Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (56)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2012-2013
TRƯỜNG THPT LỘC THÀNH

A. NỘI DUNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. Chương IV: Giới hạn.
1. Giới hạn hàm số
- Tính giới hạn tại một điểm.
- Giới hạn tại vô cực.
- Giới hạn một bên.
2. Hàm số liên tục.
- Xét tính liên tục tại một điểm.
- Xét tính liên tục trong khoảng, đoạn.
II. Chương V: Đạo Hàm
1. Tính đạo hàm bằng công thức, đạo hàm của hàm hợp.
2. Viết phương trình tiếp tuyến.
3. Đạo hàm cấp cao.
4. Giải phương trình, bất phương trình… sau khi tính các đạo hàm của hàm số.
B. NỘI DUNG HÌNH HỌC.
1. Hai đường thẳng vuông góc:
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
- Tính góc giữa hai đường thẳng.
2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
3. Hai mặt phẳng vuông góc
- Tính góc giữa hai mặt phẳng:
- Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
- Hình chóp đều - Lăng trụ đứng - Lăng trụ đều.
4. Khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
C. BÀI TẬP MẪU.
1. Chương IV: Giới hạn
1


1.Tìm các giới hạn sau:
a)

4x +1 − 3

lim

x2 − 4

x →2

e) lim 2 x + 2 − 3x + 1
x−1

x→ 1

2.Tìm các giới hạn sau:
a)
d)

x2 + 1

lim

b)

2x2 − x + 1

x →+∞

lim

2 x 2 − 3x − 2
x +2 −2
1 + x2 −1
lim
b) lim
c)
d)
lim
2
x →2 − x − x + 6
x →2 x + 7 − 3
x →0
x
3
2
2 x − 5x + x + 2
1+ x − 3 1+ x
f) lim
g)
lim
x →1
x →0

− x2 + x
x

x2 + 2x + 3 + 4x + 1

x →±∞

4x2 + 1 + 2 − x

2x2 − x + 1
x −2

lim

x →±∞

e) xlim
→±∞

2x − 4
3− x

c)
f)

lim

x →+∞

lim

x →+∞

2x2 + 1
x3 − 3x 2 + 2

x x +1
x2 + x + 1

3.Tìm các giới hạn sau:
a)

lim  x 2 + x − x ÷
x →+∞ 


b)

lim  2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3 ÷
x →+∞ 


c)

 1
3 
lim 
−
÷
x →1  1 − x 1 − x 3 

4.Tìm các giới hạn sau:
a)

lim+

x →2

x − 15
x −2

b)

lim−

x →2

x − 15
x −2

c)

lim+

x →3

1 + 3x − 2 x 2
x −3

d)

x2 − 4
x−2

lim+

x →2

5. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a)

x +3

f (x) =  x − 1
 −1

c)

 x 2 − 3x + 2
khi x > 1

2
f ( x) =  x − 1
taïi x = 1
x
−
khi x ≤ 1
 2

khi x ≠ 1 taïi x = −1

khi x = 1

b)

d)

 x+3 −2
khi x ≠ 1

f (x) =  x − 1
taïi x = 1
1

khi x = 1
 4

 9 − x2

f ( x ) =  x − 3 khi x < 3
1 − x khi x ≥ 3

taïi x = 3

2. Chương V: Đạo hàm
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
d)

1 4 1 3
2x2 + x − 3

x − x + 3x − 2
b) y = 2 x3 − 3x + x + 4 c) y =
2
3
3x + 4
3
1
−2 x + 3


y=
e) y = (x2 − 2x + 5)2
f) y =  2x + 1 ÷
x +1
 x −1 
y=

2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y = 2x2 − 5x + 2

2
b) y = ( 2 x − 3) 3x + 4 c)

d)

y = (x − 2) x 2 + 3

e)

y=

4x + 1
2

x +2

2

y=

4 + x2
x

f) y = 3x + 4 + 7 + 2 x + x 2


g)

y=

x3
x −1

h)

i)

y = (x − 2)3

y = ( 1 + 1 − 2x )

