Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (57)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII
MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM 2012 – 2013 - THPT AN LƯƠNG ĐÔNG
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, ∀n và lim vn = 0 thì limun = 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0:

lim

1
n

= 0 , lim

1
1
= 0 , lim 3 = 0 , lim q n = 0 với
n
n

|q| < 1
2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = +∞ thì

lim

1
un

=0

limv
limun=L
n

vn

lim

un
vn

+

+∞

-

−∞

L<0

+

−∞

L<0

-

+∞

L >0
L>0

1

Dấu
của

0


- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+) Nếu

lim f ( x ) = +∞ thì lim

x → x0

x → x0

1

f ( x)

=0

lim f ( x )

x→ x 0

L>0

lim g ( x)

x→ x 0

0

L<0

- Chú ý khi gặp các dạng vô định:

∞ 0
; ; ∞ − ∞;0.∞
∞ 0

Dấu
của
g(x)

lim

x→ x 0

f ( x)
g ( x)

+

+∞

-

-∞

+

-∞

-

+∞

ta phải khử các dạng vô định đó

bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu
thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1.

lim C = C

x → x0

(C = const)

2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì

lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0

2


3.

lim

x → x0

1
=0
xn

(với n > 0)

- Khử dạng vô định

0 ∞
; ; ∞−∞;
0 ∞

0x∞

Ghi chú:
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1.
3.

a− b

là

a −b

là

3

2.

a+ b
3

4.

a 2 + 3 a .b + b 2

là

a+ b
3

là

a +b

a− b
a 2 − 3 a .b + b 2

3

Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
2
1/ lim 8n −2 3n
n
3

2/

lim

2n 2 − 3n − 1
−n 2 + 2

3/

(

lim n − 1 − n 2 + 1

)

4/

 3n − 4n + 1 
lim 
n
n ÷
 2.4 + 2 

Giải:
1/

8n 2 − 3n
3
lim
= lim 3 8 − = 3 8 = 2
2
n
n

2/

3 1
2− − 2
2n 2 − 3n − 1
n n = 2 = −2
lim
= lim
2
−n 2 + 2

−1
−1 + 2
n

3

3/

)

(

lim n − 1 − n 2 + 1 = lim

−2n
n −1 + n + 1
2

1−

n

 3n − 4n + 1 
4/ lim  2.4n + 2n ÷=lim



−2

= lim

1
1
+ 1+ 2
n
n

= −1

.

n

3
1
  −1+  
4
4 = − 1
n
2
1
2+ 
2

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

S=

u1

,| q |< 1
1− q

Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ: Tính tổng

S = 1+

1 1
1
+ + ... + n + ....
2 22
2

Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
S=

u1
1
=
=2
1− q 1− 1
2

3

q=

1

<1
2

và

u1 = 1 .

Vậy:


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
a ) un =
e ) un

( −1)

n

b) un =

2n 2 + 1

( −1)
=

n

sin 2n
n +1

c ) un =

2n
f ) un = n
3 +1

n +1

3

g ) un

n + cos 3n
n2 + n

( −1)
=

n +1

3

n

+

d ) un =
1

cos n
n n +1

h) un = n + 1 − n

5n +1

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
2n3 − 5n + 3
Lim 2
n − 3n3

1)

2)

5) lim(n – 2n3)

(1 + 2n)(2 − 3n)
lim (4n − 5) 2

6) lim (

3)

n 3 − 2n
lim
1 − 3n 2

4) lim

n 2 − 3n 3
2n 3 + 5n − 2

7) lim

n +1 − n)

2n − 4n + 3n + 3
n 3 − 5n + 7
3

8)

2

(1 − n) 3 (3 + 2n)
lim (3n 2 + 1) 2

9)

10) lim

lim( 3n − 1 − 2n − 1)

