 3 y"+ 1 = 0

; 2(y’)2 =(y

cos 2 x
1 + sin 2 x

;


a) Tính y”, y”’.

b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
Bài 11: Chứng minh rằng
a/

f ( x) =

Bài 12:

f '( x ) > 0

∀x ∈ ℜ ,

2 9
x − x 6 + 2 x3 − 3x 2 + 6 x − 1
3
x2 + x
Cho hàm số y =
(C)
x−2

biết:

b/

f ( x ) = 2 x + sin x

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng d: y = - x + 2.
Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y = x3 − 5 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 7 x – 4.
Bài 15: Cho đường cong (C): y =
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

x+2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x−2

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là −4
Bài 16: Tính vi phân các hàm số sau:
a)

y = x 3 − 2x + 1

b)

y = sin 4

x
2

c)

d)

y = x 2 + 6x + 7

y = cos x. sin 2 x

e)

y = (1 + cot x ) 2

Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1)
5)

x +1
x−2
y = x 2 sin x
y=

2)
6)

2x +1
x + x−2
y = (1 − x 2 ) cos x

y=

x

3) y = x 2 − 1

2

7) y = x.cos2x

4

4)

y = x x2 + 1

8) y = sin5x.cos2x


ĐS: 1)
y '' =

(x

y '' =

6

( x − 2)

3

2)

y '' =

4 x 3 − 10 x 2 + 30 x + 14

(x

2

+ x−2

)

3)

3

y '' =

(

2 x x2 + 3

(x

2

)

−1

3

)

4)

2 x3 + 3x
2

)

+1

x2 + 1

5) y '' = ( 2 − x ) sin x + 4 x cos x 6) y '' = 4 x sin x + ( x 2 − 3) cos x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
2

Bài 18: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a)

y=

sinx

ĐS: a)

y ( n ) = ( −1)

π

y ( n ) = sin  x + n ÷
2


5

n

n!

( x + 1)

n +1

1
x +1

b) y =
b)