3

3.Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

2

 sin x 
y= 
÷
 1 + cos x 

b) y = x 2 cos x

d)

y = cot 2x

g)

2
1
y = tan 2x + tan3 2x + tan 5 2x
3
5

i)

e)

y = sin3 (2x + 1)

f) y = sin x cos3x

y = sin 2 + x2

h)

k) y =

y = (2 + sin2 2x)3

c)

cos x + 1
sin x

l)

y = 2sin 2 4x − 3cos3 5x
 x +1
y = cos2 
÷
 x −1÷



4. Cho hàm số (C): y = f(x) = x 2 − 2x + 3. Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.
3x + 1
5. Cho hàm số y = f(x) =
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
1− x
a) Tại điểm có hoành độ x0 = -1.
b) Tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Tại giao điểm của (C) với trục tung.
1
2

d) Tiếp tuyến song song với d: y = x + 100 .
e) Tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0.
6. Cho hàm số (C): y = x3 − 3x 2 .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1; –2).
b)(NC) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
7. Giải phương trình f '(x) = 0 với:
a) f(x) = 3cos x − 4sin x + 5x
b) f ( x ) = sin x + 3 cos x − 2 x + 3
c) f(x) = sin 2 x + 2 cos x
e)

3π + x
2
f '(x) > g'(x)

f(x) = 1 − sin(π + x) + 2 cos

8. Giải bất phương trình

d) f(x) = sin x −
f)

cos 4x cos6x
−
4
6

f(x) = sin3x − 3 cos3x + 3(cosx − 3 sin x)

với:

3


2
x
3
2
4
2
9. Giải bất phương trình f ' ( x ) ≤ g '' ( x ) với f ( x ) = x + 3 x + 4 x và g ( x ) = x + 2 x .

a)

b) f(x) = , g(x) = x − x3

f(x) = x3 + x − 2, g(x) = 3x 2 + x + 2

10. Giải bất phương trình f ' ( x ) ≤ 1 với f ( x ) = x 2 + 4 x .
11.Cho y = x2 − x + 1 Chứng minh: (y’)2 + y.y’’= 1

3. HÌNH HỌC
1. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC
vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy
điểm N sao cho

SM SN
=
SB SC

. Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAB) và AM ⊥ (SBC).
b) SB ⊥ AN.
2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt bên (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 3 .
a) Chứng minh : (SBD) ⊥ (SAC)
b) Tính số đo góc giữa SB và mp (ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC d) Tính số đo góc giữa SB và AD
3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, góc giữa SB và mặt
đáy bằng 600. Gọi M là trung điểm BC.
a. Chứng minh: BC ⊥ (SAB)
b. Chứng minh: (SAC) ⊥ (SBD)
c. Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD).
d. Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).

e. Tính góc giữa SM và BD.
4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi
O là tâm của hình vuông ABCD.
a) Tính độ dài đoạn thẳng SO.
b) Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.
c) Tính góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy.
d) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh mp(MBD) ⊥ mp(SAC).
e) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
f) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
g) Tính khoảng cách giữa BD và SC.
5.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

4


6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD =a, Hình
chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là trung điểm I của AB. SA = a 3 . Gọi M là trung
điểm BC.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
c) Xác định và tính góc giữa (SBC) và mặt phẳng (ABCD).
d) Xác định và tính góc giữa (SCD) và mặt phẳng (ABCD).
e) Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
f) Tính khoảng cách giữa SA và BC.
g) Tính khoảng cách giữa AB và SC.
7. Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại a, AB = a, SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC). SA = a 3 . Gọi M là trung điểm BC.

a) Chứng minh BC vuông góc với SM.
b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).
c) Xác định và tính góc giữa (SBC) và mặt phẳng (ABC).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc ABC bằng 60 0.
Tam giác SAC đều, tam giác SBD cân tại S.
a. Chứng minh: SO ⊥ (ABCD)
b. Chứng minh: (SAC) ⊥ (SBD)
c. Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD).
Duyệt của TTCM

Giáo viên biên soạn

Nguyễn Văn Trang

Nông Công Tú
Duyệt của Ban Giám Hiệu

5