4 n − 5n
2 n + 3.5n

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
2n − 3n3 + 1

n3 + n 2

b) lim

n3 + 3n − 2
2n 2 + 1

c) lim

−3n + 2
3
n + 2n − 1

d ) lim

4n 2 + n + 1
e) lim
1 − 2n

f ) lim

3n − 2.5n
3.5n − 4n

g ) lim

3n − 4n + 1
2.4n + 2n

4n 2 + 1 − 9n 2 + 2

h) lim
2−n

a ) lim

i ) lim un

với

un =

1 + 2n − 3n5
(n − 2)3 (5n − 1) 2

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1)

ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0 d) -3/25

e) -1 f) -2/3 g) -1/2

h) 1 i) 1

Bài 4 : Tính các giới hạn sau:
a ) lim(3n 2 + n − 1)

(

e) lim 2.3n − 5.4n
i ) lim

(

(

)

3n 2 − 6n + 1 − 7 n

(
l ) lim ( n − 3n − n ) m) lim (

f ) lim 3n 2 + 1 − 2n

)

k ) lim n

ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) +∞
-1/2 l) -3/2 m) 1/3

(

n −1 − n

d) +∞

)

c) lim 3n 2 + n sin 2n d ) lim 3n 2 + n − 1

b) lim(−2n 4 + n 2 − n + 3)

g ) lim n 2 + 1 − n

)

2

e) - ∞ f) - ∞ g) 0

4

n2 − n + n

h) lim

3

)

n3 + n 2 − n

h) +∞ i) -∞

)
k)


Bài 5: Tính tổng
1/

( −1)
1
1
S = −1 + − 2 + ... + n −1 + ...
10 10
10

3/

( −1)
1 1 1
, − , ,...,
3 9 27
3n

n

2/ S = 1 +

2
2

2
+
+ ... +
+ ...
2
100 100
100n

n +1

,...

Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
n−1

a)

n−1

1 1 1
 1
1, − , , − ,...,  − ÷ ,...
2 4 8
 2

b)

1 1 1
1
1, , , ,...,  ÷ ,...

3 9 27
3

2,

lim−

x +1
x−2

3,

lim

x2 + 2x − 3
2 x2 − x −1

7,

ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
1,

lim

x →−2

)

(

x2 + 5 −1

lim (− x 3 + x 2 − x + 1)

5,

x →−∞

9,

lim

x2 − x − 4x2 + 1
2x + 3

x →−∞

12,

x →±∞

15,

lim

lim

6,

(

x2 − x − x2 + 1

( x + 3)3 − 27
x→0
x

)

x →3

x →1

a)
d)

ĐS: a) -1/2

x →2

11,

x →−∞

13,

x+3
2
x →−1 x + 2 x − 3

14,

lim

16,

lim

17,

lim

lim

x →2

x+2 −2
x +7 −3

c) - ∞ d) -∞

1− x
x → 4 ( x − 4) 2

4,

lim

8,

2 x3 + 3x − 4
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1
lim

lim ( 4 x 2 − x + 2 x)

2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
x →3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3

x →7

2− x −3
x 2 − 49

∞
):
∞

c)

5 x3 − x 2 + 1
lim
x →−∞
3x 2 + x

5x2 − 1
e) lim 3
x →+∞ 2 x + 3 x 2 + 1

b) -∞

2− x
x+7 −3

lim

1 1

lim− 
− 1÷
x →0 x  x + 1


−3 x 3 + 2
b) xlim
→−∞ 2 x + 1

x5 + 2 x 3 − 4 x
lim
x →+∞ 1 − 3 x 2 − 2 x 3

x →3

2x −1
x−3

10,

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng

− x3 + 5 x − 1
lim
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1

lim−

f) xlim
→−∞

x2 + 2 x − 4 x2 + 1
2 − 5x

e) 0 f) -1/5

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
a)

lim (−2 x 3 + x 2 − 3 x + 1)

x →−∞

d) xlim
→−∞

x 2 − 3x + 2

ĐS: a) +∞ b) - ∞

b)

lim (− x 4 + x 3 + 5 x − 3)

x →+∞

e) xlim
→+∞

(

3x 2 + x − 2 x

c) + ∞ d) +∞ e) - ∞

5

)

c) xlim
→+∞
f) xlim
→−∞

f) + ∞

(

4 x2 + x + 2
2x2 + x + x

)

Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a) xlim
→3

−

x +1
x−3

b)

lim
x →4

1− x

( x − 4)

c)

2

ĐS: a) - ∞ b) - ∞

lim+

x →3

2x −1
x −3

c) + ∞

d)

d) + ∞

lim+

x →−2

f)

2− x
x+7 −3

lim
x →2

b/

x 2 − 3x + 2
lim
x →1
x −1

g)

lim

x2 − 9
x +1 − 2

x →3

e)

lim−

2 x +x
x −x

x →0

lim−

x →−1

3x − 1
x +1

0
):
0

c)

x+3

x →−3 x 2 + 2 x − 3

d)

x3 − 1
lim 2
x →1 x − 1

h)

lim

2x +1 − 3
x −2

i)

lim

lim

x →4

f)

2

f) + ∞

e) 1

Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
x2 − 9
a/ lim
x →3 x − 3
x2 + 2x − 3
lim 2
x →1 2 x − x − 1

−2 x + 1
x+2

x + 2 −1
x+5 −2

x →−1

e)

k)

x 2 − 3x + 2
lim
x → 2−
2− x

ĐS: a) 6

b) -1

c) -4

d) 3/2 e) 4/3 f) -6

g) 24

h) 4/3

Bài 12: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞):
a)

lim+ ( x − 1)

x →1

ĐS: a) -1

2x + 3
x2 − 1

b)

b) 0

lim+ x 2 − 9.

x →3

c) +∞

2x +1
x −3

c/

(

lim− x 3 − 8

x →2

d) 0

Bài 13: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a)

lim

x →+∞

lim

x →−∞

(

(

x2 + 1 − x

)

b)

x2 − x − x2 −1

ĐS: a) 0

b) 1

)

lim

x →+∞

(

c) 1/4

x2 + 2x − x2 + 1

)

c) xlim
→−∞

(

4x2 − x + 2x

a)

sin 3 x
x →0
x

sin x sin 2 x
x →0
3x 2

b)

ĐS: a) 3

b) 2/3

lim

c) 1

)

d)

d) 1/2

Bài 14: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng
lim

x
2 − x2

)

c)

1 − cos 2 x
x →0
x sin x

lim

d) n!

4/ Xét tính liên tục của hàm số

6

d)

lim
x →0

sin x
=1)
x

sin x.sin 2 x....sin nx
x →0

xn

lim

i) 2

k) 0


* Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
khi x ≠ x0

 f1 ( x)
f ( x) = 
 f 2 ( x)

– Dạng I: Cho h/s

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

khi x = x0

Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0);
B3 :

lim f ( x)

x→ x0

lim f ( x)

x→ x0

= f(x0)

– Dạng II: Cho h/s

⇒

KL liên tục tại x0
khi x ≥ x0

 f1 ( x)
f ( x) = 
 f 2 ( x)

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

khi x < x0

* Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên [ a; b] :
B1: Tính f(a), f(b) ⇒ f(a).f(b) < 0

B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên [ a; b]
Ví dụ:CMR phương trình
Xét hàm số
Và

x 7 + 3 x5 − 2 = 0

f ( x ) = x 7 + 3x5 − 2

có ít nhất một nghiệm

liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]

f ( 0 ) = −2 < 0 
 ⇒ f ( 0 ) . f ( 1) < 0
f ( 1) = 2 > 0 

Nên phương trình
được chứng minh.

f ( x) = 0

có ít nhất một nghiệm

x0 ∈ ( 0;1)

, vậy bài toán

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

 x2 − 4

1, f ( x) =  x + 2
 −4


voi x ≠ − 2
voi

x = −2

tại x = -2 2, f(x) =

7

2 − x +1

nÕu x ≠ 3
 3−x
4
nÕu x = 3


tại x = 3


3,

2
voi x < 0

 x
f ( x) = 
1 − x voi x ≥ 0

tai x = 0

4,

2 x − 1 , x < 1
f ( x) =  2
,x ≥1
 x

tại x = 1

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,

3,

 x2 − 2

f ( x) =  x − 2
2 2


1 −

f ( x) = 




5, f ( x ) =

voi

x≠ 2

voi

x= 2

2,

1− x , x ≠ 0
x
1
,x = 0
2

4,

1
2− x

 1− x

g ( x) =  ( x − 2) 2
3


voi

x≠2

voi

x=2

 x2 − x − 2

f ( x) =  x − 2
 5− x


6, f ( x ) =

khi x > 2
khi x ≤ 2

x − 3 +1

Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,

 x2
f ( x) = 
 2ax − 3

voi x < 1

2,

voi x ≥ 1

 x2 − x − 2

f ( x) =  x +1

a


khi x ≠ −1
khi x = -1

Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)

 x2 − 4

f ( x) =  x + 2
 −4


khi x ≠ -2
khi x = -2

tại x0 = -2

b)

 x2 − 4 x + 3

f ( x) =  x − 3

5


khi x<3
khi x ≥ 3

tại x0 =

3
c)

 2 x 2 + 3x − 5

f ( x) = 
x −1

7


khi x > 1
khi x ≤ 1

tại x0 = 1

d)

 2 − x +1

f ( x) =  3 − x

3


f)

 x−2

f ( x) =  x − 1 − 1
 3x − 4


khi x ≠ 3
khi x = 3

tại x0 = 3
e/

 x2 − 2

f ( x) =  x − 2
2 2


khi x ≠ 2

tại x0 =

2

khi x = 2

khi x > 2
khi x ≤ 2

tại x0 = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên
tục

8


Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)

c)

 x 2 − 3x + 2

f ( x) =  x − 2

1

 x2 − x − 2

f ( x) =  x − 2

 5− x


khi x ≠ 2

b)

khi x = 2
khi x > 2

d)

khi x ≤ 2

 1− x
2

f ( x) =  ( x − 2 )
 3


khi x ≠ 2
khi x = 2

x
khi x < 0


f ( x) = 
x2

khi 0 ≤ x < 1
− x 2 − 2 x + 1 khi x ≥ 1


ĐS: a) hsliên tục trên R ;
đọan tại x = 2.

b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián

c) hsliên tục trên R ;
đọan tại x = 1.

d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián

Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
a)

c)

 x2 − x − 2

f ( x) =  x +1

a


khi

x ≠ −1

khi

x = −1

 x+7 −3

f ( x) =  x − 2
 a −1


ĐS: a) a = -3

b) a = 2

khi x < 1
khi x ≥ 1

với x0 = 1

với x0 = 2 d)

 3x 2 − 1
f ( x) = 
 2a + 1

khi x < 1
khi x ≥ 1

với x0 = 1

với x0 = -1

khi x ≠ 2
khi x = 2

b)

 x2
f ( x) = 
 2ax − 3

c) a = 7/6

d) a = 1/2

Bài 7:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:

2 x 3 − 10 x − 7 = 0

b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:

x 3 + 1000 x + 0,1 = 0

c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình
e) Chứng minh phương trình
trị của m.

x 2 sin x + x cos x + 1 = 0

m ( x − 1)

3

có ít nhất một nghiệm

x0 ∈ ( 0; π )

.

( x − 2 ) + 2 x − 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá

Bài 8:
a)

x4 − 5x + 2 = 0

có ít nhất một nghiệm.

b)

x5 − 3x − 7 = 0

có ít nhất một nghiệm.

9


c)

2 x3 − 3x 2 + 5 = 0

có ít nhất một nghiệm

d) 2 x3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g)
h)
mọi m.
i)

x3 + 3x 2 − 1 = 0

có 3 nghiệm phân biệt.

( 1 − m ) ( x + 1)

+ x2 − x − 3 = 0

2

m ( x − 1)

3

(x

2

3

)

− 4 + x4 − 3 = 0

luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với

luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm của hàm số hợp

( C ) ′ =0

(C lµ h»ng sè)

( x ) ′ =1

(kx)’=k (k lµ
h»ng sè )

( x )′ =n.xn-1

(n∈ N, n ≥ 2)

′

1
1
 ÷ =− 2
x
x

(x ≠ 0)

′
U′
1
 ÷ =− 2
U
U

1

(x>0)

( U)

n

( x )′ =

2 x

10

(U )′ =n.Un-1.U ′

n

′

=

U′
2 U

(U ≠ 0)

(U > 0)


( sin x ) / = cos x
( cos x ) / = − sin x

( sin U ) / = cos U .U /
( cos U ) / = − sin U .U /

1
= 1 + tg 2 x
cos 2 x
( cot gx ) / = − 12 = − 1 + cot g 2 x
sin x

.( tgU ) =

( tgx ) /

1
U/
cos 2 U
( cot gU ) / = − 12 U /
sin U
/

=

(

)

- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( U ± V)

′

= U′ ± V ′

′
 U  U′.V − U.V′
 ÷=
V2
V

( UV )

′

(k.U)′ = k.U′

= U′V + UV′

(k là hằng số)

′
1
1
 ÷ =− 2
V
V
 

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] ,

g' x

=

f 'u . U x′

- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 :

f "(x) = [ f(x)'] '

Đạo hàm cấp n :

f n (x) =  f(x)n-1  '

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 có hoành độ x0
có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm:

df ( x0 ) = f '( x0 ).∆x

- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng:
- Vi phân của hàm số:

df ( x) = f '( x )dx

f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )∆x

hay

dy = y ' dx

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a)

y = x3

b) y = 3x 2 + 1

c)

d)

y = x +1

11

y=

1
x −1


Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2

1
;
x

b) y =

x0 = 2

c) y =

x −1
;
x +1

x0 = 0

d) y =

- x; x0 = 2

x

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y =

2x −1
;
x −1

h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = π3

g) y = x.sinx; x0 = π3

x0 = 3

i) Cho

f ( x) = 3 x + 1 ,

tính f ’’(1)

k) Cho y = x

cos2x . Tính f”(x)
π

π



 
l) f ( x ) = sin 3x . Tính f ''  − ÷; f '' ( 0 ) ; f ''  ÷
 2
 18 

m) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) . TÝnh f '' ( 2 )
6

Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
x
+3
2

1. y = x 3 − 2 x + 1

2. y = 2 x 5 −

5. y = 5x 2 (3x − 1)

6. y = ( x 2 + 5) 3

9. y = ( x + 1)( x + 2)
12. y =

5x − 3

x + x +1
2

y = ( x + 1) x + x + 1
2

19)
23)

y=

a

−

b

x2 x x
(x + 2)2
y=
(x + 1)3 (x + 3)4
3

3

2

( x + 3)

13. y =

20) y = 3 a + bx3

25)

28/ y= x

30/ y=

(x2-

17. y =

1+ x

2
x2

4. y = ( x 3 + 2)( x + 1)

+ 1)(5 − 3x 2 )

8. y = x (2 x − 1)(3x + 2)
2x 2 − 6x + 5
11. y =
2x + 4

x −1 + x + 2
3x 2 − 2 x + 1
2x − 3

2
3

2 3
3 2

26) y =

1+ x
1− x

21)

y = x2 − 3x + 2

+

2x
2
x −1

14. y =

x 2 + 6x + 7

x 2 − 2x + 3
2x + 1

24) y = (x 7 + x)2
1+ x2

7. y = ( x 2
10. y =

3

16. y =

3. y = 10 x 4

y = (a − b )

15.
18) y =
22)

y = x2 3 x2

27) y =

31/ y= (2x+3)10

1− x

3x - 2
x - x+ 2
2

1
x x

29/ y=

x +1)

32/ y= (x2+3x-2)20
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = 3 sin 2 x. sin 3x
y = sin 4

2) y = (1 + cot x ) 2

3) y = cos x. sin 2 x

x
2

12

4) y -=

1 + sin x
2 − sin x

5)

x


sin x + cos x

π

7) y = cot 3 (2x + 4 )

6) y = sin x − cos x
10) y -=

1 + cos 2

1

x
2

11) y = (1 + sin 2 2 x ) 2

14) y= 5sinx-3cosx
18)

8)

19)

y=

16)

x sin x
1 + tan x

20)

y=

y=−

cos x 4
+ cot x
3sin3 x 3

13) y = cos ( x3 )

12) y = sin 4 p - 3x

15) y = x.cotx

y = sin 2 (cos3x)

9)

y = 2 + tan 2 x

17) y= sin(sinx)

y = cot 3 1 + x 2

sin x
x
+

x
sin x

21)

y = tan

x +1
2

22)

y = 1 + 2 tan x

Bài 5: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
ax + b
cx + d

y=

y=
y=

Áp dung:

3x + 4
− 2x + 1

Bài 6: Cho hai hàm số :
f '( x) = g '( x)

ax 2 + bx + c
mx 2 + nx + p

y=

− x2 + x − 2
2x − 1

y=

f ( x) = sin 4 x + cos 4 x

và

g ( x) =

(∀ x ∈ ℜ ) .

Bài 7: Cho
ĐS: a)

y=

ax 2 + bx + c
dx + e

y = x 3 − 3x 2 + 2

x < 0

x > 2


. Tìm x để:

b) 1 −

x 2 − 3x + 4
2x 2 + x + 3

1
cos 4 x Chứng
4

a) y’ > 0

minh rằng:

b) y’ < 3

2 < x < 1+ 2

Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.

b) f(x) =

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x

d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

Bài 9: Cho hàm số

f(x) = 1 + x. Tính :

3 sin x − cos x + x

f(3) + (x − 3)f '(3)

Bài 10:
a)

y=

x −3
;
x+4

2y '2 = (y − 1)y"

c) Cho hàm số y
-1)y’’
e) Cho y =

sin 3 x + cos 3 x
=
1 − sin x. cos x

b)
; y’' = - y

1
− cot g 3 x + cot gx + x + 3 + 7
3

; y’ = cotg4x

d) Cho y =

f)Chof(x)=

π
π
f ( ) − 3f ' ( ) = 3
4
4

g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0

13

y = 2x − x 2 ;
x−3
x+4

y 3 y"+ 1 = 0

; 2(y’)2 =(y

cos 2 x

1 + sin 2 x

;


h) Cho hàm số:

y=

x2 + 2x + 2
.
2

Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

i) Cho hàm số y = cos22x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
Bài 11: Chứng minh rằng
a/

f ( x) =

f '( x ) > 0

∀x ∈ ℜ ,

2 9
x − x 6 + 2 x3 − 3x 2 + 6 x − 1
3

Bài 12: Cho hàm số

y=

x2 + x
x−2

biết:

b/

f ( x ) = 2 x + sin x

(C)

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng d: y = - x + 2.
Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số :

y = x3 − 5 x 2 + 2 .

Viết phương trình tiếp tuyến của (C )

a) Tại M (0;2).

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1
7

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.
Bài 15: Cho đường cong (C): y =

x+2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x−2

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là −4
Bài 16: Tính vi phân các hàm số sau:

14


a)

y = x 3 − 2x + 1

b)

x

2

y = sin 4

c)

y = cos x. sin 2 x

d)

y = x 2 + 6x + 7

e)

y = (1 + cot x ) 2

Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x +1
x−2

1)

y=

5)

y = x 2 sin x
y '' =

ĐS: 1)

y '' =

5)

(x

2)
6)
6

( x − 2)

3

y=

2x +1
x + x−2

x

3) y = x 2 − 1

2

y = (1 − x 2 ) cos x

2)

y '' =

7) y = x.cos2x

4 x 3 − 10 x 2 + 30 x + 14

(x

2

4)

+ x−2

)

8) y = sin5x.cos2x

3)

3

y = x x2 + 1

y '' =

(

2 x x2 + 3

(x

2

)

−1

3

)

4)

2 x3 + 3x

)

+1

2

(

x2 + 1

)

y '' = 2 − x 2 sin x + 4 x cos x

6)

y '' = 4 x sin x + ( x 2 − 3) cos x

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 18: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a)

y=

sinx
ĐS: a)

y ( n ) = ( −1)

π

y ( n ) = sin  x + n ÷
2


15

n

n!

( x + 1)

n +1

1
x +1

b) y =

b)


B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 .
r r

rr
• Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u.v = 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
• Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b hoặc b ⊥ ( β ) ⊃ a

• Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc (
hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a).

a ⊥ b ⇔ a ⊥ b'

với b’ là

 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)

• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q).
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).
 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900.

16


+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:

Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
• Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm
thuộc ∆).
• Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b.

17


- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK ⊥ b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.

II. BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ⊥ (ABCD). Chứng
minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB).
b) SD ⊥ DC.
c) SC ⊥ BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ⊥ AD.
b) Gọi AH là đường cao của ∆ADI. Chứng minh: AH ⊥ (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD =
a 2.

18


a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK⊥SD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên
mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm ∆BCD.
b) AC ⊥ BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện
vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC =
a 3 , SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO⊥ (ABCD).

c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA
K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.

⊥ (ABCD)

. Gọi H,

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh SC ⊥ (AHK).
c) Chứng minh HK ⊥ (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC =
a, SA ⊥ (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

19


Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC) và
SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường

thẳng AB và AC.
1. CMR: BC ⊥ (OAI).
2. CMR: (OAI) ⊥ (OHK).
3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC).
ĐS: a /

3

5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK).
ĐS: cos α =

6/3

6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC).
ĐS:

tan ϕ = 2

7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng
cách giữa hai
a/ 2

đường ấy.

ĐS:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA = a 2 .

SA ⊥ (ABCD)

1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) .
3. Tính góc
ĐS: α = 450 , β = 300

α

giữa SC và mp (ABCD), góc

4. Tính tang của góc
ĐS: tan ϕ = 2

ϕ

β

giữa SC và mp (SAB).

giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

20

và


5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A
đến mp (SCD).
ĐS:

a 6/3

6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng
cách giữa hai
đường thẳng ấy.

ĐS:

a/ 2

7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI.
ĐS: SI = a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
0
·
SA = SB = BAD
SD = =a 60
3/2

và

. Gọi H là hình chiếu của S trên AC.

1. CMR: BD ⊥ (SAC) và

SH ⊥ (ABCD) .

2. CMR: AD ⊥ SB .
3. CMR: (SAC) ⊥ (SBD).
4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC.

SC = a 7 / 2
5. Tính sin của góc
ĐS:

sin α = 3 / 3

α

và

ĐS:

SH = a 15 / 6

và

giữa SD và (SAC), côsin của góc β giữa SC và (SBD).
cos β = 3 / 14 .

6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD).
ĐS: a 10 / 12
7. Tính góc giữa (SAD) và (ABCD).
ĐS: tan ϕ = 5
8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng
cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS:

a 3/3

9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI.
ĐS:

3 15a / 20

·
ADC
= 450

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và
.

21


Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a

2

.

1. CMR: BC ⊥ mp(SAB).
2. CMR: CD ⊥ SC .
3. Tính góc
(SAC).
ĐS:

α

giữa SC và (ABCD), góc

β

giữa SC và (SAB), góc

γ

giữa SD và

α = 450 , β = 300 , tan γ = 2 / 2

4. Tính tang của góc

ϕ

giữa mp(SBC) và mp(ABCD).

ĐS:

tan ϕ = 2

5. Tính khoảng cách giữa SA và BD.

ĐS:

2a / 5

6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

ĐS:

2a / 7

7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D.
Từ đó tính MS và NS.

ĐS:

MS = a , NS = a 6 / 2

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác
ABCD; và M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD.
1. CMR: BD ⊥ (ACC'A ') và A’C ⊥ (BDC') .
2. CMR:

A 'C ⊥ AB' .

3. CMR: (BDC’) ⊥ (ACC’A’) và (MNC’) ⊥ (ACC’A’).
4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’).

ĐS:

5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’).

ĐS:

6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’).

ĐS:

a/ 3

3a / 17

tan α = 2 2 / 3

7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD).

ĐS:

tan β = 2

8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’).

ĐS:

cos ϕ = 7 / 51

9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.
a 3/3

22

ĐS: